1-1 质点运动的描述jm

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l
A
x y l
2 2
2
o
v
x
dy x dx dx dy 即 2x 2 y 0 dt y dt dt dt x dx vB vtan j v t an y dt 当 60 时, vB = 1.73 v vB 沿 y 轴正向
速 率
y 2 - t , vy dy/dt 2t v vxi v y j 2 i 2t j
2
例1
r (t ) x(t )i y(t ) j
x(t ) 1.0t 2.0,
2
设质点的运动方程为
其中
y(t ) 0.25t 2.0,
v vB v A
2 (瞬时)加速度 2 d dr d r v dv ( ) 2 a lim dt dt dt t 0 t dt
v vxi v y j vzk
y
vA
A
B
vB
dv x dv y dv z a i j k dt dt dt a axi ay j az k
d ( 2t ) d ( 2 t 2 ) v i j 2 i 2t j dt dt
2 1 t
2
2
v2 2 1 2 4.47m / s
例:已知:运动方程 x 2t 求: 速度
y 2 t 参数方程
2
解: x 2t, vx dx/dt 2
dx ( vx dt
dy vy dt
dz vz dt
)
2 例:已知:运动方程 r 2t i (2 t ) j (SI )
求:
解: dr dx dy v i j dt dt dt
2秒末速度的大小
vx 2 vy 2t
v
2 vx 2 vy
消去参数 t 可得轨迹方程为
y 0.25x x 3.0
2
轨迹图 t 4s
y/m
6
t 4s
t 2s
顶点
y 0.5x 1 0
x/m
t 2s 4
2 -6 -4 -2 0
t0
2 4
6
x2 y2
例2 如图A、B y x t an 两物体由一长为 l 的 B y 刚性细杆相连,A、B l y A 两物体可在光滑轨道 x 上滑行.如物体 A以 o x v 恒定的速率 v 向左滑 行, 当 60时, 物体B的速率为多少?
dx vx dt
dy vy dt
y
vx i v y j v x v y
坐标分量 (投影) 代数量
o
r( t )
v vy y j v v x vxi
x
坐标分 矢量
dr 2 大小:v v vx v 2 y dt vy 方向 ( v 与x轴的夹角): tan vx
y
r (t t)
B
r
A
在直角系下 r xi yj x i y j v i v j v x y
t t
o
r (t)
x
r 平均速度 v t 2 瞬时速度(速度): 当△t
趋于0时, 平均速度的极限值。
r
B
rB
xB x A
yB y A
o
x
r ( xB xA )i ( yB yA ) j (zB zA )k
位移与路程的区别
路程: s AB 是标量,是
y
A r
s
B
质点经过的实际路径的
长度,与质点的运动轨
r (t1 ) r (t ) 2
式中x,y的单位为m(米), t的单位为s(秒),
(1)求 t 3 s 时的速度. (2)作出质点的运动轨迹图.
解 (1) 由题意
x(t ) 1.0t 2.0,
y(t ) 0.25t 2.0,
2
参数方程
v vxi vy j 1.0i 0.5t j t 3s 时速度为 v 1.0i 1.5 j
dr dr v dt r r dt
dr dx d y v i j dt d t dt

