人教版数学九年级上册因式分解法解一元二次方程精品课件
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10x 4.9x2 0.
思考：除配方法或公式法以外，能否找到其 它解方程的方法？
探究因式分解法
问题2 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到解方程的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
降 次
x（10 - 4.9x）= 0
x = 0 或 10 - 4.9x = 0
心动 不如行动 你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小亮是这样想的 : 0 3 0,15 0 0, 0 0 0. 反过来,如果a b 0,
那么a 0或b 0 或a b 0. 即, 如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.
人教版数学九年级上册因式分解法解 一元二 次方程 精品课 件
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例题
☞
用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;
分解因式法
(2)x(x-2)＋x-2 =0.
（3）5x2
2x
1 4
x2
2x
3 4
44x(2x 1) 6x 3
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x 2) 0
1.用分解因式法解一元二次方程的条件是: 方程左边易于分解,而右边等于零; 2.理论依据是.
“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零”
人教版数学九年级上册因式分解法解 一元二 次方程 精品课 件
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用因式分解法解一元二次方程的步骤
• (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
• 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用分解因式法简 便快捷地求解.
开启 智慧
二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
(3)公式法: x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
2、什么叫因式分解? 把一个多项式化成几个整式的积 的形式叫做因式分解.
3、因式分解的方法有哪些?
（1）提取公因式法: am bm cm m(a b c)
（2）公式法:
a2 b2 (a b)(a b) a2 2ab b2 (a b)2
我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：
x2 6x 9 (x 3)2; x2 5x 6 (x 2)(x 3);
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
4x2 12x 9 ?. 3x2 7x 4 ?.
观察下列各式,也许你能发现些什么
应用举例
例3 解下列方程：
(1) x2 5x 6 0 (2) t(t 3) 28
练习 (1) x2 10x 16 0 (2) x2 3x 10 0
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当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时,我们就可以用因式分 解的方法求解. 这种方法称为因式分解法.
1.用分解因式法解一元二次方程的条件是:
方程左边易于分解,而右边等于零;
2.理论依据是.
“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零”
应用举例 例1 解下列方程：
(1) 3x2 6x 0 (2) x(x 2) x 2 0
练习：P14 1 （1）（2）（5）
应用举例
例2 解下列方程：
1、方程右边化为 0 ；
2、将方程左边分解为两个 一次因式 的相乘； 3 、分别使各个一次因式 等于0 ，得到 两个一元一次方程； 4 、解所得的 两个一元一次方程 ； 5 、写出方程的解。
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简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
练习：P14 1 （3）（4）
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(1) 2x2 4x 2 0
(2) 5x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
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用因式分解法解一元二次方程的步骤
1、方程右边化为 0 ；
2、将方程左边化为两个 一次因式 的相乘； 3 、分别使各个一次因式 等于0 ，得到 两个一元一次方程； 4 、解所得的 两个一元一次方程 ； 5 、写出方程的解。
我思
我进步
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分 解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分 解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二 次方程的方法称为分解因式法.
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解, 而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那 么至少有一个因式等于零.”
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
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作业：P17 6 (1) (2) (3)
( 4 ) x2 x 72 0
新课程：P10—11
思考： 方程(x 4)2 (5 2x)2有几种解法？
1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为 零”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解两个一元一次 方程，它们的根就是原方 程的根.
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学习是件很愉快的事
• 你能用分解因式法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0,
1.4x 1(5x 7) 0; 2.3xx 1 2 2x;
3.(2x 3)2 4(2x 3); 4.2(x 3)2 x2 9;
5.5(x2 x) 3(x2 x);
6.(x 2)2 2x 32; 7.2(x 3)2 xx 3;
8. (4x 2)2 x(2x 1)
7.(x 2)x 3 12;
3.x1 3; x2 2.
4.x1
9.x1 6.x1 7.x1
1 2
;
x2
4 7
3, x2 2; x2 3, x2
9. 4. 36.
.
8.(x 1)2 3x 1 2 0; 8.x1 0; x2 1.
小结 拓展
回味无穷
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的 乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一 元二次方程的方法称为分解因式法.
解方程 : x2 7x 6 0得x1 1, x2 6; 而x2 7x 6 (x 1)(x 6);
解方程 : x2 2x 3 0得x1 3, x2 1; 而x2 2x 3 (x 3)(x 1);
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归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： （1）化方程为一般形式； （2）将方程左边因式分解； （3）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方 程； （4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．
• 分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟 练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零.”
• 因式分解法解一元二次方程的步骤是:
• (1)化方程为一般形式;
• (2)将方程左边因式分解;
• (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.
