解析中考数学几何模型1：截长补短模型

中考数学几何模型
1：截长补短模型
有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.
例1、如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，点E为AD中点，且BC=AB+CD，求证：CE平分∠BCD．证明：在BC上截取BF=BA，连接EF．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE．
在△BAE和△BFE中，，
∴△BAE≌△BFE．
∴EF=AE．
∵E是AD的中点，
∴DE=AE=EF．
又∵BC=AB+CD，BF=AB，
∴CD=CF，
∴．∴△CED≌△CEF（SSS），
∴∠FCE=∠DCE，即CE平分∠BCD．
分析：在BC上截取BF=BA．根据SAS证明△BAE≌△BFE．再证明△CEF≌△CED即可．
点评：此题考查全等三角形的判定和性质，运用了截取法构造全等三角形进行证明，这是解决有关线段和差问题时常作的辅助线．
变形1 如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．
证明：延长CE，BA，
相交于点F．
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠F，∠D=∠FAE．
又∵DE=AE，
∴△CDE≌△FAE（AAS），
∴FA=CD=1，CE=FE．
∵AB=2，BC=3，
∴BC=3=BA+AF=BF ．
∴CE ⊥BE ．
分析：由已知AB ∥CD 和E 是AD 中点，不难想到作延长CE ，BA ，相交于点F 的辅助线．则得△CDE ≌△FAE ，得CE=CF ，结合结论CE ⊥BE 易联想到只需证BC=BF ，这容易从题中的数值中推得．
变形2、如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ．
求证：AB+BD=AC ．
证明：在AC 取一点E 使AB=AE ，
在△ABD 和△AED 中，
AB ＝AD ，∠BAD ＝∠EAD ，AD ＝AD
∴△ABD ≌△AED ，∴∠B=∠AED ，BD=DE
又∵∠B=2∠C ，∴∠AED=2∠C
∵∠AED 是△EDC 的外角，∴∠EDC=∠C ，∴ED=EC ，∴BD=EC
∴AB+BD=AE+EC=AC
例2、已知△ABC 中，∠A=60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD 、CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并说明理由．
分析 在CB 上取点G 使得CG=CD ，可证△BOE ≌△BOG ，得BE ═BG ，可证△CDO ≌△CGO ，得CD=CG ，可以求得BE+CD=BC ．
解：在BC 上取点G 使得CG=CD ，
∵∠BOC=180°-21（∠ABC+∠ACB ）=180°-21
（180°-60°）=120°，
∴∠BOE=∠COD=60°，
∵在△COD 和△COG 中，
∴△CODF ≌△COG （SAS ），
∴∠COG=∠COD=60°，
∴∠BOG=120°-60°=60°=∠BOE ，
∵在△BOE 和△BOG 中，
∴△BOE ≌△BOG （ASA ），
∴BE+CD=BG+CG=BC ．
点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD=CG 和BE=BG 是解题的关键．
分析：延长BD 至E ，使BE=AB ，连接AE 、CE ，可得△ABE 是等边三角形，即可求得AC=AE ，可得∠ACE=∠AEC ，即可求得∠DCE=∠DEC ，可得DE=CD ，即可解题．
变形1、 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，D 为△ABC 外一点，且∠ABD ＝60°，
∠ADB ＝90°﹣ ∠BDC ．试判 断线段 CD 、BD 与 AB 之间有怎样的数量关系？
并证明你的结论AB=BD+CD ，
证明1：延长CD 到E ，使DE=BD ，连接AE ，
∵∠ADB=90°-21∠BDC ， ∴∠ADE=180°-（90°-21∠BDC ）-∠BDC=90°-21
∠BDC ，
∴∠ADB=∠ADE ，
在△ABD 和△AED 中
AD ＝AD
∠ADB ＝∠ADE BD ＝DE
∴△ABD ≌△AED （SAS ），
∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE ，
∵AB=AC ，
∴AE=AC ，
∴△ACE 是等边三角形，
∴AB=CE=CD+DE=BD+CD ．
证明2：以AD 为轴作△ABD 的对称△AB ′D （如图），
则有B ′D=BD ，AB ′=AB=AC ，
∠B ′=∠ABD=60°，∠ADB ′=∠ADB=90°- 21
∠BDC ，
所以∠ADB ′+∠ADB+∠BDC=180°-∠BDC+∠BDC=180°，
所以C 、D 、B ′在一条直线上，
所以△ACB ′是等边三角形，
所以CA=CB ′=CD+DB ′=CD+BD ．
证明3：（1）AB=BD+CD ；
（2）延长BD 至E ，使BE=AB ，连接AE 、CE ，
∵∠ABD=60°，
∴△ABE 是等边三角形，
∴AE=AB ，∠AEB=60°，
∵AB=AC ，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，
即∠DCE=∠DEC，
∴DE=CD，
∴BE=BD+DE=BD+CD，
∴AB=BD+CD
例题 3. 如图所示，在五边形 ABCDE 中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE．
