2020届高考数学仿真押题卷03 北京卷 理 新人教A版 精

2020届高考数学仿真押题卷——北京卷（理3）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。

（1）若复数2()i
i
x x x z +-=（x ∈R ）为纯虚数，则x 等于
（A ）0 （B ）1 （C ）-1 （D ）0或1 （2）给出下列三个命题：
①x ∀∈R ，02
>x ；
②0x ∃∈R ，使得2
00x x ≤成立；
③对于集合,M N ，若x M N ∈I ，则x M ∈且x N ∈. 其中真命题的个数是
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
（3）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为
（A ） （B ） （C ） （D ）
（4）极坐标方程02sin =θ（0≥ρ）表示的图形是
（A ）两条直线 （B ）两条射线 （C ）圆 （D ）一条直线和一条射线
（5）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222
112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于
（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4
（6）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于
,M N 两点，O 为坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为
（A （B （C （D （7）△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA AB AC ++=0u u u r u u u r u u u r ， ||||OA AB =u u u r u u u r
，则
CA CB ⋅u u u r u u u r
等于
（A ）
3
2
（B （C ）3 （D ）
B
（8）已知函数2
1,
0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是
（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）2
51
()x x
+的展开式中，4
x 的系数为 ．（用数字作答）
（10）某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个
群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为 ；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为 ．
（11）在△
ABC 中，若π
,4
B b ∠=
=，则C ∠= ． （12）如图，BC 是半径为2的圆O 的直径，点P 在BC 的延长线上，PA 是圆O 的切线，
点A 在直径BC 上的射影是OC 的中点，则ABP ∠= ；
PB PC ⋅= ．
（13）已知点(2,)P t 在不等式组40,
30x y x y --≤⎧⎨
+-≤⎩
表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线
34100x y ++=距离的最大值为____________．
（14）对任意x ∈R ，函数()f x
满足1
(1)2
f x +=
，设
)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为31
16
-
，则(15)f = ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）
已知π72sin()410A +
=，ππ
(,)42
A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5
()cos 2sin sin 2
f x x A x =+的值域．
（16）（本小题共14分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，5AB AC ==，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点，四边形11B BCC 是边长为6的正方形． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1AC D ； （Ⅱ）求证：CE ⊥平面1AC D ； （Ⅲ）求二面角1C AC D --的余弦值．
（17）（本小题共13分）
甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1
()2
p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59
． （Ⅰ）求p 的值；
（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．
(18) （本小题共13分）
已知函数x a x x f ln )(2
-=(R a ∈)． （Ⅰ）若2=a ，求证：)(x f 在(1,)+∞上是增函数； （Ⅱ）求)(x f 在[1，e]上的最小值．
（19）（本小题共13分）
在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点1
(0,)4F 的距离比点P 到x 轴的距离大
1
4
，设动点P 的轨迹为曲线C ，直线:1l y kx =+交曲线C 于,A B 两点，M 是线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）证明：曲线C 在点N 处的切线与AB 平行；
（Ⅲ）若曲线C 上存在关于直线l 对称的两点，求k 的取值范围．
（20）（本小题共14分）
在单调递增数列}{n a 中，21=a ，不等式n a n )1(+n na 2≥对任意*
n ∈N 都成立.
（Ⅰ）求2a 的取值范围；
（Ⅱ）判断数列}{n a 能否为等比数列？说明理由； （Ⅲ）设11(11)(1)(1)22n n b =+++
L ，)211(6n
n c -=， 求证：对任意的*
n ∈N ，012
≥--n n
n a c b .
