《管理运筹学》第四版课后习题答案

《管理运筹学》第四版课后习题解析（上
）
第2章线性规划的图解法
1．解：
（1）可行域为OABC。

（2）等值线为图中虚线部分。

? （3）由图2-1可知，最优解为B 点，最优解 x =
12 ， x ??15 7 2 7 图2-1
；最优目标函数值 69 。

7
2．解：
（1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解
?x 1 ??0.2 ，函数值为3.6。

?x 2 图2-2
（2）无可行解。

（3）无界解。

（4）无可行解。

? （5）无穷多解。

?
x ? （6）有唯一解 ??1 ? 20
3 ，函数值为 92 。

8 3x ? ??2 3 3．解：
（1）标准形式
max f ??3x 1 ??2x 2 ??0s 1 ??0s 2 ??0s 3
9x 1 ??2x 2 ??s 1 ??30
3x 1 ??2x 2 ??s 2 ??13
2x 1 ??2x 2 ??s 3 ??9
x 1, x 2 , s 1, s 2 , s 3 ≥ 0
（2）标准形式
min f ??4x 1 ??6x 2 ??0s 1 ??0s 2
3x 1 ??x 2 ??s 1 ??6
x 1 ??2x 2 ??s 2
??10 7x 1 ??6x 2
??4
x 1, x 2 , s 1, s 2 ≥ 0
（3）标准形式
min f ??x 1????2x 2????2x 2??????0s 1 ??0s 2
?3x 1 ??5x 2????5x 2??????s 1 ??70
2x 1????5x 2????5x 2??????50
3x 1????2x 2????2x 2??????s 2 ??30
x 1?, x 2??, x 2???
?, s 1, s 2 ≥ 0 4．解：
标准形式
max z ??10x 1 ??5x 2 ??0s 1 ??0s 2
3x 1 ??4x 2 ??s 1
??9
5x 1 ??2x 2 ??s 2 ??8
x 1, x 2 , s 1, s 2 ≥ 0
≤ 松弛变量（0，0）
最优解为 x 1 =1，x 2=3/2。

5．解：
标准形式
min f ??11x 1 ??8x 2 ??0s 1 ??0s 2 ??0s 3
10x 1 ??2x 2 ??s 1 ??20
3x 1 ??3x 2 ??s 2 ??18
4x 1 ??9x 2 ??s 3 ??36
x 1, x 2 , s 1, s 2 , s 3 ≥ 0
剩余变量（0, 0, 13）
最优解为 x 1=1，x 2=5。

6．解：
（1）最优解为 x 1=3，x 2=7。

（2）1 ??c 1 ??3 。

（3） 2 ??c 2 ??6 。

（4） x 1
??6。

x 2 ??4。

（5）最优解为 x 1=8，x 2=0。

（6）不变化。

因为当斜率 ?1≤ ??c
1 c 2
??1 ，最优解不变，变化后斜率为1，所以最优解 3
不变。

7.解：
设x ，y 分别为甲、乙两种柜的日产量， 目标函数z=200x ＋
240y ， 线性约束条件：
? ? 解 ?6x ??12 y ??120 ?8x ??4 y ??64 ?
即 ?x ??0
???y ??0 ?x ??2 y ??20 ?2x ??y ??16 ?
?x ??0
???y ??0 作出可行域．
?x ??2 y ??20 ?
?2x ??y ??16
得 Q (4,8)z ??200 ??4 ??240 ??8 ??2720
答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获最大利润2720元．
8．解：
设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积
zm2． 目标函数z=x ＋2y ，
线性约束条件：?x ??y ??12 ?2x ??y ??15 ?
?x ??3y
??27 ?x ??0 ?
???y ??0 ?x ??3y ??27
作出可行域，并做一组一组平行直线x ＋2y=t ．解 ? ?x ??y ??12
得 E (9 / 2,15 / 2)
3x＋2y，线性约束条件
2x ??y ??3．但E不
是可行域内的整点，在可行域的整点中，点(4,8) 使z取得最小值。

答：应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢
板的面积最小．
9．解：
设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，所用原料的总面积是zm2，目标函数z=
?x ??2 y ??2
?
?
?
?x ??0
???y ??0
作出可行域．作一组平等直线3x＋2y=t．解
?x ??2 y
??2
?
?2x ??y
??3
得C(4 / 3,1 / 3)
?0 C 不是整点，C 不是最优解．在可行域内的整点中，点B(1，1)使z 取得最小值． z 最小=3×1＋2×1=5，
答：用甲种规格的原料1张，乙种原料的原料1张，可使所用原料的总面积最小为5 m 2．
10．解：
设租用大卡车x 辆，农用车y 辆，最低运费为z 元．目标函数为z=960x ＋360y ．
?0 ??x ??10线性约束条件是 ? ? ??y ??20
作出可行域，并作直线960x ＋360y=0．?8x ??2.5 y ??100
即8x ＋3y=0，向上平移
?x ??10
由?
?8x ??2.5 y
??100
得最佳点为?8,10?
作直线960x＋360y=0．
即8x＋3y=0，向上平移至过点B(10，8)时，z=960x＋360y取到最小值．z最小=960×10＋360×8=12480
答：大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元．11．解：
设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则z=6x＋10y．
?0.18x ??0.09 y ??72
? ?2x ??y ??800 ?
?0.08x ??0.28 y??56
即?2x ??7 y
??1400 作出可行域．平移6x＋10y=0 ，如图
?
?x ??0 ???y ??0 ?
?x ??0 ???y ??0
?2x ??y ??800 ?
?2x ??7 y ??1400
?x
??350
得?
??y
??100
即C(350，100)．当直线6x＋10y=0即3x＋5y=0平移
到
经过点C(350，100)时，z=6x＋10y最大
12．解：
模型max z ??500x
1
??400x2
2x1 ≤300
3x2 ≤540
2x1 ??2x1 ≤440
1.2x1 ??1.5x2 ≤300
x1, x2 ≥0
（1）x
1
??150 ，x2 ??70 ，即目标函数最优值是103 000。

