2020年广东省东莞市高考数学一模试卷(文科)

高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={1，2，5}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）
A. {1}
B. {5}
C. {1，2}
D. {2，5}
2.已知i是虚数单位，，则|z|=（）
A. 10
B.
C. 5
D.
3.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、
丙两人恰好参加同一项活动的概率为
A. B. C. D.
4.双曲线的焦点到渐近线的距离为（）
A. 1
B.
C. 2
D. 3
5.由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长
到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）
A. B.
C. D.
6.函数y=log a（x+4）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，且点A在角θ的终边上，
则sin2θ=（）
A. B. C. - D.
7.如图所示，△ABC中，，点E是线段AD的中
点，则（）
A. =
B. =
C. =
D. =
8.已知{a n}是等差数列，{b n}是正项等比数列，且b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6，
则a2018+b9=（）
A. 2274
B. 2074
C. 2226
D. 2026
9.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）
A. α⊥β，α∩β=m，m⊥n⇒n⊥β
B. α⊥β=n，m⊂α，m∥β⇒m∥n
C. m⊥n，m⊂α，n⊂β⇒α⊥β
D. m∥α，n⊂α，⇒m∥n
10.三棱锥P ﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝30°，APC的面积为2，则三棱锥P﹣
ABC的外接球体积的最小值为（）
A. 4π
B.
C. 64π
D.
11.在△ABC中，AB=2，，则的最大值为（）
A. B. C. D.
12.设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）
A. [-1，2]
B. [0，2]
C. [1，+∞）
D. [0，+∞）
二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）
13.若x，y满足约束条件，则的最小值为______．
14.设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B
两点，则|AF2|+|BF2|的最小值等于______．
15.圆锥底面半径为，高为，点是底面圆周上一点，则一动点从点出发，绕圆
锥侧面一圈之后回到点，则绕行的最短距离是_________．
三、解答题（本大题共8小题，共87.0分）
16.曲线在点（1，f（1））处的切线的斜率为______．
17.已知等差数列{a n}的首项a1=1，且a2+1、a3+1、a4+2构成等比数列．
（1）求数列{a n}的通项公式
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n
18.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式：
方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试
方式二：周六一天培训4小时，周日测试
公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组（记为甲组、乙组）先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：
（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1），并据此判断哪种培训方式效率更高？
（2）在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．
19.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC中点，
M是PD的中点．
（1）求证：平面AEM⊥平面PAD；
（2）若F是PC上的中点，且AB=AP=2，求三棱锥P-AMF的体积．
20.已知椭圆E的一个顶点为，焦点在x轴上，若椭圆的右焦点到直线
的距离是3.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l 的方程.
21.已知函数f(x)＝xe x＋a(ln x＋x)
（1）若a＝－e，求f(x)的单调区间；
（2）当a＜0时，记f(x)的最小值为m，求证：m≤1．
22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的
参数方程为：（t为参数，α∈[0，π）），曲线C的极坐标方程为：ρ=4sinα．
（1）写出曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，若，求直线l的斜率．
23.设函数f（x）=|x+1|+|x-2|．
（1）求不等式f（x）≤3 的解集；
（2）当x∈[2，3]时，f（x）≥-x2+2x+m恒成立，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
直接求解交集即可．
本题考查集合的交集的求法，基本知识的考查．
【解答】
解：集合A={1，2，5}，B={x|x≤2}，则A∩B=（1，2}．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】解：∵=，
∴|z|=．
故选：B．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，基本事件，考查了运算求解能力，属于基础题.
