河南省南阳市第一中学2020届高三第十五次考试数学(理)试题答案
【全国百强校】河南省南阳市第一中学2018届高三第十五次考试数学(理)答案
由条件知 m lg t m 1, 则 2m 2 lg t 2m 2, 而 2 lg t 的整数部分为 m 1, 所以
m lg t m 1, 2m m 2 1, 1 2 2 2 即 m 0,1, 2. 当 m 0 时，由 m 1 2 lg t m 2, 得 lg t ，所 2 3 m 2 2m 2, 2m 2 1 3lg t 2m 2 2, 2
高三第十五次考试理数答案
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15、an
n
〠 t
16、 428【解析】设工厂应生产 A 产品 xkg ，B 产品 ykg ，利润 z 万元，则由题意得
9 x 4 y 360 { 4 x 5 y 200 3 x 10 y 300 x 0, y 0
的平面区域如图所示; 由 z 7 x 12 y ,变为 y ，且利润函数为 z 7 x 12 y ，作出不等式组表示
取 AA1 的中点 H， 连 GH ，则 GH 为过点 E ， F ， G 的平面
9、C
与正方体的面 A1 B1 BA 的交线． 延长 GH ，交 BA 的延长线与点 P ，连 EP ，交 AD 于 N ，则 NE 为过点 E ， F ， G 的平面 与正方体的面 ABCD 的交线． 同理，延长 EF ，交 D1C1 的延长线于 Q ，连 GQ ，交 B1C1 于点 M ，则 FM 为过点 E ， F ， G 的平面与正方体的面 BCC1 B1 的交线． 所以过点 E ， F ， G 的平面截正方体所得的截面为图中的六边形 EFMGHN ．
3c 2 4a 2 4ab , 由 MN 3F1 N ，可得 N 的坐标为 N ，将 N 点坐标代入双曲线方程，可得 c c
河南省南阳高三上学期第十五次周考数学(理科)试卷有答案
河南省南阳高三上学期第十五次周考数学（理）试卷一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求。
)1．已知全集U ＝R ，集合}011|{<+-=x x x M ，}0|{2<-=x x x N ，则集合M ，N 的关系用韦恩（Venn ）图可以表示为（）2．设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3- B ． 1-C ．1D ．33.已知点(,)a b 在圆221x y +=上，则函数2()cos sin cos 12af x a x b x x =+--的最小正周期和最小值分别为（ ） A.2π，3-2 B. π，3-2 C. π，5-2 D. 2π，5-24．若下面的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．?5≤nB ．?6≤nC ．?7≤nD ．?8≤n5. 函数2|log |1()2x f x x x=--的大致图像为 （ ）．6．某同学同时投掷两颗骰子，得到点数分别为b a ,，则双曲线12222=-bya x 的一条渐近线的倾斜角小于︒60的概率为（ ）43.A41.B127.C 125.D7. dx x a nn ⎰+=)12(，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前项和为n S ，数列{}n b 的通项公式为8-=n b n ，则n n S b 的最小值为（ ） A ．3- Ｂ．4- Ｃ． 3 Ｄ．4 8．如图，在四面体OABC中，,13===BC AC 则=⋅（ ）A.8B.6C.4D.39．设)(x f 是 6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项，若mx x f ≤)(在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,22上恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(),5-∞B ．(],5-∞C ．()5,+∞D ．[)+∞,510.如图，12,F F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于,A B 两点．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）11．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2．45ASC BSC ∠=∠=︒则棱锥S —ABC 的体积为 ( ) A．3B．3C．3 D．312．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f e x f -=+（其中e=2.7182…），且在区间[e,2e]上是减函数，令55ln ,33ln ,22ln ===c b a ，则f(a), f(b), f(c) 的大小关系（用不等号连接）为A ．f (b )>f (a )>f (c ) B. f (b )>f (c )>f (a ) C. f (a )>f (b )>f (c ) D. f (a )>f (c )>f (b ) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届河南省南阳市第一中学高三下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)
2020届河南省南阳市第一中学高三下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合U A B I ð是( )A ．{1,3,5,6}B ．{1,3,5}C ．{1,3}D ．{1,5}【答案】D【解析】利用补集和交集的定义可求出集合U A B I ð. 【详解】Q 集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则{}1,5,6U B =ð， 因此，{}1,5U A B =I ð. 故选：D. 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．已知复数z 满足()13z i i -=+（i 为虚数单位),则复数z =（ ） A ．12i + B ．12i -C ．2i +D ．2i -【答案】B【解析】运用复数的除法运算法则求出复数z ,在根据共轭复数的定义求出复数z . 【详解】由题意()13z i i -=+,可变形为()()()()31324121112i i i i z i i i i ++++====+-+-. 则复数12z i =-. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的除法运算法则和共轭复数的定义,属于基础题.3．等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a a =r ，()76,b a a =r ，且4a b ⋅=r r ，则2122210log log log (a a a ++⋯+= )A ．12B ．10C ．5D ．22log 5+【答案】C【解析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出． 【详解】向量a v ＝（4a ，5a ），b v ＝（7a ，6a ），且a v •b v＝4，∴47a a +56a a ＝4，由等比数列的性质可得：110a a ＝……＝47a a ＝56a a ＝2，则2122210log log log a a a +++=L log 2（12a a •10a ）＝()5521102log log 25a a ==． 故选C ． 【点睛】本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 4．下列四个命题：①函数()f x cosxsinx =的最大值为1；②“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“320,10x R x x ∃∈-+>”；③若ABC V 为锐角三角形，则有++>++sinA sinB sinC cosA cosB cosC ；④“0a ≤”是“函数()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增”的充分必要条件．其中错误的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由正弦的二倍角公式和正弦函数的值域判断①;写出全称命题的否定判断②;由锐角三角形的定义和正弦函数的单调性,结合诱导公式可判断③;由二次函数的图象和性质,结合充分必要条件的定义可判断④. 【详解】解：①由()122f x cosxsinx sin x ==,得()f x 的最大值为12,故①错误; ②“x R ∀∈,3210x x -+≤”的否定是“320,10x R x x ∃∈-+>”,故②正确; ABC QV ③为锐角三角形,2A B π∴+>,则2A B π>-，y sinx =Q 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数,2sinA sin B cosB π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭,同理可得sinB cosC >，sinC cosA >,sinA sinB sinC cosA cosB cosC ∴++>++,故③正确;0a ≤④,函数()2f x x ax =-的零点是a ,0,结合二次函数的对称轴,可得函数()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增;若函数()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增,结合二次函数的对称轴,可得02a≤, 0a ∴≤,∴“0a ≤”是“函数()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增”的充分必要条件,故④正确．∴其中错误的个数是1.故选:A. 【点睛】本题考查命题的真假判断,考查含有一个量词的命题的否定,考查三角函数的图象和性质,以及充分必要条件的判断,是中档题．5．在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若221sin cos 2C C -=，则下列各式正确的是（ ） A ．2a b c += B ．2a b c +≤ C ．2a b c +<D ．2a b c +≥【答案】B【解析】根据二倍角公式可知1cos 22C =-，求出角C ，再根据正弦定理表示2a b c +-，转化为()22sin sin 2sin a b c R A B C +-=+-，再根据三角函数化简，转化为函数值域问题. 【详解】221sin cos cos 22C C C -=-=， 即1cos 22C =-，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭223C π∴=，3C π∴=，根据正弦定理可知2sin sin sin a b cR A B C===， ()22sin sin 2sin a b c R A B C ∴+-=+-，sin sin 2sin sin sin 33A B C A A π⎛⎫+-=++- ⎪⎝⎭33sin cos 33sin 30226A A A π⎛⎫=+-=+-≤ ⎪⎝⎭, 当3A π=时，等号成立，20a b c ∴+-≤即2a b c +≤. 故选：B 【点睛】本题考查三角恒等变换，以及正弦定理边角互化和三角函数求值域的综合问题，意在考查转化与化归的思想，和计算能力，本题的关键是根据正弦定理转化为()22sin sin 2sin a b c R A B C +-=+-，再通过三角函数恒等变换转化为三角函数求值域.6．函数()3sin 2xx x f ex =+在[]2,2ππ-上的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断函数()f x 的奇偶性，排除C ；再验证()4f π的值，排除B ，D ，即可.【详解】依题意，()()()3sin 2xx x fx e--+--=()3sin 2xx x f x e+=-=-，故函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C ；3334273sin 11191919124646440.54 2.8 2.8 2.864179.2182e ef πππππ⎛⎫++++ ⎪⎛⎫⎝⎭=>>===>= ⎪⨯⎝⎭，排除B ，D. 