（2）2，4有剩余，分别是330，15，均为松弛变量。

（3）50，0，200，0。

（4）在?0,500?变化，最优解不变；在400到正无穷变化，最优解不变。

（5）因为??c1 ????450 ≤?1 ，所以原来的最优产品组合不变。

c2430
13．解：
（1）模型min f ??8x
A
??3x B
50x A ??100x B ≤1 200 000
5x A ??4x B ≥60 000
100x B ≥300 000
x A , x B ≥0
基金A，B分别为4 000元，10 000元，回报额为62000元。

（2）模型变为max z ??5x
??4x B
A
50x A ??100x B ≤1 200 000
100x B ≥300 000
x A , x B ≥0
推导出x
??18 000 ，x2 ??3 000 ，故基金A投资90万元，基金B投资30万元。

1
第3章线性规划问题的计算机求
解
1．解：
⑴甲、乙两种柜的日产量是分别是4和8，这时最大利润是2720
⑵每多生产一件乙柜，可以使总利润提高13.333元
⑶常数项的上下限是指常数项在指定的范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不变。

比如油漆时间变为100，因为100在40和160之间，所以其对偶价格不变仍为13.333
⑷不变，因为还在120和480之间。

2．解：
⑴不是，因为上面得到的最优解不为整数解，而本题需要的是整数解⑵最优解为(4，8)
3 ．解：
⑴农用车有12辆剩余
⑵大于300
⑶每增加一辆大卡车，总运费降低192元
4．解：
计算机得出的解不为整数解，平移取点得整数最优解为(10，8)
5．解：
圆桌和衣柜的生产件数分别是350和100件，这时最大利润是3100元
相差值为0代表，不需要对相应的目标系数进行改进就可以生产该产品。

最优解不变，因为C1允许增加量20-6=14；C2允许减少量为10- 3=7，所有允许增加百分比和允许减少百分比之和（7.5-6）/14+（10-
9）/7〈100%，所以最优解不变。

6．解：
（1）x
1
??150 ，x2 ??70 ；目标函数最优值103 000。

（2）1、3车间的加工工时数已使用完；2、4车间的加工工时数没用完；没用完的加工工时数为2车间330小时，4车间15小时。

（3）50，0，200，0。

含义：1车间每增加1工时，总利润增加50元；3车间每增加1工时，总利润增加200
元；2车间与4车间每增加一个工时，总利润不增加。

（4）3车间，因为增加的利润最大。

（5）在400到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变。

（6）不变，因为在?0,500?的范围内。

（7）所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条件1的右边值在?200, 440?变化，对偶价格仍为50（同理解释其他约束条件）。

（8）总利润增加了100×50=5 000，最优产品组合不变。

（9）不能，因为对偶价格发生变化。

（10）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和
25
??50
≤100%
100 100
（11）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和
50
??60
≤100% ，其最大利润为103 000+50×50?60×200=93500元。

140 140
7．解：
（1）4 000，10 000，62 000。

（2）约束条件1：总投资额增加1个单位，风险系数则降低0.057；约束条件2：年回报额增加1个单位，风险系数升高2.167；约束条件3：基金B的投资额增加1个单位，风险系数不变。

量是0，表示投资回报额正好是60 000；约束条件3的松弛变量为700 000，表示投资B基金的投资额为370 000。

（4）当c
2 不变时，c
1
在3.75到正无穷的范围内变化，最优解不变；
当c
1 不变时，c
2
在负无穷到6.4的范围内变化，最优解不变。

（5）约束条件1的右边值在?780 000,1 500 000?变化，对偶价格仍为0.057（其他同理）。

（6）不能，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和 4
???2
??100% ，理由
见百分之一百法则。

4.25 3.6
8．解：
（1）18 000，3 000，102 000，153 000。

（2）总投资额的松弛变量为0，表示投资额正好为1 200 000；基金B的投资额的剩余变量为0，表示投资B基金的投资额正好为300 000；
（3）总投资额每增加1个单位，回报额增加0.1；基
金B的投资额每增加1个单位，回报额下降0.06。

（4）c
1 不变时，c
2
在负无穷到10的范围内变化，其最优解不变；
c 2 不变时，c
1
在2到正无穷的范围内变化，其最优解不变。

（5）约束条件1的右边值在300 000到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为0.1；约束条件2的右边值在0到1 200 000的范围内变化，对偶价格仍为-0.06。

（6）600 000 ??300 000 ??100%故对偶价格不变。

900 000 900 000
9．解：
（1）x
1
??8.5 ，x2 ??1.5 ，x3 ??0 ，x4 ??0 ，最优目标函数18.5。

函数分别提高2和3.5。

（3）第3个，此时最优目标函数值为22。

（4）在负无穷到5.5的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。

（5）在0到正无穷的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。

10．解：
（1）约束条件2的右边值增加1个单位，目标函数值将增加3.622。

（2） x 2 目标函数系数提高到0.703，最优解中 x 2 的取值可以大于零。

（3）根据百分之一百法则判定，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和
1 14.583 ??
2 ≤100% ，所以最优解不变。

∞
（4）因为 15 ? 65
??100 %，根据百分之一百法则，我们不能判定其对偶
30 ??9.189 111.25 ?15
价格是否有变化。

第4章线性规划在工商管理中的应用
1．解：
为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。

设14种方案下料时得到的原材料根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x1
，x12，x13，x14，如表4-1所示。

