7 换面法

空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影
的夹角才反映实大（60°），因此需将AB与C点所确定的 平面变换成投影面平行面。 ● 作 图： c 几个解？ 两个解！ a ● 2 a d b
X
V H
a
●
d● c
b
b2●
. .
d2
●
60°
●
D点的投影 如何返回？ c2 如何解？
a'1b'1
以自学。
d
作图过程
a
1
k 2
c X 所求距离 c
b
e O
b
1 k 2 e d
a
四、换面法的应用
例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。 空间及投影分析： 作图:
求C点到直线AB的距离， c 就是求垂线CD的实长。 如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平 行于投影面，其投影反映 实长。
X2 V1 H2 22 d2 21' d1' 11'
c2 12
a2b2
求交叉直线AB和CD的公垂线。
d
b c X a b a O
d
c
分析
D
F H
K
B
E
A
L C
P
过一条直线CD作平面P平行于另一条直线AB，再过点A作平 面P的垂线AH，求出垂足点E；在平面P上过点E作直线EF∥AB与 直线CD交于点K；过点K作直线KL ∥AH交AB于L点，KL即为所求 的公垂线。
A B D
c
d
a
正平线！
b H
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
b a
V X H d
c b c
H X 1 P1
a
d
.
作 图 过 程： ★ 在平面内取一条水平 线AD。 ★ 将AD变换成新投影 面的垂直线。
● ●
α c1 a1 d1 b1
●
反映平面对哪 个投影面的夹角？
4. 把一般位置平面变换成投影面平行面
V A
b
B
b1
X
V
H
a b
H
P1
.
a
X1
b H
b1
●

a1
●
换H面行吗？ 不行！
新投影轴的位置？
与ab平行。
2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线；
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2
作图：
b
V H
V
b P2
a2b2

ax2 b1
P1
AD C B abd P X
b a d b a
.
V H
c d
距离
H X1 V 1
. a1' d1'

b b1'. a2 2d2
c2
c
如何确定d1 c1 ' 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
V1 H2 X2
例2.
求两直线AB与CD的公垂线 。
b' 1' 2'
1 2 c1'
在平面内取一条 一般位置直线变换 V 投影面平行线，经一 成投影面垂直线，需经 次换面后变换成新投 几次变换？ 影面的垂直线，则该 平面变换，能否只进 a 平面变成新投影面的 行一次？ 垂直面。 X 思考： 若变换H面，需在面 内取什么位置直线？ c
C
P1 c1 a1 d1 b1
X1
d b
空间分析：
需经几次变换？ 一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。 AB是水平 c 作 图： 线 a2 ● a b
X V H
a
●
. b . a1 b1
b2●
●
c2
c
H P1 X1
平面的实形
c1
●
X2轴的位置？ 与其平行
四、换面法的应用
作图过程 h
3
1 a
d
k
g
c X
e 4
2
f
b
l l O
a 3
b d
2 f
g
4 h c
e 1
k
例2.
求两直线AB与CD的公垂线 。
b' 1' 2'
1 2 c1'
X2 V1 H2 22 d2 21' d1' 11'
c2 12
a2b2
例3: 过C点作直线CD与AB相交成60º 角。
三、换面法的四个基本作图
1. 把一般位置直线变为投影面平行线
2. 把一般位置直线变为投影面垂直线 3. 把一般位置平面变为投影面垂直面 4. 把一般位置平面变为投影面平行面
与直角三角形法结果是否一致？ 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析： 用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。 a 作图：b P1 a a1

b b1'. a2 2d2
c2
c
如何确定d1 c1 ' 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
V1 H2 X2
求点C到直线AB的距离。 a
c X c
b O
b
a
分析
A
K C
P
B 过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直的平 面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与AB的交 点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。
换面法的四个基本问题：
1. 把一般位置直线变成投影面平行线 变换一次投影面 2. 把一般位置直线变成投影面垂直线 变换两次投影面 3. 把一般位置平面变成投影面垂直面 变换一次投影面 需先在面内作一条投影面平行线
4. 把一般位置平面变成投影面平行面 变换两次投影面
四、解题时一般要注意下面几个问题： ⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体 与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几 何元素（点、线、面等）。 ⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新 投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行）， 据此选择正确的解题思路与方法。 ⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变 换前后的关系， 既要在新投影体系中正确无误地 求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。 4. 涉及直线与平面垂直、两平面垂直问题，不要求掌握，可
●
解法相同！ 思考： 已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上， 求等边三角形的投影。
H V 1 X1
H2 c1 ' V1 X 2
●
例4 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 a2
15
b2 d2 e1
e2 c2
e
d
e
d
小 结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。
1.点的一次变换
V1 a1’
X1
a1’Leabharlann 1. 变换V面点的变换规律
1）点的新投影和保留旧投影的连线垂直于新轴。 2）点的新投影到新轴的距离等于点的旧投影到旧轴的 距离。
a’
X a1’
V H
a
2. 点的两次变换
新与旧是相对的 a'
旧
水平书写好
不变 a2 X2 旧 不变 X2 新 V1 H2
a2
新
每后一次变换把前次变换 的结果作为旧体系。
投影变换——换面法
一、投影变换及换面法的基本概念
二、点的换面作图规则
三、换面法的四个基本作图 四、应用及举例
求解距离、实形、夹角、交点的投影分析
b’ a’
c’ b’
a’
c’ b’ a’ d’ d c
c’ d’
a’
a b c
b’
c d b
a
b
a
两平面夹角
b
a
两点之间距离
三角形实形
直线 与平面的交点
一. 换面法的基本概念
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。 二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。 三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。 空间及投影分析： 作图:
求C点到直线AB的距离， c 就是求垂线CD的实长。 如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平 行于投影面，其投影反映 实长。
AD C B abd P X
b a d b a
.
V H
c d
距离
H X1 V 1
. a1' d1'
旧面
新面 V1 新轴 a1' b1' a1' 旧轴 X1 不变面 X1 c1'
c1 ' b1'
V/H 体系变为V1/H 体系
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面 来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利 解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
二、点的换面及规律
1、新投影面的选择 在进行投影变换时，新投影面是不能任意选 择的，首先要使空间几何元素在新投影面上的 投影能够帮助我们更方便地解决问题。并且新 投影面必须要和不变的投影面构成一个直角两 面体系，这样才能应用正投影原理作出新的投 影图来。因而新投影面的选择必须符合以下两 个基本条件： • （1）新投影面必须垂直于原投影面体系中的一 个不变的投影面。 • （2）新投影面必须使空间几何元素处于有利于 解题的位置。
a b a
.
a
b X
B A
a1
X
a H
H1 X1 P1a1● X1
●
b1 a2b2
与a1 b1 垂直
X2轴的位置？
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析： 两平面垂直需满足什么条件？ 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 作图方法：