故选：A 【点睛】本题考查函数图象问题.此类问题可根据函数的单调性、奇偶性、特值检验，通过排除法解决.属于中档题.7．某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）为A ．18B ．63C ．33D ．3【答案】C【解析】判断三视图复原的几何体的形状,利用三视图的数据求解几何体的体积即可. 【详解】由题意可知几何体是底面为正三角形的三棱柱，底面边长为2，高为3， 所以几何体的232333⨯=C ． 【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，考查转化思想以及空间想象能力．8．已知正方形ABCD 的边长为2，以B 为圆心的圆与直线AC 相切.若点P 是圆B 上的动点，则DB AP ⋅u u u v u u u v的最大值是（ ） A ．2 B ．42C ．4D ．8【答案】D【解析】建立平面直角坐标系，圆B 的方程为：222x y +=, 444DB AP sin πθ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v ，利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()0,0B ，()A 0,2，()D 2,2， 圆B 的方程为：222x y +=,∴()22Pcos sin θθ，，∴()22DB =--u u u v，，()222AP cos sin θθ=-u u u v ，，∴22224444DB AP cos sin sin πθθθ⎛⎫⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v∴14sin πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，DB AP ⋅u u u v u u u v的最大值是8， 故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知函数()()2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>≤ ⎪⎝⎭，其图象与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭恒成立，则ϕ的取值范围是( ) A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】由题意可得相邻最低点距离1个周期，T π=，2ω=，()1f x >，即()sin 20x ϕ+>，222,k x k k Z πϕππ≤+≤+∈，即,,222x k k k Z ϕϕπππ⎡⎤∈-+-++∈⎢⎥⎣⎦所以,123ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ⊆,,222k k k Z ϕϕπππ⎡⎤-+-++∈⎢⎥⎣⎦，包含0,所以k=0, ,,222k Z ϕϕπ⎡⎤--+∈⎢⎥⎣⎦,122223πϕϕππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩, 63ππϕ≤≤,选A ．【点睛】由于三角函数是周期周期函数，所以不等式解集一般是一系列区间并集，对于恒成立时，需要令k 为几个特殊值，再与已知集合做运算．10．已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I 为12PF F ∆的内心，且1221IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-，若椭圆的离心率为e ，则λ=（ ） A ．1eB ．2eC ．eD ．2e【答案】A【解析】设12PF F ∆内切圆的半径为r ，根据题意化简得到1212F F PF PF λ=+，代入数据计算得到答案. 【详解】设12PF F ∆内切圆的半径为r 则1112IPF S r PF ∆=⋅，2212IPF S r PF ∆=⋅，121212IF F S r F F ∆=⋅·∵1221IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-，∴112211222r PF r F F r PF λ⋅=⋅-⋅整理得1212F F PF PF λ=+.∵P 为椭圆上的点，∴22c a λ⋅=，解得1eλ=. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆离心率相关问题，根据面积关系化简得到1212F F PF PF λ=+是解得的关键.11．已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为（ ）AB ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用抛物线的定义和焦点弦的性质，求得1213,3x x ==，进而可求得||||AF BF 的值． 【详解】由椭圆22143x y +=，可得右焦点为(1,0)，所以12p =，解得2p =，设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的定义可得1222816sin 6033p p AB x x p =++===o，所以12103x x +=， 又由21214p x x ==，可得1213,3x x ==，所以12||31231||123px AF p BF x ++===++. 故选C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，以及抛物线的焦点弦的性质的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+ ，当[0,1]x ∈时，()f x x =.函数|1|()(13)x g x e x --=-<<，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A 【解析】由(1)(1)f x f x -=+，|1|()(13)x g x e x --=-<<可得函数(),()f x g x 的图像都关于直线1x =对称，再作函数()f x ，()g x 在()1,3-上的图像，观察交点的个数即可得解. 【详解】解：由()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，则函数()f x 的图像关于直线1x =对称，又 |1|()(13)x g x ex --=-<<的图像也关于直线1x =对称， 当12x ≤≤时，()2f x x =-，1()x g x e -=，设1()2x h x x e -=--，()12x ≤≤，则'1()10xh x e-=-+<，即函数()h x 在[]1,2为减函数，又(1)0h =，即()0h x ≤，即函数()f x ，()g x 的图像在()1,2无交点，则函数()f x ，()g x 在()1,3-上的图像如图所示，可知两个图像有3个交点，一个在直线1x =上，另外两个关于直线1x =对称，则三个交点的横坐标之和为3，故选A.【点睛】本题考查了函数图像的对称性，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.二、填空题13．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________． 【答案】2或1-.【解析】先画出不等式组所代表的平面区域，解释目标函数为直线=+y ax z 在y 轴上的截距，由目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一，得直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，从而解出a 的值.【详解】解：画出不等式组20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩对应的平面区域如图中阴影所示将=+z ax y -转化为=+y ax z ，所以目标函数z 代表直线=+y ax z 在y 轴上的截距 若目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一则直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，如图中虚线所示 又直线20x y +-=和220x y -+=的斜率分别为1-和2 所以2a =或1a =- 故答案为：2或1-.【点睛】本题考查了简单线性规划，线性规划最优解不唯一，说明目标函数所代表的直线与不等式组某条边界线平行，注意区分最大值最优解和最小值最优解. 14．函数()f x x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实数a 的值为________. 【答案】6-或2【解析】根据导数的几何意义，求出()f x 在1x =处的切线，根据圆的弦长，得到圆心距，根据圆心到切线的距离公式，得到关于a 的方程，从而得到a 的值. 【详解】 因为()f x x x a =+ 所以()2f x x xx'=代入切点横坐标1x =，可知切线的斜率(1)1k f '==.又(1)f a =，所以切点坐标为(1,)a ，所以函数()f x x a =+的图象在1x =处的切线方程为1y x a =+-. 又因为圆22:2440C x y x y +-+-= 圆心坐标为(1,2)-，半径为3，所以圆心到切线的距离d =. 因为切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则22213+=，解得实数a 的值是6-或2. 故答案为：6-或2 【点睛】本题考查导数的几何意义求在一点的切线方程，根据圆的弦长求参数，属于中档题. 15．已知6(12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba=___________. 【答案】12【解析】由()n a b +的二项展开式的通项1C r n r r r n T a b -+=，可知6(12)x +展开式的二项式系数为6(0,1,,6)r C r =L ，当3r =时，二项式系数的最大值为a ，6(12)x +展开式的系数为62(0,1,,6)r rC r =L ，当满足116611662222r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩时，系数的最大值为b ，求解即可. 【详解】 由题意可知6(12)x +展开式的二项式系数为6(0,1,,6)r C r =L ，当3r =时，取得最大值3620a C ==6(12)x +展开式的系数为62(0,1,,6)r r C r =L ，当满足116611662222r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩时，系数最大. 即116!6!22!?(6)!(1)!?[6(1)]!6!6!22!?(6)!(1)!?[6(1)]!r r r r r r r r r r r r +-⎧≥⎪-+-+⎪⎨⎪≥⎪----⎩ ∴1261217r r r r⎧≥⎪⎪-+⎨⎪≥⎪-⎩，即12(6)2(7)r r r r +≥-⎧⎨-≥⎩解得111433r ≤≤又0,1,,6r =Q L4r ∴=时，系数的最大值为4462240b C ==则2401220b a == 故答案为：12 【点睛】本题考查二项式定理，求二项式系数最大值时，列出不等式组116611662222r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩是解决本题的关键.属于一道较难的题.16．平行四边形ABCD 中，△ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=︒，现将△ABD 沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为_____. 【答案】20π【解析】取AD,BC 的中点分别为12,O O ,过1O 作面ABD 的垂线与过2O 作面BCD 的垂线，确定球心的位置，再取BD 中点E ，连结12,O E O E ,得到12O EO ∠即为二面角A BD C --的平面角，在Rt △1O OE 和在Rt △1O OA 中，求得的球的半径，即可求解． 