分析：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，易证△ABC≌△AEF，进而可以证明△ACD ≌△AFD，可得∠ADC=∠ADF即可解题．
证明1：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，
∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，
∴CD=FD，
∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，
∴∠ABC=∠AEF，
在△ABC和△AEF中，
AB=AE
∠ABC=∠AEF
BC=EF
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AC=AF，
在△ACD和△AFD中，
AC=AF
CD=FD
AD=AD
∴△ACD≌△AFD（SSS）
∴∠ADC=∠ADF，
即AD平分∠CDE．
变形1 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE、BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°．
求证：AD平分∠CDE．
证明2：如图．
连结AC，将△ABC绕点A旋转∠BAE的度数到△AEF的位置．
因为AB＝AE，所以AB与AE重合．
因为∠ABC＋∠AED＝180°，∠AEF＝∠ABC，所以∠AEF＋∠AED＝180°．
所以D、E、F三点在同一直线上，AC＝AF，BC＝EF．
在△ADC与△ADF中，DF＝DE＋EF＝DE＋BC＝CD，AF＝AC，AD＝AD．
所以△ADC≌△ADF(SSS)．
因此∠ADC＝∠ADF，即AD平分∠CDE．
思路解析：要证AD平分∠CDE，则需证∠ADC＝∠ADE；而∠ADC是在四边形ABCD中，∠ADE是在△ADE中，且已知BC＋DE＝CD，AB＝AE，∠ABC＋∠AED＝180°，这时想到，连结AC，将四边形ABCD分成两个三角形，把△ABC绕A点旋转∠BAE的度数到△AEF的位置，这时可知D、E、F在同一直线上，且△ADC与△ADF是全等的，因此命题即可证得．
变形2 如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M 是 AB 延长线上一点， N 是 CA 延长线上一点，且∠MDN＝60°．试探究 BM、MN、CN 之间的数量关系，并给出证明．
解：CN=MN+BM
证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，
在△MBD和△ECD中，
，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，
又∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）
=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，
∴∠MDN=∠EDN，
在△MND与△END中，
，
∴△MND≌△END（SAS），
∴MN=NE，
∴CN=NE+CE=MN+BM．
变形3、如图①△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N，连接MN．
（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．
（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．
（3）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，在图②中画出图形，并说出BM、MN、NC之间的关系．
分析：（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到相等的线段MD=DE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而等量代换得到MN=BM+NC；
（2）利用（1）中结论，将△AMN的周长转化为AB、AC的和来解答；
（3）按要求作出图形，BM、MN、NC之间的关系是MN=NC-BM，理由为：先证△BMD≌△CED，再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得证．
解：（1）MN=BM+NC，理由如下：
延长AC至E，使得CE=BM（或延长AB至E，使得BE=CN），并连接DE，如图1所示：
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD与△ECD中，
BD=CD
∠MBD=∠ECD
CE=BM
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，
∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠BDM+∠CDN=60°，
∴∠CDE+∠CDN=60°，即∠EDN=60°，
∴∠EDN=∠MDN，
在△DMN和△DEN中，
ND=ND
∠EDN=∠MDN
MD=ED
，∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN=EN=NC+CE=BM+NC；
（2）利用（1）中的结论得出：
△AMN的周长=AM+MN+AN
AB--BM+MN+AC--NC
=AB--CE+NE+AC--NC
AB+AC=2+2=4；
（3）按要求作出图形，如图2所示，
（1）中结论不成立，应为MN=NC-BM，理由如下：
在CA上截取CE=BM，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
又∵CE=BM，BD=CD，
在△BMD和△CED中，