1
min f=x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14
s.t. 2x1＋x2＋x3＋x4≥80
x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10≥350
x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋2x12＋x13≥420
x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14≥10
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥0
通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解为：
x1=40，x2=0，x3=0，x4=0，x5=116.667，x6=0，x7=0，x8=0，x9=0，x10=0，x11=140，x12=0，
x13=0，x14=3.333
最优值为300。

2．解：
（1）将上午11时至下午10时分成11个班次，设x i表示第i班次新上岗的临时工人数，建立如下模型。

min f=16(x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11)
s.t．x1＋1≥9
x1＋x2＋1≥9x1＋x2＋
x3＋2≥9x1＋x2＋x3＋
x4＋2≥3x2＋x3＋x4＋
x5＋1≥3x3＋x4＋x5＋
x6＋2≥3x4＋x5＋x6＋
x7＋1≥6x5＋x6＋x7＋
x8＋2≥12x6＋x7＋x8
＋x9＋2≥12x7＋x8＋
x9＋x10＋1≥7x8＋x9＋
x10＋x11＋1≥7
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥0
通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解如下：
x1=8，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，x6=4，x7=0，x8=6，x9=0，x10=0，x11=0，最优
值为320。

在满足对职工需求的条件下，在11时安排8个临时工，13时新安排1个临时工，14 时新安排1个临时工，16时新安排4个临时工，18时新安排6个临时工可使临时工的总成本最小。

（2）这时付给临时工的工资总额为320，一共需要安排20个临时工的班次。

约束松弛/剩余变量对偶价格
------ ------------ ------------
1 0 ?4
2 0 0
3 2 0
4 9 0
5 0 ?4
6 5 0
7 0 0
8 0 0
9 0 ?4
100 0
110 0
根据剩余变量的数字分析可知，可以让11时安排的8个人工做3小时，13时安排的
1个人工作3小时，可使得总成本更小。

（3）设x i表示第i班上班4小时临时工人数，y j表示第j班上班3小时临时工人数。

min f=16(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8)＋12(y1＋y2＋y3＋y4＋y5
＋y6＋y7＋y8＋y9) s.t．x1＋y1＋1≥9
x1＋x2＋y1＋y2＋1≥9
x1＋x2＋x3＋y1＋y2＋y3＋2≥9
x1＋x2＋x3＋x4＋y2＋y3＋y4＋2≥3
x2＋x3＋x4＋x5＋y3＋y4＋y5＋1≥3
? ? ? ?
x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋y 4＋y 5＋y 6＋2≥3 x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋y 5＋y 6＋y 7＋1≥6 x 5＋x 6＋x 7＋x 8＋y 6＋y 7＋y 8＋2≥12 x 6＋x 7＋x 8＋y 7＋y 8＋y 9＋2≥12 x 7＋x 8＋y 8＋y 9＋1≥7
x 8＋y 9＋1≥7 x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，y 6，y 7，y 8，y 9≥0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：
x 1=0，x 2=0，x 3=0，x 4=0，x 5=0，x 6=0，x 7=0，x 8=6， y 1=8，y 2=0，y 3=1，y 4=0，y 5=1，y 6=0，y 7=4，y 8=0，y 9=0。

最优值为264。

具体安排如下。

在11：00－12：00安排8个3小时的班，在13：00－14：00安排1个3小时的班，在
15：00－16：00安排1个3小时的班，在17：00－18：00安排4个3小时的班，在18：00
－19：00安排6个4小时的班。

总成本最小为264元，能比第一问节省320?264=56元。

3．解：
设xij ，xij’分别为该工厂第i 种产品的第j 个月在正常时间和加班时间内的生产量； yij 为i 种产品在第j 月的销售量，wij 为第i 种产品第j 月末的库存量，根据题意，可以 建立如下模型： 5
6
5
6
??
i ij i ij
i ij ??
i ij
max z ?
i ?1
j ?1
[S y C x ??C ' x '
] ?
i ?1
H w
j ?1
5
???a i x ij ??r j ( j ??1,L ??i ?1
??5 , 6) ? ? ???i ij j ???i ?1
a x '
??r ' ( j
??1,L
, 6) ?s.t. ??y ??d (i ??1,L , 5; j
??1,L , 6) ?ij ij ?w ??w ??x ??x ' y (i ??1,L , 5; j ??1,L , 6, 其中，w ， =0 w ??k )?
ij i , j ?1 ? ij ij ij i 0 i6 i ?x ??0, x ' ??0, y ??0(i ??1,L , 5; j ??1,L , 6)??ij ij ij ? ? ?
?w ij ??0(i ??1,L , 5; j ??1,L
, 6) ?4. 解：
（1）设生产A、B、C三种产品的数量分别为x1，x2，x3，则可建立下面的数学模型。

ma x z＝10 x1＋12x2＋14x3
s.t. x1＋1.5x2＋4x3≤2000
2x1＋1.2x2＋x3≤1000
x1≤200
x2≤250
x3 ≤100
x1，x2，x3≥0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：x1=200，x2=250，x3=100，最优值为6 400。

即在资源数量及市场容量允许的条件下，生产A 200件，B 250件，C100件，可使生产获利最多。

（2）A、B、C的市场容量的对偶价格分别为10元，12元，14元。

材料、台时的对偶价格均为0。

说明A的市场容量增加一件就可使总利润增加10元，B的市场容量增加一件就可使总利润增加12元，C的市场容量增加一件就可使总利润增加14元。

但增加一千克的材料或增加一个台时数都不能使总利润增加。

如果要开拓市场应当首先开拓C产品的市场，如果要增加资源，则应在0价位上增加材料数量和机器台时数。

5．解：
（1）设白天调查的有孩子的家庭的户数为x11，白天调查的无孩子的家庭的户数为x1 2
，晚上调查的有孩子的家庭的户数为x21，晚上调查的无孩子的家庭的户数为x22，则可建立下面的数学模型。

min f =25x11＋20x12＋30x21＋24x22
s.t．x11＋x12＋x21＋x22≥2000
x11＋x12 =x21＋x22x
11＋
x21≥700x12＋x22≥450
x11, x12, x21, x22≥0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。

x11＝700，x12＝300，x21＝0，x22＝1 000，最优值为47 500。

白天调查的有孩子的家庭的户数为700户，白天调查的无孩子的家庭的户数为30
0户，晚上调查的有孩子的家庭的户数为0，晚上调查的无孩子的家庭的户数为1 0
00户，可使总调查费用最小。