【详解】由题意，取AD,BC 的中点分别为12,O O ,过1O 作面ABD 的垂线与过2O 作面BCD 的垂线，两垂线交点O 即为所求外接球的球心， 取BD 中点E ，连结12,O E O E ,则12O EO ∠即为二面角A BD C --的平面角，又由121O E O E ==，连接OE ，在Rt △1O OE 中，则13OO =， 在Rt △1O OA 中，12O A =，得5OA =，即球半径为5R OA ==，所以球面积为24S R =π= 20π.【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及几何体的结构特征、二面角的应用，其中解答中熟练应用几何体的结构特征，以及二面角的定义求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．三、解答题17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若73B b ABC π==V ，，的面积332S =，求a +c 值； （2）若2cos C （BA BC ⋅u u u r u u u r +AB AC ⋅u u u r u u u r）=c 2，求角C ．【答案】（1）5（2）3π【解析】（1）由已知利用三角形面积公式可求ac=6，结合余弦定理可求a+c 的值． （2）利用平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求cosC=，结合范围C ∈（0，π），可求C 的值．【详解】 解：（1）∵73B b ABC π==，，的面积332S =， 33=12ac sin B 3，可得：ac =6， ∵由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，可得：7=a 2+c 2-ac =（a +c ）2-3ac =（a +c ）2-18， 解得：a +c =5．（2）∵2cos C （BA BC ⋅u u u r u u u r +AB AC ⋅u u u r u u u r）=c 2，∴2cos C （ac cos B +bc cos A ）=c 2，可得：2cos C （a cos B +b cos A ）=c ，∴由正弦定理可得：2cos C （sin A cos B +sin B cos A ）=sin C ，即2cos C sinC=sin C ， ∵sin C ≠0， ∴cos C =12， ∵C ∈（0，π）， ∴C =3π． 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见证明；（2）见解析【解析】（1）利用余弦定理计算BC ，根据勾股定理可得BC ⊥BD ，结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ，于是平面PBD ⊥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，设CMCP =λ，计算平面ABM 和平面PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于12，解方程得出λ的值,即可得解． 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形， 且//AB DC , 2AB AD ==,2ADC π∠=,所以22BD =，又因为4,4CDBDC π=∠=．根据余弦定理得22,BC =所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.又因为BC PD ⊥, PD BD D ⋂=,且BD ,PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BC ⊂平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面 （2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点，连结PE ，因为6PB PD ==,所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ， 平面ABCD I 平面PBD BD =，PE ⊥平面ABCD .如图，以A 为原点分别以AD u u u r ，AB u u u r和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， 假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CMCPλλ=≤≤，即CM CP λ=u u u u r u u u r ， 所以(2-,4-3,2)λλλM ,易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =u u u v.设(,,)n x y z =r 为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =u u u r ， =(2-,4-3,2)λλλu u u u rAM由00n AB n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v 得20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，不妨取(2,0,2)n λλ=-r .因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π22412224(2)λλλ=+-， 解得2,23λλ==-，（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且23CM CP =. 【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．19．近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于10C︒的天气现象出现增多.陡然降温幅度大于10C︒容易引起幼儿伤风感冒疾病.为了解伤风感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院随机对人院的100名幼儿进行调查,得到了如下的列联表,若在全部100名幼儿中随机抽取1人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为2 5 ,(1)请将下面的列联表补充完整;(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关?说明你的理由;(3)已知在患伤风感冒疾病的20名女性幼儿中,有2名又患黄痘病.现在从患伤风感冒疾病的20名女性中,选出2名进行其他方面的排查,记选出患黄痘病的女性人数为X,求X的分布列以及数学期望.下面的临界值表供参考:参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中.n a b c d=+++【答案】(1)见解析,(2) 不能在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美.(3)分布列见解析,1 5【解析】(1)根据在全部100名幼儿中随机抽取1人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为25,可以求出患伤风感冒疾病的幼儿的数量，这样可以补充完成列联表；(2)代入公式求出2K的值，根据所给的表写出结论；(3) 根据题意,X 的值可能为0,1,2.分别求出相应的概率值，列出分布列，计算出数学期望即可. 【详解】(1)列联表补充如下;()2计2K 算的观测值为()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2100203520250.6734 2.70640604555⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,所以不能在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美. (3)根据题意,X 的值可能为0,1,2.则()()121512222020153180,119095CC P X P X C C ======,()2222012190C P X C ===, 故X 的分布列如下：故X 的数学期望：()1531811012190951905E X ⨯++⨯==⨯. 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的一条直线交椭圆于P Q 、两点，若12PF F ∆的周长为4+，且长轴长与短轴长之比为2:1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若12F P F Q PQ +=u u u v u u u u v u u u v ，求直线PQ 的方程. 【答案】(1)22184x y +=；220x y ±-=【解析】(1)根据椭圆的定义和已知12PF F ∆的周长，可以得到等式，根据长轴长与短轴2，再结合椭圆中,,a b c 的关系，可以求出,,a b c 的值，进而求出椭圆的标准方程；(2)设出直线2PF 的方程，化简12F P F Q PQ +=u u u r u u u u r u u u r，将直线2PF 的方程与椭圆的标准方程联立，利用一元二次方程根与系数关系最后可以求出PQ 的方程. 【详解】(1)由条件可知：22442a c +=+，:2a b =，∵222a b c =+，解得：2,2,2a b c ===，所以椭圆C 的方程为22184x y +=(2)设直线2PF 的方程为：()()11222,,,,x ty P x y Q x y =+； 因为1212F P F Q FO OP F O OQ OP OQ+=+++=+u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v， 所以OP OQ PQ +=u u u v u u u v u u u v，所以OP OQ ⊥，所以12120x x y y +=，()222212440842x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，12122244,22t y y y y t t --+==++ ()()2412121212121x x y y t y y t y y ++=+++，解得：212,22t t ==±所以直线PQ 220x y ±-=.【点睛】本题考查了椭圆的定义和标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了向量表达式的化简，考查了数学运算能力. 21．已知函数()cos xf x e x =-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)证明：()f x 在区间(,)2π-+∞上有且仅有2个零点.【答案】（1）0x y -=；（2）见解析【解析】（1）给函数求导，将切点的横坐标带入原函数，导函数，分别求出切点和斜率，用点斜式写出直线方程即可.（2）当0x >时，()cos 0xf x e x =->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上没有零点；又()00f =，下面只需证明函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.因为函数()y f x '=在区间(,0)2π-上单调递增，2()102f eππ-'-=-<，()010f '=>，存在(,0)2t π∈-，使得()0f t '=，函数()y f x =在x t =处取得极小值，则()()00f t f <=，又2()02f eππ--=>，所以()()02f f t π-⋅<，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.综上可得，函数()y f x =在(,)2π-+∞上有且仅有两个零点.【详解】（1）()cos x f x e x =-Q ，则()sin xf x e x '=+，()00f ∴=，()01f '=.因此，函数()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，即0x y -=. （2）当0x >时，1cos x e x >≥，此时，()cos 0xf x e x =->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上没有零点； 又()00f =，下面只需证明函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.()sin x f x e x '=+，构造函数()sin x g x e x =+，则()cos x g x e x '=+，当02x π-<<时，()cos 0x g x e x '=+>，所以，函数()y f x '=在区间(,0)2π-上单调递增，2()102f eππ-'-=-<Q ，()010f '=>，由零点存在定理知，存在(,0)2t π∈-，使得()0f t '=，当2x t π-<<时，()0f x '<，当0t x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在x t =处取得极小值，则()()00f t f <=，又2()02f eππ--=>，所以()()02f f t π-⋅<，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.综上可得，函数()y f x =在(,)2π-+∞上有且仅有两个零点.【点睛】本题第一问考查导数几何意义中的切线问题，第二问考查函数零点的存在，同时考查了利用导函数求函数的单调区间，属于难题.22．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为1(x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足||||8OA OB ⋅=，点B 的轨迹为2C . （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求ABM ∆面积的最小值。
