山东省济宁市第一中学2023-2024学年高二下学期质量检测(三)(6月)数学试题

济宁市第一中学
2023—2024学年度第二学期质量检测（三）
高二数学
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}{}21,,31,A x x k k B x x k k =
=+∈==+∈Z Z ∣∣，则A B ∩=（ ）
A.∅
B.{}
6,x
x k k =∈Z ∣ C.{}61,x
x k k =+∈Z ∣ D.{}
62,x x k k =+∈Z ∣ 2.命题“1,1ln x x x ∀>−≥”的否定是（ ） A.1,1ln x x x ∀≤−< B.1,1ln x x x ∀>−< C.0001,1ln x x x ∃>−< D.0001,1ln x x x ∃≤−< 3.下列说法错误的是（ ）
A.决定系数2R 越大，模型的拟合效果越好
B.若变量x 和y 之间的样本相关系数为0.982r =−，则变量x 和y 之间的负相关程度很强
C.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D.在经验回归方程30.8y x =
−+中，当解释变量x 每增加1个单位时，响应变量y 平均增加3个单位 4.已知随机变量(
)()2
,,6,X N Y B p µσ
∼∼，且()()()1
3,2
P X E X E Y ≥=
=，则p =（ ） A.
16 B.14 C.13 D.12
5.在()6
31(1)x x −+的展开式中，3x 的系数为（ ） A.20 B.25 C.30 D.35 6.“04a <<”是“函数()2
1
1
f x ax ax =
−+的定义域为R ”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（ ）
A.72
B.96
C.108
D.144
8.已知函数()2e ,02,0
x x x f x x x x <= −+≥ ，若关于x 的方程()()()2
220f x t f x t −++=
有3个不同的实数根，则实数t 的取值范围为（ ）
A.1,e ∞ −−
B.1,0e −
C.1,1e
− D.()e,2−
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.e e a b b a < B.
11
b a
< C.
11b b a a +<
+ D.11
a b a b
−<− 10.已知,A B 分别为随机事件,A B 的对立事件，()()0,1P A P B <<，则（ ）
A.()()
||1P B A P B A += B.()()
()||P B A P B A P A +=
C.若,A B 互斥，则()|0P A B =
D.若()
()()1P AB P A P B =⋅− ，则,A B 独立
11.已知函数()e x
f x x =−，则下列说法正确的是（ ）
A.()e
x
f 在R 上是增函数
B.1x ∀>，不等式()(
)2
ln f ax f x
≥恒成立，则正实数a 的最小值为2
e
C.若()f x t =有两个零点12,x x ，则120x x +>
D.若过点()1,M m 恰有2条与曲线()y f x =相切的直线，则1e 1m −<<−
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.有7把相同的椅子排成一排，要求3个人坐下且不相邻，共__________种坐法.
13.已知正实数,x y 满足3xy x y −−=
，则2x y +的最小值为__________. 14.关于x 的方程()eln e ln e
x x
t t x x +=
+−有解，则实数t 的取值范围__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知集合{}
2
60,{123}A x
x x B x m x m =
+−<=−<<+∣∣
. （1）若A B A ∩=，求实数m 的取值范围；
（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 16.（15分）已知函数()2
6e 3x
f x x ax =−−.
（1）若曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为560x y −+=
，求a ； （2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.
17.（15分）将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向.2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达99.9%，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用.近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
（1）求氢能源乘用车的销量关于年份的线性回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量； （2）为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据： 了解 不了解 合计 男生 25 女生 20 合计
（i ）根据已知条件，填写上述22×列联表；
（ii ）依据0.01α=的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关？ 参考公式：
1.回归方程ˆˆˆy
bx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()
()
1
2
1
ˆˆˆ,n
i
i
i n
i
i x x y y b a
y bx x x ==−−==−−∑∑ 2.()()()()
2
2
(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ−=
=+++++++. α
0.050 0.010 0.001 x α
3.841
6.635
10.828
18.（17分）某省2023年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中，物理､历史这两门科目采用原始分计分：思想政治､地理､化学､生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低
划分为,,,A B C D E ､共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%35%35%13%､､､
和2%，并按给定的公式进行转换赋分.该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治､地理､化学､生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.
（1）其中一所学校某班生物学科获得A 等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表：
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X ，求X 的分布列和数学期望：
（2）假设此次高二学生生物学科原始分Y 近似服从正态分布(
)2
66.7,13.3
N .现随机抽取了100名高二学
生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当()P k ξ=取得最大值时k 的值.()k +∈N 附，若(
)2
,N ηµσ
∼，则()()0.68,220.95P P µσηµσµσηµσ−≤≤+≈−≤≤+≈.
