2020版高考数学(文)新创新一轮复习通用版讲义：第六章第五节数列的综合应用含答案

第五节 数列的综合应用
题型一 数列在数学文化与实际问题中的应用
[典例] (1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了( )
A ．60里
B ．48里
C ．36里
D ．24里
(2)(2019·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a 元 的一年期定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．
[解析] (1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为1
2
的等比数列{a n }，
设等比数列的首项为a 1，则
a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12
＝378，
解得a 1＝192，所以a 4＝192×18＝24，a 5＝24×1
2＝12，
则a 4＋a 5＝24＋12＝36，即此人第4天和第5天共走了36里． (2)2022年1月1日可取出钱的总数为 a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p ) ＝a ·(1＋p )[1－(1＋p )4]
1－(1＋p )
＝a
p [(1＋p )5－(1＋p )] ＝a
p [(1＋p )5－1－p ]．
[答案] (1)C (2)a
p [(1＋p )5－1－p ] [方法技巧]
1．数列与数学文化解题3步骤
2.
[1．在我国古代著名的数学名著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )
A ．9日
B ．8日
C ．16日
D ．12日
解析：选A 由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝103，d ＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n }，其中b 1＝97，d ＝－0.5.设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋m (m －1)×13
2
＋97m ＋
m (m －1)×(－0.5)
2
＝2×1 125，解得m 1＝9或m 2＝－40(舍去)，故选A.
2．(2018·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t 倍．下列选项中，与t 值最接近的是( )
A ．11
B ．13
C ．15
D ．17
解析：选B 设鱼原来的质量为a ，饲养n 年后鱼的质量为a n ，q ＝200%＝2，则a 1＝a (1＋q )，a 2＝a 1⎝⎛⎭⎫1＋q
2＝a (1＋q )⎝⎛⎭⎫1＋q 2，…，a 5＝a (1＋2)×(1＋1)×⎝⎛⎭⎫1＋12×⎝⎛⎭⎫1＋122×⎝⎛⎭⎫1＋123＝405
32a ≈12.7a ，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B.
题型二 数列中的新定义问题
[典例] 若数列{a n }满足
1
a n ＋1－1
a n
＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”，已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“调
和数列”，且b 1＋b 2＋…＋b 2 019＝20 190，则b 2b 2 018的最大值是________．
[解析] 因为数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1b n 是“调和数列”，
所以b n ＋1－b n ＝d ，即数列{b n }是等差数列，
所以b 1＋b 2＋…＋b 2 019＝2 019(b 1＋b 2 019)2＝2 019(b 2＋b 2 018)
2＝20 190，
所以b 2＋b 2 018＝20.
又1
b n
>0，所以b 2>0，b 2 018>0，
所以b 2＋b 2 018＝20≥2b 2b 2 018，
即b 2b 2 018≤100(当且仅当b 2＝b 2 018时等号成立)，
因此b 2b 2 018的最大值为100. [答案] 100 [方法技巧]
新定义数列问题的特点及解题思路
新定义数列题的特点是：通过给出一个新的数列的概论，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
[针对训练]
1．定义一种运算“※”，对于任意n ∈N *均满足以下运算性质：(1)2※2 019＝1；(2)(2n ＋2)※2 019＝(2n )※2 019＋3，则2 018※2 019＝________.
解析：设a n ＝(2n )※2 019，则由运算性质(1)知a 1＝1，由运算性质(2)知a n ＋1＝a n ＋3，即a n ＋1－a n ＝3. 所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，
故2 018※2 019＝(2×1 009)※2 019＝a 1 009＝1＋1 008×3＝3 025. 答案：3 025
2．定义各项为正数的数列{p n }的“美数”为
n
p 1＋p 2＋…＋p n
(n ∈N *)．若各项为正数的数列{a n }的“美数”为
12n ＋1
，且b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1
b 2 018b 2 019＝________.
解析：因为各项为正数的数列{a n }的“美数”为1
2n ＋1，
所以
n a 1＋a 2＋…＋a n ＝1
2n ＋1
.
