基础光学第6章光的衍射

d R2 rdrd R rdrd
R(R b)
Rb
Q df d
Ra da
E%n (P0 )
i
2
(1 cosn )
AeikR R
R Rb
eikr
r ,f
d rdf

i
2
AeikR Rb
(1

cos
n
)2
eikr d r
r
i

bn
【例6.1】 用平行光照射如图所示的衍射屏。图中所标注的 数式标明从所指示点到轴上场点的距离。求轴上场点距离衍
射屏中心b处的光强与自由波场在该点的光强之比。
【解】
A3 A1
b/2 b 3 / 4
P
C
A1
A
A0
Q
A2

A12
(A1
/ 2)2

4A
2 0

A
2 0

5A
2 0
I / I0 5
【解】设 A0为没有波带片时自由光场在场点处的振动矢量
10
A A2n1 10A1 20A0 n1
I A2 400A02 400I0
6.10 夫琅禾费单缝衍射 利用振动矢量图法求解单缝夫琅禾费衍射的光强分布
从缝的下沿B处出发的 光线和从A处出发的光 线的光程差
r asin
6.1 衍射现象 对于波而言，具有绕过障碍物继续传播或偏离直线传 播的特点，这就是波的衍射现象。 衍射是波的基本特征之一。
只有当障碍物的空间尺寸和波的波长相当时才会发生 明显的衍射现象。
可见光的波长为数百纳米，光波的衍射现象很难观察 到。
6.2 光的衍射及其分类
夫琅禾费单缝衍射
(a)
(b)
菲涅耳圆孔衍射
dE%(P)

Cf
(0
,
)E%0
(Q)
1 r
eikr
d

Ò 所有次波源在P点产生的复振幅
E%(P) C

f
(0
,
)E%0
(Q)
1 r
eikr
d
，
菲涅耳衍射积分公式
6.5 菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式
Ò E%(P) i


1 2
(cos0

cos
)E%0
(Q)
1 r
eikr
S
相应的相位差为
2 r 2 a sin


透镜L
缝平面
A a
透镜L
O
B Δr
观察屏 P

P0
f
单缝夫琅和费衍射强度公式
（1）矢量图解法
光的位相变化为
2 a sin 2a
B
a A asin
C
aa R
B
R
A
A 2R sina
R A0
2a
而 r2 b2 (b m / 2)2 b2 bm 忽略了 (m / 2)2 项。可得：
m
Rb m
Rb
m 1
(m 1, 2, 3 L )
其中
1
Rb 为第一个半波带的半径。
Rb
菲涅耳波带片
【例6.2】一张菲涅耳波带片画有20个半波带。其中所有偶数 项半波带被遮挡，在傍轴条件下忽略各半波带的倾斜因子，求 使用该波带片后轴上场点的光强增大的倍数。
sin( ka sin
2
)

aC
sin a
r
Q
x a o r
r0


k sin
a
r0
P P0 z
E%( ) aC sina a
其中a ka sin a sin
2

取 =0，a 0， sina 1 a
E%( ) E%(0) aC
E%( ) E%(0) sina a
1）位于无穷远的波前面2对场点贡献为0；
2）光屏面1对光只有反射和吸收而没有透 射，因此对场点贡献为0；
3）只有孔所在面S0对场点有贡献，且在S0面上的各点光波的 复振幅等于自由传播光场在该点的复振幅。
E%(P)

i

0
1 2
(cos0

cos )E%0(Q)
1 r
eikr d
AeikR Rb
(1
cosn
2
)
b(n1)
eikr
d
r

i
AeikR Rb
(1
cosn
)
1 ik
eikbeikn
2
(1

ik
e
2
)

