《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件教学课件

5x2 10x 2.2 0
特征: (1) 都是整式方程 (2) 只含有一个未知数 (3) 未知数的最高次数是2
只含有一个未知数，并且未知数的最高 次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0
(1)都是整式方程 (2)只含有一个未知数 (3)未知数的最高次数是2
问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，
开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比 宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
解：设长方形绿地的宽为x米，1、设未知数 则长为（x＋10）米，可得方程：
长×宽＝面积
2、找相等关系
x（x＋10）=900，
3、列方程
整理可得： x2 10x 900 0 （1）
☞ 做一做
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端 距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m， 那么梯子的底端滑动多少米？
解：由勾股定理可知， 滑动前梯子底端距墙
数学化 1m
m. 6 如果设梯子底端滑动
8m 7m
x m，那么滑动后梯子
底端距墙 x＋6m;
6m xm
根据题意，可得方程：72＋(x＋6)2 ＝102
问题2中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程 (x+6)2+72=102， 即 x2+12x-15=0
问:你能猜出梯子底端滑动的距离x(m) 的大致范围吗？
x的整数部分是几？十分位是几？
x
0 0.5 1 1.5 2
x2 +12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13
所以，1<x<1.5 进一步计算：
• 什么叫方程的根？
• 能够使方程左右两边相等的未知数的值， 叫方程的根。 解：把x=2代入原方程得： (m-1)×22+3×2-5m+4=0 解这个方程得：m=6
变式练习: a是方程x2 -2x-3＝0 的一个根, 则3a2-6a= 9 .
问题1中：
解：设花边的宽为
xm，根据题意得，
5cm
5-2x （8-2x)(5-2x)=18
• 解：设这两年的年平均增长率为x, • 去年底：5 • 今年底：5+5x＝5(1+x) • 明年底：5(1＋x)＋5(1＋x)x
＝5(1＋x)(1＋x) ＝5 (1＋x)2
• 根据题意得方程：5(1＋x)2＝7.2
整理,得：5x2 10x 2.2 0
观察这几个方程，有什么共同特征？
2x2 13x 11 0 x2 12x 15 0
解:要完成规定动作最多的时间是h=5时 即: 5=10+2.5t-5t2 化为一般形式2t2 -t-2= 0
列表
t
01 23
2t2 –t-2
列表
t
-2 -1 4 13 所以1< t< 2 1.1 1.2 1.3 1.4
2t2 –t-2 -0.68 -0.32 0.08 0.52
所以1.2< t< 1.3 答:他完成动作的时间最多不超过1.3秒
你能化简这个方程吗?
☞ 回顾与思考
一元二次方程的概念
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8-2x)(５-２x)=18;
即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
x２+（x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２ 即 x2 － 8x － 20＝0.
（ x＋６）２＋７２＝１０２
即 x2 ＋12 x －15 ＝0.
(3)不可能,因为长与宽的和是15, x可能大于15.
(4）如何估算长方形的长x? 化简x2 -15x+54=0 根据题意x的范围是 0<x<7.5 列表
x 15-x
x x2 -15x+54
1 2 3 45 6 7 40 28 18 10 4 0 -2
当x=6时， x2 -15x+54=0 答:长方形的宽为6厘米
x2 -3x+2
00
2 6 12 20
当x =1 或 x=2时，x2 -3x+2=0
当x =1 时这个两位数是15 当x =2时这个两位数是24
3、一名跳水运动员进行10米跳台跳水训练,在正常的情况下,运 动员必须在距水面5米以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入 水姿势,否则就容易出现失误,假设运动员起跳后的运动时间t(s) 为和运动员距水面的高度h(m)满足关系: h=10+2.5t-5t2 , 那么 他最多有多长的时间完成规定的动作?
一次项 系数
常数项
2x2 x 3 0 2
1
-3
3x2 5 0 3
0
-5
x2 3x 0 1
-3 0
2、将下列一元二次方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项系数、一次项系 数和常数项：
(1)3x2 x 2
(2)7x 3 2x2
(3)x(2x 1) 3x(x 2) 0
3x2-x-2=0 2x2-7x+3=0 x2-5x =0
8-2x
x 化为一般形式
2x2 –13x+11=0
8cm
根据实际情况确定x大致的取值范围。
x可能小于0吗？ 不可能等于0,没有实际意义
x可能大于4吗？ x可能大于2.5吗？
那么x的范围是 0＜x＜2.5
用估计的方法求一元二次方 程的近似根。
有些实际问题在解决的时候，可根据实 际情况情况确定大概的取值范围，因此 我们可用逼近的方法求近似根。
一元二次方程的项和各项系数
二次项
一次项系数
系数
a≠0 ax2+bx+c=0
二次项 一次项 常数项
一元二次方程一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
问：为什么二次项系数a不能为0？假 如a=0会出现什么情况？b、c能不能 为0？能不能同时为0？
判断下列方程中哪些是一元二次方程？
并说明理由
(1)3x 2 5x 3 不是 (2)5x2 x 7 是
所以，当a≠2时是一元二次方程；
当a=2，b≠0时是一元一次方程； 变式练习(1): (k+3)x|k|-1 -5x＋6＝0 是关于x 的一元二次方程, 则k= 3 .
变式练习(2):关于x的一元二次方程(m-1)x2 +5x＋m2-1＝0 的常数项是0, 则m= -1 .