设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝n (2n ＋1)， S n －1＝(n －1)[2(n －1)＋1]＝2n 2－3n ＋1(n ≥2)， 所以a n ＝S n －S n －1＝4n －1(n ≥2)．
又1a 1＝1
3，所以a 1＝3，满足式子a n ＝4n －1， 所以a n ＝4n －1(n ∈N *)． 又b n ＝a n ＋1
4，所以b n ＝n ，
所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019＝11×2＋12×3＋…＋12 018×2 019
＝1－12＋12－13＋…＋12 018－12 019＝1－12 019＝2 018
2 019
. 答案：
2 018
2 019
题型三 数列与函数的综合问题
[典例] (1)(2019·重庆模拟)已知f (x )＝x 2＋a ln x 在点(1，f (1))处的切线方程为4x －y －3＝0，a n ＝1
2f ′(n )－n (n ≥1，
n ∈N *)，{a n }的前n 项和为S n ，则下列选项正确的是( )
A ．S 2 018－1<ln 2 018
B ．S 2 018>ln 2 018＋1
C ．ln 2 018<S 1 009－1
D ．ln 2 018>S 2 017
(2)(2019·昆明模拟)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且满足f (3－x )＝f (x )，f (－1)＝3，数列{a n }满足a 1＝1且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则f (a 36)＋f (a 37)＝________.
[解析] (1)由题意得f ′(x )＝2x ＋a x ，∴f ′(1)＝2＋a ＝4，解得a ＝2.∴a n ＝12f ′(n )－n ＝12⎝⎛⎭⎫2n ＋2n －n ＝1
n (n ≥1，n ∈N *)．设g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则当x ∈(0,1)时，g ′(x )＝
1
x ＋1－1＝－x x ＋1
<0，∴g (x )在(0,1)上单调递减，∴g (x )<g (0)＝0，即ln(x ＋1)<x .令x ＝1n ，则ln ⎝⎛⎭⎫1n ＋1＝ln n ＋1n <1n ，∴ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n <1＋12＋13＋…＋1
n ，故ln(n ＋1)<S n .设h (x )＝ln x ＋1x －1，则当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＝1x －1
x 2>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴h (x )>h (1)
＝0，即ln x >1－1x ，x ∈(1，＋∞)．令x ＝1＋1n ，则ln ⎝⎛⎭⎫1n ＋1＝ln n ＋1n >1n ＋1，∴ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n >12＋13
＋…＋1n ＋1
n ＋1，故ln(n ＋1)>S n ＋1－1.故选A.
(2)因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (3－x )＝f (x )，所以f (3＋x )＝f (－x )＝－f (x )＝－f (3－x )＝f (x －3)，即f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )是以6为周期的周期函数．由a n ＝n (a n ＋1－a n )可得
a n ＋1a n ＝n ＋1
n
，则a n ＝a n a n －1.a n －1a n －2.a n －2a n －3.....a 2a 1.a 1＝n n －1.n －1n －2.n －2n －3.n －3n －4.. (2)
1×1＝n ，即a n ＝n ，所以a 36＝36，a 37＝37，又因为f (－1)＝3，f (0)
＝0，所以f (a 36)＋f (a 37)＝f (0)＋f (1)＝f (1)＝－f (－1)＝－3.
[答案] (1)A (2)－3 [方法技巧]
数列与函数综合问题的类型及注意点
[1．(2019·玉溪模拟)函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝( )
A ．18
B ．21
C ．24
D ．30
解析：选B ∵函数y ＝x 2(x >0)的导函数为y ′＝2x ，∴函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．令y ＝0，可得x ＝12a k ，即a k ＋1＝12a k ，∴数列{a n }为等比数列，a n
＝16×⎝⎛⎭⎫12n －1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.故选B.
2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1
＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )
A ．S n ＝2T n
B ．T n ＝2b n ＋1
C ．T n >a n
D ．T n <b n ＋1
解析：选D 因为点(n ，S n ＋3)在函数y ＝3×2x 的图象上， 所以S n ＋3＝3×2n ，即S n ＝3×2n －3.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3×2n －3－(3×2n －
1－3)＝3×2n －
1，
又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，所以a n ＝3×2n －
1.
设b n ＝b 1q n －
1，则b 1q n －
1＋b 1q n ＝3×2n －
1，可得b 1＝1，q ＝2，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －
1.