Aeik (Rb) Rb
2
(1 cosn )(1)n1
设
Cn

Aeik (Rb) Rb
(1 cosn )
P0处自由光场的复振幅

A R
eikR
E%n (P0 )

i
2
(1
cosn )E%0 (Q)
n
1 r
eikr
d
d R sinadf Rda R2 sinadadf
r2 (R b)2 R2 2R(R b) cosa
rdr R(R b)sinada sinada rdr / R(R b)
的平均光程差为 / 2
一系列的圆环带称为半波
带，相邻半波带在P0点所引
起振动的相位差为
整个波前在P0的复振幅可表示为
E%(P0 ) E%n (P0 ) n
任意一个半波带对场点的贡献
E%n (P0 )

i

n
1 2
(cos0

cos )E%0 (Q)
1 r
eikr
d
E%0 (Q)
除边界之外，不会发生明显的衍射

衍射将向散射转化
6.4惠更斯-菲涅耳原理 任意时刻波面（波前）上的每一点都可以作为次波波源并各
自发射球面次波，波场空间任一场点的扰动，是所有次波源在 该点所产生扰动的相干叠加。
惠更斯-菲涅耳原理的数学模型
波前上所有次波源在P点产生的复振幅
E%(P) Ò dE%( p)d
（1）dE%(P) E%0 (Q) （3）dE%(P) d
（2）dE%(P) eikr / r
（4）dE%(P) f (0, )
其中f (0, )称为倾斜因子，
球面波前0 0
当 0 ，f ( ) 1 当0 / 2 ，0 f ( ) 1 当 / 2 ，f ( ) 0
a 0( 0) 处，
sina 1
a
I I0 Imax
零级衍射斑中心就是几何光学像点。
2、次极大（高级衍射斑）位置：
y
由 d (sina ) 0 da a
y tana
y a
tga a
-3.47 -2.46 -1.43
a a sin
1.43 2.46 3.47
E%(P) C eikr dx
a
2
C eikxsin dx
a
C
eikx sin
ik sin
x a
|2
x a 2
2
2
C
1
ika sin
ika sin
[e 2 e 2 ]
ik sin
x
L
C 1 2i sin( ka sin )
ik sin
2

2C
Aeik (Rb) A0 R b
则 Cn A0 (1 cosn ) E%n (P0 ) Cn (1)n1
E%(P0 ) E%n (P0 ) Cn (1)n1
当 1 0 A1 E%1(P0 ) C1 A0 (1 cos1) 2 A0
光源或接收屏距衍射屏的距离为 有限值的衍射称为菲涅耳衍射。 菲涅耳衍射又称为近场衍射。
(a)菲涅耳圆孔衍射；(b)夫琅禾费单缝衍射。
入射光和成像的衍射光均为平行光的衍射 称为夫琅禾费衍射，又称为远场衍射。
6.3 衍射的特点 (a) (b) (c)
夫琅禾费单缝衍射
缝宽 80mm 40mm
20mm
各种形状衍射屏下发生夫琅禾费衍射的衍射图形

解得 ： a 1.43， 2.46， 3.47，
相应 ： sin 1.43 / a, 2.46 / a, 3.47 / a,…
第一个半波带对场点的复振幅的贡献是自由光场时的2倍
用振动矢量图求衍射场点的振幅
当n为奇数时， An A0 ；数值上随着n的增大而逐渐减小向A0接近。
当n为偶数时， An A0 ；数值上随着n的增大而逐渐增加向A0接近。
当n足够大时，1 Cn Cn1 0
An An1 A0
(a)
(b)
(c)
(d)
衍射屏
衍射图形
光波衍射的特点：
1）光束在某个方向受到限制，远处接收屏上的衍射光将会 沿该方向扩展。
2）光的衍射程度和受限程度有关，受限越厉害，则衍射越 显著。
3）光的衍射和受限尺度的大小关系大致可以用光的波长衡量。
10 1000 衍射现象较为显著
1000
O
6.9 菲涅耳波带片
半波带的半径 m
m2 R2 l2 R2 (R h)2 S
M
R
a
m
O' o
r
2Rh h2 2Rh 。
lh
b
P0
又有
m2 r2 (b h)2 r2 b2 2bh h2
r2 b2 2bh 。
(a)
(b)
衍射实验傍轴条件
当光源S和接收场点P均满足傍轴条件时，0 0，r r0
则
f
(0 ,
)

