甘肃省天水市秦安县第二中学高二数学上学期期末考试试

甘肃省天水市秦安县第二中学2014-2015学年高二上学期期末考
试数学（理）试题
说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）
第I 卷（选择题） 一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．) 1．如果命题p
q 为真命题，p q 为假命题，那么（ ）
A ．命题p 、q 都是真命题
B ．命题p 、q 都是假命题
C ．命题p 、q 至少有一个是真命题
D ．命题p 、q 只有一个真命题
2．过点P （2,4）且与抛物线y 2
=8x 有且只有一个公共点的的直线有（ ） A ．0条 B ． 1条 C ．2 条 D ． 3条 3．双曲线
2254
9
x y -
=-的一条渐近线方程是 ( )
A ．230x y -=
B ．320x y +=
C ．940x y -=
D ．490x y -=
4．曲线
()2
2
16106x
y
m m
m
+
=<--与曲线
()2
2
15959x
n n
n
y +
=<<--的（ ）
A ．焦距相等
B ．离心率相等
C ．准线相同
D ． 焦点相同
5．设点()()()3,3,1,1,0,5,0,1,0A B C ，则AB 的中点到C 的距离为（ ）
A 13
B ．13
C 53
D ．536．已知点P 是以21,F F 为焦点的椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 上一点，若021=⋅PF PF ，
2
1
tan 21=
∠F PF ，则椭圆的离心率为（ ） （A ）
31 （B ）21
（C ）
32 （D ）3
5 7．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示
甲 茎 乙 5 7 1 6 8 8 8 2
2
3 6 7
设s 1，s 2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，x 1，x 2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ）
（A ）x 1＝x 2，s 1<s 2 （B ）x 1＝x 2，s 1>s 2
（C ）x 1>x 2，s 1>s 2 （D ）x 1＝x 2，s 1＝s 2
8．设n m l ,,表示三条不同的直线，γβα,,表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若βα⊥⊥⊥m l m l ,,，则βα⊥；
②若β⊂m ，n 是l 在β内的射影，n m ⊥，则l m ⊥；
③若m 是平面α的一条斜线，α∉A ，l 为过A 的一条动直线，则可能有α⊥⊥l m l 且； ④若γαβα⊥⊥,，则βγ// 其中真命题的个数为（ ）个
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
9．某四面体的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则该四面体的表面积是（ ） （A ）8
（B ）34222+ （C ）2618+ （D ）2624+
10．已知F 是双曲线
222
2
1(0,0)x y a b a
b
-
=>>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过
点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 ( )
A ． (1，+∞)
B ．(1,2)
C ．(1,1+2)
D ．(2,1+2)
第II 卷（非选择题）
二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共18分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．） 11．已知点()3,1A ，在抛物线2
2y x =上找一点P ，使得PF PA +取最小值（F 为抛物线的
焦点），此时点P 的坐标是 . 12．对于以下命题：
①a b a b -=+r r r r 是,a b r r
共线的充要条件；
②对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若2OP OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r
，则P 、A 、B 、
C 四点共面.
③如果0<⋅b a ,那么a 与b 的夹角为钝角
第9题图
④若{
},,a b c r r r
为空间一个基底，则{
}
,,a b b c c a +++r r
r
r r r
构成空间的另一个基底；
⑤若23,246m a b c n a b c =-+=-+-u r r r r r r r r
，则//m n u r r .
其中不正确结论的序号是___________________. 13．已知椭圆
2216
2
x y +
=与双曲线
2213
x y -=的公共焦点为F 1，F 2，点P 是两条曲线的一个公
共点，则cos ∠F 1PF 2的值为 .
14．若椭圆2
2
1(0,0)mx ny m n +=>>与直线10x y +-=交于A ，B 两点，若1:2:m n =，
则过原点与线段AB 的中点M 的连线的斜率为 ． 三．解答题（共4道题，共54分）
15（13分）求以原点为圆心，且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程
16.（13分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.
（1）证明：11D E A D ⊥；
（2）若=23AE -，求二面角1D EC D --的大小。

17.（14分）已知曲线E 上的点到直线2y =-的距离比到点F(0，1)的距离大1 （1）求曲线E 的方程；
（2）若过M （1，4）作曲线E 的弦AB ，使弦AB 以M 为中点，求弦AB 所在直线的方程.
（3）若直线b x y l +=:与曲线E 相切于点P,求以点P 为圆心，且与曲线E 的准线相切
的圆的方程．
18.（14分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，
BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥．
（1）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值； （2）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面
FBD ？若存在，求出
EF
EA
的值；若不存在， 说明理由．
数学试题参考答案（理科）
第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共30分
)
第II卷（非选择题）二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共16分）
11．
1
,1 2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
12．①③ 13．
1
3
14．
2
2
三、解答题（本题共5小题，共54分）
三．解答题
15.
22
x y
+=25
16. 解：以D为坐标原点，直线
1
,,
DA DC DD分别为,,
x y z轴，建立空间直角坐标系，设
AE x
=，则
11
(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(0,2,0)
A D E x C
17.解（1）24
x y
=
（2）设
1,122
(,),(,)
A x y
B x y，由
2
11
2
22
4
4
x y
x y
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
得12
12
1
2
AB
y y
k
x x
-
==
-
，所以直线AB的方程为
1
4(1)2
y x -=
-，即270x y -+= （3）设切点00(,)P x y ，由2
4
x y =得'2x y =，所以001,22x x ==，即点(2,1)P ，圆P 的半径
为2，所以圆P 的方程为(x －2)2＋(y －1)2
＝4.
18. 解：（1） 因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABE 则CEB ∠即为直线EC 与平面ABE 所成的角。

设BC=,1，则AB=2，2BE =，
所以3CE =，则直角三角形CBE 中，33
3
1sin =
==
∠CE CB CEB 即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为
3
3
． (2)假设存在，令
,(0,1)EF
EA
λλ=∈。

取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EA EB =，所以AB EO ⊥。

因为平面⊥ABE 平面ABCD ，所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥． 由,,OA OD OE 两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -．则A(0,1，0)，B(0， -1,0)，C （1，-1,0），D （1,0，0），F （0，,1λλ-）
设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =，因为(1,1,0),(0,1,1)BD BF λλ==+-u u u r u u u r
，则 0(1)(1)0a b b c λλ+=⎧⎨
++-=⎩
取111,1,,(1,1,)11a b c v λλ
λλ++==-==---r ，又(1,1,1)EC =--u u u r 所以11110,=13v EC λλλ+=+-=-r u u u r g 解得，所以假设成立, 即存在点F 满足13
EF EA =时，有
EC // 平面FBD ．。