由等比数列前n 项和公式可得T n ＝2n －1. 综合选项可知，只有D 正确．
3．(2019·抚顺模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象经过(－1，0)点，且在x ＝－1处的切线斜率为－1.设数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n ·
a n ＋1前n 项的和T n . 解：(1)函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象经过(－1,0)点， 则a －
b ＝0，即a ＝b .①
因为f ′(x )＝2ax ＋b ，函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝－1处的切线斜率为－1，所以－2a ＋b ＝－1.② 由①②得a ＝1，b ＝1，
所以数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )＝n 2＋n . 当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2＋(n －1)， 所以a n ＝S n －S n －1＝2n .
当n ＝1时，a 1＝2符合上式，则a n ＝2n . (2)由于a n ＝2n ， 则
1a n ·a n ＋1＝12n (2n ＋2)＝14⎝
⎛⎭⎫1
n －1n ＋1，
则T n ＝1
4⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1
＝1
4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 4n ＋4.
题型四 数列与不等式的综合问题
[典例] (2019·福州八校联考)数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2(n ∈N *)． (1)求证：{a n ＋2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
n a n ＋2
，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，证明：对任意n ∈N *，都有15≤S n <4
5.
[证明] (1)∵a n ＋1＝2a n ＋2，∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)．∵{a n ＋2}是以a 1＋2＝5为首项，公比q ＝2的等比数列，∴a n ＝5×2n －
1－2.
(2)由(1)可得b n ＝n
5×2n －1
，
∴S n ＝1
5⎝⎛⎭⎫1＋22＋322＋…＋n 2n －1，①
12S n ＝15⎝⎛⎭⎫12＋222＋3
2
3＋…＋n 2n ，② ①－②可得S n ＝25⎝⎛⎭⎫1＋12＋1
22＋…＋12n －1－n 2n ＝25
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－
1
2n
1－12－n 2n
＝25⎝⎛⎭⎫2－2＋n 2n
<4
5. ∴S n <4
5，又∵S n ＋1－S n ＝b n ＋1＝n ＋15×2n >0，
∴数列{S n }单调递增，S n ≥S 1＝15，
∴对任意n ∈N *，都有15≤S n <4
5.
[方法技巧]
数列中不等式证明问题的解题策略
数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．
放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2<1k 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1
k －1－1k ＋1. (2)1k －1k ＋1<1k 2<1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )<1
n
<2(n －n －1)． [针对训练]
(2019·广安模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求满足不等式T n ≥19
10的最小正整数n .
解：(1)由S n ＋1＝S n ＋a n ＋n ＋1(n ∈N *
)，得a n ＋1－a n ＝n ＋1，又a 1＝1， 所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝(1＋n )n
2
. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(1＋n )n
2
. (2)由(1)知1
a n
＝
2
(1＋n )n ＝2⎝
⎛⎭⎫1n －1n ＋1，
所以T n ＝2[ ⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭
⎫12－1
3＋…＋⎝⎛⎭
⎫1n －1n ＋1 ] ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝
2n
n ＋1. 令
2n n ＋1≥19
10
，解得n ≥19， 所以满足不等式T n ≥19
10
的最小正整数n 为19.
[课时跟踪检测]
1．(2019·深圳模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( )
A.n n ＋1 B ．
n ＋2
n ＋1
C.n n －1
D ．n ＋1n
解析：选A ∵f ′(x )＝mx m －
1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)，则
1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1
，用裂项法求和得S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1
n ＋1＝n n ＋1.
2．已知函数f (n )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
n 2
，n 为奇数，
－n 2
，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018＝( ) A ．－2 017 B ．－2 018 C ．2 017
D ．2 018
解析：选D 当n 为奇数时，n ＋1为偶数，则a n ＝n 2－(n ＋1)2＝－2n －1，所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝－(3＋7＋11＋…＋4 035)．当n 为偶数时，n ＋1为奇数，则a n ＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1，所以a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018＝5＋9＋13＋…＋4 037.所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018＝(5－3)＋(9－7)＋(13－11)＋…＋(4 037－4 035)＝2×1 009＝2 018，故选D.