1 2
(cos0

cos
)

1
傍轴条件下菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式
E%(P)

i
r0
0
E%0 (Q)eikr
d
6.6 衍射的巴比涅原理 一个衍射屏Sa上的透光部和另一个衍射屏Sb上的遮光部相对应， 即两个衍射屏的图样互补。
第一半波带的振动矢量图
Am
A1
m
m Ak 0
A1
O
A1A
A
2
3
m
(a) m为有限值
O
(b) m趋于无穷
A1 A3
An C
其他半波带都将得到一个个半圆，将其
A
首尾相连，同时考虑到倾斜因子 f () 的影响，半圆的直径将依次缩小，最后 形成螺旋线。
A4 A2
O
波前包含n个半波带时的矢量图
（1）当 b 不变，孔径 变化时，衍射中心 P0 点处明暗交替； （2）当孔径 不变，b 变化时，衍射中心 P0 点处明暗缓慢交替；
（3）如果将圆孔换成圆屏，则可以发现衍射中心 P0 处总是亮点。
菲涅耳半波带法 每个环带的两个边缘圆环到
P0的距离差为半个波长 / 2
两个相邻圆环带到P0
E%0 (P) E%a (P) E%b (P)
两个互补屏在空间某处产生的衍射光场之和等于光波自由传播 到该处的光场，称之为巴比涅原理。
（1）如果E%a (P) 0，则E%b (P) E%0 (P) （2）如果E%0 (P) 0，则E%b (P) E%a (P)
6.7 菲涅耳衍射
I

I
0
(
sin a a
)2
其中I0 E%(0)E%*(0)是衍射场中心强度
6.10-3 夫琅禾费单缝衍射的光强分布特点
I / I0 1 A / A0
I (sina )2
I0
a
a a sin
4 3 2 1 0 1 2 3 4
sin ( / a)
1、主极强（零级衍射斑）
(0 )
E%0 (Q)eikrdxdy
E%(P)

i
r0
(0 )
E%0 (Q)eikrdxdy
光程差：r r r0 x sin ,与y无关，r0是某个长度，
正入射时，%E 是与x,y无关的常数 0
将上式先对y积分，并把所有与x无关的因子归并到一个常数C中
a
a
2
d

明确了
（1） f (0, ) (cos0 cos ) / 2
（2）C

i

1
i
e2

（3）波前不一定是某个波面（如球面），
可以是任何分隔光源和场点的闭合曲面。
基尔霍夫边界条件
闭合曲面分为三部分： •衍射屏的透光部分0、 •不透光部分1、 •封闭衍射屏的空间曲面2
基尔霍夫边界条件
解释菲涅耳圆孔衍射的明暗变化
如果n为奇数，E%(P0 ) An A0 P0为亮点 如果n为偶数，E%(P0 ) An A0 P0为暗点
将圆孔换为圆屏，设圆屏所遮挡的半波带数为m，则第m+1个半波
带以后直到无穷个半波带露出
E%(P0 )


An
nm1

1 2
Am1
因此无论m的奇偶性如何，中心P0点处总是亮的。
6.8 矢量图解法
当波前所容纳的不是整数个半波带,需要将每个半波带进一步细分。
第一半波带的再细分 以第一个半波带为例，和分割半波带的方法类似，以P0点为球心， 分别以，b 2 / 2m ，b 2 / 2m，···，b m / 2m 为半径作球面，分割第 一个半波带 Σ1 ，形成m个更小的波带S1，S2，S3，···，Sm。
A
A
A0
A

A0
a
s in a

A0
s in a a
a aห้องสมุดไป่ตู้sin
强度
I

I
0
(
s
in a a
)2
a a sin
(sina )2 称为单缝衍射因子。 a
（2）复数积分法：
x
L
r
Q
ax
r0


0
r
P
P0
z
在傍轴条件下，根据菲涅耳-基尔霍夫公式
E%(P)

i
r0