天津市第九十五中学2021届高三第一学期学情调查考试数学试卷 Word版含答案

天津九十五中学
高三年级第一学期学情调查
数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分，考试用时90分钟．
第Ⅰ卷 选择题(共36分)
参考公式： ·如果事件A ，B 互斥，那么P(A ∪B)＝P(A)＋P(B) ·如果事件A ，B 相互独立，那么P(AB)＝P(A)·P(B) ·球的表面积公式S ＝4πR2 ·球的体积公式V ＝43
πR3，其中R 表示球的半径
一、选择题(本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x|y ＝－x ，x ∈A}，则A ∩B ＝( )
A ．{1，2}
B ．{0，1，2}
C ．{－2，－1}
D ．{－2，－1，0}
3．已知双曲线x24－y2
m ＝1(m>0)的渐近线方程为3x±y ＝0，则双曲线的离心率为( )
A ．2 B. 3 C.233 D.3
2
4．用数字2，3，4，5，6组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为( )
A ．120
B ．72
C ．60
D ．48
5．已知抛物线y 2＝4x 与x 2＝2py(p>0)的焦点间的距离为2，则p 的值为( ) A ．2 3 B ．4 C ．6 D ．12 6．已知函数f(x)＝3x ＋2cosx ，若a ＝，b ＝f(2)，c ＝f(log27)，则a ，b ，c 的大小关
系为( )
A ．a<b<c
B ．c<a<b
C ．b<a<c
D ．b<c<a
7．某人通过普通话二级测试的概率为1
4，若他连续测试3次(各次测试互不影响)，则其中
恰有一次通过的概率为( )
A.164
B.116
C.2764
D.34
8．将函数f(x)＝cos(x ＋φ)(|φ|<π
2)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再
把得到的函数向左平移π6个单位长度，所得的函数图象关于直线x ＝π
2
对称，则φ的值为( )
A ．－512π
B ．－π3 C.π3 D.5π
12
9．已知函数若函数g(x)＝f(x)－x －a 有3个零点，则实数a 的取值
范围是( )
A ．[0，2)
B ．[0，1)
C ．(－∞，2]
D ．(－∞，1]
第Ⅱ卷 非选择题(共64分)
二、填空题(本大题共9小题，每空4分，共40分．把★答案★填在相应的横线上．)
10．i 是虚数单位，则⎪⎪⎪
⎪i
1＋i 的值为________．
11．(2x －
1x
)6的展开式中，1
x 项的系数为________．
12．已知椭圆C ：＝1(a>b>0)的离心率为
3
2
，焦距为23，则椭圆的方程为________________．
13．某路段限速70 km/h ，现对通过该路段的n 辆汽车的车速进行检测，统计并绘成频率分布直方图(如图)，若速度在60～70 km/h 之间的车辆为150辆，则这n 辆汽车中车速高于限速的汽车有________辆．
14．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为________． 15．已知a>0，b>0，且1a ＋1b ＝1，则1a －1＋4b －1
的最小值为________．
16．已知矩形ABCD 的对角线长为4，若AP →＝3PC →，则PB →·PD →
的值为________． 17．已知函数f(x)＝axlnx －bx(a ，b ∈R)在点(e ，f(e))处的切线方程为y ＝3x －e ，则a ，b 的值分别为________．
18．已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足2Sn ＝n 2＋n(n ∈N*)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________，设b n ＝(－1)n
·，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________________．
19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c. (1)若a ＝3c ，b ＝2，cosB ＝2
3，求边c 的值；
(2)若2bsinA ＝acosB ，求sin ⎝
⎛⎭⎫2B ＋π
3的值．
20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥AD ，底面ABCD 为直角梯形，BC ＝3AD ，AD ∥BC ，∠BCD ＝90°，M 为线段PB 上一点．
(1)若PM ＝1
3
PB ，求证：AM ∥平面PCD ；
(2)若PA ＝2，AD ＝1，异面直线PA 与CD 成90°角，二面角B －PC －D 的余弦值为－10
10
，求CD 的长及直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值．
数学★答案★
1．D [命题立意]本题考查集合的交集运算．
[解析]∵A ＝{－2，－1，0，1，2}，∴B ＝{x|y ＝－x ，x ∈A}＝{－2，－1，0}，∴A ∩B ＝{－2，－1，0}，故选D.
2．C [命题立意]本题考查全称命题的否定．
[解析]∵全称命题的否定为特称命题，∴命题“x ∈R ，x2－x ＋1≥0”的否定是“x0∈R ，x20－x0＋1<0”．故选C.
3．A [命题立意]本题考查双曲线的离心率、渐近线方程等几何性质．
[解析]∵双曲线x24－y2m ＝1(m>0)的渐近线方程为3x±y ＝0，∴b a ＝3，∴e ＝c
a
＝
a2＋b2
a2
＝1＋3＝2，故选A.