加速度
y
A
O
vA
B
vB
反映速度大小和方 向变化快慢的物理量 1 平均加速度
x
vA
v a t v a 与 同方向
v
vB
描述质点位置变动的大小和方向 定义:质点沿曲线运动 t 时刻:A, rA t t 时刻: B, rB
B
A △r rB
t 时间内位置变化的净效果: AB rB rA r
位移 末 矢量 位 矢
rA
O
初 位矢 位 矢 增量
位移矢量 r r2 r 1
XDYD
一 参考系 质点 2 质点: ——理想模型
当物体的大小和形状可以忽略不计时, 可将物体抽象为一个具有质量,但无形 状大小的“点”。
物体能否抽象为质点,视具体情况而定.
如:地球公转—质点
地球
太阳
地球自转—则不能
又如:物体平动(如: 直线 运动)可视为质点。
3 质点系:质点的集合。 离散质点的集合,连续质点的集合。 地球自转——质点系
dv x ax dt
ay dvy dt
O
x v a t
dv z az dt
dv x dv y dv z a i j k dt dt dt a axi ay j az k
加速度大小
位移 r 在直角坐标中的表达式
r rB rA rA x Ai y A j , rB xB i yB j , r ( xB xA )i ( yB y A ) j
三维运动: 平面运动:
y
rA
A
dy vy j dt
百度文库dx vx i dt
dr 由 v : dt d x d y dz z v i j k dt dt dt
r x (t ) i y (t ) j Z (t ) k
三维运动:
y
r
O
x
v xi v y j vz k
2
质点的运动方程:
r r (t )
y
y (t )
在直角坐标系:
r x (t ) i y (t ) j z (t ) k
质点的参数方程:
r (t )
z (t )
P
x(t )
o
x x(t ) y y (t ) z z (t )
大小:
2 2 2 v vx v y vz
* 速度的计算方法
dr v dt
r x ( t ) i y ( t ) j zk
d x d y dz v i j k dt dt dt
v vxi v y j vz k
第一章
质点运动学
运动学
参考系 质点
运动的 两类基 描述 本问题
相对 运动
中学基础上加入微积分
1-1 质点运动的描述 一 参考系 质点 运动是绝对的; 运动的描述是相对的,与参考系有关。 1 参考系: 描述物体运动而选取的标准物(参考物).
任何实物物体均可 被选作参考系;
参考系不同,描述 物体的运动也不同.
z
质点运动的 轨迹方程
x
消去参数 t
2 例.已知:质点的运动方程 r 2ti (2 t ) j (SI)
求: 质点的轨迹;
解:先写参数方程
x 2t y 2 t2
t x/2
消去 t 得轨迹方程
x y 2 4
2
抛物线
3 . 位移矢量(位移): r r2 r1

位置矢量
运动方程
位移
1 位置矢量(位矢):描述质点在空间的位置
定义: 从参考点O指向空间P点的有向线段叫 做P点的位置矢量 rP,简称位矢或矢径。
rP OP
直角坐标描述 o xyz
z
rP
iO j
P
单位矢量: i , j , k
k
y
x
直角坐标中位矢的表达式
dy x dx dx dy 2x 2 y 0 x y l dt y dt dt dt dy dx i vB v y j j vi v A vx dt dt
2 2 2
dx 解 v A vxi i vi y dt B dy vB v y j j dt
r x i y jz
z
k
z

Px, y, z
r

大小:
2 2 2 r r x y z
方向:

y
y
x
x
o
x y z cos , cos , cos r r r 2 2 2 cos cos cos 1
书:黑体——矢量
r r2 r1
Δr r2 r1 r2 r1
z
P r 1
r2
s
P2
r
x

速度
描述质点运动快慢和方向的物理量 1 平均速度 在 t 时间内,质点 位移为 r r (t t ) r (t ) r 平均速度 v t
s 平均速率 v t
s ds 瞬时速率 v lim dt t 0 t
S: 路程
速度与速率的比较
s
A △r
B
定义不同 dr 速度 v 矢量 dt ds 标量 速率 v dt
速度的大小:
dr ds t很小时, r s v v d t d t 当t 0 时, dr ds
v
A
B B
B
r dr v lim t 0 t dt
r
dr v dt
(1)是位矢对时间的一阶导数, (2)方向:轨道的切线上, 指向前进的一侧。
r x (t )i y (t ) j
dr 由 v : dt dx dy v i j dt dt
(3)直角坐标系下速度的表示 平面运动 y
o
r( t )
x
vx i v y j vx v y
d( xi ) d x di i x dt dt dt dx i dt
r x (t )i y (t ) j
dr dx d y v i j dt dt dt
速度的两种表示
ds dr et v dt dt
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于矢径 r ( x, y ) 的 y 端点处,其速度大小为
dr (A) dt dr (C) dt
注意
dr (B) dt
r (t )
x
o
x
dx 2 dy 2 (D) ( ) ( ) dt dt
Or:
dx dy vx 1.0, vy 0.5t d t dt
v v 1.02 1.52 1.8m / s 速度 v 与 x 轴之间的夹角 vy 1.5 0 arctan arctan 56.3 vx 1.0
x(t ) 1.0t 2.0, (2)运动方程 2 y(t ) 0.25t 2.0,
迹有关。
O
z
x
位移: r AB 是矢量,与质点运动轨迹无关, 只与始末两点有关。 s 2r 一般情况 Δr s r Δr 0
r s 何时取
等号?
直线直进运动 曲线运动 t 0
注意
r r r , ,
的意义不同.
y
r1
O
r r2 r1
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