人教版初中数学第二十一章一元二次方程知识点

第二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
1、一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数〔一元〕，并且未知数的最高次数是2〔二次〕的方程。

形如：()2
00ax bx c a ++=≠ 例1．关于x 的方程(m －4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.
【答案】≠4，=4
【解析】
试题分析：根据一元二次方程、一元一次方程的定义即可求得结果.
由题意得当m≠4时，是一元二次方程，当m=4时，是一元一次方程.
考点：一元二次方程，一元一次方程
点评：熟练掌握各种方程的根本特征是学好数学的根底，很重要，但此类问题往往知识点比拟独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于根底题，难度一般.
例2．关于x 的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.
【答案】m≠-1且m≠2
【解析】
试题分析：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0〔a≠0〕，由a≠0即可得到m2-m-2≠0，从而得到结果。

由题意得m2-m-2≠0，解得m≠-1且m≠2.
考点：此题考查的是一元二次方程成立的条件
点评：解答此题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0〔a≠0〕，尤其注意a≠0.
2、a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项
3、使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。

例1．一元二次方程3x2-6x+1=0中，二次项系数、一次项系数及常数项分别是 〔 〕
A ．3，-6，1
B ．3，6，1
C ．3x2,6x ，1
D ．3x2,-6x ，1
【答案】A
【解析】
试题解析：3x2-6x+1=0的二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是1．
应选A ．
考点：一元二次方程的一般形式．
例2．假设关于x 的方程0142=--x ax 是一元二次方程，那么a 满足的条件是〔 〕
A ．a ＞0
B ．0≠a
C ．0<a
D ．4≠a
【答案】B
【解析】
试题分析：此题考查了一元二次方程的定义，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0〔a b c 都是常数，且a ≠0〕．根据一元二次方程的定义得出a ≠0即可．
考点：一元二次方程的定义．
例3．请你写出一个有一根为1的一元二次方程____________________．
【答案】〔x+1〕〔x －1〕=0〔不唯一〕
【解析】
试题分析：此题利用因式分解法，保证其中有一个解为x=1就可以．
考点：一元二次方程的解．
例4．关于x 的方程053)2(2=-+-x x m 是一元二次方程，那么m 的取值范围是 ．
【答案】m ≠2．
【解析】
试题解析：由一元二次方程的定义可得m-2≠0，解得m ≠2．
考点：一元二次方程的定义．
例5．关于x 的方程221(1)50a a a x
x --++-=是一元二次方程，那么a=_________．
【答案】3．
【解析】
试题分析：221(1)a a a x --+是方程二次项，即221210a a a ⎧--=⎨+≠⎩，解得：a=3．故答案为：3．
考点：一元二次方程的定义．
21.2解一元二次方程
21.2.1 配方法
配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。

例1．用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣4=0，以下变形正确的选项是〔 〕
A ．〔x ﹣6〕2=﹣4+36
B ．〔x ﹣6〕2=4+36
C ．〔x ﹣3〕2=﹣4+9
D ．〔x ﹣3〕2=4+9
【答案】D
【解析】
试题分析：此题考查了利用配方法解一元二次方程，一般步骤：
第一步：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
第二步：方程两边同时除以二次项系数；
第三步：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为〔x±m 〕2=n 的形式；
第四步：用直接开平方解变形后的方程．
解：x 2﹣6x ﹣4=0，
移项，得x 2﹣6x=4，
配方，得〔x ﹣3〕2=4+9．
应选：D ．
考点：解一元二次方程-配方法．
例2
．假设把代数式化为的形式，其中
【答案】-3
【解析】配方得=4)1(2--x ，所以m=1，k=-4，那么-3.
例3．用配方法解方程：01422=--x x
【答案】11x =+ 21x =- 223x x --2()x m k -+m k ，223x x --m k +=
【解析】 2122x x -= 23(1)2
x -= ∴
11x =+
21x =- 例4
．用配方法解方程
【答案】2694x x -+=
2(3)4x -=
32x -=±
15x =，21x =
【解析】利用配方法求解
21.2.2 公式法
1. 24b ac ∆=-
〔1〕120,x x ∆>==〔2〕120,2b x x a
∆===- 〔3〕0∆<，方程无实数根
求根公式：x =例1．一元二次方程2x 2+3x+1=0的根的情况是〔 〕
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定
【答案】A
【解析】
试题分析：根据一元二次方程的根的判别式，可由24b ac =-=9-8=1＞0，可知其有两个不相等的实数根．
应选A
考点：根的判别式
例2．方程x 2＋4x －2=0的根的情况是〔 〕
A ．两个不相等的实数根
B ．两个相等的实数根
0562=+-x x
C ．没有实数根
D ．无法确定
【答案】A
【解析】
试题分析：先进行判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． ∵2441(2)240=-⨯⨯-=>△，
∴方程有两个不相等的实数根．
应选答案：A
考点：根的判别式．
例3．假设关于x 的方程(m －1)x 2－2mx ＋(m ＋2)=0有两个不相等的实根，那么m 的取值范围是________．
【答案】m ＜2且m≠1．
【解析】
试题解析：根据题意列出方程组
()()()22412010
m m m m ---+⎧⎡⎤⎪⎣⎦⎪≠⎨-⎩＞ 解之得m ＜2且m≠1．
考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．
21.2.3 因式分解法
先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