4．B [命题立意]本题考查排列、组合．
[解析]先排个位数有C13种方法，再排前4位有A44＝24种方法，由分步计数原理得偶数的个数为C13×A44＝72.故选B.
5．A [命题立意]本题考查抛物线的几何性质．
[解析]∵y2＝4x 的焦点为(1，0)，x2＝2py(p>0)的焦点为
⎝⎛⎭⎫0，p 2，∴ （1－0）2＋⎝⎛⎭
⎫0－p
22
＝2，解得p ＝23，故选A. 6．D [命题立意]本题考查函数单调性的应用、导数的应用．
[解析]∵f(x)＝3x ＋2cosx ，∴f′(x)＝3－2sinx>0，∴f(x)在R 上单调递增，又∵2<log27<3<32，∴f(2)<f(log27)<f(32)，即b<c<a ，故选D.
7．C [命题立意]本题考查n 次独立重复试验．
[解析]∵各次测试互不影响，∴其中恰有一次通过的概率为P ＝C13×14×⎝⎛⎭⎫342＝27
64，故选
C.
8．B [命题立意]本题考查图象变换、余弦型函数的对称性．
[解析]将函数f(x)＝cos(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π
2图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ的图象，再向左平移π6个单位长度，得到g(x)＝cos[1
2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ]的图象，∵g(x)的图象关于直线x ＝π2对称，∴12⎝⎛⎭⎫π2＋π6＋φ＝kπ，k ∈Z ，∴φ＝kπ－π3，k ∈Z.又∵|φ|<π
2，∴φ＝－π
3
，故选B.
9．A [命题立意]本题考查分段函数、函数的零点等知识．
[解析]∵g(x)＝f(x)－x －a 有3个零点，∴f(x)－x －a ＝0有3个根，令h(x)＝f(x)－x ，则y ＝h(x)的图象与直线y ＝a 有3个交点．当x ≤0时，h(x)＝x3－3x ，∴h′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)，当x<－1时，h′(x)>0，h(x)单调递增，当－1<x<0时，h′(x)<0，h(x)单调递减，h(－1)＝2.当x ＞0时，h(x)＝－lnx －x 单调递减，作出y ＝h(x)的图象如图，要使y ＝h(x)与y ＝a 有三个交点，须0≤a<2，故选A.
10.
2
2
[命题立意]本题考查复数的模． [解析]⎪⎪⎪⎪i 1＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝⎪
⎪⎪⎪i （1－i ）2＝⎪⎪⎪⎪1＋i 2＝
⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122
＝22
. 11．60 [命题立意]本题考查二项展开式的特定项系数．
[解析]⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式的通项公式为Tr ＋1＝Cr6(2x)6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r
＝(－1)r·26－
r·Cr6·x3－r ，令3－r ＝
－1得r ＝4，所以1
x
项的系数为(－1)422C46＝60.
12.x2
4
＋y2＝1 [命题立意]本题考查椭圆的标准方程、几何性质． [解析]由已知得2c ＝23，∴c ＝3，又∵e ＝c a ＝3
2，∴a ＝2，又b2＝a2－c2，∴b ＝1.∴
椭圆的方程为x2
4
＋y2＝1.
13．190 [命题立意]本题考查频率分布直方图．
[解析]由图得(0.008＋0.024＋x ＋0.028＋0.010)×10＝1，解得x ＝0.030.∴n ＝150
0.030×10＝
500，∴高于限速的汽车有
500×(0.028＋0.010)×10＝190(辆)．
14．8π [命题立意]本题考查圆柱的几何特征、球的表面积．
[解析]∵圆柱的轴截面是面积为4的正方形，∴正方形的边长为2，∵正方形的对角线即圆柱外接球的直径，∴球的半径为2，∴球的表面积为S ＝4πR2＝8π.
15．4 [命题立意]本题考查基本不等式的应用．
[解析]∵a>0，b>0，1a ＋1b ＝1，∴b ＝a
a －1
>0，∴a>1.
∴
1a －1＋4b －1＝1a －1＋4a a －1
－1＝1
a －1＋4(a －1)≥24＝4.
当且仅当⎩⎨⎧1
a －1＝4（a －1），1a ＋1
b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3
时等号成立，∴1a －1＋4
b －1的最小值为4.
