第第三章整规划精品文档

目使得5年后总收益最大？
《运筹学》课件
整数规划
模型
变量—每个项目是否投资
x j 1,0 j1,2...n,
约束—总金额不超过限制
n
bjxj B
j 1
n
目标—总收益最大
c jx j
j1
max
《运筹学》课件
整数规划
n
max c j x j j1
n
s .t .
1 1 1

0
xm x m 1 x n s r
0 m1 0 n 0 0 a1m1 a 1 n 0
a rm 1
a rn 0
1 amm1 a mn 0
1 arm 1arm 1 arnarn
cB B1b
b1
br
bm
br br
《运学》课件 初始分支为可行解 集，初始界为无穷大
判定是否 分支集空
是停止
当前最好解 为最优解
选一分支写出并求解 放松问题，同时从分支集
中删除该分支
否 判定是否 是 为整数解
《运筹学》课件
判定最优值是否 否 小于当前界
是
按非整数变量分 支并加入分支集
判定最优值是否 小于当前界 否
除了初始点外要求
《运筹学》课件
目标—总费用最小
nn
c ij x ij
i0 j0
整数规划
《运筹学》课件
整数规划
nn
min
c ij x ij
i0 j0
n
x ij 1; i 1,2 ,..., n
j0
s .t . n x ij 1; j 1, 2 ,..., n
min c x
min c x
Ax b
s
.t
.
x

0,
x 为整数
Ax b
s .t.
x

0
可行解是放松问题的可行解 最优值大于等于放松问题的最优值
《运筹学》课件
《运筹学》课件
《运筹学》课件
注释
最优解不一定在顶点上达到 最优解不一定是放松问题最优解的邻近整
i0

u
i

u
j
nx ij
n 1;1 i
j n
x ij 1,0 , i 1, 2 ,..., n , j 1, 2 ,..., n
《运筹学》课件
背包问题
背景 案例 模型
整数规划
《运筹学》课件
整数规划
背景
邮递包裹 把形状可变的包裹用尽量少的车辆运走
是
以最优解替代当前最 好解最优值替代当前界
《运筹学》课件
算例
《运筹学》课件
《运筹学》课件
《运筹学》课件
《运筹学》课件
注释
求解混合整数规划问题，只对整数变量分支， 对非整数变量不分支。
《运筹学》课件
对0-1整数规划分支时
min c x
Ax b
s .t .
x

0 ,1
要求 整数解保留 放松问题最优值增 加
♂返回
《运筹学》课件
割平面生成方法
条件--保留整数解删除最优解
xB
xN
B 0
N cB B1b
I
B1N B1b0
xr arj x j br jN
《运筹学》课件
xr arj x j br jN
arjarjfrj arjarj
j1
3
xij 1;i 8,2...1, 7
j1
xij 1 ,0 ;i 1 ,2 ..1.,,j7 1 ,2 ,3
《运筹学》课件
整数规划
特征—变量整数性要求 来源
问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要
性质—可行域是离散集合
《运筹学》课件
整数规划
《运筹学》课件
线性整数规划模型
x

0,
x 为整数
min c x

Ax b
s
.t
.

x
r

a rj x rj b r

j N

x

0,
x
为整数
《运筹学》课件
min c x

Ax b
s
.t
.

x
r

a rj x rj s r b r

j N
的地的价格（单位美元）。这些物品的容量及
价格分别见下表，试给出一个合理的安排方案 把物品放在三个旅行包里。
《运筹学》课件
整数规划
物品 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体积 200 350 500 430 320 120 700 420 250 100
价格 15 45 100 70 50 75 200 90 20 30

x

0,
x 为整数
《运筹学》课件
x1 x 2 x r 0 0 0
1 1 1

xm x m 1 x n
0 m1 0 n 0
a1m 1 a 1 n
a rm 1
a rn
1 amm1 a mn
cB B1b
b1
br
bm
《运筹学》课件
x1 x 2 x r 0 0 0
整数规划
夏少刚
《运筹学》课件
整数规划
整数规划问题与模型 整数规划算法 计算软件 应用案例
整数规划
《运筹学》课件
整数规划问题
实例 特点 模型分类
整数规划
《运筹学》课件
应用案例
投资组合问题 旅游售货员问题 背包问题
整数规划
《运筹学》课件
投资组合问题
背景 实例 模型
min c x
Ax b
s
.t
.

x
r

1
x 0 ,1
min c x
Ax b
s
.
t
.

x
r

0
x 0 ,1
《运筹学》课件
割平面算法
算法思想 算法步骤 算例
《运筹学》课件
算法思想
由放松问题的可行域 向整数规划的可行域 逼近
方法—利用超平面切 除
xr br Z
brxrbr
《运筹学》课件
min c x
Ax b
s .t .
x

