江苏省盐城中学2020届高三下学期阶段检测数学试题 Word版含解析

盐城中学2020届高三年级第二学期阶段检测
数学试题（教师版）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.已知集合{}1,2A =，{}
2
,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________
【答案】1 【解析】
由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．
点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．
（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．
2.若复数z 满足()1234z i i +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是______. 【答案】1 【解析】 【分析】
通过复数方程，两边同乘1-2i ，然后求出复数z 即可． 【详解】因
复数z 满足(1+2i )z =−3+4i ,所以(1−2i )(1+2i )z =(−3+4i )(1−2i )，
即5z =5+10i ， 所以z =1+2i ,实部为1. 故答案为：1.
【点睛】本题考查了复数的乘除运算，注意题目求的是复数z 的实部，不能写成复数z 的结果。

本题属于基础题。

3.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．
【答案】8 【解析】
分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S = 点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.
4.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为______.
【答案】
345
【解析】 【分析】
根据茎叶图中的数据求出甲、乙二人的平均数，再根据方差的定义得出乙的方差较小，求出乙的方差即可．
【详解】解：根据茎叶图中的数据，计算甲的平均数为11
(7791418)115x =⨯++++=，
乙的平均数为21
(89101315)115
x =⨯++++=；
根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定（方差较小）， 计算乙成绩的方差为：
222222134[(811)(911)(1011)(1311)(1511)]55
s =⨯-+-+-+-+-=．
故答案为：
34
5
．
【点睛】本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题，属于基础题．
5.从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为______________. 【答案】30. 【解析】 【分析】
讨论选择的数字是0和2两种情况，分别计算得到答案.
【详解】若从0、2中选一个数字是0，则组成三位数有12
2312C A =个；
若从0、2中选一个数字是2，则组成三位数有23
3318C A =个，故一共有30个． 故答案为：30.
【点睛】本题考查了排列组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
6.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线的倾斜角为45，且过点()3,1，则双曲
线的焦距等于________. 【答案】8 【解析】 【分析】 根据题意得出
1b
a
=，然后将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程，可求出a 、b 的值，即可计算出双曲线的焦距.
【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a =±
，由题意可得1b
a
=，b a ∴=， 所以，双曲线的标准方程为22
221x y a a
-=，
将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程得
2
291
1a a
-=，得a b ==，
因此，双曲线的焦距为248=⨯=. 故答案为：4.
【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，要结合题意得出a 、b 的值，考查运算求解能力，属于中等题.
7.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 【答案】3:2 【解析】
试题分析：设球的直径为2R ，则22
12:(222):43:2.S S R R R R πππ=+⋅=
考点：球的表面积
8.已知函数221
()log (1)1
x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．
【解析】 【分析】
解方程[(0)]2f f =即得a 的值. 【详解】∵0
(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f == ∵[(0)]2f f = ∴log 22a =， 因为0,a > 所以解得a
．
【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识理解掌握水平和分析推理能力.
9.已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+≤<图象的一条对称轴是直线6
x π
=，则(2)f ϕ的值为
___________． 【答案】
1
2
【解析】 【分析】
由函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+≤<图象的一条对称轴是直线6
x π
=
可得()16
f π
=±，结合
0ϕπ≤<解得6
π
=
ϕ，代入(2)f ϕ中计算即可得到答案. 【详解】由题意，()16
f π=±，sin(2)16
π
ϕ⨯
+=±，即
,3
2
k k Z π
π
ϕπ+=+
∈，
,6
k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ≤<，所以6
π=ϕ，故51
(2)sin5sin
6
2
f πϕϕ===. 故答案为：
1
2
. 【点睛】本题考查正弦型函数的对称性质，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 10.已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S ，
也为等比数列，则q =____． 【答案】2 【解析】 【分析】
先由{}n a 为等比数列可得22
2112n
n q q S q
=++-+--
{}2n S +也为等比数列，根据等比数列的通项公式的特点可求解. 【详解】已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列. 所以()112222
1111n n n n a q q q S q
q q q
---=
==+
----. 22
2112n n q q S q
=++-+--
,则{}2n S +也为等比数列.