（2）白天调查的有孩子的家庭的费用在20～26元之间，总调查方案不会变化；白天调查的无孩子的家庭的费用在19～25元之间，总调查方案不会变化；晚上调查的有孩子的家庭的费用在29到正无穷之间，总调查方案不会变化；晚上调查的无孩子的家庭的费用在-20～25元之间，总调查方案不会变化。

（3）发调查的总户数在1 400到正无穷之间，对偶价格不会变化；有孩子家庭的
最少调查数在0到1 000之间，对偶价格不会变化；无孩子家庭的最少调查数
在负无穷到1 300之间，对偶价格不会变化。

管理运筹学软件求解结果如下：
6．解：
设空调机、洗衣机的月供应量分别是x,y台，总利润是P，则P=6x+8y，可建立约束条件如下：
30x+20y≤300;
5x+10y≤110;
x≥0
y≥0
x,y均为整数。

使用管理运筹学软件可求得，x=4,y=9,最大利润值为
9600；
7. 解：
1、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：
0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
决策的限制条件：
8x1+ 4x2+ 6x3≤500铣床限制条件
4x1+ 3x2 ≤350车床限制条件
3x1 + x3≤150磨床限制条件
即总绩效测试（目标函数）为：
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 2、本
问题的线性规划数学模型
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤500
4x1+ 3x2 ≤350
3x1 + x3≤150
x1≥0、x2≥0、x3≥0
最优解（50，25，0），最优值：30元。

3、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是：
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤500
4x1+ 3x2 ≤350
3x1 + x3≤150
x3≥18
x1≥0、x2≥0、x3≥0
这是一个混合型的线性规划问题。

代入求解模板得结果如下：
最优解（44，10，18），最优值：28.5元。

8．解：
设第i个月签订的合同打算租用j个月的面积为x
ij
，则需要建立下面的数学模型：min
f=2 800x11＋4 500x12＋6 000x13＋7 300x14＋2 800x21＋4 500x22＋6 000x23＋2 800x3 1＋4 500x32＋2 800x41
s.t．x11≥15
x12＋x21≥10
x13＋x22＋x31≥20
x14＋x23＋x32＋x41≥12
x ij≥0，i，j=1，2，3，4
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。

x11=15，x12=0，x13=0，x14=0，x21=10，x22=0，x23=0，x31=20，x32=0，x41=12，最优值为159 600，即在一月份租用1 500平方米一个月，在二月份租用1 000平方米
一个月，在三月份租用2 000平方米一个月，四月份租用1 200平方米一个月，可使所付的租借费最小。

9. 解：
设x
i 为每月买进的种子担数，y
i
为每月卖出的种子担数，则线性规划模型为；
Max Z=3.1y1+3.25y2+2.95y3-2.85x1-3.05x2-2.9x3
s.t. y1≤1000
y2≤1000- y1+ x1
y3≤1000- y1+ x1- y2+ x2
1000- y1+ x1≤5000
1000- y1+ x1- y2+ x2≤5000
x1≤（20000+3.1 y1）/ 2.85
x2≤（20000+3.1 y1-2.85x1+3.25y2）/ 3.05
x3≤（20000+3.1 y1-2.85x1+3.25y2-3.05x2+2.95y3）/ 2.9
1000-y1+x1-y2+ x2-y3 +x3=2000
x i≥0 y i≥0 (i=1,2,3)
10．解：
设x
ij
表示第i种类型的鸡饲料需要第j种原料的量，可建立下面的数学模型。

max
z=9(x11＋x12＋x13)＋7(x21＋x22＋x23)+8(x31＋x32＋x33)?5.5(x11＋x21＋x31)?4(x12＋x22＋x32)?5(x13＋x23＋x33)
s.t．x11≥0.5(x11＋x12＋x13)
x12≤0.2(x11＋x12＋x13)
x21≥0.3(x21＋x22＋x23)
x23≤0.3(x21＋x22＋x23)
x33≥0.5(x31＋x32＋x33)
x11＋x21＋x31+ x12＋x22＋x32+ x13＋x23＋x33≤30
x11＋x12＋x13≤5
x21＋x22＋x23≤18
x31＋x32＋x33≤10
x ij≥0，i，j=1，2，3
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。

x11=2.5，x12=1，x13=1.5，x21=4.5，x22=10.5，x23=0，x31=0，x32=5，x33=5，最优值为93..
11. 解：
设X
i 为第i个月生产的产品Ⅰ数量，Y
i
为第i个月生产的产品Ⅱ数量，Z
i
，W
i
分
别
为第i个月末产品Ⅰ、Ⅱ库存数，S
1i ，S
2i
分别为用于第（i+1）个月库存的自有及租
借的仓库容积（立方米），则可以建立如下模型。