∵CE=BM ∠MBD=ECD=90° BD=CD，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴DE=DM，
在△MDN和△EDN中，
∵ND=ND ∠EDN=∠MDN MD=ED ，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC-CE=NC-BM．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质；此题从不同角度考查了作相等线段构造全等三角形的能力，要充分利用等边三角形及等腰三角形的性质，转换各相等线段解答．
变形4、操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．
探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分．
AN=NC（如图②）；②DM∥AC（如图③）．
附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC 之间
的关系，在图④中画出图形，并说明理由．
解：（1）BM+CN=MN
证明：如图，延长AC至M1，使CM1=BM，连接DM1
由已知条件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°．
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1
∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1
∴∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠M1DC=120°．
又∵∠MDN=60°，
∴∠M1DN=∠MDN=60°．
∴△MDN≌△M1DN．
∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB．
（2）附加题：CN-BM=MN
证明：如图，在CN上截取CM1，使CM1=BM，连接MN，DM1
∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠DBM=∠DCM1=90°．
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1
∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1
∵∠BDM+∠BDN=60°，
∴∠CDM1+∠BDN=60°．
∴∠NDM1=∠BDC-（∠M1DC+∠BDN）=120°-60°=60°．
∴∠M1DN=∠MDN．
∵ND=ND，
∴△MDN≌△M1DN．
∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB．
分析：根据已知先证明Rt△BDM≌Rt△CDM1从而得到BM=CM1，然后再证明△MDN≌△M1DN，从而推出MN=NM1=NC-CM1=NC-MB．
在证明时，需添加辅助线，采用“截长补短”法，借助三角形全等进行证明．
点评：此题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质及三角形全等的判定等知识；正确作出辅助线是解答本题的关键．该题是一个纯图形探索证明题，注意培养自己的探索精神和钻研精神．
例题 4. 在四边形 ABDE 中，C 是 BD 边的中点．
（1）如图（1），若 AC 平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段 AE、AB、DE 的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）
（2）如图（2），AC 平分∠BAE，EC 平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段 AB、BD、DE、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若 ACE＝135°，求线段 AE 长度的最大值．
分析（1）在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论；
（2）在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG=12BD，进而得出结论；
（3）在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．可以求得CF=CG，△CFG是等腰直角三角形，由勾股定理求出FG的值就可以得出结论．
解：（1）AE=AB+DE；
理由：在AE上取一点F，使AF=AB．如图1
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
∵AB=AF∠BAC=∠FACAC=AC，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．
∵C是BD边的中点．
∴BC=CD，
∴CF=CD．
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°
∴∠ECF=∠ECD．
在△CEF和△CED中，
∵CF=CD∠ECF=∠ECDCE=CE，
∴△CEF≌△CED（SAS），
∴EF=ED．
∵AE=AF+EF，
∴AE=AB+DE，
故答案为：AE=AB+DE；
（2）如图（2），AC 平分∠BAE，EC 平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段 AB、BD、DE、
