函数的单调性与导数导学案

函数的单调性与导数导学案
课题
函数的单调性与导数
学习目标
知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系；
2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。

过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法；
2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、
转化思想。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

学习重点 探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。

学习难点 探索函数的单调性与导数的关系。

教学方法
问题启发式
学生学习过程
师生合作探究
复习 1：导数的几何意义 复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法（图像法，定义法）
问题提出：判断y=x 2
的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成）
那么如何判断();,0,sin )(π∈-=x x x x f 的单调性呢？
探究任务一：函数单调性与其导数的关系：
问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数105.69.4)(2
++-=t t t h 的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度
5.68.9)(')(+-==t t h t V h 的图像。

通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最
尝试用图像和定义去解决。

【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？
通过观察图像，我们可以发现：
（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度
h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函
数．相应地， 。

（2）从最高点到入水，运动员离水面的高h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地， 。

高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发现)(')(t h t h 和这两个函数图像有什么联系吗?
问题2：结合函数x y =，2
x y =，3
x y =，
x
y 1
=
，观察图（1）～图（4），探讨函数与其导函数是否也存在问题（1）的关系呢？
问题3：通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系？你能得到怎样的结论？
问题4：上述结论主要是通过观察得到的，你能结合导数的几何意义为切线的斜率，你能从这个角度给予说明吗？
探究任务二：()0'=x f 与函数单调性的关系： 问题5：若函数()x f 的导数()0'=x f ，那么
()x f 会是一个什么函数呢？
问题6：在区间()b a ,上()0'≥x f ，则函数()x f 区间()b a ,必为增函数，你认为这句话对吗？请说明理由。

问题7：函数()x f 在区间()b a ,上为增函数，则在区间()b a ,上()0'≥x f 成立.你认为这句话对吗？
函数x y =的定义域为 ，并且在定义域上是 函数，其导数 。

函数2
x y =的定义域为 ，在)
0,(-∞上单调 ，在),0(+∞上单调 ； 而x y 2='，当0<x 时，其导数 ；当0>x 时，其导数 ；当0=x 时，其导
数 。

函数3
x y =的定义域为 ，在定义域上为 函数；
而2
3x y ='，若0≠x ，则其导数 ，
当0=x 时，其导数 。

函数x
y 1
=
的定义域为),0()0,(+∞⋃-∞，在)0,(-∞上单调 ，在),0(+∞上单调 ； 而21
x
y -
='，因为0≠x ，显然0<'y 。

以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间),(b a 内，如果函数
)(x f y =在这个区间内单调递增，那
么 ；如果函数)(x f y =在这个区间
内单调递减，那么 。

如果()0'=x f ，那么函数()x f 在这个区间内是 函数。

通过实例说明问题6和7是否成立,并理解利用导数的符号来判定函数的单调性之间的充分性与必要性。

结论：在区间()b a ,上()0'≥x f （且 ）
说明理由。

问题8：平时我们遇到很多需要数形结合的题目，
那么现在我们知道了导数的正负能帮助我们判断函数的单调性，那么我们能否利用导数信息画出函数的
大致图像呢？
例1:已知某函数的导函数的下列信息:
当;0)('41><<x f x 时，
当;0)('1,4<<>x f x x 时，或
当.0)('1,4===x f x x 时，或试画出函数()x f 图像的大致形状。

问题9：根据我们得到的导数与单调性之间关系
的结论，你能否利用此结论来求函数的单调区间呢？ 例2：判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
（1）();,0,sin )(π∈-=x x x x f
（2）;12432)(2
3
+-+=x x x x f （3）;3)(3x x x f +=
（4）;32)(2
--=x x x f
拓展研究：导数能帮助我们简洁的求出单调区间，画出大致图象，但我们知道就是递增（递减）也
有快与慢的区别，在导数上如何体现呢？
例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入
水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，
请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函
数关系图像。

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 课堂练习
确定下列函数的单调区间 (1)y =x e x - (2)y =3x －x 3
是函数()x f 区间()b a ,必为增函数的
条件； 在区间()b a ,上()0'≤x f （且 ）
是函数()x f 区间()b a ,必为减函数的
条件。

作出满足题意的函数图像。

通过例2的学习，总结出利用导数求单调
区间的步骤：
（1）确定函数)(x f y =的 ；
（2）求导数 ；
（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式 ，解集在定义域内
的部分为减区间。

由导数的几何意义知，增加与减少也由
快慢之分，以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得 ，以后高度增加得越来越 。

一般的，如果一个函数在某一范围内导数
的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“ ”；反之，函数的图像就“ ”一些。

若函数)(x f y =在某个区间内可导,如。