2017-2018学年广西玉林市陆川中学高三(上)开学数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年广西玉林市陆川中学高三（上）开学数学试卷（文
科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）已知，，且，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．或
3．（5分）已知指数函数y＝f（x）的图象过点P（3，27），则在（0，10]内任取一个实数x，使得f（x）＞81的概率为（）
A．B．C．D．
4．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a＝（）
A．0B．2C．4D．14
5．（5分）等差数列{a n}中的a1，a4033是函数的极值点，则log2a2017＝（）
A．2B．3C．4D．5
6．（5分）设向量，是两个互相垂直的单位向量，且＝2﹣，＝，则|+2
|＝（）
A．2B．C．2D．4
7．（5分）南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；
中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”（）
A．B．C．D．
8．（5分）已知f（x）＝2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（）
A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝
9．（5分）已知⊥，||＝，||＝t，若P点是△ABC所在平面内一点，且＝
+，当t变化时，的最大值等于（）
A．﹣2B．0C．2D．4
10．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
11．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）
A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）
12．（5分）在△ABC中，O为中线BD上的一个动点，若BD＝6，则的最小值是（）
A．0B．﹣9C．﹣18D．﹣24
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；
13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于．
14．（5分）若满足条件的整点（x，y）恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都
是整数的点，则整数a的值为．
15．（5分）已知P为圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上任一点，Q为直线l：x+y＝1上任一点，则的最小值为．
16．（5分）等比数列{a n}满足：a1＝a（a＞0），成等比数列，若{a n}唯一，则a的值等于．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知向量＝（a n，2n），＝（2n+1，﹣a n+1），n∈N*，向量与垂直，且a1＝1
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足b n＝log2a n+1，求数列{a n•b n}的前n项和S n．
18．（12分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知AB⊥AD，AD⊥DC．P A⊥底面ABCD，且AB＝2，P A＝AD＝DC＝1，M为PC的中点，N在AB上，且BN＝3AN．
（1）求证：平面P AD⊥平面PDC；
（2）求证：MN∥平面P AD；
（3）求三棱锥C﹣PBD的体积．
20．（12分）已知椭圆E的中心在原点，离心率为，右焦点到直线x+y+＝0的距离为
2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）椭圆下顶点为A，直线y＝kx+m（k≠0）与椭圆相交于不同的两点M、N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
21．（12分）已知f（x）＝lnx﹣（a∈R）．
（1）若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线平行于直线x+y＝0，求a的值；
（2）讨论函数f（x）在定义域上的单调性；
（3）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）＝6．
（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2；
试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；
（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|
（1）解不等式：f（x+1）+f（x+3）＜4；
（2）已知a＞2，求证：∀x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．
2017-2018学年广西玉林市陆川中学高三（上）开学数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．【解答】解：A∪B＝{x|x≥1或x≤0}，
∴∁U（A∪B）＝{x|0＜x＜1}，
故选：D．
2．【解答】解：；
∴
＝
＝0；
∴；
又；
∴的夹角为．
故选：C．
3．【解答】解：设函数f（x）＝a x，a＞0 且a≠1，
把点（3，27），代入可得a3＝27，
解得a＝3，
∴f（x）＝3x．
又∵x∈（0，10]，
若f（x）＞81，则x∈（4，10]，
∴f（x）＞81的概率P＝＝，
故选：D．
4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得
a＝14，b＝18
满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝4
