经典截长补短法巧解

经典截长补短法巧解

截长补短法

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。

截长补短法有多种方法。

截长法：

（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。……

补短法

（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……例：

B A

在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系

方法一（好想不好证）

B A

方法二（好证不好想）

M

B A

例题不详解。

（1）解：（简单思路）

F

E

延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得

∠ADG=∠ABF=90o

AD=AB

又DG=BF

所以∆ADG≅∆ABF（SAS）

∠GAD=∠FAB

AG=AF

由四边形ABCD是正方形得

∠DAB=90o=∠DAF+∠FAB

=∠DAF+∠GAD=∠GAF

所以∠GAE=∠GAF-∠EAF

=90o-45o=45o

∠GAE=∠FAE=45o

又AG=AF

AE=AE

所以∆EAG≅∆EAF（SAS）

EF=GE=GD+DE=BF+DE

变形a解：（简单思路）

EF= BF-DE 在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得

∠ADE=∠ABG=90o

AD=AB

又DE=BG

所以∆ADE≅∆ABG（SAS）

∠EAD=∠GAB

AE=AG

由四边形ABCD是正方形得

∠DAB=90o=∠DAG+∠GAB

=∠DAG+∠EAD=∠GAE

所以∠GAF=∠GAE-∠EAF

=90o-45o=45o

∠GAF=∠EAF=45o

又AG=AE

AF=AF

所以∆EAF≅∆GAF（SAS）

EF=GF=BF-BG=BF-DE

变形b解：（简单思路）

G

EF=DE-BF

在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得

∠ADG=∠ABF=90o

AD=AB

又DG=BF

所以∆ADG≅∆ABF（SAS）

∠GAD=∠FAB

AG=AF

由四边形ABCD 是正方形得

∠DAB=90o =∠DAG+∠GAB =∠BAF+∠GAB=∠GAF 所以∠GAE=∠GAF-∠EAF =90o -45o =45o

∠GAE=∠FAE=45o 又AG=AF AE=AE

所以∆EAG ≅∆EAF （SAS ） EF=EG=ED-GD=DE-BF

变形c 解：（简单思路）

G

F

E A

B

C D

EF=BE+FC

延长AC 到点G ，使得CG=BE ，连接DG 。 由∆ABC 是正三角形得

∠ABC=∠ACB=60o 又DB=DC ，∠BDC=120o 所以∠DBC=∠DCB=30o

∠DBE=∠ABC+∠DBC=60o +30o =90o ∠ACD=∠ACB+∠DCB=60o +30o =90o 所以∠GCD=180o -∠ACD=90o

∠DBE=∠DCG=90o 又DB=DC ，BE=CG

所以∆DBE ≅∆DCG （SAS ） ∠EDB=∠GDC DE=DG

又∠DBC=120o =∠EDB+∠EDC =∠GDC+∠EDC=∠EDG 所以∠GDF=∠EDG-∠EDF =120o -60o =60o

∠GDF=∠EDF=60o 又DG=DE

DF=DF

所以∆GDF ≅∆EDF （SAS ） EF=GF=CG+FC=BE+FC

变形d 解：（简单思路）

延长CD 到点G ，使得DG=BF ，连接AG 。 过E 作EH ⊥AG.前面如（1）所证， ∆ADG ≅∆ABF ，∆EAG ≅∆EAF

∠GAD=∠FAB=30o ，S ∆EAG=S ∆EAF 在Rt ∆ADG 中，∠GAD=30o ，AD=3

∠AGD=60o

，AG=2

设EH=x

在Rt ∆EGH 中和Rt ∆EHA 中

∠AGD=60

o

，∠HAE=45o

HG=3

3x ，AH=x

AG=2=HG+AH=3

3x+x,EH=x=3-3

S ∆EAF=S ∆EAG=EH ⨯AG ÷2=3-3.

（第5页题目答案见第

6页）

（2）

正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分∠DAC。

求证：AC/2=AD-EO （2）加强版

M

B

D C

A

正方形ABCD中，M在CD上，N在DA 延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE 平分∠DNM。

请问MN、AD、EF有什么数量关系？

（2）解：（简单思路）

过E作EG⊥AD于G

因为四边形ABCD是正方形

∠ADC=90o，BD平分∠ADC，AC⊥BD 所以∠ADB=∠ADC/2=45o

因为AE平分∠DAC，EO⊥AC，EG⊥AD 所以∠EAO=∠EAG，

∠DGE=∠AOE=∠AGE=90o又AE=AE，

所以∆AEO≅∆AEG（AAS）

所以AG=AO，EO=EG

又∠ADB=45o，∠DGE=90o

所以∆DGE为等腰直角三角形

DG=EG=EO

AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2

（2）加强版解：（简单思路）

M

B

D C

A

MN/2=AD-EF

过E作EG⊥AD于G，作EQ⊥AB于Q，过B做BP⊥MN于P

按照（2）的解法，可求证，

∆GNE≅∆FNE（AAS）

∆DGE为等腰直角三角形

AG=AD-DG=AD-EF，

因为四边形ABCD为正方形，

∠ABC=∠GAQ=∠BCM=90o

BD平分∠ABC，BC=BA

∠ABD=∠ABC/2=45o，又∠EQB=90o ∆EQB为等腰Rt三角形，∠BEQ=45o 因为∠GAQ=∠EGA=∠EQA=90o

所以四边形AGEQ为矩形，

EQ=AG=AD-EF，EQ//AG

∠QEN=∠ENG

又∠ENG=∠ENF，所以∠QEN=∠ENF 由BC=BA，∠BCM=∠BAN=90o，CM=AN，所以∆BCM≅∆BAN（SAS）

BM=BN，∠CBM=∠ABN

∠ABC=90o=∠ABM+∠CBM

=∠ABM+∠ABN=∠MBN，又BM=BN

所以∆MBN为等腰Rt三角形，

又BP⊥斜边MN于P，

所以∆NPB为等腰Rt三角形。

BP=MN/2，∠PNB=45o。

∠BNE=∠ENF+∠PNB

∠BEN=∠QEN+∠QEB