江苏省南通市通州区石港中学2012-2013学年高二数学10月学科抽测试题苏教版

石港中学高二年级数学学科抽测试卷
2012-10
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．
1．已知点（1，2，3），则该点关于x 轴的对称点的坐标为．
2．定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这 样的平面共有个． 3．空间直角坐标系中，点)6,5,2(A ，点P 在y 轴上，7=PA ，则点P 的坐标为． 4．如右图所示，梯形1111A B C D 是一平面图形ABCD 的直观图.
若111//A D O y ，1111//A B C D ，11112
23A B C D ==，111'1A D O D ==.
则原图形的面积为．
5．在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 cm 3
．
6．已知异面直线a 和b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成角都是30°的直线有且仅有条．
7．P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD ，P 到B ，C ，D 三点的距离分别是5，
17，13，则P 到A 点的距离是．
8．用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题，正确的有． ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .
9．线段AB 的两个端点A ，B 到平面α的距离分别为6cm, 9cm, P 在线段AB 上，AP ：PB ＝１：２，则P 到平面α的距离为．
10．圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球， 测得容器的水面下降了
53
cm ，则这个铁球的表面积为2cm . 11．两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1∶2， 则它们的体积比是．
12．在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，E 、F 分别是BC 、DC 的中点，则1AD EF 与所成的角的大小为．
某某____________ 班级___________ 学号___________ 考号________________
………………………………密……………………………………封……………………………………线…………………………………
13．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P 是BC 中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为． 14．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值X 围是．
二、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分 别是AP 、AD 的中点，求证： （1）直线EF∥平面PCD ； （2）平面B EF⊥平面PAD
16．(本小题满分14分)
如图,四棱锥P-ABCD 是底面边长为1的正方形，PD ⊥BC , PD =1,PC 2. (Ⅰ)求证:PD ⊥面ABCD ； (Ⅱ)求二面角A －PB －D 的大小.
F
E
A
C
D
B
P
A
B
C
D
17．(本小题满分14分)
如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在线段AD 上，
1,2,OA OD ==△OAB，,△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形．
（Ⅰ）证明：直线BC ∥EF ； （II ）求棱锥F —OBED 的体积．
18．(本小题满分16分)
如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥． （Ⅰ）证明：平面1AB C ⊥平面11A BC ；
（Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//A B 平面1B CD ， 求11:A D DC 的值．
19．(本小题满分16分)
在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，
PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．
（1）求证：PC ⊥AE ；（2）求证：CE ∥平面PAB ； （3）求三棱锥P －ACE 的体积V ．
20．(本小题满分16分)
如图，在四棱锥P A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60
B A D ︒
∠=，Q 为A D 的中点． （1）若P A P D
=，求证：平面PQB ⊥平面PAD ； （2）点M 在线段P C 上，P M t P C =，试确定的值，使//P A 平面M Q B ．
P
A
D
B
C
E
石港中学高二年级数学学科抽测试卷 命题人：葛炜 2012-10
一、填空题：
1．（1，－2，－3）2．4 3．)0,2,0(或)0,8,0( 4．55.6.6.2
7.1 8.①④9.７cm 或１cm ． 10．100π11．1:10．60° 1329π+
14．)1,2
1
(
解析：此题的破解可采用二个极端位置法，
即对于F 位于DC 的中点时，1t =，随着F 点到C 点时， 因,,CB AB CB DK CB ⊥⊥∴⊥平面ADB ，即有CB BD ⊥，
对于2,1,3CD BC BD ==∴=，又1,2AD AB ==，因此有AD BD ⊥， 则有12t =，因此t 的取值X 围是)1,2
1
(.
二、解答题：
15． 证明：（1）在△PAD 中，因为E 、F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF//PD. 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以直线EF//平面PCD.