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）C （3）B （4）A （5）D （6）D （7）C （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）10 （10）9
5
3 （11）
7π12
（12）30o
12 （13）4
（14）3
4
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（Ⅰ）因为
ππ
42A <<，且πsin()410A +=
，
所以
ππ3π
244
A <+<
，πcos()4A += 因为π
πππππcos cos[()]cos()cos
sin()sin 444444
A A A A =+-=+++
3
1021025
=-
+=． 所以3
cos 5
A =
． ……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin 5
A =． 所以5
()cos 2sin sin 2
f x x A x =+
2
12sin 2sin x x =-+ 2
13
2(sin )2
2
x =--+
，x ∈R ． 因为sin [1,1]x ∈-，所以，当1sin 2x =
时，()f x 取最大值32
； 当sin 1x =-时，()f x 取最小值3-．
1
所以函数()f x 的值域为3
[3,]2
-． ……………………13分 （16）（共14分）
（Ⅰ）证明：连结1A C ，与1AC 交于O 点，连结OD ．
因为O ，D 分别为1AC 和BC 的中点，
所以OD ∥1A B ． 又OD ⊂平面1AC D ，
1A B ⊄平面1AC D ，
所以1A B ∥平面1AC D ． ……………………4分 （Ⅱ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，
1BB ⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ， 所以1BB AD ⊥．
因为AB AC =，D 为BC 中点， 所以AD BC ⊥．又1BC BB B =I ， 所以AD ⊥平面11B BCC ． 又CE ⊂平面11B BCC ，
所以AD ⊥CE ．
因为四边形11B BCC 为正方形，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点， 所以Rt △CBE ≌Rt △1C CD ，1CC D BCE ∠=∠．
所以190BCE C DC ∠+∠=o
．
所以1C D ⊥CE ．
又1AD C D D =I ，
所以CE ⊥平面1AC D ． ……………………9分 （Ⅲ）解：如图，以11B C 的中点G 为原点，建立空间直角坐标系． 则1(0,6,4),(3,3,0),(3,6,0),(3,0,0)A E C C --．
由（Ⅱ）知CE ⊥平面1AC D ，所以(6,3,0)CE =-u u u r
为平面1AC D 的一个法向
量．
设(,,)x y z =n 为平面1ACC (3,0,4)AC =--u u u r ，1(0,6,0)CC =-u u u u r
．
由10,0.
AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r
n n 可得340,60.x z y --=⎧⎨-=⎩ 令1x =，则3
0,4
y z ==-． 所以3
(1,0,)4
=-n ．
从而cos ||||CE CE,CE ⋅<>==⋅u u u r
u u u r u u u r n n n ． 因为二面角1C AC D --为锐角， 所以二面角1C AC D --
．……………………14分 （17）（共13分）
解：（Ⅰ）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，
故2
2
5(1)9
p p +-=， 解得13p =或23
p =． 又12p >
，所以2
3
p =． …………………6分 （Ⅱ）依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6．
5(2)9
P ξ==，
5520
(4)(1)9981P ξ==-⨯=
， 52016
(6)198181
P ξ==--=，
所以随机变量ξ的分布列为：
所以ξ的数学期望2469818181
E ξ=⨯
+⨯+⨯=．………………13分 （18）（共13分）
（Ⅰ）证明：当2=a 时，x x x f ln 2)(2-=，
当),1(+∞∈x 时，0)
1(2)(2>-='x
x x f ，
所以)(x f 在),1(+∞上是增函数． ………………5分
（Ⅱ）解：)0(2)(2>-=
'x x
a
x x f ，当[1,e]x ∈，222[2,2e ]x a a a -∈--． 若2≤a ，则当x ∈[1,e]时，0)(≥'x f ， 所以)(x f 在[1,e]上是增函数，
