2019-2020年高三第三次模拟考试数学理试题 含答案

2019-2020年高三第三次模拟考试数学理试题含答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为
选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上
的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；
非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的
题号涂黑。

第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．若复数满足（其中是虚数单位），则的实部为（）
（A）6 （B）1 （C）（D）
2.已知集合A={x|(a2-a)x+1=0，x∈R}，B={x|ax2-x+1=0，x∈R},若A∪B=，则a的值为 ( ) A．0 B．1 C．0或1 D．0或4
3.直线的方向向量为且过抛物线的焦点，则直线与抛物线围成的封闭图形的面积为（）
A. B. C. D.
4.已知一个空间几何体的三视图如右图所示，根据图中
标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )
A．4 cm3 B．5 cm3 C．6 cm3 D．7 cm3
5. 要得到函数y=cosx的图像，只需将函数y=sin(2x+)的图像上所
有的点的 ( )
A.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
6.如图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应为（）
A．B．
C．D．
7.已知，则的最大值为（） A. 6 B. 4 C. 3 D.
8.已知正方体的棱长为2, 长为2的线段的一个端点在棱上运动, 另一端点在正方形内运动, 则的中点的轨迹的面积为（）
A． B． C． D．
9.在中,角A,B,C的对边分别是,且则等于( )
,设函数=,,则大致是（）
题图
11.已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意的都满足,若,则( )
A. B. C. D.
12．是定义在区间【-c，c】上的奇函数，其图象如图所示,令，则下列关于函数的叙述正确的是（）
A．若，则函数的图象关于原点对称
B．若，，则方程必有三个实根
C．若，，则方程必有两个实根
D．若，，则方程必有大于2的实根
第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．双曲线中，F为右焦点，A为左顶点，点B(0，b)且AB⊥BF，则此双曲线的离心率为________．
14.已知则________.
15.展开式的常数项为．
16．定义在R上的连续函数对任意x满足f（3-x）=f（x），，
则下列结论正确的有
①函数为偶函数，②若，则
③④若，则有两个零点
三、解答题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知数列{a n}的首项为a1=1，前n项和为S n，并且对于任意的n≥2，3S n-4、a n、2-总成等差数列．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)记数列{S n}的前n项和为T n求T n．
18.（本小题满分12分）
某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168，16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；
（Ⅱ）求这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人数；
（Ⅲ）在这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为，求的数学期望．
参考数据：若，则
=0.6826，
=0.9544,
=0.9974.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S － ABCD中，底面ABCD是直角梯
形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA =AB=BC =2，AD =1．M是棱SB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点N 是直线CD 上的动点，MN 与面SAB 所成的角为，求sin 的最大值，
20.（本小题12分）已知函数(R).
(1)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(2)如果函数，在公共定义域上，满足，那么就称 为的“活动函数”．
已知函数22
2
1211()()2(1)ln ,()22
2
f x a x ax a x f x x ax =-++-=+.若在区间上，函数是的“活动函数”，求的取值范围;
21、已知椭圆的离心率且经过点，抛物线的焦点F 与椭圆的一个焦点重合。