河南省南阳市2020-2021学年高三上学期期末数学(理)试题【含答案解析】
2020年秋期高中三年级期终质量评估数学试题(理)考生须知：1． 本试卷满分120分，考试时间为120分钟.2． 答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内.3． 请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效.4． 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.5． 保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设全集U R =，集合{}{}2,1A x x B x x =<=<，则集合()U C A B （ ）A ．(),2-∞B ．[)2,+∞C ．()1,2D ．()[),12,-∞+∞2. 已知复数z 满足()1243z i i +=-(其中i 为虚数单位),则复数z 的虚部为（ ） A ．2- B ．2i - C ．1 D ．i3.cos15cos 45sin15sin 45︒︒︒︒+=（ ）A ．0B ．12C ． 2D ． 14.若0.5212,log 3,log 3a b c π===，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C. c a b >> D ．b c a >> 5.函数()()()21sin 2,f x x x x ππ=+-≤≤的图像可能是（ ）A ．B ．C. D ．6. 已知抛物线的焦点在y 轴上,顶点在坐标原点O ,且经过点()0,2P x ,若点P 到该抛物线焦点的距离为4,则OP 等于（ ）A ．．4 D ．7. 已知球面上,,A B C 三点,O 是球心.如果AB BC AC ===，且球的体积为3，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．1B ．2D ．2 8.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若20sinB sinAcosC +=,则cosB 的最小值为（ ）A B 2 D ．39.记函数()sin x x g x e e x -=-+，若不等式()()2210g x a g x ++->，对[]1,1x ∀∈-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞ C. ()2,-+∞ D ．[)2,-+∞ 10.先将函数()si ()n 0f x x ωω=≥的图象向左平移2π个单位长度,再向上平移2个单位长度后得到函数()g x 的图象﹐若方程()()f x g x =有实根﹐则ω的值可以为（ ）A ．12B ．1 C. 2 D ．4 11. 众所周知的“太极图”,其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形224x y +=.其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆,给出以下命题:①在太极图中随机取一点,此点取自黑色阴影部分的概率是12②当32a =-时,直线2y ax a =+与白色部分有公共点﹔ ③黑色阴影部分(包括黑白交界处)中一点(),x y ,则x y +1④若点()0,1,P MN 为圆224x y +=过点P 的直径,线段AB 是圆224x y +=所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为12，其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①③ B ．③④ C. ①③④ D ．①②④12. 已知,,A B C 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的三个点,直线AB 经过原点,O AC 经过右焦点F ，若0BF AC ⋅=,且14AF AC =,则该双曲线的离心率为（ ） A ．52 B ．23第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题:（每题5分，共20分）13. 已知实数,x y 满足约束条件20201x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,则32z x y =+的最小值为 ．14. 随机变量ξ服从正态分布()21,N σ,已知()0.30P ξ<=，则()2P ξ<= ．15. 已知5233a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数之和为32,则展开式中的常数项为 ．16. 已知矩形ABCD 中,3,4AB BC ==，沿对角线AC 将三角形ABC 折起,使得点B 在平面ACD 上的射影在线段AD 上,此时cos BAD ∠的值是 ．三.解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.) (一)必考题:共60分.17. 已知数列{}n a 是一个等差数列,且3253,7a a a =+=,数列{}n b 是各项均为正数的等比数列,且满足：13511,2256b b b =⋅=()1求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;()2设数列{}n c 满足n n n c a b =,其前n 项和为n T .求证:2n T <18. 如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是直角梯形,,//,AB AD AB CD PC ⊥⊥平面,224,2,ABCD AB AD CD PC a E ====是PB 的中点.()1求证:平面EAC ⊥平面PBC()2若二面角P AC E --PA 与平面EAC 所成角的正弦值.19.在平面直角坐标系中,已知()11,0F -,直线:4l x =-,点P 为平面内的动点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为点M ,且()()11220PF PM PF PM -⋅+=,点P 的轨迹为曲线C()1求曲线C 的方程﹔()2设()21,0F ,过2F 且与x 轴不重合的直线n 与曲线C 相交于不同的两点,.A B 则1F AB ∆的内切圆的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值及此时直线n 的方程;若不存在,请说明理由. 20.已知函数()()()236ln f x x a x a x a R =+--∈()1求函数()y f x =的单调区间;()2当1a =时,证明:对任意的()20,352x x f x e x x >+>++21. 某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒,需要去某医院检验血液是否为阳性,现有*,(2)k k N k ∈≥份血液样本,假设在接受检验的血液样本中,每份样本是否为阳性是相互独立的,且据统计每份血液样本是阳性的概率为()01p p <<.下面有以下两种检验方案,方案一：逐份检验,则需要检验k 次;方案二:混合检验,将k 份血液样本分别取样混合在一起检验一次,若检验结果为阴性,则k 份血液样本均为阴性,若检验结果为阳性,为了确定k 份血液中的阳性血液样本,则对k 份血液样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是()0a a >元,若k 份血液样本采用混合检验方案,则需要额外收取54a 元的材料费 和服务费.()1若*,(2)k k N k ∈≥份血液样本采用混合检验方案,需要检验的总次数为X ,求X 的分布列及数学期望 ()2①若5,01k p =<<-,试说明该单位选择方案二的合理性﹔②若1p =,采用方案二总费用的数学期望低于方案一的，求k 的最大值. (参考数据:ln 20.7,ln31,1,ln 7 1.9,ln10 2.3,ln11 2.4≈≈≈≈≈)(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做﹐那么按所做的第一题计分.22.【选修4─4:坐标系与参数方程】若以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点,Ox 为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C 的极坐标方程是26cos sin θρθ=()1将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;()2若直线l的参数方程为3222t x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),3,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,当直线l 与曲线C 相交于,A B 两点,求2ABPA PB⋅23.【选修4—5:不等式选讲】 已知函数()2321f x x x =-++.()1解不等式:()6f x ≥()2设x R ∈时，()f x 的最小值为M .若正实数,,a b c 满足a b c M ++=,求ab bc ca ++的最大值.2020 年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（理）参考答案一、选择题1-6: DACADD 7-12：CCBCCD二、填空题13.4 14.0.7 15. 270 16.34三、解答题17. 解：(){}1n a 为等差数列，设公差为d1112347a d a d a d +=⎧∴⎨+++=⎩ 111a d =⎧∴⎨=⎩()11n a a n d n ∴=+-={}n b 为等比数列，0n b >设公比为q ，则0q >23541256b b b ∴⋅==334111162b b q q ∴=== 12q ∴=1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2由()1得12nn n n c a b n ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭23111123222n T ⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭···()111122n nn n -⎛⎫⎛⎫+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①23411111232222n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+···+()111122nn n n +⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②-①②得2311112222n T ⎛⎫⎛⎫∴=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (1)1122n n n +⎛⎫⎛⎫+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112211212nn n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⨯ ⎪⎝⎭-111122n n n +⎛⎫⎛⎫=--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111222n nn T n -⎛⎫⎛⎫∴=--⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2n T ∴<18.