福建省泉州第一中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学(文)试题

（时间120分钟 满分150分） 命题：胡积谋 审核：刘水明
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有．．．．．．．．．．．．．．．一项是符合题目要求的．．．．．．．．．．,． 把答案填在答题．．．．．．．卷．相应位置．．．．． 1．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）
A.R x p ∈∀⌝0:，1sin 0≥x
B. :p x ⌝∀∈R ，sin 1x >
C. :p x ⌝∃∉R ，sin 1x > Ｄ.R x p ∈∃⌝0:，1sin 0>x
2.等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==,则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3.若条件,30: =A p ,2
1sin :=A q 条件则p 为q 的（ ）
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件 4.如图，在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上找一点M ，则AM AC <的概率为（ ）
A ．
22 B ．43 C ．32 D ．2
1
5.下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为：“若0xy =，则0x ≠
B ．命题“矩形是平行四边形”的否定为真命题;
C ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题
D ．命题“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题为真命题
6.若椭圆22
11625
x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ） A ．2
B ．7
C ． 5
D ．3
7.数列{}n a 的通项公式是)
1(1
+=
n n a n ，若其前n 项的和为1011，则项数
n 为（ ）
A ．12
B ．11
C ．10
D ．9
8.如图所示的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个
数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A ．c x > B ．x c > C ．b c > D ．c b > 9.已知 0,0>>y x 且1=+y x 则
y
x 9
4+的最小值为（ ） A.6 B.12 C.25 D.36
10．椭圆13
22
=+y x 被直线01=+-y x 所截得的弦长AB ＝（ ）
A.
23
D. 1
11．已知F 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点, P 是椭圆上
的一点, PF x ⊥轴, //OP AB (O 为原点), 则该椭圆的离
心率是（ ） A
12．在数列{}n a 中，如果存在常数T ()T N +∈，使得n T n a a +=对
于任意正整数n 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期. 已知周期数列{}n x 满足21||()n n n x x x n N *++=-∈，若121, (1,0)x x a a a ==≤≠，当数列
{}n x 的周期为3时，则数列{}n x 的前2015项的和2015S 为（ ）
A ．1344
B ．1343
C ．1342
D ． 1341
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题．．．．．．．卷．相应位置．．．．． 13.函数()22
1
)(>-+
=x x x x f 的最小值为________. 14.大小、形状相同的白、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取 2次，则摸取的2个球均为白色球的概率是_______. 15.如右图算法输出的结果是_______.
16.椭圆
127
362
2=+y x ，过右焦点F 作不垂直于x 轴的弦交椭圆于A 、B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则:NF AB 等于_______.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．, 把答．．案填在答题．．．．．卷．相应位置．．．．． 17．（本小题满分12分）
（Ⅰ）命题“2000,390x x ax ∃∈-+<R ”为假命题，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若“2280x x +-<”是“0x m ->”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
18. （本小题满分12分）
（Ⅰ）若椭圆上任一点到两个焦点(－2，0)，(2，0)的距离之和为6,求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若椭圆过(2,0)，离心率为3
2，求椭圆的标准方程.
19．（本小题满分12分）
已知命题:p 点(-2,1)和点(1,1)在直线023=--a y x 的同侧, 命题q ：不等式组
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+00
2y x y x 所对应的区域中的()y x ,满足x y a -=,
（Ⅰ）若命题p 与命题q 均为真命题，分别求出各自所对应的实数a 的取值范围； （Ⅱ）若p 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围.
