初中数学最新版《单项式除以单项式》精品导学案(2022年版)

12.4 整式的除法 1.单项式除以单项式
学习目标：
1.会进行单项式除以单项式运算.〔重点〕
2.探索单项式除以单项式法那么的过程.〔难点〕
自主学习
一、知识链接
填一填：(1)a 2·a 3＝； (2)2x ·3x 4＝； 〔3〕2a 2b ·
2
1a 3b 5
＝. 二、新知预习
试一试：根据“填一填〞中的结果，填写以下等式： (1)a 5÷a 2＝； (2)6x 5÷2x ＝； 〔3〕a 5b 6÷2a 2b ＝.
合作探究
一、探究过程
探究点：单项式除以单项式
问题 观察“试一试〞中的式子，你发现商的系数和字母的次数与被除式、除式有什么关系？
【要点归纳】单项式除以单项式的法那么，即单项式相除, 把____________、__________分别相除后，作为商的______；对于只在被除式中出现的字母，那么连同它的______一起作为商的一个因式.
1〕-4x 5
÷2x 3
；(2)〔﹣8x 9y 6〕÷〔2x 2y 〕.
【针对训练】
1.计算8a 3÷〔-2a 〕的结果是〔 〕
A ．4a
B ．-4a
C ．4a 2
D ．-4a 2
2.计算：〔1〕4a 3
b 2
÷2ab ； 〔2〕〔6x 2y 3
)2
÷(3xy 2
)2
；〔3〕﹣5x 5y 3z ÷15x 4y ÷
x y .
【方法总结】掌握整式的除法的运算法那么是解题的关键，注意在计算过程中，有乘方的先算乘方，再算乘除．如T2〔2〕.
|a+5|+|b-2|=0，求代数式5a 5b 4c ÷[〔2a 2b 2〕2c ]·2b 2的值.
二、课堂小结
单项式除以单项式: 相除；
2.同底数的幂______；
3.只在被除式中出现的因式照搬作为商的一个因式.
当堂检测
1.计算4x 3yz ÷2xy 正确的结果是〔 〕 A ．2xyz
B ．
xyz
C ．2x 2z
D ．
x 2z
2.计算：6a 3b 4÷3a 2b ÷ab ＝〔 〕 A ．2
B ．2ab 3
C ．3ab 3
D ．2b 2
3.单项式A 与﹣3x 2y 的乘积是6x 6y 2，那么单项式A 是〔 〕 A ．2x 3y
B ．﹣2x 3y
C ．﹣2x 4y
D ．2x 4y
4.如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，假设该纸盒的容积为4a 2b ，那么图2中纸盒底部长方形的面积为〔 〕
A ．4ab
B ．8ab
C ．4a+b
D ．8a+2b 5.﹣21x 2y a ÷〔﹣3x 2y 3〕＝7y ，那么a=. 6．填空：〔1〕200xy÷〔－8y 〕=； 〔2〕〔－3ax 〕3÷〔〕=－3ax ； 〔3〕〔〕÷〔－5ab 3〕=3ac ． 7．计算： 〔1〕2x 2y ÷〔﹣
x 〕； 〔2〕〔﹣2x 3y 2〕3÷2x 2y ；
〔3〕〔3a 2b 3c 4〕2÷〔-a 2b 4〕； 〔4〕[〔﹣5mn 〕6÷〔﹣5mn 〕4]2；
〔5〕〔﹣3x 2y 〕2•6xy 3÷9x 3y 4； 〔6〕﹣
x 2y+〔﹣
ax 4y 3〕÷〔﹣
ax 2y 2〕.
8.小明在进行两个单项式相除时，不小心把除以7ab ，看成乘7ab ，结果得到﹣21a 2b 2，求实际相除的结果.
参考答案
自主学习 一、知识链接
填一填：(1)a 5〔2) 6x 5(3)a 5b 6 二、新知预习
试一试：(1)a 3〔2) 3x 4(3)2
1a 3b 5 合作探究 一、探究过程
探究点：单项式除以单项式
问题 解：商的系数是被除式与除式系数的商，次数是对应字母的次数相减. 【要点归纳】系数 同底数幂 因式 指数
〔1〕原式=-2x 2
.(2)原式＝﹣4x 7y 5. 【针对训练】
2.解：〔1〕原式=2a 2
b .〔2〕原式=4x 2y 2
.〔3〕原式＝﹣xy 2z ÷
xy ＝﹣yz .
：原式＝
222
5
245ab b a =⋅. 因为|a+5|+|b-2|=0，所以a=-5，b=2.所以原式＝()50252
5
2-=⨯-⨯. 二、课堂小结 系数 相除 当堂检测
1.C
2.D
3.C
4.A
5.4
6.〔1〕-25x 〔2〕9a ²x 2 〔3〕－15a 2b 3c
7.解：〔1〕原式＝﹣8xy ．
〔2〕原式＝﹣8x 9y 6÷2x 2y ＝﹣4x 7y 5．
〔4〕原式＝[〔﹣5mn 〕2]2＝625m 4n 4． 〔5〕原式＝9x 4y 2•6xy 3÷9x 3y 4＝6x 2y ． 〔6〕原式＝﹣
x 2y+
x 2y ＝x 2y.