0
,
x 为整数
min c x
Ax b
s.t. x r br

x

0,
x为整数
min c x
Ax b
s.t. x r br

x

1 1 1

1
xm x m 1 x n s r
0 m1 0 n 0 0 cB B1b
a1m1 a 1 n 0
b1
a rm 1
a rn 0
br
1 amm1 a mn 0
bm
arm1 arn 1
br
《运筹学》课件
x1 x 2 x r 0 0 0
数解 整数可行解远多余于顶点，枚举法不可取
《运筹学》课件
分支定界算法
算法思想 算法步骤 算例 注释
《运筹学》课件
算法思想
隐枚举法
分支
求解放松问题
舍弃
最优值比界坏
变界
最优解为整数
最优值比界好 分支
最优解为非整数 最优值比界好
《运筹学》课件
分支的方法
0
N
I
B 1 N
cBB1b B 1b
整数规划
《运筹学》课件
背景
整数规划
证券投资：把一定的资金投入到合适的有 价证券上以规避风险并获得最大的利润
项目投资：财团或银行把资金投入到若干 项目中以获得中长期的收益最大。
《运筹学》课件
整数规划
案例
某财团有 B万元的资金，经出其考察选中n
个投资项目，每个项目只能投资一个。其中
第 j个项目需投资金额为b j万元，预计5年后 获利 c j 万元 j1,2...n, ，问应如何选择项
整数规划
目标函数—未带物品购买费用最小
3
1 xij;i 8,2...1, 7 j1
17
3
pi (1 xij )
i8
j1
《运筹学》课件
整数规划
模型
17
3
min pi (1 xij)
i8
j1
17
cixij rj; j 1,2,3
i1 3
xij 1;i 1,2...7,
旅行背包 容量一定的背包里装尽可能的多的物品
《运筹学》课件
整数规划
实例
某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容 积大小分别为1000毫升、1500毫升和2000毫
升，根据需要列出需带物品清单，其中一些物 品是必带物品共有7件，其体积大小分别为400、 300、150、250、450、760、190、（单位毫 升）。尚有10件可带可不带物品，如果不带将 在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目
3x1 2 x2 x3 6
s.t. 3x1 2 x2 x4 0

x1
,
x
2
,
x
3
,
x
4

0
《运筹学》课件
x1 x 2 x3 x 4 0 1 00 0
3 2 106 3 2 0 1 0
x1 x 2 x3 x 4 1.5 0 0 0.5 0
6 0 1 1 6 1.5 1 00.5 0
《运筹学》课件
x1 x 2 x3 x 4 0 0 1/41/43/2 1 01/ 6 1/6 1 0 1 1/ 4 1 4 3/ 2
x1 x 2 x r xm x m 1 x n s r
0 0 0 0 m1 0 n 0 0
1 1 1
a1m1 a 1 n 0
a rm 1
a rn 0

0
1 amm1 a mn 0
frm1
f rn 1
fr 0 正则解
cB B1b
b1
br
bm
fr
《运筹学》课件
brbr fr br br
xr arj xj br jN
整数可行解
最优基可行解
xr arj xj br jN
xr arj xj br jN
《运筹学》课件
min c x
Ax b
s .t .
《运筹学》课件
整数规划
问题分析
变量—对每个物品要确定是否带同时要确定放
在哪个包裹里，如果增加一个虚拟的包裹把不 带的物品放在里面，则问题就转化为确定每个 物品放在哪个包裹里。如果直接设变量为每个 物品放在包裹的编号，则每个包裹所含物品的 总容量就很难写成变量的函数。为此我们设变 量为第i个物品是否放在第j个包裹中
用最小？
《运筹学》课件
整数规划
模型
变量—是否从i第个城市到第j个城市 xij 1,0;
约束
每个城市只能到达一次、离开一次
n
x ij 1; i 1,2,... n
j0
n
x ij 1; j 1,2,... n
i0
《运筹学》课件
整数规划
避免出现断裂
每个点给个位势 前点比后点大
xij 1 ,0 ;i 1 ,2 ..1.,,j7 1 ,2 ,3
《运筹学》课件
整数规划
约束
包裹容量限制
必带物品限制
选带物品限制
17
cixij rj; j 1,2,3
i1
3
xij 1;i 1,2...7,
j1
3
xij 1;i 8,2...1, 7
j1
《运筹学》课件
n
♂返回
《运筹学》课件
混合整数规划模型
min c x
Ax b
s .t . x 0

x
i
为整数
, i 1,2 ,..., p
♂返回
《运筹学》课件
算法
与线性规划的关系 分支定界算法 割平面算法 近似算法
♂返回
《运筹学》课件
与线性规划的关系
整数规划
放松的线性规划
一般整数规划模型 0-1整数规划模型 混合整数规划模型
《运筹学》课件
一般整数规划模型
min c x
Ax b
s .t .
x

0 , x 为整数
♂返回
《运筹学》课件
0-1整数规划模型
min c x
Ax b
s .t .
x
i

0 ,1; i
1, 2 ,...,
求放松问题的 最优基可行解
判断是否 是停止
算
为整数解
得到最优解
法
否
步
骤
在单纯性表中加入一列 利用对偶单纯性算法
求最优解
《运筹学》课件
算例
max x 2
3x1 2 x2 6
s.t. 3 x1 2 x 2 0

x
1
,
x2

0 , 整数
(1,1.5)
《运筹学》课件
min x2
j1
b
jx
j

B

x
j

1,0;
j

1,2 ...,
n
《运筹学》课件
旅游售货员问题
背景 案例 模型
整数规划
《运筹学》课件
背景
旅游线路安排 预定景点走且只走一次 路上时间最短
配送线路—货郎担问题 送货地到达一次 总路程最短
《运筹学》课件
整数规划
案例
有一旅行团从v 0 出发要遍游城市 v1,v2,..v.,n，已知从v i 到v j 的旅费 为c ij ，问应如何安排行程使总费
0,
x 为整数
《运筹学》课件
《运筹学》课件
定界
当前得到的最好整数解的目标函数值 分支后计算放松的线性规划的最优解
整数解且目标值小于原有最好解的值则替代原有最好解 整数解且目标值大于原有最好解的值则 删除该分支其
中无最优解 非整数解且目标值小于原有最好解的值则继续分支 非整数解且目标值大于等于原有最好解的值则删除该分