所以
2
201q
+=-，即2q .
故答案为：2
【点睛】本题考查等比数列的通项公式的特点和等比数列的前n 项和的公式，属于中档题. 11.如图，在平面四边形ABCD 中，2
CAD π
∠=
，2AD =，4AB BC CA ===，E 、F 分
别为边BC 、CD 的中点，则AE AF ⋅=______．
【答案】63- 【解析】 【分析】
以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系xAy ，计算出AE 、AF 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算计算出AE AF ⋅的值.
【详解】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，
则点()0,0A 、()2,1F -、(3,3E -，()2,1AF ∴=-，(3,3AE =--， 因此，()()(231363AE AF ⋅=-⨯-+⨯-=. 故答案为：63【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，一般利用基底法和坐标法进行计算，考查计算能力，属于中等题.
12.在平面直角坐标系xOy 中，直线:50l kx y k -+=与圆22
:100C x y x +-=交于点,A B ，
M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是__________．
【答案】5
(,5]2
【解析】 【
分析】
将直线l 与圆C 联立方程组消去y 可得2
2
2
2
(1)10(1)250k x k x k ++-+=，利用根与系数关
系可得22
5(1)
21
A B M x x k x k +-==-+，再根据直线l 与圆C 相交，利用判别式求出2k 的范围，进而求出点M 的横坐标的取值范围． 【详解】由22
50,100,
kx y k x y x -+=⎧⎨
+-=⎩消去y 得2222(1)10(1)250k x k x k ++-+=， 所以22
10(1)
1
A B k x x k -+=-+， 所以22222
5(1)5[(1)2]10
52111
A B M x x k k x k k k +-+-==-=-=-+++， 因为直线l 与圆C 交于点A ，B 两点，
所以2
2
2
22
100(1)4(1)253001000-k k k k ∆=-⨯+⨯=-+>，
所以2
13
k <
，令21k t +=，4[1,)3t ∈，
所以105M x t =-，其在4[1,)3t ∈上单调递减，所以5
52
M x <≤． 故答案为：5(,5]2
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化与化归的思想，属于中档题． 13.已知ABC ∆
1
，AC =43
1tan tan A B
+=，则tan A 的值为________.
【答案】)
1-
【解析】
将正切化为弦，结合边角互化思想得出()
sin cos 3
b A A
c -=
，然后利用三角形的面积公式结
合三角恒等变换思想得出2sin sin cos A A A -的值，并利用弦化切的思想可求出tan A 的值. 【详解】设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c
，则b =
434cos 3cos 4cos sin 3sin cos 1tan tan sin sin sin sin A B A B A B
A B A B A B
++=+==， 4cos sin 3sin cos sin sin A B A B A B ∴+=，
()()sin sin cos sin 3sin cos cos sin 3sin 3sin A B A B A B A B A B C ∴-=+=+=，
由边角互化思想得()sin
cos 3b A A
c -=，()
sin cos 3
b A A
c -∴=
，
ABC ∆的面积为
)11sin sin cos sin 22ABC S bc A A A A
∆==⨯-()22sin sin cos 1A A
A =-=，2sin sin cos A A A ∴-=
即222222222222sin sin cos 1sin sin cos tan tan cos cos sin cos 2sin cos tan 1
cos cos
A A A
A A A A
A A A A A A A A A A
---===+++
，
整理得
))
21
tan 2tan 10A A ++
=，解得)
tan 1A =-
.
故答案为：)
1-
.