8.解：由题意可得：被除式为﹣21a 2b 2÷7ab ＝﹣3ab ， 故正确的结果是﹣3ab ÷7ab ＝﹣
．
第1课时 单项式与单项式、多项式相乘
1．探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法那么，并运用它们进行运算．(重点)
2．熟练应用运算法那么进行计算．(难点) 一、情境导入
1．教师引导学生回忆幂的运算公式．
学生积极举手答复：同底数幂的乘法公式：a m ·a n ＝a m ＋n
(m ，n 为正整数)．
幂的乘方公式：(a m )n ＝a mn
(m ，n 为正整数)．
积的乘方公式：(ab )n ＝a n b n
(n 为正整数)．
2．教师肯定学生的答复，并引入课题——单项式与单项式、多项式相乘． 二、合作探究
探究点一：单项式乘以单项式
【类型一】 直接利用单项式乘以单项式法那么进行计算
计算：
(1)(－23a 2b )·(56ac 2
)；
(2)(－12x 2y )3·3xy 2·(2xy 2)2
；
(3)－6m 2n ·(x －y )3·13
mn 2(y －x )2
.
解析：运用幂的运算法那么和单项式乘以单项式的法那么计算即可． 解：(1)(－23a 2b )·(56ac 2)＝－23×56a 3bc 2＝－59
a 3bc 2
；
(2)(－12x 2y )3·3xy 2·(2xy 2)2＝－18x 6y 3×3xy 2×4x 2y 4
＝－32x 9y 9；
(3)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2(y －x )2＝－6×13
m 3n 3(x －y )5＝－2m 3n 3(x －y )5
.
方法总结：(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意
按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
【类型二】 单项式乘以单项式与同类项的综合
－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y －3－m 的积与x 4y 是同类项，求m 2
＋n 的值．
解析：根据－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y －3－m 的积与x 4
y 是同类项可得出关于m ，n 的方程组，进而求出m ，n 的值，即可得出答案．
解：∵－2x
3m ＋1y 2n
与7x n －6y
－3－m
的积与x
4
y 是同类项，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋1＋n －6＝4，2n －3－m ＝1，解得：
⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝2，
n ＝3，∴m 2
＋n ＝7.
方法总结：单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项，列出二元一次方程组．
【类型三】 单项式乘以单项式的实际应用
有一块长为x m ，宽为y m 的矩形空地，现在要在这块地中规划一块长35x m ，宽3
4
y m
的矩形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
解析：先求出长方形的面积，再求出矩形绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积．
解：长方形的面积是xy m 2，矩形空地绿化的面积是35x ×34y ＝920xy (m)2
，那么剩下的面积
是xy －920xy ＝1120
xy (m 2
)．
方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法那么是解题的关键． 探究点二：单项式乘以多项式
【类型一】 直接利用单项式乘以多项式法那么进行计算
计算： (1)(23ab 2－2ab )·1
2ab ；
(2)－2x ·(12
x 2
y ＋3y －1)．
解析：先去括号，然后计算乘法，再合并同类项即可．
解：(1)(23ab 2－2ab )·12ab ＝23ab 2·12ab －2ab ·12ab ＝13
a 2
b 3－a 2b 2
；
(2)－2x ·(12x 2y ＋3y －1)＝－2x ·12x 2y ＋(－2x )·3y －(－2x )·1＝－x 3
y ＋(－6xy )－
(－2x )＝－x 3
y －6xy ＋2x .
方法总结：单项式与多项式相乘的运算法那么：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
【类型二】 单项式乘以多项式乘法的实际应用
一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a 米，下底宽(a ＋2b )米，坝高1
2
a 米．
(1)求防洪堤坝的横断面积；
(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
解析：(1)根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘多项式的法那么计算；(2)防洪堤坝的体积＝梯形面积×坝长．
解：(1)防洪堤坝的横断面积S ＝12[a ＋(a ＋2b )]×12a ＝14a (2a ＋2b )＝12a 2＋1
2ab .故防洪堤
坝的横断面积为(12a 2＋1
2
ab )平方米；
(2)堤坝的体积V ＝Sh ＝(12a 2＋12ab )×100＝50a 2＋50ab .故这段防洪堤坝的体积是(50a
2
＋50ab )立方米．
方法总结：通过此题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积＝梯形面积×长度)的计算方法，同时掌握单项式乘多项式的运算法那么是解题的关键．
【类型三】 化简求值
先化简，再求值：3a (2a 2－4a ＋3)－2a 2
(3a ＋4)，其中a ＝－2.
解析：首先根据单项式与多项式相乘的法那么去掉括号，然后合并同类项，最后代入的数值计算即可．
解：3a (2a 2－4a ＋3)－2a 2(3a ＋4)＝6a 3－12a 2＋9a －6a 3－8a 2＝－20a 2
＋9a ，当a ＝－2时，原式＝－20×4－9×2＝－98.
方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号，不要搞错．
【类型四】 单项式乘多项式，利用展开式中不含某一项求未知系数的值
如果(－3x )2(x 2－2nx ＋23
)的展开式中不含x 3
项，求n 的值．
解析：原式先算乘方，再利用单项式乘多项式法那么计算，根据结果不含x 3
项，求出n 的值即可．
解：(－3x )2(x 2－2nx ＋23)＝(9x 2)(x 2－2nx ＋23)＝9x 4－18nx 3＋6x 2，由展开式中不含x
3
项，得到n ＝0.
方法总结：单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.
三、板书设计
单项式与单项式、多项式相乘
1．单项式与单项式相乘法那么：单项式与单项式相乘就是它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，那么连同它的指数一起作为积的一个因式．
2．单项式与多项式相乘的法那么：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．
本节知识的重点是让学生理解单项式与单项式、多项式相乘的法那么，并能应用．这就必须要求学生对乘法的分配律以及幂的运算法那么有一定的根底，因此课前可以要求学生先复习该局部的知识，同时在上新课前也可以通过练习题让学生回忆知识．对于运算法那么的得出，教师通过“试一试〞逐步解题，通过计算演示法那么的内容，更有利于学生理解运算法那么．。