人教新课标版数学高二选修1-1练习 双曲线及其标准方程

选修1-1 第二章 2.2 第1课时
一、选择题
1．双曲线3x 2－4y 2＝－12的焦点坐标为( ) A ．(±5,0) B ．(0，±5) C ．(±7，0) D ．(0，±7)
[答案] D [解析] 双曲线
3x 2－4y 2＝－12
化为标准方程为y 23－x 2
4
＝1，∴a 2＝3，b 2＝4，c 2＝a 2＋b 2
＝7，∴c ＝7，又∵焦点在y 轴上，故选D.
2．已知方程x 21＋k －y 2
1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )
A ．－1<k <1
B ．k >0
C ．k ≥0
D ．k >1或k <－1
[答案] A
[解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.
3．椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 2
2＝1有相同的焦点，则m 的值是( )
A ．±1
B ．1
C ．－1
D ．不存在 [答案] A
[解析] 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1， 对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3， 故当m ＝±1时，它们有相同的焦点．
直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2. ∴m 2＝1，即m ＝±1.
4．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线C 上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线C 的方程为( )
A ．x 29－y 2
7
＝1
B ．x 29－y 2
7＝1(y >0)
C ．x 29－y 27＝1或x 27－y 2
9＝1
D ．x 29－y 2
7
＝1(x >0)
[答案] D
[解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 2
7
＝1(x >0)
5．与椭圆x 24＋y 2
＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )
A ．x 24－y 2
＝1
B ．x 22－y 2
＝1
C ．x 23－y 2
3＝1
D ．x 2－
y 2
2
＝1 [答案] B
[解析] 椭圆的焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 由双曲线定义知2a ＝|PF 1|－|PF 2| ＝(2＋3)2＋1－(2－3)2＋1
＝
8＋43－
8－43＝22，
∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 22
－y 2
＝1.
6．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )
A ．16
B ．18
C ．21
D ．26
[答案] D
[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，
∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5 ＝26. 二、填空题
7．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________．
[答案] x 273－y 2
75
＝1
[解析] 解法一：设双曲线方程为：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)
又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，
∴⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2
＝14a 2
－1b 2
＝1
，∴⎩⎨⎧
a 2＝
73
b 2
＝7
5
.
解法二：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n <0)，则
⎩⎪⎨
⎪⎧
9m ＋4n ＝1
4m ＋n ＝1，解得⎩
⎨⎧
m ＝
37
n ＝－
57
.
故所求双曲线的标准方程为x 273－y 2
75
＝1.
8．双曲线x 2m －y 2
＝1的一个焦点为F (3,0)，则m ＝________.
[答案] 8
[解析] 由题意，得a 2＝m ，b 2＝1， ∴c 2＝a 2＋b 2＝m ＋1，又c ＝3， ∴m ＋1＝9，∴m ＝8. 9．已知双曲线
x 2－
y 22
＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为________．
[答案]
23
3
[解析] 由条件知c ＝3，∴|F 1F 2|＝23， ∵MF 1→·MF 2→
＝0，∴|MO |＝12
|F 1F 2|＝3，
设M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧
x 20＋y 20＝3
x 20－y 202＝1
， ∴y 20＝43，∴y 0＝±23
3. 故所求距离为233
.
三、解答题
10．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x 轴上，c ＝6且经过点(－5,2)； (2)过P (3，154)和Q (－16
3
，5)两点．
[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧
25a 2－4b 2＝1a 2＋b 2＝6
， 解之得a 2＝5，b 2＝1， 故所求双曲线方程为x 25
－y 2
＝1.
(2)设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，由题意得
⎩⎨⎧
9A ＋225
16
B ＝1
256
9A ＋25B ＝1
，解之得⎩⎨⎧
A ＝－
1
16
B ＝1
9
.
∴所求双曲线方程为y 29－x 2
16
＝1.
一、选择题
11．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1
的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )
A ．x 24－y 2
＝1
B ．x 2－
y 2
4
＝1 C ．x 22－y 2
3＝1
D ．x 23－y 2
2
＝1
[答案] B
[解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，∴5a 2－16
b
2＝1，
又a 2＋b 2＝5，∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 2＝1
b 2
＝4，故选B.
12．(2014·海南省文昌市检测)设F 1、F 2是双曲线
x 2－
y 2
24
＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )
A ．4 2
B ．8 3
C ．24
D ．48
[答案] C
[解析] 由3|PF 1|＝4|PF 2|知|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又c 2＝a 2＋b 2＝1＋24＝25，∴c ＝5，∴|F 1F 2|＝10，
∴△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝1
2
|PF 1||PF 2|＝24.
13．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
[答案] B
[解析] 在△PF 1F 2中，
|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即(22)2＝22＋|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4. 二、填空题
14．若方程x 2m －1＋y 2m 2－4＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________．
[答案] (－∞，－2)
[解析] 由题意，方程可化为y 2m 2－4－x 2
1－m
＝3，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－4>01－m >0
，解得m <－2. 15．若双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 2a ＋y 2
b ＝1(a >b >0)有相同的焦点F 1、F 2，M 为
两曲线的交点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．
[答案] a －m
[解析] 由双曲线及椭圆定义分别可得 |MF 1|－|MF 2|＝±2m ， ① |MF 1|＋|MF 2|＝2a ，
②
②2－①2得，4|MF 1|·|MF 2|＝4a －4m ， ∴|MF 1|·|MF 2|＝a －m . 三、解答题
16．设双曲线与椭圆x 227＋y 2
36＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A 的
纵坐标为4，求此双曲线的方程．
[解析] 椭圆x 227＋y 2
36＝1的焦点为(0，±3)，
由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
又点A (x 0,4)在椭圆x 227＋y 2
36＝1上，∴x 20
＝15， 又点A 在双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1上，∴16a 2－15
b 2＝1，
又a 2＋b 2＝c 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5， 所求的双曲线方程为：y 24－x 2
5
＝1.
17．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线如何变化？ [解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1. (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α
＝1.
①当0°<α<45°时，0<1cos α<1
sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．
②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.
③当45<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．
(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝±1.
(4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．
(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．。