第4章_插值与拟合-牛顿法

第4章 插值与拟合
4.3 差商与牛顿插值公式

Lagrange 插值多项式的基函数：

l j ( x) 

( x  x0 )(x  x1 )( x  x j 1 )(x  x j 1 )( x  xn ) ( x j  x0 )(x j  x1 )( x j  x j 1 )(x j  x j 1 )( x j  xn )
j 0 j 1 k 0

n

n

j 1

式中, a0 , a1 ,...,an为待定参数,它们可利用插值条件 Pn ( xi )  f i 来求,即令：

Pn ( xi )  a0   a j  ( xi  xk )  f i
j 1 k 0

n

j 1

(i  0,1,...,n)

可以求得：
n

( x  xi )  i 0 ( x j  xi )
i j

j  0,1,2,, n

优点：形式对称，有很强的规律性，便于记忆。 缺点：(1) 重复计算多, 导致计算量大；

(2) 插值基函数 lj(x) 依赖于所有节点，当增加插值 节点时，原来已算出的所有 lj(x) 都需要重新计算， 使计算量加大。

a0  f 0

a1 

f1  f0 x1  x0

f2  f0 f1  f0  x2  x0 x1  x0 a2  x2  x1
f 3  f 0 f1  f 0 f 2  f 0 f1  f 0   x3  x0 x1  x0 x2  x0 x1  x0  x3  x1 x2  x1 这也太复杂 a3  x3  x2 了吧！
2 f k  f k 1  f k 为 f (x)在 xk 处的 二阶向前差分
0 ( x)  1  j 1   j ( x)  ( x  x0 )( x  x1 )( x  x j 1 )   ( x  xk ) k 0 

( j  1,2,n)

则相应的插值多项式为:

Pn ( x)   a j j ( x)  a0   a j  ( x  xk )

最后一个节点－倒 为 f ( x) 关于节点 x 0 , x1 ,, x k 1 , x k 的 k 阶差商
数第二个节点

可见：一个高阶差商可由两个低一阶的差商得到

由此定义,显然: a0  f 0

f1  f 0 a1   f [ x0 , x1 ] x1  x0
f2  f0 f1  f0  x2  x0 x1  x0 f [ x0 , x2 ]  f [ x0 , x1 ]  f [ x0 , x1 , x2 ] a2   x2  x1 x2  x1
j 1 k 0

n

j 1

2.差商的性质
性质1：差商与函数值的关系 f(x) 关于 x0 , x1 ,, xk 1 , xk 的 k 阶差商是 f(x) 在这些点上 函数值的线性组合,即

1 f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]   f ( x j ) j 0 i 0 x j  xi

依此类推,可求得 a j ( j  0,1,...,n) .为标记、推导、记忆方便, 给出差商定义,可得参数 a j 的一般表达式。

4.3.1

差商及其性质

1.差商的定义:设给定函数 f ( x)在 n  1 个互异的节点
x0 , x1,...,xn 处的函数值为 f 0 , f1,..., f n ,称
Newton插值多项式
k 1 j 0 n


n k 1

 f ( x0 )   f [ x0 , x1 , , xk ] ( x  x j )  f [ x , x0 , x1 , , xn ] ( x  x j )
差商型余项
n
j 0

 N n ( x)  f [ x , x0 , x1 ,, xn ]( x  x j )
Baidu Nhomakorabea
f [ x0 , x1,...,xk 1, xk ]  f [ xk 1, x1,...,xk 2 , x0 , xk ]
缺第一个节点 缺最后一个节点

f [ xk 1 , x1 ,, xk 2 , xk ]  f [ xk 1 , x1 ,, xk 2 , x0 ]  xk  x0 f [ x1 ,, xk 2 , xk 1 , xk ]  f [ x0 , x1 ,, xk 2 , xk 1 ]  xk  x0
j 0

------ (3)

 Nn ( x)  Rn ( x)

4.3.4 差分及其等距节点牛顿插值多项式
等距节点插值是比较常见的情况,为简化计算,引进差分的概念.

定义4.4 设 f (x) 在等距节点 xk  x0  kh, k  0,1,, n 处的 函数值为 f k , 称

f k  f k  1  f k 为 f (x)在 xk 处的 一阶向前差分
( j  1,2,n)

并形式上给出Newton插值多项式:

Pn ( x)   a j j ( x)  a0   a j  ( x  xk )
j 0 j 1 k 0

n

n

j 1

式中, a0 , a1 ,...,an 待定. 通过引进均差/差商的概念,可以将系数表示为：

ak  f [ x0 , x1 ,...,xk ]

4.3.2

牛顿插值公式

1.定义: 称
N n ( x)  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 )(x  x1 )    an ( x  x0 )(x  x1 )( x  xn1 )

 f ( x0 )   f [ x0 , x1 , , xk ] ( x  x j )

4.3.3 牛顿插值余项
若将 x  xi , (i  0,1,, n) 视为一个节点,则由一阶均差定义 有

f ( x)  f ( x0 )  f [ x, x0 ](x  x0 )
同理,由二阶均差定义 有
f ( x0 )  f ( x) f [ x, x0 ]  f [ x, x0 ]  f [ x0 , x1 ]  f [ x, x0x ,0x1 ](  xx  x1 )
k 1
n

n

k 1 j 0

 f ( x0 )   f [ x0 , x1 , , xk ]k ( x)
k 1

------ (1)

为 f (x) 关于节点 xi (i  0,1,..., n) 的 n 次Newton插值多项式.