AE 的长 度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（2）猜想：AE=AB+DE+21BD ． 证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF=AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG=ED ，连结CG ． ∵C 是BD 边的中点，
∴CB=CD=21
BD ．
∵AC 平分∠BAE ，
∴∠BAC=∠FAC ．
在△ACB 和△ACF 中，
∵AB=AF ∠BAC=∠FACAC=AC ，
∴△ACB ≌△ACF （SAS ），
∴CF=CB ，
∴∠BCA=∠FCA ．
同理可证：CD=CG ，∴∠DCE=∠GCE ．
∵CB=CD ，∴CG=CF
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．
∴∠FCA+∠GCE=60°．
∴∠FCG=60°．
∴△FGC 是等边三角形．
∴FG=FC=21
BD ．
∵AE=AF+EG+FG ．
∴AE=AB+DE+21
BD ．
（3）如图（3），BD ＝8，AB ＝2，DE ＝8，若 ACE ＝135°，求线段 AE 长度的最大值．
（3）如图（3），在AE 上取点F ，使AF=AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG=ED ，连结CG ． ∵C 是BD 边的中点，
∴CB=CD=21
BD ．
∵AC 平分∠BAE ，
∴∠BAC=∠FAC ．
在△ACB 和△ACF 中，
∵AB=AF ∠BAC=∠FACAC=AC ，
∴△ACB ≌△ACF （SAS ），
∴CF=CB ，∴∠BCA=∠FCA ．
同理可证：CD=CG ，∴∠DCE=∠GCE ．
∵CB=CD ，∴CG=CF
∵∠ACE=135°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-135°=45°．
∴∠FCA+∠GCE=45°．
∴∠FCG=90°．
∴△FGC 是等腰直角三角形．
∴FC=21
BD ．
∵BD=8，
∴FC=4，
∴FG=42．
∵AE=AF+FG+GE ，
∴AE=AB+42+DE ．
∵AB=2，DE=8，
∴AE=AF+FG+EG=10+42．
点评 本题考查了和四边形有关的综合性题目，用到的知识点有：角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．
例题 5.在△ABC 中，∠BAC ＝90°．
（1）如图 1，直线 l 是 BC 的垂直平分线，请在图 1 中画出点 A 关于直线 l 的对称点 A ′，连接 A ′C ， A ′B ，A ′C 与 AB 交于点 E ；
（2）将图 1 中的直线 A ′B 沿着 EC 方向平移，与直线 EC 交于点 D ，与直线 BC 交于点 F ，过点 F 作 直线 AB 的垂线，垂足为点 H ．
①如图 2，若点 D 在线段 EC 上，请猜想线段 FH ，DF ，AC 之间的数量关系，并证明； ②若点 D 在线段 EC 的延长线上，直接写出线段 FH ，DF ，AC 之间的数量关系．
分析 （1）根据轴对称的性质画出即可；
（2）过点F 作FG ⊥CA 于点G ，求出四边形HFGA 为矩形．推出FH=AG ，FG ∥AB 求出∠GFC=∠EBC ，根据线段垂直平分线的性质得出BE=EC ，求出∠ECB=∠EBC=∠GFC ，∠FDC=∠A=90°，∠FDC=∠FGC=90°，根据AAS 推出△FGC ≌△CDF ，推出CG=FD 即可；
（3）过F 作FH ⊥BA 于H ，过点C 作CG ⊥FH 于G ，求出四边形ACGH 为矩形．推出AC=GH ，CG ∥AB ，证△FGC ≌△CDF ，根据全等三角形的性质得出FG=FD ，即可得出答案． 解：（1）如图：；（2）①DF+FH=CA ，
①证明：过点F 作FG ⊥CA 于点G ，
∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，
∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，
∴四边形HFGA为矩形．
∴FH=AG，FG∥AB，
∴∠GFC=∠EBC，
∵直线l是BC的垂直平分线，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
由（1）和平移可知，
∠ECB=∠EBC=∠GFC，
∠FDC=∠A=90°，
∴∠FDC=∠FGC=90°．
在△FGC和△CDF中
∵∠GFC=∠DCF ∠FGC=∠CDF CF=CF
∴△FGC≌△CDF，
∴CG=FD，
∴DF+FH=GC+AG，
即DF+FH=AC；
②解：FH-DF=AC，
理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，
∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，
∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，
∴四边形ACGH为矩形．
∴AC=GH，CG∥AB，
∴∠GCF=∠EBC，
∵直线l是BC的垂直平分线，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，
∴∠GCF=∠FCD，
由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，
∴∠FDC=∠FGC=90°．
在△FGC和△CDF中
∵∠GFC=∠DCF ∠FGC=∠CDF CF=CF
∴△FGC≌△CDF，
∴FG=FD，
∵FH-FG=GH，
∴FH-DF=AC．
点评本题考查了平移的性质，线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，此题是一道综合性比较强的题目，难度偏大．