解：()1PC ⊥平面, ABCD AC ⊂,ABCDAC PC ∴⊥因为4,2AB AD CD ===所以AC BC ==所以222AC BC AB += 所以AC BC ⊥ 又BCPC C =所以AC ⊥平面PBC 因为AC ⊂平面EAC 所以平面EAC ⊥平面PBC()2如图以点C 为原点，,,DA CA CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则()()()0,0,0,2,2,0,2,2,0C A B -设()()0,0,20P a a >， 则()1,1,E a -()()()2,2,0,0,0,2,1,1,CA CP a CE a ===-，取()1,1,0m =-则0,m CA m CP m ⋅=⋅=为面PAC 法向量设(),,n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩取,,2x a y a z ==-=- 则(),,2n a a =-依题意2cos ,m n m n m na ⋅===⋅2a = 于是()()2,2,2,2,2,4n PA =--=- 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,PA n PA n PA nθ⋅===⋅ 即直线PA 与平面EAC 19.解：()1设动点(),P x y ，则()4,M y -由()11,0F -，则()11,PF x y =---，()4,0PM x =-- ()()11220PF PM PF PM -⋅+=2214PF PM ∴=()()2224144x y x ∴++=+化简得：22143x y += ∴所求曲线C 的方程为22143x y +=()2设()()1122,,,A x y B x y ，不妨令120,0y y ><设1F AB ∆的内切圆半径为R ，则1F AB ∆的周长为48a =()111142F AB S AB F B F A R R ∆=++= 由此可知，当1F AB ∆的面积最大时，1F AB ∆的内切圆面积最大 可设直线n 的方程为1x my =+联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩则1121212F ABS F F y y ∆=-=t = 则()2211m t t =-≥1212121313F AB t S t t t∆∴==++ 令()()131f t t t t=+≥则()21'3f t t =-当1t ≥时，()'0f t >恒成立 则()13f t t t=+在上单调递增()()14f t f ∴≥=即()f t 的最小值为413F AB S ∆∴≤，即当1t =时，1F AB S ∆的面积最大为3此时，1F AB ∆的内切圆的最大半径为所以，1F AB ∆的内切圆的面积取得最大值为2916S R ππ==故直线n 的方程为11,AB x F ∆=的内切圆的面积最大值为916π 20.()1 由题意知，函数()f x 的定义域为()0,+∞由已知得()()()()()26661'66x a x a x a x a f x x a x x x+---+=+--== 当0a ≤时，()'0f x >，函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 所以函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞ 当0a >时，由()'0f x >，得6ax >由()'0f x <，得06a x <<所以函数()f x 的单调递增区间为,6a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为0,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间()0,+∞当0a >时，函数 ()f x 的单调递增区间为,6a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为0,6a ⎛⎫⎪⎝⎭()2当1a =时，易知，要证明()2352x f x e x x +>++成立 只需证明：ln 20x e x -->即可令()ln 2x h x e x =--则()1'xh x e x =-，可知函数()h x 在()0,+∞单调递增 而()131'30,'1103h e h e ⎛⎫=-<=-= ⎪⎝⎭所以方程()'0h x =在()0,+∞上存在唯一实根0x 即001x e x = 当()00,x x ∈时，()'0h x <，函数()h x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()'0h x >，函数()h x 单调递增 所以()()000min ln 2xh x h x e x ==-- 由001x e x =可知00ln x x =- 所以()()00min 0120h x h x x x ==+-> 即ln 20x e x -->在()0,+∞上恒成立所以对任意()20,352x x f x e x x >+>++成立21. 解：()1X 所以对任意1和1k +()()()()11,111k kP X p P X k p ==-=+=-- 所以随机变量X 的分布列为：所以()()()()()1111111k k k E X p k p k k p ⎡⎤=⨯-++⨯--=+--⎣⎦()2①设方案一总费用为Z ，方案二总费用为Y ，则54Y aX a =+ 所以方案二总费用的数学期望为： ()()()551144k E Y aE X a a k k p a ⎡⎤=+=+--+⎣⎦ 又5k =所以()()()555296515144E Y a p a a p a ⎡⎤=--+=--+⎣⎦ 又方案一的总费用为5Z a =所以()()59514Z E Y a p ⎡⎤-=⋅--⎢⎥⎣⎦当01p <<()()55991111,0512044p p <-<<--< 又0a >所以()595104a p ⎡⎤⋅-->⎢⎥⎣⎦所以()Z E Y >所以该单位选择方案二合理②由①知方案二总费用的数学期望()()()551144k E Y aE X a a k k p a ⎡⎤=+=+--+⎣⎦ 当1p =- ()71591744k k E Y a k k k a a k ke -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-+=+- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎢⎥⎣⎦又方案一的总费用为 =Z ak令()E Y Z <得，794k a k ke ak -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭所以794k a k ke ak -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭即794kke -> 即79ln ln 4k ke -⎛⎫> ⎪⎝⎭所以9ln ln 074k k --> 设()[)9ln ln ,2,74x f x x x =--∈+∞ 所以()[)117',2,77x f x x x x-=-=∈+∞ 令()'0f x >，得()27,'0x f x ≤<<得7x >所以()f x 在区间[)2,7上单调递增，在区间()7,+∞上单调递减 ()()()max 7ln712ln3ln 20.10f x f ==---=>()()88883ln 22ln 3ln 25ln 22ln 3 1.30777f =---=--=-> ()()99992ln 32ln 3ln 22ln 22ln 2 1.40777f =---=--=-> ()()101010ln102ln 3ln 2 1.5077f =---=-> ()()111111ln112ln 3ln 2 1.6077f =---=-> ()()12121212ln122ln 3ln 24ln 2ln 3 1.70777f =---=--=-< 所以k 的最大值为1122.()26cos 1sin θρθ= 22sin 6cos ρθρθ∴=∴曲线C 的直角坐标系方程为26y x =()2直线l的参数方程为31222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 代入26y x =得24120t t --= 则1212124,12,8t t t t AB t t +==-=-== 因为3,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上 所以1212PA PB t t ⋅==26416123AB PA PB ∴==⋅ 23.()1当12x ≤-时，不等式化为23216x x -+--≥ 解得1x ≤-当时1322x -<<，不等式化为，23216x x -+--≥ 解得x ∈∅当32x ≥时，不等式化为23216x x +--≥ 解得2x ≥综上，不等式的解集为(][),12,-∞-+∞ ()2由()()232132124x x x x -++≥-++=所以()f x 的最小值4M =4a b c ∴++=因为222a b c ab bc ca ++≥++当且仅当a b c ==取等号所以()()2163163ab bc ca a b c ab bc ca ++≤++==>++≤当且仅当 a b c ==取等号 故ab bc ca ++的最大值为163。
河南省南阳市第一中学2020届高三第十五次考试理科综合试题
C．新型冠状病毒寄生在活细胞中，是比细胞还微小的生命结构层次 D．新型冠状病毒可利用宿主细胞提供的原料、场所、能量等通过分裂产生子代 病毒 3．遗传信息的传递过程如图所示，其中①～④表示四种不同的物质。下列叙述 错误的是( )
A. ①复制时，两条链均作为模板链 B. 形成②时，需沿整条 DNA 长链进行 C. 密码子 CUU 编码③所携带的氨基酸 D. ②上可同时结合多个核糖体形成多 条一样的④ 4．下列关于实验的分析，错误的是( ) A.观察有丝分裂实验时，观察到的细胞大部分处在分裂间期 B.探究生长素促进扦插枝条生根实验，预实验的数据可以为进一步实验摸索条 件 C.用标志重捕法调查动物种群密度时，标记物易脱落会导致种群密度估算值偏 大 D.探究细胞体积与物质运输效率实验，不同体积的琼脂块中 NaOH 的扩散效率相 同 5．某同学欲测定植物叶片叶绿体的光合作用速率，做如图所示实验。在叶柄基 部作环剥处理(仅限制叶片有机物的输入和输出)，于不同时间分别在同一叶片 上陆续取下面积为 1 cm2 的叶圆片烘干后称其重量，测得叶片的光合作用速率 ＝(7y－6z－x)/6 g·cm－2·h－1(不考虑取叶圆片后对叶生理活动的影响和温度 微小变化对叶生理活动的影响)。则 M 处的实验条件是( )
南阳一中 4 月 3 日高三周考
理科综合
（考试时间：150 分钟 试卷满分：300 分） 注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考 生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试 卷上无效。
2020届河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(理科)含答案