20. （本小题满分12分）
若两集合[]0,3A =,[]0,3B =， 分别从集合A B 、中各任取一个元素m 、n ，即满足m A ∈，
n B ∈，记为),(n m ，
（Ⅰ）若m ∈Z ，n ∈Z ，写出所有的),(n m 的取值情况，并求事件“方程1
1
122=+++n y m x 所对应的曲线表示焦点在x 轴上的椭圆”的概率；
（Ⅱ）求事件“方程11
12
2=+++n y m x 所对应的曲线表示焦点在x 轴上的椭圆，且长轴长大于
倍”的概率. 21.（本小题满分12分）
已知二次函数2
()f x x ax c =++，满足不等式()0<x f 的解集是（-2，0），
（Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）若点1(,)n n a a +)(*
N n ∈在函数()f x 的图象上，且991=a ，令)1lg(n n a b +=，
（ⅰ）求证：数列{}n b 为等比数列；
（ⅱ）令n n c nb =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，是否存在正实数k 使得不等式
222-+>+n n n b S b kn 对任意*N n ∈的恒成立? 若存在，求出k 的取值范围；若
不存在，请说明理由．
22.（本小题满分14分）
如图，点F 是椭圆W ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点，A 、B 分别是椭圆的右顶点与上
顶点，椭圆的离心率为
2
1
，三角形ABF ，
（Ⅰ）求椭圆W 的方程；
（Ⅱ）对于x 轴上的点()0,t P ，椭圆W 上存在点Q ，使得AQ PQ ⊥，求实数t 的取值范围； (Ⅲ)直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆W 交于不同的两点M 、N (M 、N 异于椭圆的左右
顶点)，若以MN 为直径的圆过椭圆W 的右顶点A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.
解：（Ⅰ）若2
000,390x x ax ∃∈-+<R ，则2
9360a ∆=->，即22或a a ><-，
因此该命题为假命题时，得22a -≤≤；………………………………………6分
（Ⅱ）由2280x x +-<得42x -<<，另由0x m ->即x m >，
“2280x x +-<”是“0x m ->”的充分不必要条件，
4m ∴≤-.…………………………………………………………………………12分
当椭圆焦点在x 轴上时，2a =，2
1b ∴=，∴所求椭圆方程为2
214
x y +=；…………10分当椭圆焦点在y 轴上时，2b =，2
16a ∴=，∴所求椭圆方程为
221416
x y += (12)
分
（Ⅱ）若p 为真命题，p 且q 为假命题，则p 真q 假，即81
22a a a a <->⎧⎨
<->⎩
或或，即
82a a <->或.……12分
20. （本小题满分12分）
若两集合[]0,3A =,[]0,3B =， 分别从集合A B 、中各任取一个元素m 、n ，
即满足m A ∈，n B ∈， 记为),(n m ，
（Ⅰ）若m ∈Z ，n ∈Z ，写出所有的),(n m 的取值情况，并求事件“方程1
1
12
2=+++n y m x 所对应的曲线表示焦点在x 轴上的椭圆”的概率；
（Ⅱ）求事件“方程
11
12
2=+++n y m x 所对应的曲线表示焦点在x 轴上的椭圆，且长轴长大于
倍”的概率.
解：（Ⅰ）由题知所有的),(n m 的取值情况为：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共16种，………………2分
若方程11
12
2=+++n y m x 所对应的曲线表示焦点在x 轴上的椭圆，则11m n +>+，即
m n >，
对应的),(n m 的取值情况为：(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共6
种，………………4分 该事件概率为
63
168
P =
=；………………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由题知03m ≤≤，03n ≤≤，椭圆长轴
为，短轴
为
，……………………… 8分
由>，得21m n >+，如图所示，…………………10分
该事件概率为1
21
1
2339
P ⨯⨯==⨯.………………………12分
21.（本小题满分12分）
已知二次函数2
()f x x ax c =++，满足不等式()0<x f 的解集是(2,0)-，
（Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）若点1(,)n n a a +)(*
N n ∈在函数()f x 的图象上，且991=a ，令)1lg(n n a b +=，
（ⅰ）求证：数列{}n b 为等比数列；
（ⅱ）令n n c nb =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，是否存在正实数k 使得不等式
222-+>+n n n b S b kn 对任意*N n ∈的恒成立? 若存在，求出k 的取值范围；若
