图是极大3限制边联通的充分条件

图是极大3限制边联通的充分条件
王美玉;王世英
【摘要】设S是连通图G中的一个边子集.若G-S不连通且它的每个连通分支的
阶至少为k,则称S是G的一个k限制边割.图G的最小k限制边割的边数称为G
的k限制边连通度,记为λk(G).定义ξk(G) =min{| [X,(X)]|:|X| =k,G[X]连通},其中(X)=v(G) X.若λk(G)=ξk(G),则称G是极大k限制边连通的.设G是一个围长至少
为5的λ3-连通图.本文证明了若G中不存在5个点u1,u2,v1,v2,v3使得
d(ui,vj)≥3(i=1,2;j=1,2,3),则G是极大3限制边连通的.
【期刊名称】《山东科学》
【年(卷),期】2015(028)003
【总页数】4页(P80-83)
【关键词】连通图;k限制边连通度;距离;围长
【作者】王美玉;王世英
【作者单位】山西大学数学科学学院,山西太原030006;山西大学数学科学学院,山
西太原030006
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
本文所考虑的图都是无向简单图。

本文中出现而未定义的概念和记号参见文［1］。

设G＝（V（G），E（G））是一个连通图。

若e＝uv是一条边，则称u与v相邻。

对于G中任意一点u，用N（u）表示在G中与u相邻的点的集合，用d（u）
表示在G中与u相邻的点的数目。

图G的一条路是指一个有限非空顶点序列P＝
v0v1…vk，使得对0≤i≤k－1，vi与vi＋1相邻，并且对i≠j有vi≠vj。

称P是一
条（v0，vk）-路，顶点v0与vk分别称为P的起点和终点，P中边的数目为P的长度。

在连通图G中，u与v之间的距离是最短（u，v）-路的长，记为d（u，v）。

若一条路的起点与终点相同，则称它为圈，记为C。

称C中边的数目为C的长度。

图G的围长g（G）定义为G中最短圈的长度；若G没有圈，则定义G的围长为无穷大。

对G的两个非空顶点子集X与Y，用［X，Y］表示G中一端点在X中另一端点在Y中的所有边所构成的集合。

多处理机的互连网络拓扑常以图为数学模型，用图的顶点（即节点）代表处理机，用边来代表处理机之间的直接通信联系，因此网络拓扑的性能可以通过图的性能和参数来衡量。

在设计和选择互连网络拓扑结构时，要考虑的一个问题是系统的可靠性。

边连通度是度量网络可靠性的一个重要参数，不过，这个参数也有一些缺陷。

在此背景下，1996年Fàbrega等Foil［2］提出了k限制边连通度的概念。

定义1.1设G是一个连通图，S⊆E（G）是G的一个边割。

如果G-S的每个连通
分支至少有k个顶点，那么称S是G的一个k限制边割。

称G的所有k限制边割中所含边数最少的边割为G的λk-割，λk-割所含的边数称为G的k限制边连通度，记为λk（G）。

应该指出，不是所有图都存在k限制边割，如星图K1，v-1（v≥2k≥4），其中v 为K1，v-1的阶。

若G存在k限制边割，则称G为λk-连通图。

近年来，对于正整数k，k限制边连通度得到了广泛的研究，见文［3－6］。

从目前的研究结果来看，对于一个连通图G，人们相信λk（G）越大，G所对应的网络的可靠性就越好，因此人们希望图G的k限制边连通度尽可能地大。

显然这需要λk（G）的一
个上界。

对正整数k，定义ξk（G）＝min｛｜［X，¯X］｜：｜X｜＝k，G［X］连通｝。

一个λk－连通图G称为是极大k限制边连通的，如果λk-（G）＝ξk
（G）。

当k＝2时，通常称k限制边连通度为限制边连通度，极大限制边连通图
的一些性质也被广泛研究［7－11］。

令G是一个λk-连通图，S是G的λk-割。

在文［6］中，Wang等指出了存在X⊂V（G）使得G［X］与G［Y］为G中阶
至少为k的连通子图，且S＝［X，¯X］，其中Y＝¯X＝V（G）＼X。

2011年，Qin等［11］给出了一个图是极大限制边连通的距离条件。

定理1.2［11］设G是一个g（G）≥4的λ2-连通图。

若G中不存在4个点u1，u2，v1，v2使得d（ui，vj）≥3（1≤i，j≤2），则G是极大限制边连通的。

本文将把这个结果推广到k＝3的情形。

在证明本文的主要结论之前，首先给出一些将要用到的引理。

引理1.3［6］令G是一个满足λk（G）≤ξk（G）的λk-连通图且［X，Y］是G
的λk-割。

若G［X］中存在一个k阶连通子图H满足
则G是极大k限制边连通的。