变形1 （1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD=∠ADC．
求证：AB+AC＞
已知：如图2，在△ABC中，AB上的高为CD，
试判断
)
(2
BC
AC
与
AB2+4CD2之间的大小关系，并证明你的结论．
分析：（1）连接BD，利用三角形三边关系可得AB+AD＞BD，再利用勾股定理和等量代换即可证明．
（2）如图，作EB⊥AB，EB=2CD，利用（1）的结论即可证明．
证明：（1）连接BD，
∵∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
∵AB+AD＞BD，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴BD=，
∴AB+AC＞；
（2）大小关系是（AC+BC）2＜AB2+4CD2，理由为：
如图，作EB⊥AB，EB=2CD，
∵AB+AC＞
（1）的结论；
两边平方得（AC+AB）2＞BC2+CD2，
∴（AC+BC）2＜AB2+4CD2．
点评：此题主要考查三角形三边关系和勾股定理等知识点，难易程度适中，是一道典型的题目．
例题 6. 如图 1，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，∠BAC 的平分线 AO 交 BC 于点 D，点 H 为AO 上一动点，过点 H 作直线 l⊥AO 于 H，分别交直线 AB、AC、BC、于点 N、E、M．（1）当直线 l 经过点 C 时（如图 2），求证：BN＝CD；
（2）当 M 是 BC 中点时，写出 CE 和 CD 之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出 BN、CE、CD 之间的等量关系．
解：（1 ）证明：连接ND ，
∵AO 平分∠BAC ，
∴∠1= ∠2 ，
∵直线l ⊥AO 于H ，
∴∠4= ∠5=90 °，
∴∠6= ∠7 ，
∴AN=AC ，
∴NH=CH ，
∴AH 是线段NC 的中垂线，
∴DN=DC ，
∴∠8= ∠9 ．
∴∠AND= ∠ACB ，
∵∠AND= ∠B+ ∠3 ，∠ACB=2 ∠B ，
∠B+ ∠3= ∠7+∠9=2 ∠B ∴∠B= ∠3 ，∴BN=DN ，
∴BN=DC ；
（2 ）如图，当M 是BC 中点时，
CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE 。

证明：过点C 作CN' ⊥AO 交AB 于N' ，
由（1 ）可得BN'=CD ，AN'=AC ，AN=AE ．
∴∠4= ∠3 ，NN'=CE ，
过点C 作CG ∥AB 交直线l 于G ，
∴∠4= ∠2 ，∠B= ∠1 ，
∴∠2= ∠3 ，
∴CG=CE ，
∵M 是BC 中点，
，
∴BM=CM ，
在△BNM 和△CGM 中，
∴△BNM ≌△CGM ，
∴BN=CG ，
∴BN=CE ，由（1 ）可得BN'=CD
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE ；
（3 ）BN 、CE 、CD 之间的等量关系：
当点M 在线段BC 上时，CD=BN+CE ；
当点M 在BC 的延长线上时，CD=BN-CE ；
当点M 在CB 的延长线上时，CD=CE-BN 。

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领悟
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1、如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，AD 是∠BAC 的平分线，且 AC＝AB+BD，
求∠ABC 的度数．
如图，在AC上截取AE=AB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△AED中，
AE＝AB
∠BAD＝∠CAD
AD＝AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴BD=DE，∠B=∠AED，
∵AC=AE+CE，AC=AB+BD，
∴CE=BD，
∴CE=DE，
∴∠C=∠CDE，
即∠B=2∠C，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴60°+2∠C+∠C=180°，
解得∠C=40°，
∴∠B=2×40°=80°．
点评：
本题考点：全等三角形的判定与性质．
2、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．
（1）若∠D=90°，CD=6，AD=12，AB=18，求AE的长．
（2）求证：AB=AF+CF
解：
过点E作EN⊥AD，则EN∥AB，
∵点E是BC中点，
∴EN是梯形ABCD的中位线，
∴EN=（CD+AB）=12，
在Rt△AEN中，AE==6；
（2）证明：延长AE交DF的延长线于点M，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠M，
在△ABE和△MCE中，，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴AB=MC，
∵∠BAE=∠EAF，
∴∠EAF=∠M．
∴MF=AF，
∵MC=MF+CF，
∴AB=AF+FC．
分析：（1）过点E作EM⊥AD，则可得EM是梯形ABCD的中位线，在RT△AEN中，利用勾股定理可求出AE的长；
（2）可延长AE、DF交于点M，不难证明△ABE≌△MCE，那么AB=CF，现在只要将AF也关联到三角形BEC中，我们发现，∠BAE=∠EAF，∠BAE=∠M（AB∥CD），那么三角形AMF就是个等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+FC．