【点睛】本题考查三角形中正切值的计算，同时也考查了三角形的面积公式、边角互化思想以及弦切互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
14.已知函数()2ln 2,05,04x x x x f x x x x ->⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩
的图象上有且仅有两个不同的点关于直线2y =-的
对称点在30kx y --=的图象上，则实数k 的取值范围是________．
【答案】()3,1,4⎛
⎫-∞+∞ ⎪
⎝
⎭
【分析】
求出直线30kx y --=关于直线2y =-对称的直线l 的方程10kx y ++=，然后将问题转化
为直线l 与函数()y f x =的图象有两个交点，构造函数()1ln 2,015,04x x x
g x x x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩
，将问题
转化为直线y k =-与函数()y g x =的图象有两个交点，利用数形结合思想可求出实数k 的
取值范围.
【详解】直线30kx y --=关于直线2y =-对称的直线l 的方程为()430kx y ----=，即
10kx y ++=，对应的函数为1y kx =--.
所以，直线l 与函数()y f x =的图象有两个交点.
对于一次函数1y kx =--，当0x =时，1y =-，且()00f =. 则直线l 与函数()y f x =的图象交点的横坐标不可能为0. 当0x ≠时，令()1kx f x --=，可得()1f x k x
+-=
，
此时，令()()1ln 2,0
115,04x x f x x
g x x x x x ⎧
+->⎪+⎪==⎨⎪++<⎪⎩
.
当0x >时，()22111
x g x x x x
-'=
-=，当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>. 此时，函数()y g x =在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 函数()y g x =的极小值为()11g =-；
当0x <时，()222
11
1x g x x x
-'=-=，当1x <-时，()0g x '>；当10x -<<时，()0g x '<. 此时，函数()y g x =在区间(),1-∞-上单调递增，在区间()1,0-上单调递减， 函数()y g x =的极大值为()3
14
g -=-
.
作出函数y
k =-和函数()y g x =的图象如下图所示：
由图象可知，当1k -<-或34k ->-时，即当3
4
k <或1k >时，直线y k =-与函数()y g x =的图象有两个交点.
因此，实数k 的取值范围是()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪
⎝⎭
.
故答案为：()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪
⎝
⎭.
【点睛】本题考查利用函数图象交点个数求参数的取值范围，同时也考查了对称思想的应用，解题的关键就是将问题转化为两函数图象的交点个数来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD .
（1）求证：//PB 平面AEC ；
（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）连接BD 交AC 于O ，可得知点O 为BD 的中点，利用中位线的性质得出//PB OE ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出//PB 平面AEC ；
（2）证明出CD ⊥平面PAD ，可得出AE CD ⊥，由等腰三角形三线合一的思想得出
AE PD ⊥，然后利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AE ⊥平面PCD .
【详解】（1）连接BD 交AC 于O ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点， 因为E 为PD 的中点，所以//OE PB ，
又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以//PB 平面AEC ；
（2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥，
又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为四边形ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥， 因为PA 、AD ⊂平面PAD 且PA AD A ⋂=，
所以CD ⊥平面PAD ，又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，
PD 、CD ⊂平面PCD 且PD CD D ⋂=，所以AE ⊥平面PCD .
【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直的证明，在证明时要严格根据判定定理组织论据，考查推理论证能力，属于中等题.
16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45
． （Ⅰ）若c ＝2a ，求
sin sin B
C
的值； （Ⅱ）若C －B ＝
4
π
，求sin A 的值． 【答案】（1
）10（2
）50
【解析】
试题分析：（1）由余弦定理cos 4
5
B =
及2c a =得出b,c 关系，再利用正弦定理即可求出；（2）根据正余弦的二倍角公式及同角三角函数之间的关系，即可解出.
试题解析：（1）解法1：在ABC ∆中，因为cos 45B =，所以2224
25
a c
b a
c +-=.
因为2c a =，所以222
42522
()c
c b c c +-=⨯，即22920b c =
，所以10b c =.