5 12 12
min z = ?(5x i ??8 y i ) ???(4.5x i ??7 y i ) ???(S1i ??S2i ) i?1
s.t X1?10 000=Z1
X2+Z1?10 000=Z2
X3+Z2?10 000=Z3
X4+Z3?10 000=Z4
X5+Z4?30 000=Z5
X6+Z5?30 000=Z6
X7+Z6?30 000=Z7
X8+Z7?30 000=Z8
X9+Z8?30 000=Z9
i?6 i?1
X 10+Z 9?100 000=Z 10 X 11+Z 10?100 000=Z 11 X 12+Z 11?100 000=Z 12 Y 1?50 000=W 1
Y 2+W 1?50 000=W 2 Y 3+W 2?15 000=W 3 Y 4+W 3?15 000=W 4 Y 5+W 4?15 000=W 5 Y 6+W 5?15 000=W 6 Y 7+W 6?15 000=W 7 Y 8+W 7?15 000=W 8 Y 9+W 8?15 000=W 9 Y 10+W 9?50 000=W 10 Y 11+W 10?50 000=W 11 Y 12+W 11?50 000=W 12 S 1i ≤15 000 1≤i ≤12 X i +Y i ≤120 000 1≤i ≤120.2Z i +0.4W i ??S 1i
??S 2i
1≤i ≤12
X i ≥0,Y i ≥ 0 ,Z i ≥≥0,W ≥i ≥
0, S 1i
0, S 2i
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。

最优值为4 910 500。

X 1=10 000, X 2=10 000, X 3=10 000, X 4=10 000, X 5=30 000, X 6=30 000, X 7=30 000, X 8=45 000, X 9=105 000, X 10=70 000, X 11=70 000, X 12=70 000; Y 1=50 000, Y 2=50 000, Y 3=15 000, Y 4=15 000, Y 5=15 000
Y 6=15 000, Y 7=15 000, Y 8=15 000, Y 9=15 000, Y 10=50 000, Y 11=50 000, Y 12=50 000; Z 8=15 000, Z 9=90 000, Z 10=60 000, Z 11=30 000;
S 18=3 000, S 19=15 000, S 110=12 000, S 111=6 000, S 29=3 000; 其余变量都等于0。

12.解：
为了以最低的成本生产足以满足市场需求的两种汽油，将这个问题写成线性规划问题进行求解，令，x1=生产标准汽油所需的
X100原油的桶数x2=生产经济汽油所需的X100
原油的桶数x3=生产标准汽油所需的X220原油
的桶数x4=生产经济汽油所需的X220原油的桶
数则，min Z=30 x1+30 x2+34.8 x3+34.8 x4
s.t. x1+ x3≥25000
x2+ x4≥32000
0.35 x1+ 0.6x3≥0.45（x1+ x3）
0.55 x2+ 0.25x4≤0.5（x2+ x4）
通过管理运筹学软件，可得x1=15000，x2=26666.67，x3=10000，x4=5333.33
总成本为1783600美元。

13．解：
（1）设第i个车间生产第j种型号产品的数量为x ij, 可以建立如下数学模
型。

max z=25(x11+x21 ??x
??x41 ??x51 ) ??20(x12 ??x32 ??x42 ??x52 ) ??17(x13 ??x23 ??x43 ??x53 )
31
+11 (x
??x24 ??x44 )
14
s.t x
??x21 ??x31 ??x41 ??x51 ≤1 400
11
x12 ??x32 ??x42 ??x52 ≥300
x??x??x??x≤800
x13 ??x23 ??x43 ??x53 ≤8 000
x14 ??x24 ??x44 ≥700
5x11 ??7x12 ??6x13 ??5x14 ≤18 000
4 x
31
??3x32 ≤14 000
3x41 ??2x42 ??4x43 ??2x44 ≤12 000
2x51 ??4x52 ??5x53 ≤10 000
x ij≥0,i ??1, 2,3,
4,5
j=1,2,3,4
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。

**********************最优解如下*************************
目标函数最优值为：279 400
变量------- 最优解
---------
相差值
----------
x11 0 11
x21 0 26.4
x31 1 400 0
x41 0 16.5
x51 0 5.28
x12 0 15.4
x32 800 0
x42 0 11
x52 0 10.56
x13 1 000 0
x23 5 000 0
x43 0 8.8
x53 2 000 0
x14 2 400 0
x24 0 2.2
x44 6 000 0
即x31=1400，x32=800，x13=1000，x23=5000，x53=2000，x14=2400，x44=6000，其余均为0，得到最优值为279 400。

(2) 对四种产品利润和5个车间的可用生产时间做灵敏度分析;
约束松弛/剩余变量对偶价格
------- ----------- ----------
1 0 25
2 500 0
3 0 20
4 0 3.8
5 7 700 0
6 0 2.2
7 0 4.4
8 6 000 0
9 0 5.5
10 0 2.64
目标函数系数范围:
变量------- 下限
-------
当前值
-------
上限
-------
x11 无下限25 36
x21 无下限25 51.4
x31 19.72 25 无上限
x41 无下限25 41.5
x51 无下限25 30.28
x12 无下限20 35.4
x32 9.44 20 无上限
x42 无下限20 31
x52 无下限20 30.56
x13 13.2 17 19.2
x23 14.8 17 无上限
x43 无下限17 25.8
x53 3.8 17 无上限
x14 9.167 11 14.167
x24 无下限11 13.2
x44 6.6 11 无上限
常数项数范围：
约束下限当前值上限
------- 1 0 ------- -------
1 400
-------
2 900
2 无下限300 800
3 300 800 2 800
4 7 000 8 000 10 000
5 无下限700 8 400
6 6 000 18 000 无上限
7 9 000 15 000 18 000
8 8 000 14 000 无上限
9 0 12 000 无上限
10 0 10 000 15 000
可以按照以上管理运筹学软件的计算结果自行进行。