韦达定理：1212,b c x x x x a a
+=-⋅= 例1．用因式分解法解方程9=x 2－2x+1
〔1〕移项得__________；
〔2〕方程左边化为两个平方差，右边为零得__________；
〔3〕将方程左边分解成两个一次因式之积得__________；
〔4〕分别解这两个一次方程得x 1=__________,x 2=__________.
【答案】9－(x 2－2x+1)=0，32－(x －1)2=0，(3－x+1)(3+x －1)=0，4，－2
【解析】
试题分析：根据因式分解法解方程的步骤依次分析即可得到结果.
用因式分解法解方程9=x 2－2x+1
〔1〕移项得9－(x 2－2x+1)=0；
〔2〕方程左边化为两个平方差，右边为零得32－(x －1)2=0；
〔3〕将方程左边分解成两个一次因式之积得(3－x+1)(3+x －1)=0；
〔4〕分别解这两个一次方程得x 1=4，x 2=－2.
考点：因式分解法解一元二次方程
点评：熟练掌握各种解方程的一般方法是学习数学的根底，因而此类问题在中考中比拟常见，常以填空题、选择题形式出现，属于根底题，难度一般.
例2
．用因式分解法解方程
【答案】(21)(3)0x x --=
112
x =，23x = 【解析】利用因式分解法求解。

例3．用因式分解法解方程：x 2；
【答案】x 1=x 2【解析】
试题分析：先根据完全平方公式分解因式，即可解出方程。

x 2
〔2=0
解得x 1=x 2
考点：此题考查的是解一元二次方程
点评：解答此题的关键是熟练掌握完全平方公式：.)(22
22b a b ab a ±=+± 21.3实际问题与一元二次方程
实际问题要符合实际，看方程的根符合实际吗？不符合要舍去
03722=+-x x
例1．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的选项是〔 〕
A ．100〔1+x 〕=121
B ．100〔1﹣x 〕=121
C ．100〔1+x 〕2=121
D ．100〔1﹣x 〕2=121
【答案】C
【解析】
试题解析：设平均每次提价的百分率为x ，
根据题意得：100〔1+x 〕2=121，
应选C ．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
例2．在一次学习交流会上，每两名学生握手一次，经统计共握手253次．假设设参加此会的学生为x 名，根据题意可列方程为 〔 〕
A ．253)1(=+x x
B ．253)1(=-x x
C ．253)1(2=-x x
D ．506)1(=-x x
【答案】D ．
【解析】
试题分析：参加此会的学生有x 名,那么每名同学需握手〔x-1〕次，x 名同学一共握手x 〔x-1〕次，而两名学生握手一次，所以应将重复的握手次数去掉，由此可列出方程
2
1x 〔x-1〕=253，即506)1(=-x x ，故答案选D ． 考点：一元二次方程的应用．
例3．某种 经过四、五月份连续两次降价，每部 由3200元降到2500元。

设平均每月降价的百分率为x ，那么根据题意列出的方程是〔 〕.
A 、 2500)1(32002=-x
B 、2500)1(32002=+x
C 、2500)21(3200=-x
D 、250032002=-x 【答案】A.
【解析】
试题分析：依题意得：两次降价后的售价为3200〔1-x 〕2=2500.
应选：A.
考点：由实际问题抽象出一元二次方程.
例4．某学校准备建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x 米，那么可列方程为：〔 〕
A 、x 〔x-10〕=200
B 、2x+2〔x-10〕=200
C 、x 〔x+10〕=200
D 、2x+2〔x+10〕=200
【答案】C
【解析】
试题分析：宽为x 米，那么长为〔x+1〕米.S=长×宽，即x 〔x+10〕=200.
考点：一元二次方程的应用.
例5．某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元售出时，每天可销售100件，如果每件提高1元，日销售量就要减少10件，假设使商场投资少，收益大，那么该商品的售出价格定为多少元时，才能使每天获得350元？
【答案】25元．
【解析】
试题分析：设售价定为每件x 元，由：利润=每件利润×销售量，列方程求解．
试题解析：解：设售价定为每件x 元，那么每件利润为〔x ﹣8〕元，销售量为[100﹣〔x ﹣10〕×10]，依题意，得〔x
﹣8〕[100﹣〔x ﹣10〕×10]=360，整理，得2281960x x -+=，解得12x x ==14．
答：他将售出价定为每件14元时，才能使每天所赚利润为360元．
考点：一元二次方程的应用．。