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝10
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝6
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝2
满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝2
不满足条件a≠b，输出a的值为2．
故选：B．
5．【解答】解：f′（x）＝x2﹣8x+6，
∵a1、a4033是函数f（x）的极值点，
∴a1、a4033是方程x2﹣8x+6＝0的两实数根，
则a1+a4033＝8．而{a n}为等差数列，
∴a1+a4033＝2a2017，即a2017＝4，
从而log2a2017＝log24＝2．
故选：A．
6．【解答】解：∵向量，是两个互相垂直的单位向量，
∴||＝1，||＝1，•＝0，
∵＝2﹣，＝，
∴|+2|＝2+，
∴|+2|2＝4+4•+＝5，
∴|+2|＝，
故选：B．
7．【解答】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，
则数列{a n}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，
由题意得，即，
解得d＝，
∴每一等人比下一等人多得斤金．
故选：C．
8．【解答】解：f（x）＝2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）＝2sin[2（x﹣）+）]＝2sin（2x﹣）的图象，
令2x﹣＝kπ+，k∈z，求得x＝+，故函数的图象的一条对称轴的方程为x ＝，
故选：C．
9．【解答】解：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
∵⊥，||＝，||＝t，∴B（，0），C（0，t），
∵P点是△ABC所在平面内一点，且＝+，
∴＝（1，0）+（0，1）＝（1，1），即P（1，1），
∴＝（，﹣1），＝（﹣1，t﹣1），
∴＝﹣+1﹣t+1＝2﹣（），
∵＝2，
∴的最大值等于0，
当且仅当t＝，即t＝1时，取等号．
故选：B．
10．【解答】解：由三视图可知几何体为直三棱柱切去一个三棱锥得到的四棱锥，直观图如图所示：
其中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝2，AB⊥BC，
直三棱柱的高AA1＝2，
∴四棱锥B﹣ACC
1A1的体积V＝﹣＝﹣
＝．
故选：A．
11．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝x2，∴f（x）﹣x2 +f（﹣x）﹣x2 ＝0，令g（x）＝f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）＝f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2＝0，∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．
∴x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，
故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）＝0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，
即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，
故选：B．
12．【解答】解：如图，
（1）当O和B或D重合时，显然；
（2）当O在B，D之间时，＝；
而，且；
∴；
∴，当且仅当，即O为中线BD中点时取“＝”；
∴的最小值为﹣18．
故选：C．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；
13．【解答】解：由三视图复原几何体，如图，
它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，
这个几何体的体积：
故答案为4．
14．【解答】解：作出满足条件的平面区域，如图：
要使整点（x，y）恰有9个，即为（0，0）、（1，0）、（2，0），（1，1）、（﹣1，﹣1）、（0，﹣1）、（1，﹣1），（2，﹣1）、（3，﹣1）
故整数a的值为﹣1
故答案为：﹣1．
15．【解答】解：圆心C（2，2）到直线l：x+y＝1的距离为d＝＝＞1，故直线直线l：x+y＝1和圆C相离．
∵P为圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上任一点，设P的坐标为（x，y），
∵Q为直线l：x+y＝1上任一点，∴可设Q的坐标为（a，1﹣a），
∴+＝（x+a，y+1﹣a），∴＝，
表示点（﹣a，a﹣1）到圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上的点的距离．
设点（﹣a，a﹣1）到圆心C（2，2）的距离为d，则的最小值为d﹣1．∵d＝＝＝，
故当a＝时，d最小为，故的最小值为d﹣1＝﹣1＝，故答案为：．
16．【解答】解：设公比为q，
∵等比数列{a n}满足：a1＝a（a＞0），成等比数列，
∴（aq+2）2＝（a+1）（aq2+3），
整理，得：aq2﹣4aq+3a﹣1＝0，
∵{a n}唯一，∴由条件得：aq2﹣4aq+3a﹣1＝0关于q∈R且q≠0有唯一解，
注意到a＞0，△＝16a2﹣4a（3a﹣1）＞0恒成立，
∴3a﹣1＝0，（q＝0为方程的增解）．
故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．【解答】解：（1）∵向量与垂直，∴2n a n+1﹣2n+1a n＝0，
即2n a n+1＝2n+1a n，…（2分）
∴＝2∴{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列…（4分）
∴a n＝2n﹣1．…（5分）
（2）∵b n＝log2a2+1，∴b n＝n
∴a n•b n＝n•2n﹣1，…（8分）