先求得基本事件的总数为6，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【解析】
解：由题意，甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个小组共有3种情形：{(甲、乙)，(丙、丁)}，{(甲、丙)，(乙、丁)}，{(甲、丁)，(乙、丙)}，
所以分别参加两项活动有6种情况；
因为乙、丙两人恰好在一起的情形只有1种：{(甲、丁)，(乙、丙)}，
所以乙、丙两人参加同一项活动有2种情况；
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，
故选：B．
4.【答案】A
【解析】解：双曲线中，
焦点坐标为（，0），
渐近线方程为：y=，
∴双曲线的焦点到渐近线的距离：
d==1．
故选：A．
分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，能求出结果．
本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】
解：由的图象向左平移个单位，可得y=2sin（4x+2π-）=2sin（4x-）
的图象，
再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，可得y=2sin（2x-）的图象，
故选D．
6.【答案】C
【解析】解：对于函数y=log a（x+4）+2（a＞0且a≠1），令x+4=1，求得x=-3，y=2，可得函数的图象恒过点A（-3，2），
且点A在角θ的终边上，∴tanθ==-，则sin2θ===-，
故选：C．
令对数的真数等于零，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得tanθ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin2θ的值．
本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：如图所示，
=+，=，=+，=，
∴=+．
故选：C．
利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出．
本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】A
【解析】【分析】
利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【解答】
解：设等差数列{a n}的公差为d，正项等比数列{b n}的公比为q＞0，
∵b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6，
∴q2=q+2，q3=2a1+6d，q4=3a1+13d，
解得q=2，a1=d=1．
则a2018+b9=1+2017+28=2274．
故选：A．
9.【答案】B
【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，得：
在A中，α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n与β相交、平行或n⊂β，故选A；
在B中，α⊥β=n，m⊂α，m∥β，则由线面平行的性质定理得m∥n，故B正确；
在C中，m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故C错误；
在D中，m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故D错误．
故选：B．
在A中，n与β相交、平行或n⊂β；在B中，由线面平行的性质定理得m∥n；在C中，α与β相交或平行；在D中，m与n平行或异面．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数表结合思想，是中档题．
10.【答案】D
【解析】【分析】
先证明PA⊥AC，并设AC=x，利用△APC的面积得出，然后利用正弦定理得出△ABC 的外接圆直径2r的表达式，
并利用公式并结合基本不等式可得出外接球半径的最小值，最后利用
球体体积公式可得出答案．
本题考查球体体积的计算，考查利用基本不等式求最值，解决本题的关键在于找出合适的模型求出球体的半径，考查计算能力，属于中等题．
【解答】
解：设AC=x，由于PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC，则△APC的面积为
，则，
由正弦定理知，△ABC的外接圆直径为，
所以，三棱锥P-ABC的外接球直径为
，
当且仅当，即当时，等号成立，则R≥2．
所以，该三棱锥P-ABC的外接球的体积为
．
因此，三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为．
故选：D．
11.【答案】D
【解析】解：△ABC中，AB=2，，
则：2R=，
则：，
=，
=，
=2cos A+6，
=，
由于：，0
所以：，
所以最大值为4．
故选：D．
直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．考查学生推理能力与计算能力，属于中档题.
分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．
【解答】
解：当x≤1时，21-x≤2,可变形为1-x≤1，x≥0，
∴0≤x≤1．
当x＞1时，1-log2x≤2,可变形为log2x≥-1,x≥，
∴x>1，
则满足f（x）≤2的x的取值范围是[0，+∞）．
故选D．
13.【答案】-1
【解析】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，
由图形知，当目标函数z=-x+y过点A时取得最小值，
由，解得A（0，-），
代入计算z=0+（-1）=-1，
所以z=-x+y的最小值为-1．
故答案为：-1．
画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数z=-x+y的最小值．
本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．
14.【答案】16
【解析】解：根据双曲线，得：a=3，b=，
由双曲线的定义可得：|AF2|-|AF1|=2a=6…①，
|BF2|-|BF1|=2a=6…②，
①+②可得：|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=12，
∵过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，
∴|AF1|+|BF1|=|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小．
∴|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=|AF2|+|BF2|-|AB|=12．
|BF2|+|AF2|=|AB|+12≥+12=+12=16．
故答案为：16．
根据双曲线的标准方程可得：a=3，b=，再由双曲
线的定义可得：|AF2|-|AF1|=2a=6，|BF2|-|BF1|=2a=6，
所以得到|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=12，再根据A、
B两点的位置特征得到答案．
本题考查两条线段和的最小值的求法，是中档题，解
题时要注意双曲线的简单性质的合理运用．
15.【答案】3
【解析】【分析】
利用圆锥的侧面展开图，确定扇形的圆心角，即可求
得结论．
本题考查旋转体表面上的最短距离，考查学生的计算能力，属于基础题．
【解答】
解：圆锥的侧面展开图为扇形，其弧长为底面圆的周长，即2π，
∵圆锥的母线长为3．扇形的圆心角，
∴一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是：=3．
故答案为：3．
16.【答案】e+1
【解析】解：曲线，可得y′=，
所以曲线在点（1，f（1））处的切线的斜率为：=e+1．
故答案为：e+1．
求出函数的导数，代入x=1，得到切线的斜率即可．