不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）
不等式()0<x f 的解集是(2,0)- ， 由韦达定理得2020a c -+=-⎧⎨
-⋅=⎩，即2
a c =⎧⎨=⎩， (2)
分
2()2f x x x ∴=+； (3)
分 （Ⅱ）
点1(,)n n a a +)(*
N n ∈在函数()f x 的图象上，212n n n a a a +∴=+，
（ⅰ）221121(1)n n n n a a a a ++=++=+，21lg(1)lg(1)2lg(1)n n n a a a +∴+=+=+，
即12n n b b +=∴数列{}n b 为等比数
列； ……………………………………………………7分
（ⅱ）由（ⅰ）知11lg(1)2b a =+=，公比为2，∴1222n n n b -=⋅=；
又2n n n c nb n ==⋅， 1231122232(n 1)22n n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅+⋅，
23121222(n 1)22n n n S n +=
⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅+⋅，
错位相减得：1231122222n n n S n +-=⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅， 整
理得
1
(n 1)
22
n n S +=-⋅+，……………………………………………………………………9分 222n n n kn b S b +>+-,即2122(n 1)2222n n n kn ++⋅>-++-，
化简整理得2
22
n k n
+>对任意*N n ∈的恒成立, ………………………………………10分
令22
2211
(n)22n g n n n
+==⋅+⋅,只要max (n)k g >, 配方得2111
(n)2()22
g n =+-,
(]10,1n ∈,∴当1
1n
=时max (n)4g =,即4k >.………………………………………12分
22.（本小题满分14分）
如图，点F 是椭圆W ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点，A 、B 分别是椭圆的右顶点与上
顶点，椭圆的离心率为2
1
，三角形ABF ，
（Ⅰ）求椭圆W 的方程；
（Ⅱ）对于x 轴上的点()0,t P ，椭圆W 上存在点Q ，使得AQ PQ ⊥，求实数t 的取值范围； (Ⅲ)直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆W 交于不同的两点M 、N (M 、N 异于椭圆的左右
顶点)，若以MN 为直径的圆过椭圆W 的右顶点A ，求证：直线l 过定点，并求出该定
点的坐标.
解：（Ⅰ）由1
2
c e a =
=，即由2a c =，得 b ==，
21()2ABF S a c b ∆=+⋅==
解得21c =, 2244a c ==,222
3b a c =-=,即椭圆W 的方程为22143
x y +
=；…………3分
（Ⅱ）(2,0)A ,()0,t P ,设(,)Q x y ,则22
143
x y +=,
(,)PQ x t y =-,(2,)AQ x y =-,PQ AQ ⊥,
2
()(2)0x t x y ∴--+=,2
()(2)3(1)04
x x t x ∴--+-=,………………………5分
22x -<<,3(2)04x x t +∴--=,即()6
2,14
x t -=∈--；………………………7分
(Ⅲ)联立22
3412
y kx m
x y =+⎧⎨+=⎩消y 得:()2223484120k x kmx m +++-=, 设1122(,),(,),M x y N x y
()222(8)434(412)0km k m ∆=-+->,即2234m k <+，
2121222
8412
,3434km m x x x x k k
-+=-=++，…………………………………………………………9分
1122(2,),(2,),AM x y AN x y =-=-
若以MN 为直径的圆过椭圆W 的右顶点A ，
则
1212(2)(2)0AM AN x x y y ⋅=--+=，即
1212(2)(2)()()0x x k x m k
x m --+++=，…………11分 展开整理得：22121212122()4()0x x x x k x x km x x m -++++++=，
即22
222222412841282()4()()034343434m km m km k km m k k k k
----+++-+=++++， 通分化简得222
7164034m km k k
++=+，即22
71640m km k ++=， 分解得(72)(2)0m k m k ++=，得720m k +=或20m k +=，即27
k
m =-或2m k =-，
当27k m =-时，直线2()7y kx m k x =+=-，即直线过定点2
(,0)7
当2m k =-时，直线(2)y kx m k x =+=-，即直线过定点(2,0)，但与右顶点A 重合，舍去，
综合知：直线l 过定点，该定点的坐标为2
(,0)7
.……………………………………………14分。