【精品】2016-2017学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷(理科)

2016-2017学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．（5分）双曲线的一个焦点坐标为（）
A．B．C．（2，0）D．（0，2）2．（5分）已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．
3．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l?βB．若α∥β，l⊥α，则l⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l?βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
4．（5分）设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0 C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜0 5．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“ｍ⊥β”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与
直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）
A．﹣y2=1 B．x2﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
7．（5分）已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，
则xy的最大值为（）
A．B．C．3 D．4
8．（5分）用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：
①正方体的截面不可能是直角三角形；
②正四面体的截面不可能是直角三角形；
③正方体的截面可能是直角梯形；
④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．
其中，所有正确结论的序号是（）
A．②③B．①②④C．①③D．①④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．
10．（5分）已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，那么a等于．
11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．
12．（5分）一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的
面积为．
13．（5分）设O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则△OPF的面积为．
14．（5分）学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做
抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是（所有测
量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤.
15．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E 是PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：BD⊥CE．
16．（13分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
17．（13分）已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为x2+y2﹣6y+4=0．
（Ⅰ）当直线l的斜率为时，求l与圆C相交所得的弦长；
（Ⅱ）设直线l与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求直线l的方程．18．（13分）已知F1为椭圆+=1的左焦点，过F1的直线l与椭圆交于两点
P，Q．
（Ⅰ）若直线l的倾斜角为45°，求|PQ|；
（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），点P关于原点的对称点为P′，点Q关于x 轴的对称点为Q′，P′Q′
所在直线的斜率为k′．若|k′|=2，求k的值．
19．（14分）如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由．
20．（14分）如图，过原点O引两条直线l1，l2与抛物线W1：y2=2px和W2：y2=4px （其中P为常数，p＞0）分别交于四个点A1，B1，A2，B2．
（Ⅰ）求抛物线W1，W2准线间的距离；
（Ⅱ）证明：A1B1∥A2B2；
（Ⅲ）若l1⊥l2，求梯形A1A2B2B1面积的最小值．
2016-2017学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．（5分）双曲线的一个焦点坐标为（）
A．B．C．（2，0）D．（0，2）【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论．
【解答】解：由双曲线得a2=3，b2=1，
则c2=a2+b2=4，
则c=2，
故双曲线的一个焦点坐标为（2，0），
故选：C．
【点评】本题主要考查双曲线的性质和方程，根据a，b，c之间的关系是解决本题的关键．
2．（5分）已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．
【分析】由题意可知：2b=2×2c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，椭圆的离心率e==．
【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：（a＞b＞0），
由2b=2×2c，即b=2c，
a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，
∴椭圆的离心率e==，
椭圆的离心率，
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的离心率公式，考查计算能力，属于基础题．
3．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l?βB．若α∥β，l⊥α，则l⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l?βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【分析】在A中，l?β或l∥β；在B中，由线面垂直的判定定理得l⊥β；在C 中，l与β相交、平行或l?β；在D中，l与β相交、平行或l?β．
【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：
在A中，若α∥β，l∥α，则l?β或l∥β，故A错误；
在B中，若α∥β，l⊥α，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故B正确；
在C中，若α⊥β，l⊥α，则l与β相交、平行或l?β，故C错误；
在D中，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l?β，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中
线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
4．（5分）设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0 C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜0【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．
【解答】解：命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是命题“若方程x2=m 没有实根，则m＜0”，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．
5．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“ｍ⊥β”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．
【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，
所以“α⊥β”是“ｍ⊥β”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．
6．（5分）已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）
A．﹣y2=1 B．x2﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c=2，则c=，由双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，c2=a2+b2，即可求得a 和b的值，即可求得双曲线的标准方程．
【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由
2c=2，则c=，
双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，
由c2=a2+b2，解得：a=2，b=1，
∴双曲线的标准方程为：，
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题．
7．（5分）已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）
A．B．C．3 D．4
【分析】由题意易得线段AB的方程为，（x≥0，y≥0），由基本不等式可得．
【解答】解：由题意可得直线AB的方程为，
∴线段AB的方程为，（x≥0，y≥0）
∴1=≥2，∴xy≤3，
当且仅当即x=且y=2时取等号，xy有最大值3，
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及直线的截距式方程，属基础题．
8．（5分）用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：
①正方体的截面不可能是直角三角形；
②正四面体的截面不可能是直角三角形；
③正方体的截面可能是直角梯形；
④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．
其中，所有正确结论的序号是（）
A．②③B．①②④C．①③D．①④
【分析】利用正方体和正四面体的性质，分析4个选项，即可得出结论．
【解答】解：①正方体的截面是三角形时，为锐角三角形，正确；
②正四面体的截面不可能是直角三角形，不正确；
③正方体的截面与一组平行的对面相交，截面是等腰梯形，不正确；
④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形，正确．
故选：D．
【点评】本题考查空间线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．
【分析】利用特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定．
【解答】解：因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，
可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．
故答案为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．
【点评】本题主要考查特称命题的否定，比较基础．
10．（5分）已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，那么a等于1．
【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．
【解答】解：∵点M（0，﹣1），N（2，3），
∴k MN==2，
∵直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，
∴2×=﹣1，解得a=1．
故答案为1．
【点评】本题考查了相互垂直的直线的斜率之间关系，属于基础题．
11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD，BD1所成角的余弦值．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，
则A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），=（﹣1，0，0），=（﹣1，﹣1，1），
设异面直线AD，BD1所成角为θ，
则cosθ＝=．
∴异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．
故答案为：．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
12．（5分）一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的
面积为8．
【分析】由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4的等边三角形，由此能求出该三棱柱的侧视图的面积．
【解答】解：由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4的等边三角形，
∴由三视图可知，该正三棱柱的底边三角形的高为：=2，
底面边长为：4，∴侧视图三角形的高为：4，
该三棱柱的侧视图的面积为S=2×4=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查三棱柱的侧视图的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
13．（5分）设O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则△OPF的面积为．
【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用|PF|=3求得P 点的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，代入三角形面积公式计算．
【解答】解：由抛物线方程得：抛物线的准线方程为：x=﹣1，焦点F（1，0），又P为C上一点，|PF|=3，∴x P=2，
代入抛物线方程得：|y P|=2，
∴S△POF=×|OF|×2=．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的定义及几何性质，熟练掌握抛物线上的点所迷住的
条件是解题的关键．
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