（2）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°， 所以△ABD 为正三角形，因为F 是AD 的 中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面
ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，所以BF⊥平面PAD 。

又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF⊥平面PAD. 16．(Ⅰ)证明:
1,2PD DC PC ===,PDC PD CD ∴∆⊥是直角三角形即.……2分
又
,PD BC BC CD C ⊥=,
∴PD ⊥面ABCD ………7分
(Ⅱ)解:连结BD ,设BD 交AC 于点O , 过O 作OE ⊥PB 于点E ,连结AE , ∵PD ⊥面ABCD ,∴AO PD ⊥, 又∵AO ⊥BD ,∴AO ⊥面PDB. ∴AO ⊥PB , 又∵,OE PB OE
AO O ⊥=,
∴PB AEO ⊥平面,从而PB EO ⊥,
故AEO ∠就是二面角A －PB －D 的平面角.……………………10分 ∵PD ⊥面ABCD , ∴PD ⊥BD , ∴在Rt △PDB 中, 22123PB PD BD =+=+=,
又∵
OE OB
PD PB
=
, ∴66OE =,………………………………………12分 2
2tan 3,6
6
AD
AEO OE ∴∠===∴60AEO ∠=.
故二面角A －PB －D 的大小为60°. …………………14分 17．
（I ）证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点. 由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，所以
DE OB 2
1
//，2==OD OG
同理，设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有.2=='OD G O 又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 和G '重合.
在GED ∆和GFD ∆中，由DE OB 21//
和DF OC 2
1
//，可知B 和C 分别是GE G 和GF 的中点，
所以BC 是GEF ∆的中位线，故EF BC //.
（II ）解：由 60,2,1=∠==EOB OE OB 知2
3
=
∆EOB S ，而OED ∆是边长为2的正三角形，故3=∆OED S 所以2
3
3=+=∆∆OED EOB OBED S S S
过点F 作AD FQ ⊥，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ FQ 为四棱锥
OBED F -的高，且3=FQ ，所以2
331=⋅=
-OBED OBED F S FQ V 18．解：（Ⅰ）因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以11BC C B ⊥ 又已知B BC B A B A C B =⋂⊥1111,且 所又⊥C B 1平面A 1BC 1，又⊂C B 1平面AB 1C ，
所以平面⊥C AB 1平面A 1BC 1 .
（Ⅱ）设BC 1交B 1C 于点E ，连结DE ， 则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线， 因为A 1B//平面B 1CD ，所以A 1B//DE. 又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点.
即A 1D ：DC 1=1.
19.解析：（1）在Rt△ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°， ∴BC 3AC ＝2．取PC 中点F ，连,AF PF ，则
∵PA ＝AC ＝2，∴PC ⊥AF ． ∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥CD ，又∠ACD ＝90°，即CD AC ⊥， ∴CD PAC ⊥平面，∴CD PC ⊥， ∴EF PC ⊥ ∴PC AEF ⊥平面
∴PC ⊥AE ． （2）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ．则
EM ∥PA ．∵EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，
P
A
D
B
C
E
F M
∴EM ∥平面PAB ． 在Rt△ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2， ∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ． ∵MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴MC ∥平面PAB ． ∵EM ∩MC ＝M ，∴平面EMC ∥平面PAB ．
∵EC ⊂平面EMC ，∴EC ∥平面PAB ． 证法二：延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ．
∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥CD ，∴C 为ND 的中点． ∵E 为PD 中点，∴EC ∥PN ． ∵EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ，∴EC ∥平面PAB ． (3)由(1)知AC ＝2，1
,2
EF CD EF PAC =
⊥且平面． 在Rt△ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，∴CD ＝33EF =
则V ＝112
2233323
E PAC V -=⨯⨯⨯=
20．解：（1）连BD ，四边形ABCD 菱形， ∵AD⊥AB， ∠BAD=60°
△ABD 为正三角形， Q 为AD 中点， ∴AD⊥BQ ∵PA=PD，Q 为AD 的中点，AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q ∴AD⊥平面PQB ， AD ⊂平面PAD ∴平面PQB⊥平面PAD ； （2）当1
3
t =
时，//P A 平面M Q B 下面证明，若//P A 平面M Q B ，连A C 交B Q 于N 由//A Q B C 可得，A N Q B N C
∆∆∽，1
2
A Q A N
B
C N C ∴== //P A 平面M Q B ，PA ⊂平面PAC ，平面P A C 平面M Q B M N
=，//P AM N ∴ 13P M A N P C A C == 即：13PM PC =1
3
t ∴=.。