14．解：设第一个月正常生产x1，加班生产x2，库存x3；第二个月正常生产x4，加班生产x5，库存x6；第三个月正常生产x7，加班生产x8，库存x9；第四个月正常生产x10
，加班生产x11，可以建立下面的数学模型。

min f=200(x1+ x4+ x7+ x10)+300(x2+ x5+ x8+ x11)+60(x3+ x6+ x9)
s.t x1≤4000
x4≤4000
x7≤4000
x10≤4000
x3≤1000
x6≤1000
x9≤1000
x2≤1000
x5≤1000
x8≤1000
x11≤1000
x1 ??x2 ??x3 ??4
500
x3 ??x4 ??x5 ??x6 ??3
000x6 ??x7 ??x8 ??x9
??5 500x9 ??x10 ??x11
??4 500
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 , x10 , x11 ≥0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。

最优值
为f =3 710 000元。

x1=4 000吨，x2 =500吨，x3=0吨，x4=4 000吨，x5=0吨，
x6=1 000吨，x7=4 000吨，x8=500吨，x9=0吨，x10=3500吨，x11=1000吨。

管理运筹学软件求解结果如下：
D D D D
DD DDD O n u n u n u n u n u r 3n u n u n u n u n u n u n u n u r 3 t n U t r 3
n U r 3
r 3 O r n o n 3
t 最优解虫日1
目标函数最优值为 3460000 变窒 最优解 4目差{直 .1 4000 0
.2 500 0 .3 0 120 .4 4000 0 .5 0 60 .6 1000 0 x7 4000 0 .8 500 0 .9 0 160 .10 3500 0 .11 1000 0
约束
松弛楝余变里 划{高价格
100 40 100 0 0 0 0 0 0 0 200 -300 -240 -300 -200
第5章 单纯形法
1．解： 表中a 、c 、e 、f 是可行解，f 是基本解，f 是基本可行解。

2．解：
（1）该线性规划的标准型如下。

max 5x 1＋9x 2＋0s 1+0s 2+0s 3 s.t. 0.5x 1＋x 2＋s 1＝8 x 1＋x 2－s 2＝10 0.25x 1＋0.5x 2－s 3＝6 x 1，x 2，s 1，s 2，s 3≥0
（2）至少有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个非基变量，非基变量取零 。

（3）（4，6，0，0，-2）T （4）（0，10，-2，0，-1）T
（5）不是。

因为基本可行解要求基变量的值全部非负。

（6）略
3.解：
令 x 3 ??x 3????x 3???
?， f
边同时乘以-
???z 改为求 max f
；将约束条件中的第一个方程左右两
1，并在第二和第三个方程中分别引入松弛变量 x 5 和剩余变量 x 6 ，将原线性规 划问题化为如下标准型：
max f ??4x 1 ??3x 2 ??2x 3 ??7x 4
约束条件： ??4x 1 ??x 2 ??3x 3????3x 3???
???x 4 ??1 ??x 1 ??3x 2 ??x 3????x 3???
???6x 4 ??x 5 ??18 3x 1 ??2x 2 ??4x 3????4x 3???
???x 6 ??2
x 1 , x 2 , x 3??, x 3??, x 4 , x 5 , x 6 ??0
x ?j 、 x ?j ??不可能在基变量中同时出现，因为单纯性表里面 x ?j 、 x ?j ??相应的
列
向量是相同的，只有符号想法而已，这时候选取基向量的时候，同时包含两列 会使选取的基矩阵各列线性相关，不满足条件。

4．解： （1） 表5-1
（2）线性规划模型如下。

max 6x1＋30x2＋25x3
s.t. 3x1＋x2＋s1=40
2x2＋x3＋s2=50
2x1＋x 2-x3＋s3＝20
x1，x2，x3，s1，s2，s3 ≥0
（3）初始解的基为（s1，s2，s3）T，初始解为（0，0，0，40，50，20）T，对应的目标函数值为0。

（4）第一次迭代时，入基变量时x2，出基变量为s3。

6.解：
（1）当现行解为可行解，并且对应的非基变量检验数均小于0时，该线性规划问
题才有唯一最优解，即k
1 ??0 ，k
3
??0 ，k
5
??0 ；
（2）当某个非基变量的检验数为0时，该线性规划问题有多重最优解。

所以若满足
现行解为最优解，并且有多重最优解即满足：或者k
1 ??0 ，k
3
??0 ，k
5
??0 ；或者
k 1 ??0 k
3
???0 k
5
??0
k 1 ??0 ，k
3
??0 ，k
5
??0 ；；或者，，
（3）k
1
??0 可以保证该线性规划问题有可行解。

若此时该线性规划问题目标函数无界，也就是说一定存在某个检验数为正时，对应的列的系数向量元素全部非正
，即k
5
??0 且k4 ??0 ；
（4）由表中变量均为非人工变量，则k1 ??0 且k2 ??0 ，由于变量的非负性条件，第一个约束方程变为矛盾方程，从而该问题无可行解；
7.解：
（1）a ??7, b ??0, c ??1, d ??0, e ??0,
f
??0, g ??1, h ??7 ；
（2）表中给出的解是最优解。

8．解：最优解为（2.25，0）T，最优值为9。

图5-1
单纯形法如表5-2所示。

表
5-2
9．解：
（1）最优解为（2，5，4）T，最优值为84。

（2）最优解为（0，0，4）T，最优值为?4。

10．解：有无界解。

11．解：
（1）无可行解。

（2）最优解为（4，4）T，最优值为28。

（3）有无界解。

（4）最优解为（4，0，0）T，最优值为8。

12. 解：
该线性规划问题的最优解为(5,0,?1)T ,最优值为-12。

第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶1．解：
（1）c1≤24
（2）c2≥6
（3）c s2≤8
2．解：
（1）c1≥?0.5
（2）?2≤c3≤0
（3）c s2≤0.5
3．解：
（1）b1≥250
（2）0≤b2≤50
（3）0≤b3≤150
4．解：
（1）b1≥?4
（2）0≤b2≤10
（3）b3≥4
5. 解：??1
? ?1
??1 0?
最优基矩阵和其逆矩阵分别为：B ???
??4
??，
B
1?
?????；
????4 1?
最优解变为x1 ??x2 ??0，x3 ??13 ，最小值变为-78；
最优解没有变化；
最优解变为x1 ??0，x2 ??14，x3 ??2 ，最小值变为-96；6．解：
（1）利润变动范围c1≤3，故当c1=2时最优解不变。