19.（17分）已知函数()()()1
1ln f x a x ax a x
=−++−∈R . （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当2a =−时，()()()12e x g x f x x x x =
+−++
，记函数()y g x =在1,14
上的最大值为m ，证明：43m −<<−.
济宁市第一中学
2023—2024学年度第二学期质量检测（三）
高二数学答案
一､单项选择题
1-4CCDD 5-8BBBB
1.C 【详解】设x A B ∈∩，因为{}{}21,,31,A x x k k B x x k k =
=+∈==+∈Z Z ∣∣，所以
2131,,x k n k n =+=+∈Z ，故23k n =，故2,n s s =∈Z ，所以61,x s s =+∈Z ，所以{}61,A B x
x k k ∩=
=+∈Z ∣.故选：C.
2.C 【详解】由命题“1,1ln x x x ∀>−≥”则该命题的否定为：0001,1ln x x x ∃>−<.
3.D 【详解】用决定系数2R 来刻画回归效果，2R 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故A 正确；若变量x 和y 之间的样本相关系数为0.982,r r =−接近-1，则变量x 和y 之间的负相关很强，故B 正确；比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效
果越好，故C 正确；在经验回归方程30.8y x =
−+中，当解释变量x 每增加1个单位时，响应变量y 平均减小3个单位，故D 错误.
4.D 【详解】由于X 服从正态分布(
)2
,N µσ
，且()1
32
P X ≥=，故其均值()3E X µ==.而Y 服从二
项分布()6,B p ，故()6E Y p =，再由()()E X E Y =，就有36p =，得12
p =. 5.B 【解析】因为6(1)x +的通项为616C r r
r T x
−+=，当()31x −内取3x 时，624r r −=⇒=，则
42
256C 15T x
x ==，此时系数为31545×=；当()31x −内取-1时，633r r −=⇒=， 则332
46C 20T x
x ==，此时系数为12020=−′−；所以系数为452025−=.故选：B. 6.B 【解析】因为函数()2
1
1
f x ax ax =
−+的定义域为R ，所以210ax ax −+≠对任意x ∈R 恒成立. i .0a =时，10≠对任意x ∈R 恒成立；
ii .0a ≠时，只需2Δ40a a =−<，解得：04a <<；
所以04a ≤<.记集合
()[)0,4,0,4A B ==
.
因为AB ，所以“04a <<”是“函数()21
1
f x ax ax =−+的定义域为R ”的充分不必要条件.
7.B 【详解】设四种颜料为1,2,3,4，
①先涂区域B ，有4中填涂方法，不妨设涂颜色1； ②再涂区域C ，有3中填涂方法，不妨设涂颜色2； ③再涂区域E ，有2中填涂方法，不妨设涂颜色3；
④若区域A 填涂颜色2，则区域D ､F 填涂颜色1，4，或4，3，
若区域A 填涂颜色4，则区域D ､F 填涂颜色1，3或4，3，共4中不同的填涂方法， 综合①②③④，由分步计数原理可得，共有432496×××=种不同的填涂法.故选：B.
8.B 【详解】因为当0x <时，()e x f x x =，所以()
()1e x f x x =+′，
所以当(),1x ∞∈−−时，()()0,f x f x ′<单调递减；
当()1,0x ∈−时，()()0,f x f x ′>单调递增，所以()()1
1e
f x f ≥−=−，且()0f x <； 又因为当0x ≥时，()2
2
2(1)1f x x x x =
−+=−−+， 所以()f x 在()0,1x ∈时单调递增，在()1,x ∞∈+时单调递减，
且.()()11f x f ≤=
， 所以作出函数()2e ,0,
2,0
x x x f x x x x <= −+≥ 的大致图象如图：
由()()()2
220f
x t f x t −++=得()()20f x f x t −−=
，所以()2f x =或()f x t =，则()2f x =无解，所以只有方程()f x t =有3个不同的实数根，数形结合可知1
0e
t −<<.
二､多项选择题
9.BD 10.ACD 11.ABD 9.BD 解：110,0a b b a
<<∴<
< ，且11
0a b b a <+<+，故选项B 和D 正确；
()()110,1111
b b ab b ab a b a b b a a a a a a a a ++−−−+−==>∴>++++ ，故选项C 错误； 构造函数()e x
f x x =，则()()2e 1x x f x x
−=′， 当01x <<时，()()0,f x f x ′<在()0,∞+上单调递减；当1x >时，()()0,f x f x φ
>在()0,∞+上单
调递增；而,a b 与1的大小未知，故选项A 不确定，错误；
10.ACD 【解析】因为()()()()()()()
()
||1,P AB P AB P A P B A P B A P A P A P A +=+==
A 正确，
B 不正确； 若,A B 互斥，则()0P AB =，所以()()
()
|0,P AB P
A B C P B ==正确； 因为()()1P B P B =−，所以()()()
P AB P A P B =
⋅，即,A B 独立，D 正确.故选：ACD 11.ABD 【详解】对A ：因为()e x
f x x =−，所以()e 1x
f x ′=−，由()e 100x
f x x ′−>⇒>.