河南省南阳市2020届高三（上）期末试卷数学（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，B={x|x≥0}，则A∩B=（）A. {x|0＜x≤3}B. {x|0≤x≤3}C. {x|1＜x≤3}D. {x|1＜x＜3}2.设复数z=（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A. B. C. D.3.在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为（）A. B. C. D.4.已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则下列选项正确的是（）A. 函数f（x）的图象关于点（，0）对称B. 函数f（x）的图象关于点（-，0）对称C. 函数f（x）的图象关于直线x=对称D. 函数f（x）的图象关于直线x=-对称5.甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，δ12），N（μ2，δ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A. 甲类水果的平均质量μ1=0.4kgB. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数δ2=1.996.函数f（x）=|x-1|+e|ln x|的大致图象为（）A. B.C. D.7.已知，x=log a（2a），y=log a+1a，（2a），则（）A. x＜y＜zB. y＜x＜zC. x＜z＜yD. z＜y＜x8.在如图算法框图中，若a=6，程序运行的结果S为二项式（2+x）5的展开式中x3的系数的3倍，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是（）A. k＜3B. k＞3C. k＜4D. k＞49.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7＜S10＜S8，设b n=a n a n+1a n+2，则数列{b n}的前n项和T n取最大值时n的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 910.十八世纪，函数y=[x]（[x]表示不超过x的最大整数）被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数”，根据上述定义，则方程2019x2-[x]-2020=0的所有实数根的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 311.某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. 23πB.C. 64πD.12.已知函数f（x）=1+x-，若函数f（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b-a的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若，则实数λ的值为______．14.学校准备将5名同学全部分配到运动会的田径、拔河和球类3个不同项目比赛做志愿者，每个项目至少1名，则不同的分配方案有______种（用数字作答）．15.已知双曲线的左右两个焦点分别为F1，F2，A，B为其左、右两个顶点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且∠AMB=30°，则该双曲线的离心率为______．16.已知函数f（x）=（x2-ax）e x-ax+a2（e为自然对数的底数，a∈R，a为常数）有三个不同的零点，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=c（sin B+cos B）．（1）求∠ACB的大小；（2）若∠ABC=∠ACB，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．19.设直线l与抛物线x2=2y交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点，设直线OA，OB，OC，OD（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若OA⊥OB．（1）证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（2）是否存在常数λ，满足k1+k2=λ（k3+k4）？并说明理由．20.已知函数f（x）=．（1）若函数y=f（x）-k有2个零点，求实数k的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）=m-有两个不等实根x1，x2，证明：①x1+x2＞2；②+＞2．21.一种掷硬币走跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次．若硬币的正面向上，棋子向前跳一站；若硬币的反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败）或者第100站（获胜）时，游戏结束．（1）求P1，P2，P3；（2）求证：数列{P n+1-P n}（n=1，2，3，…，98）为等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，且曲线C1与C2恰有一个公共点．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）已知曲C1上两点，A，B满足，求△AOB面积的最大值．23.若关于x的不等式|x-1|-|x+4|≥|t+1|有解，记实数t的最大值为T．（1）求T的值；（2）若正数a，b，c满足a+2b+c=T，求的最小值．答案1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】C9.【答案】D10.【答案】C11.【答案】D12.【答案】A13.【答案】14.【答案】15015.【答案】16.【答案】17.【答案】解：（1）在△ABC中，∵a=c（sin B+cos B），∴sin A=sin C（sin B+cos B），…（1分）∴sin（π-B-C）=sin C（sin B+cos B），∴sin（B+C）=sin C（sin B+cos B），…（2分）∴sin B cos C+cos B sin C=sin B sin C+sin C cos B，…（3分）∴cos C sin B=sin B sin C，又∵B∈（0，π），故sin B≠0，…（4分）∴cos C=sin C，即tan C=1．…（5分）又∵C∈（0，π），∴C=．…（6分）（2）在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22-2×1×2×cos D=5-4cos D．…（7分）又∠ABC=∠ACB，由（1）可知∠ACB=，∴△ABC为等腰直角三角形，…（8分）∴S△ABC=×BC××BC=BC2=-cos D，…（9分）又∵S△BDC=×BD×DC×sin D=sin D，…（10分）∴S四边形ABDC=-cos D+sin D=+sin（D-）．…（11分）∴当D=时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为+．…（12分）（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cos C sin B=sin B sin C，【解析】结合sin C≠0，可求tan ACB=1，结合范围∠ACB∈（0，π），即可求得∠ACB的值．（2）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22-2×1×2×cos D=5-4cos D，由已知及（1）可知∠ACB=，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求S四边形，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识的应用，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．18.【答案】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A-xyz，设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，-b，0）∴=（2，0，-2），=（，b，），=（，-b，）∴•=-=0，•=0∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E∴PC⊥平面BED（II）=（0，0，2），=（，-b，0）设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则取=（b，，0）设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则取=（1，-，）∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b-=0．故b=∴=（1，-1，），=（-，-，2）∴cos＜，＞==设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0，]，则sinθ=∴θ=30°∴PD与平面PBC所成角的大小为30°【解析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题19.【答案】解：（1）证明：由题知，直线的斜率存在且不过原点，故设y=kx+b（b≠0），A（x，y），B（x'，y'），联立直线l与抛物线的方程整理得：x2-2kx-2b=0，∴x+x'=2k，xx'=-2b，∴yy'==b2，∵OA⊥OB．∴=0，∴b2-2b=0，解得b=2，所以直线l的方程为：y=kx+2故直线恒过定点（0，2）．（2）由（1）知x+x'=2k．xx'=-4∴k1+k2===2k+=k；设C（m，n），D（a，t），联立直线与椭圆的方程整理得：（1+2k2）x2+8kx+4=0，∴m+a=，ma=，∴k3+k4===2k+=-2k，∴k1+k2=（k3+k4），即存在常数λ=满足条件．【解析】（1）设直线l的方程与抛物线联立求出两根之和两根之积，由OA⊥OB，求出过定点，（2）由（1）得与抛物线联立的方程，求出两根之和两根之积，进而求出k1+k2，同理联立与椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，求出k3+k4，从而得出存在常数满足条件．考查直线与抛物线及椭圆的综合应用，属于中档题．20.【答案】解：（1）由题知，y=f（x）与y=k有两个交点，，由f′（x）＞0得0＜x＜e；由f′（x）＜0得x＞e，∴f（x）在（0，e）上单增，在（e，+∞）上单减，又，且当x＞e时，f（x）＞0，故；（2）证明：①方程可化为，令，所以g（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，又，不妨设x1＜x2．则，要证明x1+x2＞2，只需证x2＞2-x1，∵x2，2-x1∈（1，+∞）且g（x）在（1，+∞）上单减，所以证g（x1）=g（x2）＜g（2-x1），令，则=，当时，ln x＜0，ln[1-（x-1）2]＜0，∴h′（x）＞0，即h（x）在单增，又h（1）=0，∴g（x）＜g（2-x）对恒成立，即g（x1）=g（x2）＜g（2-x1）成立，即x1+x2＞2成立；②由①得，即，命题得证．【解析】（1）依题意，y=f（x）与y=k有两个交点，求出函数的单调性及图象走势情况即可得解；（2）①问题转化为证明x2＞2-x1，即证g（x1）=g（x2）＜g（2-x1），构造函数即可得证；②利用①的结论容易得证．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查极值点偏移问题，考查逻辑推理能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）棋子开始在第1站是必然事件，P1=1；棋子跳到第2站，只有一种情况，第一次掷硬币正面向上，其概率为，∴P2=；棋子跳到第3站，有两种情况，①第一次掷硬币反面向上，其概率为；②前两次掷硬币都是正面向上，其概率为=，∴P3==；（2）证明：棋子跳到第n+2 站（1≤n≤97），有两种情况：①棋子先跳到第站，又掷硬币反面向上，其概率为P n；②棋子先跳到第n+1站，又掷硬币正面向上，其概率为P n+1．故P n+2=P n+1+P n；∴P n+2=-（P n+1-P n）；又P2-P1=-，数列是以-为首项，-为公比的等比数列，（3）由（2）得P n+1-P n=（-）n；∴P99=（P99-P98）+…+（P2-P1）+P1=（-）98+（-）97+…+（-）+1==+，所以获胜的概率为1-P99=-．【解析】（1）棋子在0站是一个必然事件，得到发生的概率等于1，掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站，根据正方体各个面出现的概率得到结果．