3．(2017·四川乐山模拟)对于数列{a n }，定义H 0＝a 1＋2a 2＋…＋2n －
1a n
n
为{a n }的“优值”．现已知某数列的“优
值”H 0＝2n ＋
1，记数列{a n －20}的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为( )
A ．－64
B ．－68
C ．－70
D ．－72
解析：选D 由题意可知：H 0＝a 1＋2a 2＋…＋2n －
1a n n
＝2n ＋1
，
则a 1＋2a 2＋…＋2
n －1
·a n ＝n ·2
n ＋1
.
当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋2n －
2·a n －1＝(n －1)·2n ，
两式相减得2n －
1·a n ＝n ·2n ＋
1－(n －1)·2n ，a n ＝2(n ＋1)，
当n ＝1时成立，∴a n －20＝2n －18，显然{a n －20}为等差数列． 令a n －20≤0，解得n ≤9，
故当n ＝8或9时，{a n －20}的前n 项和S n 取最小值， 最小值为S 8＝S 9＝9×(－16＋0)
2
＝－72，故选D.
4．(2019·湖北襄阳联考)已知函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋1
2为奇函数，g (x )＝f (x )＋1，若a n ＝g ⎝⎛⎭⎫n 2 019，则数列{a n }的前2 018项和为( )
A ．2 017
B ．2 018
C ．2 019
D ．2 020
解析：选B ∵函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为奇函数，∴其图象关于原点对称，∴函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫1
2，0对称，∴函数g (x )＝f (x )＋1的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，1对称，∴g (x )＋g (1－x )＝2，∵a n ＝g ⎝⎛⎭⎫n 2 019，∴数列的前2 018项之和为g ⎝⎛⎭⎫12 019＋g ⎝⎛⎭⎫22 019＋g ⎝⎛⎭⎫32 019＋…＋g ⎝⎛⎭⎫2 0172 019＋g ⎝⎛⎭
⎫2 0182 019＝2 018.故选B. 5．(2019·林州一中调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝5，a n ＋1＝－1
2a n ＋6，若对任意的n ∈N *,1≤p (S n
－4n )≤3恒成立，则实数p 的取值范围为( )
A ．(2,3]
B ．[2,3]
C ．(2,4]
D ．[2,4]
解析：选B 由数列的递推关系式可得a n ＋1－4＝－12(a n －4)，则数列{a n －4}是首项为a 1－4＝1，公比为－1
2的等
比数列，∴a n －4＝1×⎝⎛⎭⎫－12n －1，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1＋4，∴S n ＝2
3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋4n ，∴不等式1≤p (S n －4n )≤3恒成立，即1≤p ×23⎣⎡⎦⎤1－
⎝⎛⎭⎫－12n ≤3恒成立．当n 为偶数时，可得1≤p ×23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n ≤3，可得2≤p ≤92，当n 为奇数时，可得1≤p ×23⎣⎡⎦⎤1＋
⎝⎛⎭⎫12n ≤3，可得32
≤p ≤3，故实数p 的取值范围为[2,3]． 6．(2019·昆明适应性检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4n ，若不等式S n ＋8≥λn 对任意的n ∈N *都成立，则实数λ的取值范围为________．
解析：因为a n ＝4n ，所以S n ＝2n 2
＋2n ，不等式S n ＋8≥λn 对任意的n ∈N *
恒成立，即λ≤2n 2＋2n ＋8n ，又2n 2＋2n ＋8n
＝2n ＋8
n ＋2≥10(当且仅当n ＝2时取等号)，所以实数λ的取值范围为(－∞，10]．
答案：(－∞，10]
7．(2019·济宁模拟)若数列{a n }满足：只要a p ＝a q (p ，q ∈N *)，必有a p ＋1＝a q ＋1，那么就称数列{a n }具有性质P .已
知数列{a n }具有性质P ，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 5＝2，a 6＋a 7＋a 8＝21，则a 2 020＝____________.
