2022年1月山东省泰安市普通高中2022届高三上学期1月期末考试数学试题无答案

高三数学试题第页（共4页）
试卷类型:A
高三年级考试
数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。

1.若复数z 满足iz-1=2i （i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标是A.（1,2） B.（2,1）
C.（-1,2）
D.（2,-1）
2.已知集合A ={x |(x +1)(3-x )<0}，B ={x 1
x
≤1}，则（∁R A ）
⋂B =A.[]-1,0⋃[]1,3 B.[-1,)0⋃[1,]
3C.()-∞,-1⋃[3)
,+∞ D.[]
1,33.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ=(θ1-θ0)e -kt +θ0，其中，t 为时间（单
位：min ），θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度，假设在室内温度为20℃
的情况下，一桶咖啡由100℃降低到60℃需要20min ，则k=
A.ln220
B.ln320
C.-ln210
D.-ln3104.若单位向量a ,b 满足a ⊥b ,向量c 满足（a +c ）·b =1，且向量b ,c 的夹角为60°，则||c =A.1
2
B.2
C.
2
3
3
D.3
5.若函数f (x )=a x -a -x (a >0,且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y =log a (||x -1)的图象可以是
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1
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）
6.如图，四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，
则下列结论中不正确···
的是A.AC ⊥SB B.AB ∥平面SCD
C.SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角
D.AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角
7.在△ABC 中,“tan A <cos B ”是“△ABC 为钝角三角形”的A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件8.已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≠0时，恒有xf '(x )<0，则
A.f (log 513)>f (79)>f (log 815)
B.f (log 513)>f (log 815)>f (7
9)
C.f (log 815)>f (log 513)>f (79)
D.f (79)>f (log 815)>f (log 51
3
)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.若a ,b ∈R ,a <b <0，则下列不等式中，一定成立的是
A.1a -b >1a
B.1a >
1
b C.a b +b a
>2 D.||a >||b 10.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线过点P
)，
点F 是双曲线C 的右焦点，则下列结论正确的是
A.双曲线C
B.双曲线C 的渐近线方程为x -
2y =0
C.若点F 到双曲线C 的渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为x 24-y 2
2
=1
D.设O 为坐标原点，若||PO =||PF ，则S △POF =
32
2
11.已知f (x )是定义域为()-∞,0⋃(0),+∞的奇函数，函数g (x )=f (x )+1
x
,f (1)=-1，当
x 2>x 1>0时，x 1x 2f (x 1)-x 1>x 1x 2f (x 2)-x 2恒成立，则下列结论正确的是
A.g (x )在(0),+∞上单调递增
B.g (x )有两个零点
C.f (3)+f (-2)<log 642
D.不等式g (x )>0的解集为(-1,0)⋃(0,1)
2
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12.在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面棱长为2，侧棱长为2
3，E 为AC 1的中点，
BD =
λ
BC (0≤λ≤1)，则以下结论正确的是
A.当λ=1
2时， A 1D =12 AB +12 AC - AA 1B.当λ=1
2
时，AB 1∥平面A 1C 1D C.存在λ使得DE ⊥平面A 1B 1C D.四面体E -ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 10=100,则a 7=
.
14.已知tan α=2，则
cos α(1-sin 2α)
2sin α-cos α的值为.
15.如图，在△ABC 中, BD =13
BC ，点E 在线段AD 上移动（不
含端点），若 AE =λ AB +μ AC ，则λ
μ
=，
λ2-μ的最小值为.
16.已知抛物线E :y 2
=2px (p >0)的焦点为F ，以F 为圆心，3p 为半径的圆交抛物线E 于P ,
Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点（0，-1），则点F 到直线PQ 的距离为.
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）
已知函数f (x )=
3sin (2x +φ)+cos (2x +φ)(||φ<
π
2
)，将f (x )的图象向左平移
π3个单位长度，所得函数的图象关于y 轴对称.
（1）求函数f (x )的解析式；（2）若关于x 的方程f (x )=a 在[π6,5
12
π]上恰有两个实数根，求实数a 的取值范围.18.(12分)
在等比数列{a n }中,a 1,a 2,a 3分别是下表第一，二，三列中的某一个数，且a 1,a 2,a 3中的任何两个数不在下表中的同一行，设数列{a n }的前n 项和为S n .
（1）求数列
{a n }的通项公式；（2）证明：数列{S n }中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列.
第一行第二行第三行
第一列
125
第二列-4712
第三列16-108
3
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19.(12分)
如图1，在等腰直角△PCD 中，∠D =90°，A ，B 分别为
PD ，PC 的中点，将△PAB 沿直线AB 翻折，得到如图2所示的四棱锥P -ABCD ，若二面角P -AB -D 的大小为60°，M 为PB 中点.
（1）求证：
PA ⊥平面MCD ；（2）求直线CM 与平面PMD 所成角的正弦值.
20.（12分）
在某海域A 处的巡逻船发现南偏东60°方向，相距a 海里的B 处有一可疑船只，此可疑
船只正沿射线y
=
(x ≥0)（以B 点为坐标原点，
正东，正北方向分别为x 轴,y 轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速
追击拦截，巡逻船出发t 小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt .若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇.（1）求a ，b 的值；
（2）若巡逻船以521海里/小时的速度进行追击拦截，能否拦截成功？若能，求出拦
截时间，若不能，请说明理由.
21.(12分)
设点P (x 0,y 0)(x 0≠±1)是椭圆C :x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)上一动点，
F 1，F 2分别是椭圆C 的左，右焦点，射线PF 1,PF 2分别交椭圆C 于M ,N 两点，已知△PMF 2的周长为8，且点（1，3
2
）在
椭圆C 上.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）证明：
||PF 1||MF 1
+S
△OPN
S
△OF 2N
为定值.
22.(12分)
已知函数f (x )=e x
x
+x 2-1(x >0),g (x )=(ln x )2-2x .
（1）求曲线y =f (x )在x =1处的切线方程；
（2）若f (m )=g (n )，证明：
m >n
.4。