（2）由题意知连续三项之间的关系，根据得到的关系式，仿写一个关系式，两个式子相减，构造一个新数列是连续两项之比是一个常数，得到等比数列．（3）写出所有的式子，把所有的式子相加，利用累加的方法消去中间项得到首项和末项之间的关系，得到玩该游戏获胜的概率．本题考查概率的实际应用，是一个中档题目，题目涉及到概率的计算，本题解题的关键是看出题目中要利用累加的方法．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，可得C2的直角坐标方程为：x+-6=0，即曲线C2为直线．曲线C1是圆心为（2，0），半径为|r|的圆．因为圆C1与直线C2恰有一个公共点，可得|r|==2，圆C1的普通方程为x2+y2-4x=0，所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由题意可设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），S△AOB=|OA||OB|sin=ρ1ρ2=4cosθcos（θ+）=4（cos2θ-sinθcosθ）=4（-）=2+2cos（2θ+），所以△AOB面积的最大值为2+2．【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．（Ⅰ）消参可得C2的直角坐标方程，利用直线与圆的位置关系可得C1的直角坐标方程，即可得极坐标方程．（Ⅱ）根据极径的几何意义和三角形面积公式可得面积，再根据三角函数的性质可得最大值．23.【答案】解：（1）∵|x-1|-|x+4|≤|（x-1）-（x+4）|=5，∴（|x-1|-|x+4|）max=5．∵不等式|x-1|-|x+4|≥|t+1|有解，∴|t+1|≤（|x-1|-|x+4|）max=5，∴-6≤x≤4，∴实数t的最大值T=4．（2）由（1）知a+2b+c=T=4，∴（a+b）+（b+c）=4，∴==≥，当且仅当，时取等号，∴的最小值为．【解析】（1）先求出|x-1|-|x+4|的最大值，再根据|x-1|-|x+4|≥|t+1|有解，得到|t+1|≤（|x-1|-|x+4|）max，然后解关于t的不等式即可得到解集；（2）由（1）可得a+2b+c=T=4，再由=利用基本不等式求出最小值即可．本题考查了绝对值三角不等式，不等式有解问题和利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属中档题．11/ 11。
精品解析：【全国百强校】河南省南阳市第一中学2019届高三第十五次考试数学(理)试题(解析版)
南阳一中2019年春期高三第15次考试数学试题（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先化简集合，，利用交集定义能求出详解：则故选点睛：本题主要考查了集合的交集及其运算，利用指数、对数求出不等式解集得到集合，继而求出交集。
2.设是虚数单位），则复数在平面内对应（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】试题分析：，对应点在第四象限，选D.考点：复数几何意义【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为，共轭为3.下列命题是假命题．．．的是（）A. 已知随机变量，若，则；B. 在三角形中，是的充要条件；C. 向量，，则在的方向上的投影为2；D. 命题“或为真命题”是命题“为真命题且为假命题”的必要不充分条件。
【答案】B【解析】【分析】根据正态分布的特征可判断A；根据正弦定理和三角形的性质可判断B；根据向量投影的定义可判断C；根据必要不充分条件的概念，可判断D.【详解】对于A，根据正态分布的对称性可得：若，则，故A正确；对于B，三角形中，大角对大边，大边对大角；所以若则，由正弦定理得；反之，也成立，故B正确；对于C，因为，，所以在的方向上的投影为，故C错误；对于D，若“或为真命题”，则，至少一个为真，不能推出“为真命题且为假命题”；反之，若“为真命题且为假命题”则“或为真命题”，能推出，故D正确；故选C【点睛】本题主要考查命题真假的判断，熟记相关知识点，逐项判断即可，属于基础题型.4.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A. 的图象关于直线对称B. 的最小正周期为C. 的图象关于点对称D. 在单调递增【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的平移变化规律，求解f（x）的解析式，结合三角函数的性质判断各选项即可．【详解】函数y=sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得：y=sinx，即f（x）=sinx．根据正弦函数的图象及性质：可知：对称轴x=，∴A不对．周期T=2π，∴B不对．对称中心坐标为：（kπ，0），∴C不对．单调递增区间为[]，k∈Z，∴f（x）在单调递增．故选：D．【点睛】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，平移变化的规律和性质的应用．属于基础题．5.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（两）.问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】执行程序框图，；；；，结束循环，输出的分别为，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则该数列的前项和取最小值时，则的值为（）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B【解析】以为变量，得，，则，所以最小，故,故选B.7.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性排除B，利用极值点及单调性排除A、C，即可得结论.【详解】∵，∴函数为偶函数，排除B，又x>0时，y=2xlnx，y′=2(1+lnx)=0时，x=，即函数在（0，）单减，在（）单增，排除A、C，故选D.【点睛】本题考查了函数图象的判断，考查了利用导数研究函数的极值、单调性及函数性质的应用，属于中档题．8.实数，满足时，目标函数的最大值等于5，则实数的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】知故所求目标区域为如图，目标函数由时，将向上平移得到最优点为B或C，若B为最优点，则目标函数为，因为将向上平移最优点应该为C，这将产生矛盾，若C为最优点，代入符合题意，选B.9.已知，则（）A. 9B. 36C. 84D. 243【答案】B【解析】【分析】等价变形为，然后利用二项式定理将其拆开，求出含有的项，便可得到。
2020届河南省南阳市一中高三上学期开学考试数学(理)试卷及答案
2020届河南省南阳市一中高三上学期开学考试数学（理）试卷—、选择题（每题5分，共60分）1.在一组样本数据(n n x x x n yn x y x y x ,...,,),2)(,(),...,,(),,(212211≥不全相等)的散点图中，若所有样本点),...,2,1(),,(11n i y x =都在直线151+-=x y 上，则这组样本数据的样本相关系数为A. -1B. 1C. 51-D. 51 2.用反证法证明“0>2,x R x ∈∀”时，应假设A. 02,00≤∈∃x R xB. 0<2,00x R x ∈∃C. 02,≤∈∀x R xD. 0>2,00x R x ∈∃3. 从集合{e d c b a ,,,,}的所有子集中，任取一个，这个集合恰是集合{c b a ,,}子集的概率 A. 53 B. 52 C. 41 D. 81 4.我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦。
若c b a ,,为直角三角形的三边.其中c 为斜边，则222c b a =+，称这个定理为勾股定理.现将 这一定理推广到立体几何中：在四面体0-ABC 中，090=∠=∠=∠AOC BOC AOB .S 为顶点0所对面的面积，321,,S S S 分别为侧面OBC OAC OAB ∆∆∆,,的面积，则下列选项中对于321,,S S S 满足的关系描述正确的为A. 321S S S S ++=B. 2322212111S S S S ++= C. 2222321S S S S ++= D. 321111S S S S ++=5.在一次共有10000名考生的某市高二的联考中，这些学生的数学成绩ξ服从正态分布),100(2σN ，且4.0)100<80(=≤ξP ，若按成绩分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，应从120分以上的试卷中抽取A.20 份B.15份C.10份D.5 份6.—袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记F 颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则)12(=X P 等于 A. 21010)85()83(12C B. 299)85()83(12C C. 229)83()85(11C D. 2109)85()83(11C 7.我国南末数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第n 行的所令数字之和为12-n ,若去除所有为1的项，依次构成数列2, 3，3, 4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前56项和为A. 2060B. 2038C. 4084D. 4108 8.若函数x a x x f 2sin )(+=在]4,0[π上单调递增，则a 的取值范围是 A. ]0,21[- B. ],1[+∞- C. ],21[+∞- D. ]21,[--∞ 9.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调査，其中被调查的女生人数是男生人数的21 ,男生喜欢抖音的人数占男生人数的61，女生喜欢抖音的人数占女生人数32，若存95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有A.12B.6C.10D.1810.现有5种不同的颜色，给四棱锥P-ABCD 的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，一共有（ ）种方法.。
【数学】河南省南阳市第一中学2018届高三第十五次考试数学(理)试题含解析
南阳一中2018届高三第十五次考试理数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：求解集合，再利用集合的并集运算，即可得到结果.详解：由题意得，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2. 设复数满足，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据复数的四则运算，化简复数得，再利用模的公式即可求解.详解：由题意，则，故选A.点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数模的计算，其中利用复数的四则运算化简复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3. 甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：使用捆绑法分别计算甲乙相邻和甲同学与乙、丙相邻的排队顺序个数，利用古典概型的概率公式，即可得出概率.详解：甲乙相邻的排队顺序共有种，其中甲乙相邻，甲丙相邻的排队顺序共有种，所以甲乙相邻的条件下，甲丙相邻的概率为，故选D.点睛：本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型的概率计算，其中正确理解题意，求解甲乙相邻及甲乙相邻且甲丙相邻的排列顺序的种数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.4. 已知直线，圆，那么圆上到的距离为的点一共有（）个.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】由圆，可得圆心，半径，又圆心到直线的距离，如图所示，由图象可知，点到直线的距离都为，所以圆上到的距离为的点一共个，故选C.5. 设是公差不为 0 的等差数列的前项和，，且成等比数列，则（）A. 15B. 19C. 21D. 30【答案】B【解析】分析：由，结合等差数列的求和公式可求得，再由，结合等差数列的求和公式，可求得数列的公差，即可求解的值.