（2）根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。

（3）0≤b2≤45。

（4）最优解不变，故不需要修改生产计划。

（5）此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为?3小于零，对原生 产计划没有影响。

7. 解：
(1)设 x 1 , x 2 , x 3 为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为
max z ??2.5x 1 ??2x 2 ??3x 3 约束条件： 8x 1 ?16x 2 ?10x 3 ??350
10x 1 ??5x 2 ??5x 3 ??450 2x 1 ?13x 2 ??5x 3 ??400 x 1 , x 2 , x 3 ??0
解得三种食品产量分别为 x 1 ??43.75, x 2 ??x 3 ??0 ，这时厂家获利最大为109.375万 元。

(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以 多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。

若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其中
x 1 ??14.167, x
2
??0，x
3
??11，x
4
??31.667 ；
（4）若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163.1万元，其中
x 1 ??11, x
2
??0，x
3
??7.2，x
4
??38 ；
所以建议生产乙产品。

8．解：均为唯一最优解，根据从计算机输出的结果看出，如果松弛或剩余变量为零且对
应的对偶价格也为零，或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时，可知此线性规划有无穷多组解。

9．解：
（1）min f = 10y1+20y2.
s.t. y1+y2≥2
y1+5y2≥1
y1+y2≥1
y1,y2≥0
（2）max z= 100y1+200y2.
s.t. 1/2y1+4y2≤4
2y1+6y2≤4
2y1+3y2≤2
y1,y2≥0
10．解：
（1）min f=?10y1+50y2+20y3.
s.t. ?2y1+3y2+y3≥1
?3y1+y2 ≥2
?y1+y2+y3 =5
y1，y2≥0，y3没有非负限制。

（2）max z= 6y1?3y2+2y3.
s.t. y1?y2?y3≤1
2y1+y2+y3 =3
?3y1+2y2?y3≤?2
y1，y2≥0，y3没有非负限制
11.解：
约束条件：max z ??6 y
1
??7 y
2
??8 y
3
??9 y
4
?10
y
5
y
1
??y
5
??1
y
1
??y
2
??1
y
2
??y
3
??1
y
3
??y
4
??1
y
4
??y
5
??1
y
1
, y
2
, y
3
, y
4
, y
5
原问题求解结果显示：
用对偶问题求解极大值更简单，因为利用单纯形法计算时省去了人工变量。

12.解:
（1）该问题的对偶问题为
max f ??4 y 1 ?12y 2
约束条件： 3y 1 ??y 2 ??2 2 y 1 ??3y 2 ??3 y 1 ??y 2 ??5 y 1 , y 2 ??0
求解得max f=12，如下所示： （2）该问题的对偶问题为
min z ??2 y 1 ??3y 2 ??5 y 3
约束条件： 2 y 1 ??3y 2 ??y 3 ???3 3y 1 ??y 2 ??4 y 3 ???8 5 y 1 ??7 y 2 ??6 y 3 ???10 y 1 , y 2 , y 3 ??0
求得求解得min z=24，如下所示：
思考：
min f??CX
在求解
约束条件：AX ??b
X ??0
其中：C为非负行向量，列向量b中元素的符号没有要求
max z ??CX
约束条件：AX ??b
X ??0
其中：C为非正行向量，列向量b中元素的符号没有要求
以上两种线性规划时一般可以选取对偶单纯形法。

13.解：
（1）错误。

原问题存在可行解，则其对偶问题可能存在可行解，也可能无可行解；（2）正确；
（3）错误。

对偶问题无可行解，则原问题解的情况无法判定，可能无可行解，可能有可行解，甚至为无界解；
（4）正确；
14．解：
? max z ???x ??2x ??3x ??x ??x ??x ??s ?
???4
???x ??x ??2x ?
??s ??8? ??x ??x ??s ???2
?x ≥≥
0,i ??1,L ,3; s 0, j ??1,L ,3用对偶单纯形法解如表6-1所示。