点评：本题主要考查了直角梯形、全等三角形的判定和性质及勾股定理的知识．解答第一问的关键是过点E作AD的垂线，以便构造直角三角形；解答第二问的关键是作辅助线判断出△ABE≌△MCE．
3、（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD 的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．
AB、AD、DC之间的等量关系为AD=AB+DC；
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC 的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．
分析 （1）延长AE 交DC 的延长线于点F ，证明△AEB ≌△FEC ，根据全等三角形的性质得到AB=FC ，根据等腰三角形的判定得到DF=AD ，证明结论；
（2）延长AE 交DF 的延长线于点G ，利用同（1）相同的方法证明；
（3）延长AE 交CF 的延长线于点G ，根据相似三角形的判定定理得到△AEB ∽△GEC ，根据
相似三角形的性质得到AB=32CG ，计算即可．
解：（1）如图①，延长AE 交DC 的延长线于点F ，
∵AB ∥DC ，
∴∠BAF=∠F ，
∵E 是BC 的中点，
∴CE=BE ，
在△AEB 和△FEC 中，
∠BAF=∠F ∠AEB=∠FEC BE=CE ，
∴△AEB ≌△FEC ，
∴AB=FC ，
∵AE 是∠BAD 的平分线，
∴∠DAF=∠BAF ，
∴∠DAF=∠F ，
∴DF=AD ，
∴AD=DC+CF=DC+AB ，
故答案为：AD=AB+DC ；
（2）AB=AF+CF ，
证明：如图②，延长AE 交DF 的延长线于点G ，
∵E 是BC 的中点，
∴CE=BE ，
∵AB ∥DC ，
∴∠BAE=∠G ，
在△AEB 和△GEC 中，
∠BAE=∠G ∠AEB=∠GEC BE=CE ，
∴△AEB ≌△GEC ，
∴AB=GC ，
∵AE 是∠BAF 的平分线，
∴∠BAG=∠FAG ，
∵AB ∥CD ，
∴∠BAG=∠G ，
∴∠FAG=∠G ，
∴FA=FG ，
∴AB=CG=AF+CF ；
（3）AB=32
（CF+DF ），
证明：如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，
∵AB ∥CF ，
∴△AEB ∽△GEC ，
，即AB=32CG ， ∵AB ∥CF ，
∴∠A=∠G ，
∵∠EDF=∠BAE ，
∴∠FDG=∠G ，
∴FD=FG ，
∴AB=32CG=32
（CF+DF ）．
点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助性、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．
4、如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接AE 、F 为CD 边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE ．
（1）若∠D=110°，∠DAF=25°，求∠FAE 的度数．
（2）求证：AF=CD+CF ．
分析 （1）根据平行四边形的性质、平行线的性质证得∠DFA=∠FAB=40°；然后结合已知条件∠DFA=2∠BAE 求得∠FAE=∠BAE ，从而求得∠FAE 的度数；
（2）在AF 上截取AG=AB ，连接EG ，CG ．利用全等三角形的判定定理SAS 证得△AEG ≌△AEB ，由全等三角形的对应角相等、对应边相等知EG=BE ，∠B=∠AGE ；然后由中点E 的性质平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质求得CF=FG ；最后根据线段间的和差关系证得结论．
（1）解：∵∠D=110°，∠DAF=25°，
∴∠DFA=180°-∠D-∠DAF=45°（三角形内角和定理）．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AB=CD （平行四边形对边平行且相等）．
∴∠DFA=∠FAB=45°（两直线平行，内错角相等）；
∵∠DFA=2∠BAE （已知），
∴∠FAB=2∠BAE （等量代换）．
即∠FAE+∠BAE=2∠BAE ．
∴∠FAE=∠BAE ；
∴2∠FAE=45°，
∴∠FAE=22.5°；
（2）证明：在AF 上截取AG=AB ，连接EG ，CG ．
∵∠FAE=∠BAE，AE=AE，
∴△AEG≌△AEB．
∴EG=BE，∠B=∠AGE；
又∵E为BC中点，
∴CE=BE．
∴EG=EC，
∴∠EGC=∠ECG；
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°．
又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B，
∴∠BCF=∠EGF；
又∵∠EGC=∠ECG，
∴∠FGC=∠FCG，
∴FG=FC；
又∵AG=AB，AB=CD，
∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC．
点评本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等．其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件．
5、操作：如图1，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图1画出一对以点O为对称中心的全等三角形．
探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、