又1)1(=f ，故函数)(x f 在[1,e]上的最小值为1． 若2
2e a ≥，则当x ∈],1[e 时，0)(≤'x f ， 所以)(x f 在[1,e]上是减函数，
又(e)f =2
e a -，所以)(x
f 在[1,e]上的最小值为2
e a -．
若2
22e a <<，则当2
1a
x <
≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数；
e x <≤时，0)(>'x
f ，此时)(x f 是增函数．
又ln 222
a a a f =-， 所以)(x f 在[1,e]上的最小值为
ln 222
a a a
-． 综上可知，当2≤a 时，)(x f 在[1,e]上的最小值为1； 当2
22e a <<时，)(x f 在[1,e]上的最小值为
ln 222
a a a -； 当2
2e a ≥时，)(x f 在[1,e]上的最小值为2
e a -．………………13分
（19）（共13分）
（Ⅰ）解：由已知，动点P 到定点1
(0,)4F 的距离与动点P 到直线1
4
y =-
的距离相等． 由抛物线定义可知，动点P 的轨迹为以1(0,)4
为焦点，直线1
4
y =-
为准线的抛物线．
所以曲线C 的方程为2
y x =． ………………3分
（Ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ．
由2,1,
y x y kx ⎧=⎨=+⎩得210x kx --=． 所以12x x k +=，121x x =-． 设00(,)M x y ，则02
k x =． 因为MN x ⊥轴， 所以N 点的横坐标为
2
k ． 由2
y x =，可得'2y x = 所以当2
k
x =
时，'y k =． 所以曲线C 在点N 处的切线斜率为k ，与直线AB 平行．………………8分
（Ⅲ）解：由已知，0k ≠．
设直线l 的垂线为'l ：1
y x b k
=-
+． 代入2
y x =，可得2
1
0x x b k
+
-= （*） 若存在两点3344(,),(,)D x y E x y 关于直线l 对称，
则
34122x x k +=-，3421
22y y b k +=+
又3434
(
,)22
x x y y ++在l 上， 所以
211()122b k k k +=-+， 2
11
22b k =-
． 由方程（*）有两个不等实根 所以2
1
()40b k
∆=+>，即
22
1220k k +->
所以
2
1
2k <，解得2k <-或2k >． ………………13分
（20）（共14分）
（Ⅰ）解：因为}{n a 是单调递增数列，
所以12a a >，22>a . 令1=n ，12a 2a ≥，42≤a ，
所以(]4,22∈a . ………………4分
（Ⅱ）证明：数列}{n a 不能为等比数列.
用反证法证明：
假设数列}{n a 是公比为q 的等比数列，021>=a ，1
2-=n n q a .
因为}{n a 单调递增，所以1>q .
因为*
n ∈N ，n a n )1(+n na 2≥都成立.
所以*
n ∈N ，n
1
1+
n q ≥ ① 因为1>q ，所以0n ∃*
∈N ，使得当0n n ≥时，2>n
q .
因为21
1≤+
n
*()n ∈N . 所以0n ∃*
∈N ，当0n n ≥时，n
q n
1
1+
>，与①矛盾，故假设不成立. ………………9分
（Ⅲ）证明：观察： 113b c ==，4152=
b 292=<
c ，321353=b 4
213=<c ，…，猜想：n n c b ≤.
用数学归纳法证明：
（1）当1n =时，31=b 31=≤c 成立； （2）假设当n k =时，k k c b ≤成立；
当时，
)211(11+++
=k k k b b )2
11(1
++≤k k c )211(6k -=)2
1
1(1++k )212121
1(6121
++--
+
=k k k )21211(6121++--=k k )2
1
1(61+-<k 所以11++≤k k c b .
根据（1）（2）可知，对任意*
n ∈N ，都有n n c b ≤，即0≤-n n c b .
由已知得，n n a n
a )1
1(2+≤. 所以11221(1)2n
n n a
a --≤+
≤≤L 11
)11)(211()211(a n +++-Λ. 所以当2≥n 时，122-≤n n
b a
12-≤n c )211(121
--
=n 12<.
因为1242<<a a .
所以对任意n *∈N ，122<n a .
对任意n *∈N ，存在m *∈N ，使得m n 2<， 因为数列{n a }单调递增，
所以122<<m n a a ，012<-n a . 因为0≤-n n c b ， 所以012≥--n n
n a c b . ………………14分。