所以()e x
f x x =−在(),0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增.
设e x t =，则0t >且e x t =在R 上单调递增.由“同增异减”可知()e
x
f R 上单调递增.故A 正确；
对B ：因为a 为正实数，1x >，所以20,ln 0ax x >>，结合函数()f x 的单调性，可知：
()()
22ln ln (1)f ax f x ax x x ≥⇔≥>.所以2ln x a x ≥
.设()2ln (1)x
h x x x =>，则()()221ln x h x x
−=′，由 ()
()2
21ln 0x h x x
−=>′可得：e x <.所以()h x 在()1,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，所以
()
max 2()e e h x h ==.所以正实数a 的最小值为2
e
，故B 正确； 对C ：如图：因为()f x t =有两个零点12,x x ，结合函数()f x 的单调性，不妨设120,0x x <>.则
10x −>.
设()
()(),(0)g x f x f x x =−−>，那么()00g =且()e 1e 1e e 20x x x x g x −−=−+−=+−>′在()
0,∞+上恒成立，所以()g x 在()0,∞+单调递增，所以()()0f x f x −−>在()0,∞+上恒成立，所
()()(0)f x f x x >−>.由()()()122f x f x f x =>−，且()f x 在(),0∞−上单调递减，所以
12120x x x x <−⇒+<.故C 错误；
对D ：设切点为(
)
000,e x
x x −，切线斜率为0e 1x −，所以函数在0x x =处的切线方程为：
()
()00
00e e
1x x y x x x −+=−−，因为切线过点()1,m ，所以
()
()()00
0000e e
11e 21x x x m x x m x −+=
−−⇒=−−设()()e 21x x x ϕ=−−，所以()()e 1x x x ϕ=−′，
由()()e 101x
x x x ϕ=−>⇒<′，所以()x ϕ在(),1∞−上递增，在()1,∞+上递减，且()1e 1ϕ=−，当
0x <时()1x ϕ>−，且x ∞→−时，()1x ϕ→−.因为()00e 21x
m x =−−有两解，则1e 1m −<<−.故D
正确.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12.60
13.3 【详解】正实数,x y 满足3xy x y −−=
，故()13x y x −=+，所以31
x
y x +=−， 则
301
x
x +>−，又0x >，解得1x >，
故()344222121333111x x y x x x x x x ++=+
=++=−++≥=+−−−，
当且仅当()4
211
x x −=
−，即1x =2x y +的最小值为3+.
故答案为：3
14.10,e
【详解】由()eln e ln e
x x
t t x x +=+−，得()ln ln e
eln e e ln t
x x t x x −+=+−令()e e x f x x =+则
()()ln ln f t f x x =−，易知()f x 单调递增，所以ln ln t x x =−，令()()ln ,0,g x x x x ∞=−∈+，则
()1x
g x x
′−=
，
当()0,1x ∈时，()()0,g x g x ′>单调递增；当()1,x ∞∈+时，()()0,g x g x ′<单调递减，所以
()ln 11t g ≤=−，得10e t <≤.实数t 的取值范围为10,e .故答案为：10,e
四､解答题
15.（13分）
（1）由题意知{32}A x
x −<<∣， 因为A B A ∩=，所以A B ⊆， 则13
232
m m −≤−
+≥ ，解得4m ≥，则实数m 的取值范围是[)4,∞+；
（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集， 当B =∅时，123m m −≥+解得23
m ≤−
； 当B ≠∅时，13
232123
m m m m −≥−
+≤ −<+
（等号不能同时取得），解得2132m −<≤−，
综上，1,2
m ∞ ∈−−
.
16.（15分）解：（1）因为()2
6e 3x
f x x ax =−−，所以()6e 6x
f x x a =−−′，
因为曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为560x y −+=
， 所以()05f ′=，即65a −=，解得1a =.
（2）因为()6e 6x
f x x a =−−′，又函数()f x 在R 上单调递增，
所以()6e 60x
f x x a =−−≥′恒成立，
即6e 6x a x ≤−在R 上恒成立，
令()6e 6,x
g x x x =
−∈R ，则()()
6e 66e 1x
x
g x =−=−′，所以当0x >时()0g x ′>， 当0x <时()0g x ′<，
所以()g x 在(),0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
所以()g x 在0x =处取得极小值即最小值，即()min ()06g x g ==，
所以6a ≤，即实数a 的取值范围为(],6∞−.