∴S n＝1+2×2+3×22+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1…①
∴2S n＝1×2+2×22+…（n﹣1）×2n﹣1+n×2n…②…（10分）
由①﹣②得，﹣S n＝1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n＝
＝（1﹣n）2n﹣1…（12分）
∴S n＝1﹣（n+1）2n+n•2n+1＝1+（n﹣1）•2n．…（14分）
18．【解答】解：（Ⅰ）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，∴M＝40．
∵频数之和为40，
∴10+24+m+2＝40，m＝4.．
∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，
∴
（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，
∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．
（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2＝6人，
设在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30）内的人为b1，b2．
则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）15种情况，
而两人都在[25，30）内只能是（b1，b2）一种，
∴所求概率为．
19．【解答】（1）证明：∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD；
又AD⊥DC，AD⊂平面P AD，P A⊂平面P AD，P A∩AD＝A，
∴CD⊥平面P AD，又CD⊂平面PDC，
∴平面P AD⊥平面PDC．
（2）证明：取PD的中点E，连接ME，AE，
∵M，E分别是PC，PD的中点，
∴ME∥CD，且＝，
又AB⊥AD，AD⊥DC，BN＝3AN，AB＝2，
∴AN∥CD，AN＝＝，
∴EM∥AN，EM＝AN，
∴四边形MEAN为平行四边形，
∴MN∥AE，又AE⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，
∴MN∥平面P AD．
（3）解：∵P A⊥底面ABCD，S△BCD＝＝，∴V C﹣PBD＝V P﹣BCD＝S△BCD•P A＝．
20．【解答】解：（1）设椭圆的右焦点为（c，0），依题意有＝2又c＞0，得c＝…（2分）
又e＝＝＝，∴a＝…（3分）
∴b＝＝1 …（4分）
∴椭圆E的方程为＝1 …（5分）
（2）椭圆下顶点为A（0，﹣1），
设弦MN的中点为P（x p，y p），x M、x N分别为点M、N的横坐标，
由直线与椭圆方程消去y，得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）＝0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以
∴△＞0，即m2＜3k2+1 ①…（7分）
x p＝﹣，从而y p＝kx p+m＝，k AP＝＝﹣…（9分）又|AM|＝|AN|∴AM⊥AN，则﹣＝﹣，即2m＝3k2+1 ②，…（10分）将②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得k2＝＞0，解得m＞，故所求的m取值范围是（，2）．…（12分）
21．【解答】解（1）…（2分）
由题意可知f'（1）＝1+a＝﹣1，故a＝﹣2…（3分）
（2）
当a≥0时，因为x＞0，∴f'（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）为增函数；…（5分）
当a＜0时，由；
由，
所以增区间为（﹣a，+∞），减区间为（0，﹣a），…（8分）
综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）为增函数；
当a＜0时，f（x）的减区间为（0，﹣a），增区间为（﹣a，+∞）．…（9分）（3）由（2）可知，当a≥0时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，
故有，所以不合题意，舍去．…（10分）
当a＜0时，f（x）的减区间为（0，﹣a），增区间为（﹣a，+∞）．
①若﹣a＞e，即a＜﹣e，则函数f（x）在[1，e]上单调递减，
则，∴不合题意，舍去．…（11分）
②若﹣a＜1，即﹣1＜a＜0时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，
，所以不合题意，舍去．…（12分）
③若1≤﹣a≤e，即﹣e≤a≤﹣1时，
则f（x）在[1，﹣a）递减，在（﹣a，e]递增，
f（x）min＝f（﹣a）＝ln（﹣a）+1＝，
解得，
综上所述，．…（14分）
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，直线l的直角坐标方程为：2x﹣y﹣6＝0，∵曲线C2的直角坐标方程为：＝1，
∴曲线C2的参数方程为：（θ为参数）．…（5分）
（Ⅱ）设点P的坐标（cosθ，2sinθ），则点P到直线l的距离为：d＝
＝，故当sin60°﹣θ）＝﹣1时，点P （﹣，1），
此时d max＝2．…（10分）
23．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x﹣2|，
f（x+1）+f（x+3）＜4，即|x﹣1|+|x|＜4，
①当x≤0时，不等式为1﹣x﹣x＜4，即，∴是不等式的解；
②当0＜x≤1时，不等式1﹣x+x＜4，即1＜4恒成立，∴0＜x≤1是不等式的解；
③当x＞1时，不等式为x﹣1+x＜4，即，∴是不等式的解，
综上所述，不等式的解集为．
（2）证明：∵a＞2，
∴f（ax）+af（x）＝|ax﹣2|+a|x﹣2|＝|ax﹣2|+|ax﹣2a|＝|ax﹣2|+|2a﹣ax|≥|ax﹣2+2a﹣ax|＝|2a﹣2|＞2
∴∀x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．。