FC之间的等量关系，并证明你的结论．
分析：（1）根据全等三角形的判定中的边角边为作图的理论依据，来画出全等三角形．（2）本题可通过作辅助线将AB，FC，AF构建到一个相关联的三角形中，可延长AE、DF交于点M，不难证明△ABE≌△MCE，那么AB=CF，现在只要将AF也关联到三角形BEC中，我们发现，∠BAE=∠EAF，∠BAE=∠M（AB∥CD），那么三角形AMF就是个等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+FC．
解：（1）在直线PQ上，取线段OE=OF，OM=ON，∠MOE=∠NOF，如下所示：
则△MOE≌△NOF．
（2）结论：AB=AF+FC；
证明过程，具体如下：
证明：延长AE交DF的延长线于点M，
∵E为BC的中点，∴BE=CE，
∵AB∥CD，∴∠BAE=∠M，
∵∠AEB=∠MEC，∴△ABE≌△MCE，
∴AB=MC，
∵∠BAE=∠EAF，∴∠EAF=∠M．
∴MF=AF，
∵MC=MF+CF，∴AB=AF+FC．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质的知识点．题中作图的理论依据是全等三角形的判定中的边角边．
6、操作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形．
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：
探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC 的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；
探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF ∥AB．若AB=5，CF=1，求DF的长度．
解：（1）如图
（2）结论：AB=AF+CF．
证明：分别延长AE、DF交于点M．
∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠M，
在△ABE与△MCE中，
∵，
∴△ABE≌△MCE（AAS），
∴AB=MC，
又∵∠BAE=∠EAF，
∴∠M=∠EAF，
∴MF=AF，
又∵MC=MF+CF，
∴AB=AF+CF；
（3）分别延长DE、CF交于点G．
∵AB∥CF，
∴∠B=∠C，∠BAE=∠G，
∴△ABE∽△GCE，
∴，
又∵，
∴，
∵AB=5，
∴GC=10，
∵FC=1，
∴GF=9，
∵AB∥CF，
∴∠BAE=∠G，
又∵∠BAE=∠EDF，
∴∠G=∠EDF，
∴GF=DF，
∴DF=9．
分析：（1）根据全等三角形的判定中的边角边为作图的理论依据，来画出全等三角形．（2）本题可通过作辅助线将AB，FC，AF构建到一个相关联的三角形中，可延长AE、DF交于点M，不难证明△ABE≌△MCE，那么AB=CF，现在只要将AF也关联到三角形BEC中，我们发现，∠BAE=∠EAF，∠BAE=∠M（AB∥CD），那么三角形AMF就是个等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+FC；
（3）本题的作法与（2）类似，延长DE、CF交于点G，不难得出△ABE∽△GCE，
可根据线段的比例关系和AB的值得到CG的值，然后就能得出FG的值，同（2）可得出△DFG 是等腰三角形，那么DF=GF，这样就求出DF的值了．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质的知识点．题中作图的理论依据是全等三角形的判定中的边角边．
7、如图①，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，可证△PMO≌△QNO．根据上述结论完成下列探究活动：
探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC 的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF ∥AB．若AB=4，CF=2，求DF的长度．
解：（1）AB=AF+CF．
如图2，分别延长DC、AE，交于G点，
根据图①得△ABE≌△GCE，
∴AB=CG，
又AB∥DC，
∴∠BAE=∠G
而∠BAE=∠EAF，
∴∠G=∠EAF，
∴AF=GF，
∴AB=CG=GF+CF=AF+CF；
（2）如图3，分别延长CF、AE，交于G点，
根据CF∥AB得△ABE∽△GCE，
∴AB：CG=BE：CE，
而BE：EC=1：2，AB=4，
∴CG=8，
又AB∥FC，
∴∠BAE=∠G，
而∠BAE=∠EDF，
∴∠G=∠EDF，
∴DF=GF，
而CF=2，
∴DF=CG-CF=8-2=6．
分析：（1）如图2，分别延长DC、AE，交于G点，根据已知条件可以得到△ABE≌△GCE，由此得到AB=CG，又AB∥DC，∠BAE=∠EAF，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理可以证明AF=GF，利用这些即可证明题目的结论；
（2）如图3，分别延长CF、AE，交于G点，根据已知条件可以得到△ABE∽△GCE，由此得到AB：CG=BE：CE，由此可以求出CG，又AB∥FC，∠BAE=∠EAF，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理可以证明DF=GF，然后利用已知条件和这些即可解决问题．
点评：此题主要考查了全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，此题是探究题目，首先正确理解给出的基本图形的隐含结论，然后结合要探究的图形作辅助线把探究的问题转换为已知的问题解决即可
