2020版【5年高考3年模拟】高考文数新课标版6.4 数列的综合应用

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=2- 1 n 1 -2
1 2

1 2 -21-n. = n 1 n 1
例2 (2018山西太原五中模拟,19)已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为
Sn,an+1=3Sn+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
n (2)设bn=log2 an1 ,求数列 的前n项和Tn.
1 2 an bnbn1
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解析 (1)∵Sn=2an-1,∴n≥2时,Sn-1=2an-1-1,∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,n≥2,即an
=2an-1,n≥2. 当n=1时,S1=a1=2a1-1,∴a1=1, ∴{an}是以1为首项,2为公比的等比数列, ∴an=2n-1,∴b4=a3=4,又b1=1,
b an
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解析 (1)由an+1=3Sn+1,得an=3Sn-1+1(n≥2),
两式相减得an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an(n≥2), 故an+1=4an(n≥2), 所以当n≥2时,{an}是以4为公比的等比数列. 因为a1=1,a2=3S1+1=3a1+1=4,
0
b an
1
2
3
n 1
4
4
4
4
4
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1 1 1 1 1 1 Tn=1× +2 × +3 × +4 × + … +( n -1) × 4 4 4 4 4 4
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方法技巧
方法 数列求和的方法
常见类型及方法 (1)an=kn+b,利用等差数列前n项和公式直接求解; (2)an=a1· qn-1,利用等比数列前n项和公式直接求解,但要注意对q分q=1与q ≠1两种情况进行讨论;
(3)an=bn+cn,数列{bn}、{cn}是可以直接求和的数列,采用分组求和法求
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高考文数（课标专用）
§6.4 数列的综合应用
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考点清单
考点一
1.公式法
直接用等差、等比数列的求和公式求解. 2.倒序相加法 在数列{an}中,与首末两端等“距离”的两项和相等或可构成能求和的 新数列,可用倒序相加法求此数列的前n项和.如① 等差数列 的前n 项和就是用此方法推导的.
数列求和
4 ∴
b b1 4 1 = =1. 3 3
∴bn=1+(n-1)来自n. (2)由(1)知cn= - =21-n-
1 2 an bnbn1
2 1 1 =21-n-2 , n( n 1) n n 1
1 1 1 1 1 1 ∴Tn= 2 n -2 1 2 2 3 n n 1 1 1 2 1
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3.错位相减法
在数列{anbn}中,{an}是等差数列,{bn}是等比数列,可用错位相减法求此 数列的前n项和.如② 等比数列 的前n项和就是用此方法推导的. 4.裂项相消法 把数列的每一项拆成两项之差,求和时有些部分可以相互抵消,从而达 到求和的目的. 常见的裂项方法.
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5.分组转化求和法
{an}的前n项和; (4)an=bn· cn,{bn}是等差数列,{cn}是等比数列,采用错位相减法求{an}的前 n项和; (5)可化为an=f(n)-f(n-1)形式的数列,可采用裂项相消法求{an}的前n项和;
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(6)an-k+ak=cbn,可考虑用倒序相加法求和;
(7)an=(-1)nf(n),可将相邻两项合并求解,即采用“并项求和法”. 例1 (2017湖南湘潭三模,17)已知数列{an}满足Sn=2an-1(n∈N*),{bn}是 等差数列,且b1=a1,b4=a3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若cn= - (n∈N*),求数列{cn}的前n项和Tn. 解题导引
1
2
3
4
n
n 1
1 +n× ②, 4
n
由①-②,得
1 2 3 n 1 n n 1 1 1 3 4 1 1 1 1 1 -n× , Tn=1+ + +…+ = -n× + 1 4 4 4 4 4 4 4 1 4 n 1 16 3n 4 1 ∴Tn= - × . 9 9 4
若一个数列由若干个等差数列或等比数列组成,则求和时可用分组转化
法分别求和再相加减. 6.并项求和法 一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类 型,可采用并项求和.
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考点二
数列应用题的常见模型
数列的综合应用
1.等差模型:当后一个量与前一个量的差是一个固定量时,该模型是等差 模型,这个固定量就是公差. 2.等比模型:当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等 比模型,这个固定的数就是公比. 3.递推模型:当题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而 变化时,应考虑是an与an+1之间的递推关系,还是Sn与Sn+1之间的递推关系.
2 所以 =4.
a a1
所以{an}是首项为1,公比为4的等比数列,an=4n-1(n∈N*).
n (2)由(1)知an=4n-1,故bn=log2 an1 =log22 =n,
n n 所以 = . n 1 4
1 +…+n× 1 ①, 1 +2× 1 +4× 1 +3× Tn=1×