由插值多项式的唯一性, Newton 插值公式的余项为:

f ( n1) ( ) Rn ( x)  f ( x)  Nn ( x)  f ( x)  Ln ( x)  n1 ( x) (n  1)!

------ (2)
实用的余项估计式：
Lagrange插值 多项式 导数型余项

M n 1 Rn ( x)  n 1 ( x) (n  1)!

Pn ( x0 )  a0  f 0
Pn ( x1 )  a0  a1 ( x1  x0 )  f1
Pn ( x2 )  a0  a1 ( x2  x0 )  a2 ( x2  x0 )(x2  x1 )  f2
Pn ( x3 )  a0  a1 ( x3  x0 )  a2 ( x3  x0 )(x3  x1 )  a3 ( x3  x0 )(x3  x1 )(x3  x2 )  f3
用归纳法可证：

ak  f [ x0 , x1 ,...,xk ]
n j 1

将上述结果代入： Pn ( xi )  a0   a j  ( xi  xk )  f i
j 1 k 0

(i  0,1,...,n)

Pn ( x)  f 0   f [ x0 , x1 ,..., x j ] ( x  xk )  N n ( x)
i j

k

k

例如:

f1  f 0 f0 f1 f [ x0 , x1 ]    x1  x0 x1  x0 x0  x1

j 0 1

1 f ( x j ) i  0 x j  xi
i j

1

可以用数学归纳法证明

性质2：对称性 差商对于定义它的节点而言是对称的,也就是说任意 调换节点的次序,差商的值不变 利用对称性,可对 f(x) 关于 x0 , x1 ,..., xk 的 k 阶差商变形

x2 f ( x2 )
f [ x2 , x3 ]

f [ x1, x2 , x3 ]
f [ x1, x2 , x3 , x4 ]

f [ x0 , x1,, x4 ]

x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]

f [ x2 , x3 , x4 ]

x4 f ( x 4 )
规定函数值为零阶差商

性质3:差商与函数导数之间的关系 当 f(k)(x) 在包含节点 x0, x1, …, xk 的区间存在时,在 x0, x1, …, xk 之间必存在一点ξ,使得

因此可得:
f ( x)  f ( x0 )  f [ x, x0 ](x  x0 )

 f ( x0 )  ( f [ x0 , x1 ]  f [ x, x0 , x1 ](x  x1 ))(x  x0 )  f ( x0 )  f [ x0 , x1 ](x  x0 )  f [ x, x0 , x1 ](x  x0 )(x  x1 )
f ( k ) ( ) f [ x0 , x1 ,..., xk ]  k!

内容归纳
Newton插值基函数:
 0 ( x)  1  j 1   j ( x)  ( x  x0 )(x  x1 )  ( x  x j 1 )   ( x  xk ) k 0 

f [ x0 , x1 ]  f [ x, x0 ] f [ x, x0 , x1 ]  x1  x

f [ x, x0 ,..., xn  2 ]  f [ x0 , x1 ,..., xn 1 ]  f [ x, x0 ,..., xn 1 ]( x  xn 1 ) f [ x, x0 ,..., xn 1 ]  f [ x0 , x1 ,..., xn ]  f [ x, x0 ,..., xn ]( x  xn )

4.3 差商与牛顿插值公式
 

差商及其性质 牛顿插值公式 牛顿插值余项 差分以及等距节点牛顿插值多项式

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Newton (1624～1727)

Newton插值基函数
由线性代数知识可知, 任何一个 n 次多项式都可表示成: 这n+1 个多项式的线性组合.

问：是否可以将这 n+1个多项式作为插值基函数？ 已知函数 f(x) 的插值节点 xi 及相应函数值 fi (i  0,1,...,n) , 将上述线性无关的多项式取作Newton插值法的基函数,即令：

f [ xi , x j ] 

f j  fi x j  xi

( j  i)
缺最后一个节点

缺倒数第二个节点 为 f ( x) 关于节点 xi , xk 的一阶均差 (差商)

称

f [ xi , x j , xk ] 

f [ xi , xk ]  f [ xi , x j ] xk  x j

(i  j  k )

为 f ( x) 关于节点 xi , x j , xk 的二阶差商

最后一个节点－倒 数第二个节点

称

缺倒数第二个节点

缺最后一个节点

f [ x0 , x1,, xk 1, xk ] 

f [ x0 , x1 ,, xk 2 , xk ]  f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] xk  xk 1
最后一个节点－第 一个节点 注：上式是计算中常用的差商公式，可建立差商表 .

3. 差商的计算方法：差商表
xk f ( xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
f [ x0 , x1 ]

二阶差商

三阶差商

四阶差商

x1 f ( x1 )
f [ x1 , x2 ]

f [ x0 , x1, x2 ] f [ x0 , x1, x2 , x3 ]