8、如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．
（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；
（2）求证：AE+BF=AF．
分析（1）由正方形ABCD的边长为4，在Rt△ABF中，由AB=2FB，即可求得BF的长，然后由勾股定理求得AF的长，又由AG=AD，即可求得FG的长；
（2）先在BC上截取BM=AE，然后证得△AGE≌△BAM，由全等三角形的对应角相等、同角的余角相等，即可求得∠FAM=∠AMB，进而得出AE+BF=AF．
解答解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴∠ABF=90°，AB=AD=4，
∵在Rt△ABF中，AB=2FB，
∴FB=21×4=2，
∴AF=
∵AG=AD=4，
∴FG=AF-AG=25--4；
（2）证明：在BC 上截取BM=AE ，连接AM ，
∵AG=AD ，AB=AD ，
∴AG=AB ，
∵AE ⊥AF ，
∴∠EAG=∠ABM=90°，
在△AGE 和△BAM 中，
AG=BA ∠GAE=∠ABM AE=BM
∴△AGE ≌△BAM （SAS ），
∴∠AMB=∠AEG ，∠BAM=∠AGD ，
∵AG=AD ，
∴∠AGD=∠ADG ，
∴∠BAM=∠ADG ，
∵∠BAD=90°，
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠FAB=∠EAD ，
∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠FAB+∠BAM=∠FAM ，
∴∠FAM=∠AMB ，
∴AF=FM=BF+BM=BF+AE ．
点评 此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解题时注意掌握辅助线的作法，构造全等三角形是解决问题的关键．
9、如图，在四边形 ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°，连接 AC ，BD 交于点 E ．
（1）若 BC ＝CD ＝2，M 为线段 AC 上一点，且 AM ：CM ＝1：2，连接 BM ，求点 C 到 BM 的距离．
（2）证明：BC+CD ＝AC ．
考点：等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理
专题：压轴题
分析：（1）由条件可以证明△ABC ≌△ADC ，可以得出∠BAC=∠DAC=30°，∠ACB=∠ACD=60°，∠AEB=90°，求出∠ABC=90°，由勾股定理可以求出AC=4，AB=23，由AM ：CM=1：2可以
求得AM 、CM 的值，在Rt △BEC 中由勾股定理可以求出CE 、BE 的值，从而求出BM 的值，过点C 作CF ⊥MB 于F ，利用三角形的面积相等建立等量关系就可以求出结论．
（2）（1）要证BC+DC=AC ，延长BC 到E ，使CE=CD ，则求AC=BE 即可．由AB=AD ，∠ABD=60°，得△ABD 是等边三角形，进而得∠ADB=60°，AD=BD ，又有，∠BCD=120°，则△DCE 是等边三角形，所以得△ACD ≌△BDE ，则AC=BE=BC+CD ．
解：（1）∵AB=AD ，∠BAD=60°，
∴△ABD 是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°．
∵BC=CD ，
∴△ABC ≌△ADC ，
∴∠BAC=∠DAC=30°，∠ACB=∠ACD=60°．
∴∠AEB=∠BEC=90°，∠ABC=90°，
∴CE=21BC=1，BE=3，AC=2BC=4．
∵AM ：CM=1：2，
∴AM=34，CM=38
，
∴EM=35
，在Rt △BEM 中由勾股定理得
BM=
过点C 作CF ⊥BM 于点F ． ∴．
∴CF= 即点C 到BM 的距离
（2）证明：延长BC 到点F ，使CF=CB ，连接DF ，
∵AB=AD ，∠ABD=60°，
∴△ABD 是等边三角形，
∴∠ADB=60°，AD=BD ，
∴BC=CD ，
∴CF=CD ．
∵∠BCD=120°，
∴∠DCF=180°-∠BCD=60°，
∴△DCF 是等边三角形，
∴∠CDF=∠ADB=60°，DC=DF，
∴∠ADC=∠BDF，
又∵AD=BD，
∴△ACD≌△BDF，
∴AC=BF=BC+CF，
即AC=BC+CD．
点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用．
/10、如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．
（1）若AE=2，求EF的长；
（2）求证：PF=EP+EB．
【答案】分析：（1）如图由他就可以得出∠EAF=∠DAB=90°，AB=AD，可以得出∠1=∠2，由对顶角可以得出∠5=∠6，从而可以证明△AEB≌△AFD，可以求得AE=AF，再利用勾股定理就可以求出EF的值．
（2）如图，过点A作AM⊥EF于M，由（1）可知△AEF是等腰直角三角形，可以得出∠AME=90°，由已知可以证明△BEP≌△AMP，可以得出BE=AM，EP=MP，进而求出结论．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且BE⊥DP，AF⊥AE，
∴AB=AD，∠BAD=∠EAF=∠BEF=90°，
∴∠1+∠FAB=∠2+∠FAB=90°，
∴∠1=∠2．
∵∠3+∠5=∠4+∠6，且∠5=∠6，
∴∠3=∠4．
在△AEB和△AFD中，
∵，
∴△AEB≌△AFD，
∴AE=AF=2，
在Rt△EAF中，由勾股定理，得
EF==2．
（2）过点A作AM⊥EF于M，且∠EAF=90°，AE=AF，
∴△EAF为等腰直角三角形．
∴AM=MF=EM．∠AME=∠BEF=90°．。