本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，考查计算能力．
17.【答案】解：（1）等差数列{a n}的首项a1=1，公差设为d，
a2+1、a3+1、a4+2构成等比数列，可得
（a3+1）2=（a2+1）（a4+2），
即为（2+2d）2=（2+d）（3+3d），
解得d=2或-1，
当d=-1时，a2+1=0，不成立，舍去，
则d=2，a1=1，
可得a n=2n-1；
（2）b n===-，
前n项和S n=1-+-+…+-
=1-=．
【解析】（1）设公差为d，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d，即可得到所求通项公式；
（2）求得b n===-，由数列的裂项相消求和，化简计算可得所
求和．
本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为t1、t2，
则（小时）----------------------------------------（2分）
（小时）----------------------------------------（4分）
据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因10＜10.9，据此可判断培训方式一比方式二效率更
高．---------------------------------------------（6分）
（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，
则这6人中来自甲组的人数为：，--------------------------------------------------（7分）
来自乙组的人数为：，----------------------------------------------------------------（8
分）
记来自甲组的2人为：a、b；来自乙组的4人为：c、d、e、f，
则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），
（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15种，----------------------------------------------（10分）
其中至少有1人来自甲组的有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），共9种，
故这2人中至少有1人来自甲组的概率
．----------------------------------------------------------（12分）
【解析】（1）分别求出甲乙两组员工受训的平均时间，据此可判断培训方式一比方式二效率更高．
（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，则这6人中来自甲组的人数为2，来自乙组的人数为4，记来自甲组的2人为：a、b；来自乙组的4人为：c、d、e、f，则从这6人中随机抽取2人，利用列举法能求出这2人中至少有1人来自甲组的概率．
本题考查平均数、概率的求法，考查古典概型、列举法、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】证明：（1）连结AC，
∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是正三
角形，
∵E是BC中点，∴AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，
∵PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，
又AE⊂平面AEM，∴平面AEM⊥平面PAD．
解：（2）∵F是PC上的中点，且AB=AP=2，
∴AD=2，AE=，
∴三棱锥P-AMF的体积：
V P-AMF=V M-APF=
=
=
==．
【解析】（1）连结AC，推导出AE⊥BC，AE⊥AD，PA⊥AE，从而AE⊥平面PAD，由此能证明平面AEM⊥平面PAD．
（2）三棱锥P-AMF的体积：V P-AMF=V M-APF=，由此能求出结果．
本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
20.【答案】解：（1）由题意：b=1，右焦点（c，0）（c＞0）到直线x-y+2=0的距离为：
d==3，∴c=，
又∵a2-b2=c2，∴a=，
又∵椭圆E的焦点在x轴上，∴椭圆E的方程为：+y2=1
（2）①当直线l的斜率不存在时，|AB|=2；
②当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+1，
联立，得：（1+3k2）x2+6kx=0，
∵x A=0，∴x B=-，
∴|AB|=|x B-x A|=•，
∴|AB|2=，设1+3k2=t≥1，则k2=
记f（t）==4[-2（）2++1]，
∴=，即t=4，k=±1时，|AB|=f（t）取得最大值＞2，此时直线l：y=x+1或y=-x+1．
【解析】（1）根据点到直线的距离列式求得c，再求得a；
（2）根据弦长公式求得弦长后，换元成二次函数求最值．
本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题．
21.【答案】（1）解：当a=-e时，f（x）=xe x-e（ln x+x），
f（x）的定义域是（0，+∞）
，
当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．
所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．
（2）证明：由（1）得f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=（xe x+a），
令g（x）=xe x+a，
则g′（x）=（x+1）e x＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为a＜0，
所以g（0）=a＜0，g（-a）=-ae-a+a＞-a+a=0，
故存在x0∈（0，-a），使得g（x0）=x0+a=0．
当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
故x=x0时，f（x）取得最小值，即，
由x0+a=0，得，
令x=-a＞0，h（x）=x-x lnx，则h'（x）=1-（1+ln x）=-ln x，
当x∈（0，1）时，h'（x）=-ln x＞0，h（x）=x-x lnx单调递增，
当x∈（1，+∞）时，h'（x）=-ln x＜0，h（x）=x-x lnx单调递减，
故x=1，即a=-1时，h（x）=x-x lnx取最大值1，故m≤1．
【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，得到
，令x=-a＞0，h（x）=x-x lnx，根据函数的单调
性证明即可．
22.【答案】解：（1）曲线C的极坐标方程为：ρ=4sinα．
转换为直角坐标方程为：x2+y2=4y．
∴曲线C的直角坐标方程为x2+（y-2）2=4．
（2）把代入x2+y2=4y，
整理得t2-2t sinα-3=0
设其两根分别为t1和t2，
则t1+t2=2sinα，t1t2=-3，
∴
得，，
∴直线l的斜率为．
【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
23.【答案】解：（1）f（x）=|x+1|+|x-2|
=，
由f（x）≤3，解得：1≤x≤2，
故不等式的解集是{x|-1≤x≤2}；
（2）当x∈[2，3]时，f（x）=2x-1，
由f（x）≥-x2+2x+m，得2x-1≥-x2+2x+m，
即m≤x2-1在x∈[2，3]恒成立，
故m≤3，
即m的范围是（-∞，3]．
【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及转化思想，分类讨论思想，是一道常规题．
（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为m≤x2-1在x∈[2，3]恒成立，求出m的范围即可．。