（3）pq型: x2 ( p q)x pq (x p)(x+q)
探究因式分解法
问题1 根据物理学规律，如果把一个物体从地面 以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的 高度（单位：m）为
10x - 4.9x2． 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗 （结构保留小数点后两位）？
x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
x
1
=
0，x
2
=
100 49
2.04
两个因如式果a的·b=积0 等于零
那么a=0或
至少b=有0．一个因式为零
上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04时落回地面，面x1=0 表示物体被上抛时离地面的时刻，即在0s时物体被抛出， 此刻物体的高度是0m．
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时,我们就可以用因式分 解的方法求解. 这种方法称为因式分解法.
解下列方程
参考答案：
1.x1 2.x1
1
4
; x2 2; 3
x2
7. 5 1.
3.x1 4.x1
3; 2
3; x2
x2
9.
1 2
.
5.x1 0; x2 4.
6.x1
5;
x2
1 3
.
7.x1 3, x2 6.
8.x1
1 2
;
x2
4 7
.
我最棒
,用分解因式法解下列方
程 参考答案：
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小亮是这样解的 :
解 :由方程x2 3x, 得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
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你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小颖是这样解的 :
由x 5 3，得x 8;
()
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
想一想
先胜为快
• 一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解：设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x.
2x2-7x=0,
x(2x-7) =0,
∴x=0,或2x-7=0.
x1
0,
x2
7. 2
练习
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回顾与复习
1、我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
(1)直接开平方法: x2 p ( p 0) (mx n)2 p ( p 0)
(2)配方法: (x n)2 p ( p 0)
1. x2 (5 2)x 5 2 0 ; 1.x1 5; x2 2.
2. x2 ( 3 5)x 15 0 ； 2.x1 5; x2 3.
3.x2 (3 2)x 18 0;
4.x2 12 x 27 0;
5. 2(x 3)2 x2 9 .
6.(3x 1)2 5 0;
解 : x2 3x 0. x 3 9 . 2
这个数是0或3. 小颖做得对吗?
小明是这样解的 :
解 : 方程x2 3x两 边都同时约去x, 得.
x 3. 这个数是3.
小明做得对吗?
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思考：除配方法或公式法以外，能否找到其 它解方程的方法？
探究因式分解法
问题2 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到解方程的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
降 次
x（10 - 4.9x）= 0
x = 0 或 10 - 4.9x = 0
心动 不如行动 你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小亮是这样想的 : 0 3 0,15 0 0, 0 0 0. 反过来,如果a b 0,
那么a 0或b 0 或a b 0. 即, 如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.
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例题
☞
用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;
分解因式法
(2)x(x-2)＋x-2 =0.
（3）5x2
2x
1 4
x2
2x
3 4
44x(2x 1) 6x 3
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x 2) 0
1.用分解因式法解一元二次方程的条件是: 方程左边易于分解,而右边等于零; 2.理论依据是.
“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零”
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用因式分解法解一元二次方程的步骤
• (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
• 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用分解因式法简 便快捷地求解.
开启 智慧
二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
(3)公式法: x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
2、什么叫因式分解? 把一个多项式化成几个整式的积 的形式叫做因式分解.
3、因式分解的方法有哪些?
（1）提取公因式法: am bm cm m(a b c)
（2）公式法:
a2 b2 (a b)(a b) a2 2ab b2 (a b)2
我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：
x2 6x 9 (x 3)2; x2 5x 6 (x 2)(x 3);
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
4x2 12x 9 ?. 3x2 7x 4 ?.
观察下列各式,也许你能发现些什么
应用举例
例3 解下列方程：
(1) x2 5x 6 0 (2) t(t 3) 28
练习 (1) x2 10x 16 0 (2) x2 3x 10 0
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当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时,我们就可以用因式分 解的方法求解. 这种方法称为因式分解法.
1.用分解因式法解一元二次方程的条件是:
方程左边易于分解,而右边等于零;
2.理论依据是.