17.（15分） 【详解】（1）年份x 的平均数2020x =，销量y 的平均数5y =，
所以
()
5
2
222121(2)(1)01210i i x x =−=−+−+++=∑，
()()5
1
i
i
i x x y y =−−∑
()()()()()()201820202520192020 3.5520202020 2.55=−×−+−×−+−×− ()()()()2021202085202220209518.5+−×−+−×−=，
所以
()()
()
5
1
5
2
1
18.5
ˆ 1.8510
i
i
i i i x x y y b x x ==−−==
=−∑∑， 所以ˆˆ5 1.852*******a y bx =−=−×=−，
所以氢能源乘用车的销量y 关于年份x 的线性回归方程为ˆ 1.853732y x −，
令2024x =，得ˆ 1.852*********.4y
=×−=. 所以预测2024年氢能源乘用车的销量约为12.4万台. （2）（i ）根据男生和女生各6022×列联表为： 了解 不了解 合计 男生 35 25 60 女生 20 40 60 合计
55
65
120
（ii ）零假设0H ：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关， 根据22×列联表中的数据可得，
2
2
120(35402520)7.55 6.63560605565
χ
××−×≈>×××，
依据0.01α=的独立性检验，可以推断0H 不成立， 即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关.
18.（17分）解：（1）据题意可知：X 服从参数为10,4,3的超几何分布，
因此()()3
46310
C C 0,1,2,3C k k P X k k −⋅===， 则()()312646331010C C C 2016010,1C 1206C 1202
P X P X ========， ()()213464331010C C C 363412,3C 12010C 12030
P X P X ========， 所以X 的分布列为
X 的数学期望为()1131601236210305
E X =×+×+×+×=. （2）据题意可知()()
10.68800.162P Y P Y µσ−≥=≥+==， 那么()99,0.16B ξ∼有()9999C 0.160.84k k k P k ξ−=⋅⋅，
要使()P K ξ=取最大值，只需9911989999991110099
99C 0.160.84C 0.160.840.160.84C 0.160.84k k k k k k
k k k k k k −++−−−−− ≥ ≥ ， 得：0.840.162121396499115160.160.84400421100k k k k k k k k k ≥ +≥− −+⇒⇒≤≤ −≥ ≥ − 且N k +∈， 故：当15k =或16时，()P k ξ=取得最大值.
19.（17分）解：（1）()()11ln f x a x ax x =−++−的定义域为()0,∞+，又()()()221111x ax a f x a x x x
−−+′=−++=， ①当0a ≤时，10ax −<，
若()0,1x ∈，则()0f x ′>，若()1,x ∞∈+，则()0f x ′<， 所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减； ②当0a >时，
若11a >，即01a <<时，同理可得，()f x 在()10,1,,a ∞ + 上单调递增，在11,a 上单调递减； 若11a
=，即1a =时，()()0,f x f x ′≥在()0,∞+上单调递增； 若101a <
<，即1a >时，同理可得，()f x 在()10,,1,a ∞ + 上单调递增，在1,1a 上单调递减；综上所述，
当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,∞+； 当01a <<时，()f x 的单调递增区间为()10,1,,a ∞ + ；单调递减区间为1,1a ； 当1a =时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+； 当1a >时，()f x 的单调递增区间为()10,
,1,a ∞ + ；单调递减区间为1,1a
； （2）证明：当2a =−时，()()()()()1112e ln 22e ln 2e x x x g x f x x x x x x x x x x x x x =+−++
=−−+−++=−+−， 则()()(111e 11e x x g x x x x x =−−+=−
′， 当114
x <<时，10x −<， 令()1e x h x x =−，则()21e 0x h x x
=+>′， 所以()h x 在1,14
上单调递增. 因为()121e 20,1e 102h h =−<=−>
， 所以存在01,12x ∈
，使得()00h x =，即001e x x =，即00ln x x =−， 故当01,4x x ∈ 时，()()0,0h x g x <>′；当()0,1x x ∈时，()()0,0h x g x ><′；
即()g x 在01,4x
上单调递增，在()0,1x 上单调递减. 所以()()()()0max 0000000000000112()2e ln 22212x m g x g x x x x x x x x x x x x x ===−−+=−−−=−−=−+
. 令()2112,,12G x x x x =−−∈ ，则()()22221220x G x x x −=−=
>′， 所以()G x 在1
,12 上单调递增，
所以()()()14,132G x G G x G
>=−<=− ，
所以43m −<<−.。