(1)过F 的直线与抛物线交于M,N 两点，过M,N 分别作抛物线的切线，求直线的交点Q 的轨迹方程；
（2）从圆O ：上任意一点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A,B 试问的大小是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D ，E 分别为的边AB ，AC 上的点，且不与的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程的两个根．
（I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；
（II ）若，且求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为为参数），M 为上的动点，P 点满足，点P 的轨迹为曲线．
（I ）求的方程；
（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A ，与的异于极点的交点为B ，求|AB|.
24．已知，且，求的最小值及取得最小值时的值
模拟试题Ⅲ 数学（理工类）答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B A C B A D C B A D 二、填空题
13. 14. 15.－7 16.①②④ 三、解答题
17.法一 解：依题意有，即
即，即，
所以是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，所以
所以()221213121311
1
2
1
≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=----n S S a n n n n n n ，
所以
法二：可退位作差求得 （2）由（1）可知所以＝ ＝.
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为
72.1684)100
1
18210021781002174100817010071661005162(=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
，
高于全市的平均值168（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72，比较接近全市的平均值168）. …………………………………………………………（4分） （Ⅱ）由频率分布直方图知，后三组频率为（0.02+0.02+0.01）×4＝0.2，人数为0.2×5＝10，即这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数为10人. ……………（6分）
（Ⅲ）4 997.0)4316843168(=⨯+≤<⨯-ξP ，
，0.0013×100 000=130.
所以，全市前130名的身高在180 cm 以上，这50人中180 cm 以上的有2人.
随机变量可取，于是 ,,
. ………………………………（12分） （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ，，，，.
则()()()0,1,1,1,0,2,1,2,0AM SD CD ==-=--.
设平面SCD 的法向量是则 即
令，则，于是.
，.
AM ∥平面SCD . ……………………………………………………（4分） （Ⅱ）易知平面SAB 的法向量为.设平面SCD 与平面SAB 所成的二面角为， 则
(111,0,03
n n cos n
n
ϕ⋅=
=
=
=
⋅，即. 平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值为.………………………………（8分） （Ⅲ）设，则.
又，面SAB 的法向量为，
所以，sin θ=
=
.
5
7)531(1015
)1
(12)1(101
22+
-=
+-=
x x
x .
当，即时，.………………………………………………（12分）
20．（本小题12分）解：（1）当时，，
；…………2分
对于，有，
∴在区间[1, e]上为增函数，…………3分 ∴，. …………5分
（2）①在区间（1，+∞）上，函数是的“活动函数”，则
令2
21()()()()2ln 2
p x f x f x a x ax x =-=--+<0，对恒成立， 且=<0对恒成立， ∵
21(21)21(1)[(21)1]
`(
)(21)2a x ax x a x p x a x a x x x
--+---=--+==
(*) …………7分
1）若，令，得极值点，，
C
当，即时，在（，+∞)上有，
此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有∈(，+∞)，不合题意；…………9分
当，即时，同理可知，在区间(1，+∞)上，有 ∈(，+∞)，也不合题意；…………11分
2） 若，则有，此时在区间(1，+∞)上恒有，
从而在区间(1，+∞)上是减函数； 要使在此区间上恒成立，只须满足，
所以a.…………12分
又因为<0, 在(1, +∞)上为减函数， ， …………14分 综合可知的范围是.…………15分
21.（1）由于椭圆的离心率e=,则，，则，椭圆的方程为将点代入椭圆的方程得到c=1,故所求椭圆的方程为其焦点坐标为，则F(0，1),故抛物线的方程为 ……3分 易知直线MN 的斜率一定存在，设为k ，则直线MN 的方程为y=kx+1,代入抛物线的方程得到。

设，则 ……4分
由于，故直线的斜率为，的方程为即，同理可得直线的方程为，令，即显然，故，即点Q 的横坐标是，点Q 的纵坐标是14
1
41)(4141212121211211-==-+=-=
x x x x x x x x x y ，即点Q （2k,-1）,故点Q 的轨迹方程是y=-1 ……6分
（2）当这两条切线中有一条切线的斜率不存在时，根据对称性，不妨设点P 在第一象限，则此时点P 的横坐标为，代入圆O 的方程得点P 的纵坐标是，因此这两条切线所在的方程分别为因此,所以若角APB 的大小为定值，则这个定值只能是（8分）
当这两条切线的斜率都存在时，设点P ，过点P 的切线的斜率为，则切线方程为
,
),(1000y C x x k y y 的方程联立消去与椭圆-=-
06)(2)(4)23(20000000220=--+-++x k y x k y k x k ，由于直线是椭圆的切线，故
[][]
,
06)(2)23(4)(420002
02
0000=--+--=∆x k y k x k y k 整理
得： ……10分 设切线PA ，PB 的斜率分别为，则是上述方程的两个实根，故又点P 在圆上，故所以，所以，……11分
综上可知，角APB 的大小为定值，且这个定值为。

……12分 （22）解：
（I ）连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，
AD×AB=mn=AE×AC，
即.又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB 所以C ，B ，D ，E 四点共圆。

（Ⅱ）m=4， n=6时，方程x 2
-14x+mn=0的两根为x 1=2，x 2=12.
故 AD=2，AB=12.
取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH. 由于∠A=900
，故GH∥AB， HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5. 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 （23）解：
（I ）设P(x ，y)，则由条件知M().由于M 点在C 1上，所以 即 从而的参数方程为 （为参数）
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。

射线与的交点的极径为， 射线与的交点的极径为。

所以.
（
24
）
解
：
])3()2()][()3()2()1[()32)(321(222222c b a c
b a
c b a c b a ++++=++++ （5分） 又，，当且仅当时等号成立
当时，取得最小值18 （10分）。