4、已知关于x的一元二次方程 (m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。
一元二次方程
一元一次方程、二元一次方程、分式方程
(1)2＋3＝2 不是等式，不是方程
(3)5x＋3＝18 一元一次方程
(4)x-2y＝5 二元一次方程
(5)
3 x
1
2
不是等式，不是方程
(6) 2 5 x x2
分式方程
一元
一次
只含有一个未知数，并且未知数的最高次是1次 的整式方程叫一元一次方程。
(4)2x(x 1) 3(x 5) 4
2x2-5x-11=0
温馨提示：某一项的系数包括它前 面的符号。
3、 关于x的方程ax2 -2bx＋a＝2x2 , 在什么 条件下此方程为一元二次方程？在什么条 件下此方程为一元一次方程？ 解：移项：ax2 -2bx+a-2x2 =0
合并同类项：(a-2)x2-2bx+a=0
问题2 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，
梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如
果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端
滑动多少米？
解:设梯子底端滑动x
1m
米,则由题意可得方程：
8m
(6+x)2+72=102，
xm整理可得x：2 12x 15 0
?6m
问题3 学校图书馆去年年底有图书5 万册，预计到明年年底增加到7.2万 册。求这两年的年平均增长率。
(3)4x2 y 3 0 不是 (4)5x2 6 0 是
(5) x 2 4 是
(6) x 2 x2不是 x 1
(7)x 2 4 (x 2)2 不是
(8)ax2 bx c 0 (a、b、c为常数)不是
1、指出下列一元二次方程的二次项系数、 一次项系数和常数项：
方程
二次项 系数
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平
方和等于后两个数的平方和吗？
一 般
化
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依
次可表示为： x＋1 ， x＋2 ， x＋3 ， x＋4 ．
根据题意，可得方程：
x2 ＋ (x＋1)2 ＋ (x＋ 2)2 ＝(x＋3)2 ＋ (x＋4)2 .
你能化简这个方程吗?
A.5.23<x<5.24 B.5.24<x<5.25
C.5.25<x<5.26 D.5.24<x<5.26
x
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
5x2 -24x+28 17.25 9 3.25 0 -0.75 1 5.25
从上表中你能得出方程5x2 -24x+28的根是 几吗？如果能，写出方程的根，如果不能， 请写出方程根的取值范围
4、解方程
5、已知关于x的方程是一元二次方程，求m的值。
（m 1)x m 1 mx m2 1 0
• 分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x 的最高次数∣m∣+1＝2，
• 解之得，m=1或m=－1， • 又因二次项系数m＋1≠0， 即m≠－1， • 所以m=1。
温馨提示：注意陷井 二次项系数a≠0！
第二章 一元二次方程
认识一元二次方程
☞ 回顾与思考
数学与生活
你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?
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☞ 回顾与思考
“知识” 知多少
你能根据商品的销售利润作出一定的 决策吗?
与一元一次方程和分式方程一样,一元二 次方程也是刻画现实世界的一个有效数学 模型。
☞ 做一做
教室地面有多宽
幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准 备在地面正中间铺设一块面积为１８m2 的地毯 ，四 周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这 个宽度吗？
1、一个长方形的周长为30厘米，面积为54厘米，设宽为x厘米。
(1)根据题意列方程。
(2)x可能小于0吗？说出理由.
x
(3)x可能大于15吗？说出理由.
15-x
(4)能否想一个办法求得长方形的长x?
解(1)设长方形的宽为x厘米,则长为(15-x)厘米.
x(15 -x)=54 (2) x表示长方形的实际宽,不可能小于0
2、有一个两位数,个位数字与十位数字之和等于6,而且这两个 数字的积等于这个两位数的 1/3,求这个两位数.
设:这个两位数的十位数字是x,
则个位数字是(6-x)
x(6-x)= 1/3(10x+6-x) 化成一般形式为: x2 -3x+2=0
根据题意得x的范围是:0 < x ≤ 6 列表
x
1 2 3 456
在x范围内取整数值,分别代入方程，如果有
一个数能够使方程的左边等于0,则这个数就
是方程的一个解. 2x2 –13x+11=0 ( 0 ≤x≤2.5 )
列表
x
01 2
2x2 —13x+11 11 0 -7
当x=1时，2x2 –13x+11=0 ， 所以方程的解为x=1
若在x许可的范围内取整数值，没有一 个数能够使方程的左边等于0怎么办？
问题2 绿苑小区住宅设计，准备在每 两幢楼房之间，开辟面积为900平方米 的一块长方形绿地，并且长比宽多10米， 那么绿地的长和宽各为多少？
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☞ 做一做
挑战自我
解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图
案的长（为8－2x） m,宽为（5－2x）m,根据题意,可得方
程：(8 － 2x) (5 － 2x) = 18. 你能化简这个方程吗?
8
x
x 数学
（8－2x）
x
化5
18m2
x
☞ 想一想
你能行吗？
观察下面等式：
１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２
问题1 一块四周镶有宽度相等的花边的地
毯如下图，它的长为8m，宽为5m．如果
地毯中央长方形图案的面积为18m2 ，则
花边多宽?
解：如果设花边的宽为 x m ,
那么地毯中央长方形图案的
长为 (8-2x) m,宽为 (5-2x)
m,根据题意,可得方程：
(8-2x)(5 -2x) = 18.
整理, 得
2x2 13x 11 0
x
1.1 1.2 1.3 1.4
x2 +12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76
所以x的整数部分是1，十分位是1
小试牛刀：
1.由方程ax2+bx+c=0(a≠0)可得下表，则
x的取值范围大约是( B )
x
5.23 5.24 5.25 5.26
ax2 +bx+c -0.03 -0.01 0.01 0.02