又由正弦定理得
sin sin B b C c =
，所以sin sin 10
B C =. 解法2：因为4cos ,(0,)5B B π=
∈
，所以3
sin 5
B ==. 因为2c a =，由正弦定理得sin 2sin
C A =， 所以68
sin 2sin()cos sin 55
C B C C C =+=
+，即sin 2cos C C -=. 又因为22
sin cos 1,sin 0C C C +=>
，解得sin 5C =
sin sin 10
B C =. （2）因
cos 45B =
，所以2
7cos 22cos 125
B B =-=.
又0B π<<，所以3
sin 5B ==
，所以3424sin 22sin cos 25525
B B B ==⨯⨯=. 因为4
C B π
-=，即4C B π=+，所以3()24
A B C B ππ=-+=
-， 所以
333724sin sin(
2)sin cos 2cos sin 2()44422522550
A B B B πππ=-=-=--⨯=
试题点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系与两角和的正弦公式，以及三角形中角之间的关系．
17.某国营企业集团公司现有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了激化内部活力，增强企业竞争力，集团公司董事会决定优化产业结构，调整出x （*x ∈N ）名员工从事第三产业；调整后，他们平均每人每年创造利润310500x a ⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
万元(0)a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x ％.
（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（Ⅱ）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则实数a 的取值范围是多少？ 【答案】（Ⅰ）500名（Ⅱ）(0,5] 【解析】 分析】
（1）根据题意可列出()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，进而解不等式即可求得x 的范围，从而得解；
（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意列出不等式，转化为不等式恒成立问题，再利用基本不等式，即可得解. 【详解】解：（Ⅰ）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯， 整理得25000x x -≤，解得0500x ≤≤， 又0x >，
∴0500x <≤，
∴最多调整出500名员工从事第三产业.
（Ⅱ）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫
-
⎪⎝⎭
x a x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为()1010001500x x ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
万元. 则由题意，知
当0500x <≤时，恒有31010(1000)1500500x x a x x ⎛⎫⎛
⎫-≤-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 整理得1000
1250x a x
≤
++在0500x <≤时恒成立. 1000100024
250250x x x x
+≥⋅=， 当且仅当
1000
250x x
=，即500x =时等号成立， ∴5a ≤，
又
0a >，
∴05a <≤，
∴a 的取值范围是(0,5].
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化能力，属于中档题.
18.如图，已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为12，A 、B 分别是椭
圆C 的左、右顶点，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）记AFM ∆、BFN ∆的面积分别为1S 、2S ，若
126
5
S S =，求k 的值； （3）记直线AM 、BN 的斜率分别为1k 、2k ，求
2
1
k k 的值. 【答案】（1）22143x y +=；
（2
）6
k =；（3）3. 【解析】 【分析】
（1）设椭圆的焦距为2c ，根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 的值，即可得出椭圆C 的标准方程；
（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，由
126
5S S =，可得出25
FM NF =，利用共线向量的坐标运算以及点M 、N 在椭圆C 上，列方程组求出点N 的坐标，然后利用斜率公式可求出k 的值；
（3）可得出直线l 的方程为()1y k x =-，将该直线方程与椭圆C 的标准方程联立，列出韦
达定理，利用斜率公式并代入韦达定理可计算出
2
1
k k 的值. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c
，
椭圆过点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭，离心率为12
，
22
9
141a b ∴+=，12c a =，解得2a =
，b =22
143x y +=； （2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，
1265S S =，1
21
62152
AF y BF y ⨯⨯∴=⨯⨯，整理可得
12365y y =，即1225y y =，25FM NF ∴=. 代入坐标，可得()12122115
25x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1212725525x x y y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
又点M 、N 在椭圆C 上，22
2222
227225551
43
14
3x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪+=∴⎨⎪⎪+=⎪⎩
，解得22
54x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴直线l
的斜率85614
k ==--； （3）
直线l 的方程为()1y k x =-，
由()22114
3y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=，
2122
843k x x k ∴+=+，2122
412
43
-⋅=+k x x k ， 又
()()()()()()2
212122111212121222122
y y x k x x k x y k y x k x x x +-+-===
---+1221121222
22x x x x x x x x +--=--+22222222222222222222222241284612182233434343433464641282243434343k k k k x x x x k k k k k k k k x x x x k k k k ⎛⎫⎛⎫-----+---+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭+====----⎛⎫-++---+ ⎪++++⎝⎭
，
因此，2
1
3k k =. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积比的计算以及斜率的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.