解析：根据题意，数列{a n }具有性质P ，且a 2＝a 5＝2， 则有a 3＝a 6＝3，a 4＝a 7，a 5＝a 8＝2. 由a 6＋a 7＋a 8＝21，可得a 3＋a 4＋a 5＝21， 则a 4＝21－3－2＝16，
进而分析可得a 3＝a 6＝a 9＝…＝a 3n ＝3，a 4＝a 7＝a 10＝…＝a 3n ＋1＝16，a 5＝a 8＝…＝a 3n ＋2＝2(n ≥1)， 则a 2 020＝a 3×673＋1＝16. 答案：16
8．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．
解析：由题意得，蒲草的高度组成首项为a 1＝3，公比为1
2的等比数列{a n }，设其前n 项和为A n ；莞草的高度组
成首项为b 1＝1，公比为2的等比数列{b n }，设其前n 项和为B n .则A n ＝3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12，B n ＝2n －1
2－1，令3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝2n －12－1，
化简得2n ＋62n ＝7(n ∈N *)，解得2n ＝6，所以n ＝lg 6lg 2＝1＋lg 3
lg 2
≈3，即第3天时蒲草和莞草高度相同．
答案：3
9．(2019·安阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在函数f (x )＝x 2＋Bx ＋C －1(B ，C ∈R)的图象上，且a 1＝C .
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记数列b n ＝a n (a 2n －1＋1)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋
n (n －1)2d ＝d 2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d
2n . 又S n ＝n 2＋Bn ＋C －1，
两式比较得d 2＝1，B ＝a 1－d
2，C －1＝0.又a 1＝C ，
解得d ＝2，C ＝1＝a 1，B ＝0， ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.
(2)∵b n ＝a n (a 2n －1＋1)＝(2n －1)(2×2n －
1－1＋1)＝(2n －1)×2n ，
∴数列{b n }的前n 项和T n ＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n ， ∴2T n ＝22＋3×23＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋
1，
∴－T n ＝2＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)×2n ＋
1
＝2＋2×
4(2n －1
－1)2－1
－(2n －1)×2n ＋1＝(3－2n )×2n ＋
1－6，
故T n ＝(2n －3)×2n ＋
1＋6.
10．2017年12月4日0时起某市实施机动车单双号限行，新能源汽车不在限行范围内，某人为了出行方便，准备购买某新能源汽车．假设购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元，汽车的保养维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．
(1)设使用n 年该车的总费用(包括购车费用)为f (n )，试写出f (n )的表达式；
(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)，年平均费用的最小值是多少？ 解：(1)由题意得f (n )＝14.4＋(0.2＋0.4＋0.6＋…＋0.2n )＋0.9n ＝14.4＋0.2n (n ＋1)
2
＋0.9n ＝0.1n 2＋n ＋14.4. (2)设该车的年平均费用为S 万元，则有
S ＝1n f (n )＝1
n (0.1n 2＋n ＋14.4)＝n 10
＋14.4n ＋1≥2 1.44＋1＝3.4.
当且仅当n 10＝14.4
n ，即n ＝12时，等号成立，即S 取最小值3.4万元．所以这种新能源汽车使用12年报废最合
算，年平均费用的最小值是3.4万元．
11．(2018·淮南一模)若数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在y ＝16－1
3x 的图象上(n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若c 1＝0，且对任意正整数n 都有c n ＋1－c n ＝log 12a n .求证：对任意正整数n ≥2，总有13≤1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n <3
4.
解：(1)∵S n ＝16－1
3
a n ，
∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －1－1
3a n ，
∴a n ＝1
4
a n －1.
又∵S 1＝16－13a 1，∴a 1＝1
8，
∴a n ＝18×⎝⎛⎭
⎫14n －1＝⎝⎛⎭⎫122n ＋1
.
(2)证明：由c n ＋1－c n ＝log 12
a n ＝2n ＋1，得当n ≥2时，c n ＝c 1＋(c 2－c 1)＋(c 3－c 2)＋…＋(c n －c n －1)＝0＋3＋5＋…
＋(2n －1)＝n 2－1＝(n ＋1)(n －1)．
∴1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ＝
122
－1＋132－1＋142－1＋…＋1
n 2－1
＝1
2×[ ⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1 ] ＝1
2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋12－⎝
⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1
＝3
4－
1
2⎝
⎛
⎭
⎫
1
n＋
1
n＋1<
3
4.
又∵1
c2＋
1
c3＋
1
c4＋…＋
1
c n≥
1
c2＝
1
3，∴原式得证．。