引理1.4［12］设G是一个λ3-连通图，则λ3（G）≤ξ3（G）。

定理2.1设G是一个g（G）≥5的λ3-连通图。

若G中不存在5个点u1，u2，
v1，v2，v3使得d（ui，vj）≥3（i＝1，2；j＝1，2，3），则G是极大3限制
边连通的。

证明用反证法，假设G不是极大3限制边连通的。

设S＝［X，Y］是G的一个
λ3-割，X1⊆X和Y1⊆Y分别表示与S中的边相关联的点的集合。

记X0＝X＼X1，Y0＝Y＼Y1，用m0，m1，n0和n1分别表示X0，X1，Y0和Y1所包含的顶点
的个数。

由引理1．4知，λ3（G）≤ξ3（G）。

若｜X｜＝3或｜Y｜＝3，则ξ3（G）≤｜S｜＝λ3（G）。

故ξ3（G）＝λ3（G），即G是极大3限制边连通的，矛盾。

因此｜X｜≥4且｜Y｜≥4。

下证m0≥2且n0≥2。

假设m0≤1。

注意到G［X］与G［Y］是连通的，因此存在的G［X］三阶连通子
图H使得X0⊆V（H）。

设u为X＼V（H）中任意一点。

易知｜［｛u｝，Y］｜≥1。

因为g（G）≥5，所以｜［｛u｝，V（H）］｜≤1。

因此我们可以得到
由引理1.3知，G是极大3限制边连通的，矛盾。

因此m0≥2。

同理，n0≥2。

情形1 n0≥3。

显然，｜Y0｜≥3。

设v1，v2，v3∈Y0。

由断言知，m0≥2。

令u1，u2∈X0。

由X0与Y0的定义知，对任意的u∈X0与v∈Y0有｜N（u）∩Y｜＝0＝｜N（v）∩X｜。

这意味着d（ui，vj）≥3（i＝1，2；j＝1，2，3），与题意矛盾。

情形2 n0＝2。

当m0≥3时，类似情形1的讨论，我们得到矛盾。

下面假设m0＝2。

设X0＝
｛u1，u2｝，Y0＝｛v1，v2｝。

令H⊆G［X］为包含X0中点最多的3阶连通子图。

显然1≤｜X0∩V（H）｜≤2。

情形2.1 ｜X0∩V（H）｜＝2。

因为g（G）≥5，所以对于任意u∈X＼V（H）有｜［｛u｝，V（H）］｜≤1。

注意到对于任意的u∈X＼V（H）有｜［｛u｝，Y）］｜≥1。

由（1）式，我们
有
由引理1.3知，G是极大3限制边连通的，矛盾。

情形2.2 ｜X0∩V（H）｜＝1。

不失一般性，假设u1∈V（H）且u2∉V（H）。

因为g（G）≥5，所以H为一条长为2的路。

记H＝x1x2x3。

情形2.2.1 u1＝x2。

因为g（G）≥5，所以对于任意u∈X＼V（H）有｜［｛u｝，V（H）］｜≤1。

若｜［｛u2｝，V（H）］｜＝1，则在G［X］中存在3阶连通子图H′使得u1，u2∈V（H′），与H的选取矛盾。

因此｜［｛u2｝，V（H）］｜＝0，即对于任
意u∈X＼V（H）有｜［｛u｝，V（H）］｜≤｜［｛u｝，Y］｜。

故我们有
由引理1.3知，G是极大3限制边连通的，矛盾。

情形2.2.2 u1＝x1或u1＝x3。

不妨设u1＝x1。

因为g（G）≥5，所以对于任意u∈X＼V（H）有｜［｛u｝，V （H）］｜≤1。

注意到对任意的u∈X＼（V（H）∪｛u2｝）有｜［｛u｝，Y］｜≥1。

若｜［｛u2｝，V（H）］｜＝0，则
由引理1.3知，G是极大3限制边连通的，矛盾。

因此｜［｛u2｝，V（H）］｜＝1。

若N（u2）∩V（H）⊂｛x1，x2｝，则G［X］中存在一个3阶连通子图H1，使得u1，u2∈V（H1），与H的选取矛盾。

因此N（u2）∩V（H）＝｛x3｝。

因
为g（G）≥5且G［Y］连通，所以｜［｛x2，x3｝，Y］｜＜｜Y｜。

因此在G ［Y］中存在一点y∉N（x2）∪N（x3）。

因为u1，v2∈X0，所以d（y，u1）
≥2且d（y，u2）≥2。

若d（y，u1）＝2，则在X＼（V（H）∪｛u2｝）中存
在一点x0使得u1，y∈N（x0）。

显然P＝x0u1x2是G［X］中的3阶连通子图。

类似情形2．2．1的讨论，我们得到矛盾。

因此d（y，u1）≥3。

同理，d（y，
u2）≥3。

注意到X0＝｛u1，u2｝，Y0＝｛v1，v2｝，故对任意的u∈X0与
v∈Y0∪｛y｝有
与题意矛盾。

综上所述，G是极大3限制边连通的。

由定理2.1我们可以得到下面的推论：
推论2.2令G是一个g（G）≥5的λ3-连通图。

若G中存在1个点u使得对任意的x，y∈V（G）＼｛u｝有
则G是极大3限制边连通的。

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