最优解为x 1=6，x 2=2，x 3=0，目标函数最优值为10。

15. 解：原问题约束条件可以表示为： AX ??b ??ta ，其中 a 和b 为常数列向量。

令 t ??0 ，将问题化为标准型之后求解，过程如下：
? 1 ? 1 t 1 t 其中最优基矩阵的逆矩阵为
??1 0 ? B ?1
?????1 1 ??0 0 0 ? ? ?1??，
? ?则
??1 0 0 ???5 ?
??5?
? ?? ? ????B ?1
*b ?????1 1 ?1??10??????2?
? ??
? ??????0 0
1 ???3 ?
??3?
??1 0 ? 0 ???t ?
?? ?
??1
? ? ?
???t ?
? ?
B ?1 *ta ?????1 1 ?1?????t ????t ????3????????3t ?
??0 0
?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??5 ??t ? ? ?
则 B ?1
*（b ??ta ）????2 ??3t ?
? ?
从而， ??3 ??t ?
1)当 0 ??t ??3
时，最优单纯形表为
此时 5 ??t ??0 ， 2 ??3t ??0 ， 3 ??t ??0 ，线性规划问题的最优解为
(x 1 , x 2 ) ??(5 ??t ,3 ??t ) ，目标函数最大值为11??3t ；
2）当 3 ??t ??7
时，由 2 ??3t ??0 可知， (x , x ) ??(5 ??t ,3 ??t ) 并非最优解，利用对偶
2 2
1
2
单纯形法继续迭代求解，过程如下所示，
此时 7 ??2t ??0 ， ??2 ??3t ??0 ， 3 ??t ??0 ，从而线性规划问题的最优解为 (x 1 , x 2 ) ??(7 ??2t ,3 ??t ) ，目标函数的最大值为13；
3）当 7
??t ??10 时，，由 7 ??2t ??0 可知， (x , x ) ??(7 ??2t ,3 ??t ) 并非最优解，利用对
2
1 2
偶单纯形法继续迭代求解，过程如下所示，
此时 ??7 ??2t ??0 ，
，10 ??t ??0 ，从而线性规划问题的最优解为
(x 1 , x 2 ) ??(0,10 ??t ) ，目标函数的最大值为 20 ??2t ； 16.解：先写出原问题的对偶问题min f ??20 y 1 ??20 y 2
约束条件： y 1 ??4 y 2 ??2
2 y 1 ??3y 2 ??2 3y 1 ??2 y 2
??1
4 y 1 ??y 2 ??1 y 1 , y 2 ??0 (1)
(2) (3) (4)
将 y 1 ??1 , y 10 2
??3
代入对偶问题的约束条件，得有且只有（2）、（4）式等式成立，也 5就是说，其对应的松弛变量取值均为0，（1）和（3）式对应的松弛变量不为0，从而 由互补松弛定理有 x 1 ??x 3 ??0 ；又因为 y 1 ??0, y 2 ??0 ，从而原问题中的两个约束应
该取等式，把 x 1 ??x 3 ??0 代入其中，得到
2x 2 ??4x 4 ??20 3x 2 ??x 4 ??20
解方程组得到 x 2 ??6, x 4 ??2 。

经验证x
1 ??0, x
2
??6, x
3
??0, x
4
??2 满足原问题约束条件，从而其为原问题的最优解
，对应的目标函数最大值为14；
第7章运输问题
1. 解：
表7-37可以；表7-
38不可以，因为在满足产销要求的情况下，表中要求有且仅有6个数字；表7- 39不可以，因为产地2到销地2无检验数。

3.解：
求得检验数如下所示：
所以，初始解即为最优解。

4．解：
（1）此问题为产销平衡问题。

表
7-1
********************************************
起至销点
发点 1 2 3 4
-------- -------- -------- -------- --------
1 0 250 0 50
2 400 0 0 0
3 0 0 350 150
此运输问题的成本或收益为：19 800。

此问题的另外的解如下。

起至销点
发点 1 2 3 4
-------- -------- -------- -------- --------
1 0 250 50 0
2 400 0 0 0
3 0 0 300 200
此运输问题的成本或收益为：19 800。

（2）如果2分厂产量提高到600，则为产销不平衡问题。

最优解如下
********************************************
起至销点
发点 1 2 3 4
-------- -------- -------- -------- --------
1 0 250 0 0
2 400 0 0 200
3 0 0 350 0
此运输问题的成本或收益为：19 050。

注释：总供应量多出总需求量200；第1
产地的剩余50；第3个产地剩余150。

（3）销地甲的需求提高后，也变为产销不平衡问题。

最优解如下
******************************************** 起至销点
发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- -----
1 50 250 0 0
2 400 0 0 0
3 0 0 350 150
此运输问题的成本或收益为：19 600。

注释：总需求量多出总供应量150；
第1个销地未被满足，缺少100；
第4个销地未被满足，缺少50；
5.解：
仓库1存入40万，空10万。

总运费为1140
万元。

最有运输方案如下：
6．解：
总运费最少为1586万元。

最优调
运方案如下所示
7．解：
首先，计算本题的利润模型，如表7-2所示。

由于目标函数是“max”，将目标函数变为“min”则以上利润模型变为以下模型。

由于管理运筹学软件中要求所输入的数值必须为非负，则将上表中的所有数值均加上1，因此表7-3就变为以下模型。

加入产销量变为运输模型如下。

由于以上模型销量大于产量所以加入一个虚拟产地戊，产量为200，模型如表7- 6所示。

表
用管理运筹学软件计算得出结果如图7-1所示。

图7-1
由于计算过程中将表中的所有数值均加上1，因此应将这部分加上的值去掉，所以935 ?1 300 ?1 ???365 ，又因为最初将目标函数变为了“min”，因此此利润问题的结
果为365。

8．解：建立的运输模型如表
7-7。

最优解如下
********************************************
发点 --------
1 -----
2 -----
3 -----
1 2 0 0
2 3 0 0 3 0 2 0 4 0 3 1 5 0 0 0 6 0 0 2 7 0 0 3
起 至 销点
发点 1 2 3 -------- ----- ----- ----- 1 1 0 1 2 3 0 0 3 1 1 0 4 0 4 0 5 0 0 0 6 0 0 2 7
0 0 3
此运输问题的成本或收益为：9 665 注释：总供应量多出总需求量 3 第3个产地剩余 1 第5个产地剩余 2
此问题的另外的解如下。

起 至 销点
此运输问题的成本或收益为： 9 665 注释：总供应量多出总需求量 3 第3个产地剩余
1
第5个产地剩余
2
此问题的另外的解如下。

起发点至
1
销点
2
3
-------- 1 2 -----
-----
-----
2 3 0 0
3 0 1 1
4 0 4 0
5 0 0 0
6 0 0 2
7 0 0 3
此运输问题的成本或收益为: 9 665
注释：总供应量多出总需求量 3
第3个产地剩余 1
第5个产地剩余 2
9．解：
最优解如下
******************************************** 起至销点
发点 1 2 3 4 5 6。