16．－3 [命题立意]本题考查向量的运算、向量的数量积．
[解析]设AC 与BD 交于O 点，∵AP →＝3PC →，∴|OP →|＝14
|AC →|＝1，∵PB →＝PO →＋OB →，PD →＝PO
→
＋OD →，∴PB →·PD →＝(PO →＋OB →)·(PO →＋OD →)＝(PO →＋OB →)·(PO →－OB →)＝PO →2－OB →2＝1－4＝－3. 17．1，－1 [命题立意]本题考查导数的几何意义．
[解析]∵f(x)＝axlnx －bx ，∴f(e)＝ae －be ，f′(x)＝alnx ＋a －b ，∴f′(e)＝2a －b ，∵切线方程为y ＝3x －e ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，ae －be ＝2e ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 18．n(n ∈N*) ⎩⎪⎨⎪⎧－n
n ＋1，n 为偶数，－n ＋2n ＋1，n 为奇数
[命题立意]本题考查数列的前n 项和与通项的关系、数列求和．
[解析]∵2Sn ＝n2＋n ①，∴n ＝1时2S1＝12＋1，∴a1＝1.当n ≥2时，2Sn －1＝(n －1)2＋(n －1) ②.①－②得2an ＝2n ，∴an ＝n ，当n ＝1时也适合，∴an ＝n ，∴bn ＝(－1)n·
a2n ＋1
an·an ＋1＝(－1)n·2n ＋1n （n ＋1）＝(－1)n·⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1，∴{bn}的前n 项和Tn ＝－⎝⎛⎭⎫11＋12＋⎝⎛⎭⎫12＋13－⎝⎛⎭⎫13＋14＋…＋(－1)n·⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1＝－1＋(－1)n·1n ＋1＝⎩
⎪⎨⎪⎧－
n
n ＋1，n 为偶数，－n ＋2
n ＋1
，n 为奇数.
19．[命题立意]本题考查利用正、余弦定理解三角形、同角三角函数关系式、二倍角公式、
两角和的正弦公式．
[解题思路](1)利用余弦定理解方程得c ；(2)由已知及正弦定理得cosB ＝2sinB ，再利用sin2B ＋cos2B ＝1解得sinB ，cosB ，利用二倍角公式求得sin2B 、cos2B 代入两角和的正弦公式即可．
[解](1)∵a ＝3c ，b ＝2，cosB ＝2
3
，
由余弦定理，得23＝（3c ）2＋c2－（2）2
2×3c·c ，
解得c ＝
33
. (2)∵2bsinA ＝acosB ， 由正弦定理，得2sinB·sinA ＝sinA·cosB. ∵sinA ≠0，∴cosB ＝2sinB. 从而cos2B ＝(2sinB)2， 即1－sin2B ＝4sin2B ， 故sin2B ＝1
5.
∵sinB>0， ∴sinB ＝
55，cosB ＝2sinB ＝255
， ∴sin2B ＝2sinBcosB ＝45，cos2B ＝1－2sin2B ＝3
5
，
∴sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3＝sin2Bcos π3＋cos2Bsin π3＝4＋3310
. 20．[命题立意]本题考查线面平行的证明、线面角、二面角的求法． [解题思路](1)利用证平行四边形得AM ∥ND ，从而由线面平行的判定定理得线面平行；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法由二面角B －PC －D 的余弦值求得CD 的长，再利用向量法求得线面角的正弦值．
[解](1)证明：在平面PBC 内，过M 作BC 的平行线，交PC 于点N ，连接ND.
∵PM ＝13PB ，∴MN ＝1
3
BC.
∴MN ＝AD.
又AD ∥BC ，∴MN ∥AD ，
∴四边形AMND 是平行四边形， ∴AM ∥DN.
又AM 平面PCD ，DN 平面PCD ， ∴AM ∥平面PCD.
(2)∵PA ⊥AD ，PA ⊥CD ，
又AD ∩CD ＝D ，∴PA ⊥平面ABCD.
在平面ABCD 内，过A 作CD 的平行线，交BC 于点Q.
以A 为坐标原点，AQ ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设CD 的长为t(t>0)，
则P(0，0，2)，D(0，1，0)，C(t ，1，0)，B(t ，－2，0)． ∴BC →＝(0，3，0)，PC →＝(t ，1，－2)，CD →
＝(－t ，0，0)．
设平面PBC 和平面PCD 的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)． ∵⎩⎪⎨⎪⎧n1·BC →＝0，n1·PC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3y1＝0，
tx1＋y1－2z1＝0.
令x1＝2，则n1＝(2，0，t)．
同理可求得n2＝(0，2，1)．
设二面角B －PC －D 的平面角为θ. ∵|cosθ|＝⎪⎪⎪⎪
n1·n2|n1||n2|， ∴
|t|4＋t2·5＝10
10
.
解得t ＝±2(舍去负值)，
故CD 的长为2.∴PC →
＝(2，1，－2)． 平面ABCD 的法向量m ＝(0，0，1)． 设直线PC 与平面ABCD 所成的角为α， 则sinα＝|cos 〈PC →
，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PC →·m |PC →
|·|m|＝23， 即直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值为2
3.。