19.已知函数()2
ln 2
x f x a x ax =-+.
（1）当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；
（2）当0a >时，讨论()f x 的单调性；
（3）若()f x 有两个极值点1x 、()212x x x ≠，且不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.
【答案】（1）2230x y --=；（2）见解析；（3）[)2ln 23,-+∞. 【解析】 【分析】
（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，求出该函数的导数，计算出()1f 和()1f '的值，然后利用点斜式可写出函数()y f x =在1x =处的切线方程；
（2）求出函数()y f x =的定义域和导数()2x ax a f x x -+'=，计算出二次函数
2y x ax a =-+的判别式24a a ∆=-，分0∆≤和>0∆两种情况讨论，可得出函数
()y f x =的单调区间；
（3）由（2）得知4a >，且方程()0f x '=的两根分别为1x 、2x ，利用韦达定理得出
1212
x x a
x x a +=⎧⎨
=⎩，由参变量分离法得出()()1212f x f x x x λ+>+，结合韦达定理得出()()12121ln 12f x f x a a x x +=--+，利用导数求出关于a 的函数1
ln 12
y a a =--在()
4,a ∈+∞上的值域，由此可得出实数λ的取值范围.
【详解】（1）当1a =时，()2
ln 2
x x f x x =-+，()112f =-，()11f x x x '=-+，()11f '=，
所以，函数()y f x =在1x =处的切线方程为112
y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭
，即2230x y --=；
（2）函数()y f x =定义域为()0,∞+，()2a x ax a
a x x x
f x '-+=-+=，
二次函数2
y x ax a =-+的判别式24a a ∆=-.
①若240a a ∆=-≤时，即当04a <≤时，对任意的0x >，()0f x '≥，
此时，函数()y f x =单调递增区间为()0,∞+，无减区间； ②若240a a ∆=->时，即当4a >时，
由()20x a x x a f x '-+==
，得02a x -=>
或02
a x =>.
当02a x <<
，或2a x +>时，()0f x '>，
x <<
()0f x '<， 此时，函数()y f x =
单调递增区间为0,
2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，2a ⎛⎫
++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减
区间为,22a a ⎛+
⎪⎝⎭
； （3）由（2）知，4a >，且1212
x x a x x a +=⎧⎨=⎩，
不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立等价于()()()()
121212f x f x f x f x x x a
λ++>=+恒成
立， 又
()()()()22
12111222
11ln ln 22f x f x a x x x a x x x +=-++-+()()()22
1212121ln ln 2a x x a x x x x =+-+++()()2121212121ln 22a x x a x x x x x x ⎡⎤=-+++-⎣
⎦()22211
ln 2ln 22
a a a a a a a a a =-+-=--.
所以
()()12121ln 12f x f x a a x x +=--+，令()1ln 142y a a a =-->，则11
'02
y a =-<， 所以1
ln 12
y a a =-
-在()4,+∞上单调递减，所以2ln 23y <-，所以2ln 23λ≥-. 因此，实数λ的取值范围是[)2ln 23,-+∞.
【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，以及含参函数单调区间的求解，同时也考查了利用导数研究不等式恒成立问题，涉及韦达定理的应用，考查分类讨论思想与化归与转化
思想的应用，属于难题.
20.已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n b A B =+. （1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式； （2）若21
2
n n
n a -=
，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列. 【答案】（1）2n n n b A B n =+=；（2）11,s =29,4s =
37
2
s =，当4n ≥时，19323
842
n n n n S +=
+-；（3）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）利用数列{}n a 的通项公式判断其增减性，从而确定n A ，n B 的表达式，进而求出数列{}n b 的通项公式； （2）由212n n
n a -=
计算11322n n
n n
a a ++--=，2n ≥时，数列单调递减，所以当4n ≥时，321
42
n n n b -=+，利用分组求和和错位相减法求和计算即可得到答案；
（3）设数列{}n b 的公差为d ，则111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=，讨论0,d >0d <，0d =三种情况，分别证明数列{}n a 为等差数列即可.