“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零”
应用举例 例1 解下列方程：
(1) 3x2 6x 0 (2) x(x 2) x 2 0
练习：P14 1 （1）（2）（5）
应用举例
例2 解下列方程：
1、方程右边化为 0 ；
2、将方程左边分解为两个 一次因式 的相乘； 3 、分别使各个一次因式 等于0 ，得到 两个一元一次方程； 4 、解所得的 两个一元一次方程 ； 5 、写出方程的解。
人教版数学九年级上册因式分解法解 一元二 次方程 精品课 件
人教版数学九年级上册因式分解法解 一元二 次方程 精品课 件
人教版数学九年级上册因式分解法解 一元二 次方程 精品课 件
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简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
练习：P14 1 （3）（4）
人教版数学九年级上册因式分解法解 一元二 次方程 精品课 件
人教版数学九年级上册因式分解法解 一元二 次方程 精品课 件
(1) 2x2 4x 2 0
(2) 5x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
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用因式分解法解一元二次方程的步骤
1、方程右边化为 0 ；
2、将方程左边化为两个 一次因式 的相乘； 3 、分别使各个一次因式 等于0 ，得到 两个一元一次方程； 4 、解所得的 两个一元一次方程 ； 5 、写出方程的解。
我思
我进步
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分 解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分 解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二 次方程的方法称为分解因式法.
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解, 而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那 么至少有一个因式等于零.”
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
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作业：P17 6 (1) (2) (3)
( 4 ) x2 x 72 0
新课程：P10—11
思考： 方程(x 4)2 (5 2x)2有几种解法？
1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为 零”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解两个一元一次 方程，它们的根就是原方 程的根.
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学习是件很愉快的事
• 你能用分解因式法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0,
1.4x 1(5x 7) 0; 2.3xx 1 2 2x;
3.(2x 3)2 4(2x 3); 4.2(x 3)2 x2 9;
5.5(x2 x) 3(x2 x);
6.(x 2)2 2x 32; 7.2(x 3)2 xx 3;
8. (4x 2)2 x(2x 1)
7.(x 2)x 3 12;
3.x1 3; x2 2.
4.x1
9.x1 6.x1 7.x1
1 2
;
x2
4 7
3, x2 2; x2 3, x2
9. 4. 36.
.
8.(x 1)2 3x 1 2 0; 8.x1 0; x2 1.
小结 拓展
回味无穷
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的 乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一 元二次方程的方法称为分解因式法.
解方程 : x2 7x 6 0得x1 1, x2 6; 而x2 7x 6 (x 1)(x 6);
解方程 : x2 2x 3 0得x1 3, x2 1; 而x2 2x 3 (x 3)(x 1);
人教版数学九年级上册因式分解法解 一元二 次方程 精品课 件
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归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： （1）化方程为一般形式； （2）将方程左边因式分解； （3）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方 程； （4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．
• 分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟 练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零.”
• 因式分解法解一元二次方程的步骤是:
• (1)化方程为一般形式;
• (2)将方程左边因式分解;
• (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.
（3）pq型: x2 ( p q)x pq (x p)(x+q)
探究因式分解法
问题1 根据物理学规律，如果把一个物体从地面 以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的 高度（单位：m）为
10x - 4.9x2． 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗 （结构保留小数点后两位）？
x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
x
1
=
0，x
2
=
100 49
2.04
两个因如式果a的·b=积0 等于零
那么a=0或
至少b=有0．一个因式为零
上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04时落回地面，面x1=0 表示物体被上抛时离地面的时刻，即在0s时物体被抛出， 此刻物体的高度是0m．
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时,我们就可以用因式分 解的方法求解. 这种方法称为因式分解法.
解下列方程
参考答案：
1.x1 2.x1
1
4
; x2 2; 3
x2
7. 5 1.
3.x1 4.x1
3; 2
3; x2
x2
9.
1 2
.
5.x1 0; x2 4.
6.x1
5;
x2
1 3
.
7.x1 3, x2 6.
8.x1
1 2
;
x2
4 7
.
我最棒
,用分解因式法解下列方
程 参考答案：
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小亮是这样解的 :
解 :由方程x2 3x, 得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
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你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小颖是这样解的 :
由x 5 3，得x 8;
()
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
想一想
先胜为快
• 一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解：设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x.
2x2-7x=0,
x(2x-7) =0,
∴x=0,或2x-7=0.
x1
0,
x2
7. 2
练习
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回顾与复习
1、我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
(1)直接开平方法: x2 p ( p 0) (mx n)2 p ( p 0)
(2)配方法: (x n)2 p ( p 0)
1. x2 (5 2)x 5 2 0 ; 1.x1 5; x2 2.
2. x2 ( 3 5)x 15 0 ； 2.x1 5; x2 3.
3.x2 (3 2)x 18 0;
4.x2 12 x 27 0;
5. 2(x 3)2 x2 9 .
6.(3x 1)2 5 0;
解 : x2 3x 0. x 3 9 . 2
这个数是0或3. 小颖做得对吗?
小明是这样解的 :
解 : 方程x2 3x两 边都同时约去x, 得.
x 3. 这个数是3.
小明做得对吗?
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