【详解】（1）由21n a n =-得{}n a 是递增数列， 所以21,n n A a n ==-11n B a ==， 所以2n n n b A B n =+=. （2）由21
2n n n a -=
得11
1212132222
n n n n n n n n a a ++++---=-=， 当1n =，10n n a a +->，即12a a <； 当2n ≥，10n n a a +-<，即2341a a a a >>>. 又11,2a =
23,4a =315,8a a =>417
16
a a =<，
所以11,b =25,4b =354b =，当4n ≥时，32142n n n b -=+，
所以11,=S 29
,4=
S 372
S =， 当4n ≥时，令13213(1)42422n n n n n k n b kn b
b ---++=
+=+-， 则2,k =3b =，即132132123
42422
n n n n n n n b --++=
+=+-. 所以344517391111132123(3)24222222-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
+-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
n n n n S n n 373923(3)2422n n n +=+-+-19323
842
n n n +=+-. 综上所述，11,=S 29
,4=
S 372
S =，当4n ≥时，19323842n n n n S +=+-. （3）设数列{}n b 的公差为d ，
则111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=， 由题意11,n n n n A A B B ++≥≤，
①0,d >1n n A A +>，对任意*n N ∈都成立， 即11++=>=n n n n A a A a ，所以{}n a 是递增数列. 所以,n n A a =1n B a =，
所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=-， 所以数列{}n a 是公差为d 的等差数列；
②当0d <时，1n n B B +<对任意*n N ∈都成立， 进面11n n n n B a B a ++=<=，
所以{}n a 是递减数列.1,n A a =n n B a =， 所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=- 所以数列{}n a 是公差为d 的等差数列；
③当0d =时，110n n n n A A B B ++-+-=， 因为1n n A A +-与1n n B B +-中至少有一个为0， 所以二者都为0，进而可得数列{}n a 为常数列， 综上所述，数列{}n a 为等差数列.
【点睛】本题考查数列的通项公式、前n 项和公式、利用等差数列的定义证明等差数列、利用分组求和和错位相减进行数列求和；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握等差数列的定义和数列求和的方法是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题. 【选做题】
21.已知a ，b ，c ，d ∈R，矩阵A ＝20a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 的逆矩阵A －1
＝11c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.若曲线C 在矩阵A 对应
的变换作用下得到直线y ＝2x ＋1，求曲线C 的方程． 【答案】2x －5y ＋1＝0. 【解析】 【分析】 根据AA －1＝1001⎡⎤⎢
⎥⎣⎦解得A ＝1201-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，设P (x ，y )为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，利用矩阵的线性变换，用,x y 表示,x y ''，将,x y ''代入y ＝2x ＋1并整理即可得到答案. 【详解】由题意得，AA －1＝1001⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，即 20a b -⎡⎤⎢⎥
⎣⎦11c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝22a d
ac bd b --⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1001⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 所以a ＝1，b ＝1，c ＝2，d ＝0，
即矩阵A ＝1201-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，.
设P (x ，y )为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，
则 x y ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦
＝1201-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即2x x y
y y ''=-⎧⎨=⎩ 由已知条件可知，P ′(x ′，y ′)满足y ＝2x ＋1，整理得2x －5y ＋1＝0， 所以曲线C 的方程为2x －5y ＋1＝0.
【点睛】本题考查了由矩阵的逆矩阵求矩阵，考查了矩阵的线性变换，考查运算求解能力，属于基础题.
22.在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B
的极坐标分别为()
π42，，5π4⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）． （1）求直线AB 的直角坐标方程；
（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．
【答案】（1）340x y -+=；（2 【解析】 【分析】
（1）求得()04A ，
，()22B --，，问题得解． （2）利用直线AB 和曲线C 相切的关系可得：圆心到直线AB 的距离等于圆的半径r ，列方程即可得解．
【详解】（1）分别将()π42A ，，()
5π4B ，转化为直角坐标为
()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=．
（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222
x y r +=．
又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线AB 的距离等于圆的半径r .
又圆心到直线AB
=r ．
【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题． 【必做题】
23.某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C 每个项目测试的概率都是1
2
. （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望.
【答案】(1)3
8
；(2)答案见解析.
【解析】
分析：（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；
（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X 的概率分布，计算数学期望. 详解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为
；
（2）因为每人可被录用的概率为
，
所以
，
， ，
；
故随机变量X 的概率分布表为： X 0 1 2 3 P
所以，X 的数学期望为
．
点睛：解离散型随机变量的期望应用问题的方法
(1)求离散型随机变量的期望关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望公式进行计算．
(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的，可用二项分布的期望公式计算，则更为简单．
24.如图，F 是抛物线()2
20y px p =>的焦点，过点F 且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于
()11,A x y 、()22,B x y 两点，交抛物线的准线于点H ，其中10y >，124y y =-．过点H 作y
轴的垂线交抛物线于点P ，直线PF 交抛物线于点Q .
（1）求p 的值；
（2）求四边形APBQ 的面积S 的最小值． 【答案】（1）2p =；（22515
【解析】 【分析】
（1）设直线AB 的方程为2
p
x ty =+
，将该直线方程与抛物线的方程联立，消去x ，得到关于y 的二次方程，利用韦达定理结合124y y =-可求出正数p 的值；
（2）由直线AB 与坐标轴不垂直，所以设AB 方程为()10x ty t =+≠，并设点()33,Q x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，并求出AB ，求出点H 的坐标，可得出点P 的坐标，并可得出直线PF 的方程，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得出点Q 的坐标，并分别计算出点P 、Q 到直线AB 的距离1d 、2d ，利用三角形的面积公式可得出S 关于t 的表达式，设20k t =>，构造函数()2
f k S =，利用导数求出函数
()y f k =的最小值，即可得出S 的最小值.
【详解】（1）设AB 方程为2
p x ty =+
，与22y px =联立，消去x 整理得22
20y pty p --=， 所以2
124y y p =-=-，得2p =-（舍去）或2p =；
（2）由（1）知抛物线方程为2
4y x =，()1,0F ，准线方程为1x =-.
因为直线AB 与坐标轴不垂直，所以设AB 方程为()10x ty t =+≠，()33,Q x y ，
由214x ty y x
=+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，124y y =-，124y y t +=，
所以()
21241AB y y t =-=+， 令1x =-，则2y t =-
，所以21,H t ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，212,P t t ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，
直线PF 的方程为2
112t x y t -=+，由2
21124t x y t y x
⎧-=+⎪⎨⎪=⎩
得()222140t y y t ---=，
所以32
4t
y -
=-，32y t =，代入24y x =，得23x t =，所以()2,2Q t t . Q 到直线AB
的距离为21d =
，P 到直线AB
的距离为22d =
，
所以四边形APBQ 的面积()
5
3
2
122
112
2
S AB d d t t +=+==，
令20t k =>，则()5
2241k S k +=，令()()5
241k f k k +=，则()()()4
32132k k f k k
+-'=.
当2
03
k <<时，()0f k '<，函数()y f k =单调递减， 当2
3
k >
时，()0f k '>，函数()y f k =单调递增. 所以，当23k =时，()y f k =有最小值5
527
，
因此，四边形
APBQ 的面积S 的最小值为
9
【点睛】本题考查抛物线方程中参数的计算，同时也考查了抛物线中四边形面积最值的计算，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，涉及了利用导数求最值，考查运算求解能力，属于难题.。