详解：设等差数列的公差为，因为，得，解得或，又因为构成等比数列，所以，搜易，若，则，此时（不符合题意，舍去），当时，可得，解得，所以，故选B.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的个数（）①若则∥；②若∥，，则；③若∥，则∥；④若，则.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：根据直线与平面的位置关系的判定和性质，即可判定命题的真假.详解：对于①中，若，则或，所以不正确；对于②中，若，则，又由，所以是正确；对于③中，若，则或与相交，所以不正确；对于④中，若，则，又由，所以是正确的，综上正确命题的个数为2个，故选B.点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定定理和性质定理及几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．7. 已知函数的图像与轴交点的横坐标分别为，且，则的取值范围是（）A. （-2，-1）B. （-4，-2）C. （-4，-1）D. （-2,1）【答案】D【解析】分析：由函数的图像与轴交点的横坐标分别为，且，得到约束条件则，设目标函数，利用线性规划的知识即可求解.详解：由函数的图像与轴交点的横坐标分别为，且，则，设，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由图象可知，当经过点时，目标函数取得最大值，当经过点时，目标函数取得最小值，又由，解得，此时，由，解得，此时，所以的取值范围是，故选D.点睛：本题考查了二次函数的性质，以及线性规划的应用，其中对于线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.8. 我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0,1）内的任何一个实数）.若输出的结果为521，则由此可估计的近似值为（）A. 3.119B. 3.126C. 3.132D. 3.151【答案】B【解析】发生的概率为，当输出结果为时，，发生的概率为，所以，即故选B.9. 在正方体中，分别为棱的中点，用过点的平面截正方体，则位于截面以下．．．．部分的几何体的侧（左）视图为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中点连，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．延长，交的延长线与点，连，交于，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．同理，延长，交的延长线于，连，交于点，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．所以过点，，的平面截正方体所得的截面为图中的六边形．故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C所示．选C ．10. 设分别为双曲线的左、右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：用双曲线的一条渐近线与过焦点的直线联立方程组，求得点的坐标，利用，得到点的坐标，将点坐标代入双曲线的方程，即可的双曲线的离心率.详解：由双曲线的方程，可得其渐近线的方程为与直线，联立方程组，可得的坐标为，又由，且，可得点的坐标为，将点坐标代入双曲线的方程，可得，整理得，所以离心率为，故选A.点睛：本题主要考查了双曲线的离心率的曲解，以及双曲线的渐近线方程的运用，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．11. 已知，若的整数部分分别为，则的最大值为（）A. 4B. 22C. 21D. 16【答案】C【解析】分析：由题意知，则，而的整数部分为，得到，分类讨论，即可求解实数的值.详解：由题意知，则，而的整数部分为，所以，即，当时，由，得，所以，当时，由，得，所以，故的最大值为；当时，无解，综上的最大值为，故选C.点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质，其中解答中得到的整数部分为，得到，分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.12. 已知函数，若，则上具有单调性，那么的取值共有（）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个【答案】D【解析】分析：由，得到，因为在上具有单调性，得到，则，即可得到的个数.详解：因为，所以，所以，因为在上具有单调性，所以，所以，所以，所以，因此，所以的取值共有个，故选D.点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，熟记三角函数的图象与性质及整体代换的方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量满足，与的夹角为60°，则__________．【答案】【解析】分析：由，得，代入，可得，即可求解.详解：由，可得，即，代入，可得，整理得，解得.点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算与应用，熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14. 若的展开式中的系数为80，其中为正整数，则的展开式中各项系数之和为__________．【答案】【解析】分析：由题意的展开式中的系数为，求解，令，即可求解结论. 详解：由的展开式中的系数即为的展开式中的系数，故，解得，则的展开式中各项系数之和，即为.点睛：本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．15. 已知数列的前项和为，，若数列是公差为2的等差数列，则数列的通项公式为__________．【答案】【解析】分析：由，求得数列是公差的等差数列，再求得，即可利用等差数列的通项公式，即可求解.详解：由可知，当时，，当时，，符合上式，所以对任意的均有，则，因而数列是公差的等差数列，，，则，得，所以数列的通项公式为.点睛：本题考查了等差数列的前项公式以及等差数列的通项公式的应用，在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现有时经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.16. 某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1要用煤9吨，电力4，工时3个；制造乙产品1要用煤4吨，电力5，工时10个．又知制成甲产品1可获得7万元，制成乙产品1可获利12万元．现在此工厂有煤360吨，电力200kW·h，工时300个，在这种条件下获得最大经济效益为__________万元．【答案】428【解析】设工厂应生产A产品，B产品，利润万元，则由题意得，且利润函数为，作出不等式组表示的平面区域如图所示;由,变为，可知直线l经过M点时，z取得最大值由，可得∴即工厂生产甲产品，乙产品时，获得经济效益最大，为428万元。
河南省南阳市第一中学2020届高三第十五次考试数学(理)试题
南阳市一中2020年春期高三第十五次考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U ＝R ，{|,A x y =={}|2,x B y y x R ==∈，则()R C A B ⋂=（）A ．{}|0x x <B ．{}|01x x <≤C ．{}|12x x ≤＜D ．{}|2x x >2．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径20mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A ．230mm πB ．236310mm πC ．23635mm πD ．220mm π3．已知复数531iz i+=-，则下列说法正确的是（）A．z 的虚部为4i B．z 的共轭复数为14i -C．5z =D．z 在复平面内对应的点在第二象限4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若423S S =，且2615a a +=，则4a =()A ．8B ．6C ．4D ．25．已知函数x y a =，b y x =，log c y x =的图象如图所示，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b>>D ．c b a>>6．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x -=，且在[]3,2--上是减函数，锐角,αβ是钝角三角形的两个内角，则下列不等式关系中正确的是（）A ．()()sin cos f f αβ>B ．()()cos cos f f αβ<C ．()()cos cos f f αβ>D ．()()sin cos f f αβ<7．从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为（）A ．52B ．62C ．9D ．108．如图给出了计算601614121++++ 的值的程序框图，其中①②分别是()A．2,30+=<n n i B．2,30+=>n n i C．1,30+=<n n i D．1,30+=>n n i 9.将函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标缩短一半，再向右平移6π个单位长度，所得图象对应的函数,下列命题不正确的有几个（）①在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减③有一条对称轴为6x π=，❹有一个对称中心为,04π⎛⎫⎪⎝⎭A.3B.2C.1D.410．已知抛物线2: 2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4，圆22():21M x y -+=，过F 的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于A ，P ，Q ，B 四点，则4AP BQ +的最小值为（）A ．9B ．11C ．13D ．1511．已知存在正实数x ，y 满足2222()(ln ln )0ax x y y x +--=，则实数a 的取值范围是（）A ．(]–,0∞B ．[]0,1C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞12．将给定的一个数列{}n a ：1a ，2a ，3a ，…按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将1a 作为第一组，将2a ，3a 作为第二组，将4a ，5a ，6a 作为第三组，…，依次类推，第n 组有n 个元素（*n N ∈），即可得到以组为单位的序列：1()a ，23()a a ,，456(,,)a a a ，…，我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个数列称为第3群，…，第n 个括号称为第n 群，从而数列{}n a 称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第m 个群众，且从第m 个括号的左端起是第k 个，则称这个元素为第m 群众的第k 个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，…，将数列分群，其中，第1群为（1），第2群为（1,3），第3群为（1,3，23），…，以此类推.设该数列前n 项和12n N a a a =+++ ，若使得14900N >成立的最小n a 位于第m 个群，则m =（）A ．11B ．10C ．9D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省南阳市2020届高三第一学期期末考试试题理数学【含解析】
河南省南阳市2020届高三第一学期期末考试试题理数学【含解析】一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|160A x x =-≤，{}lg 20B x x =-，则A B =（ ）A. [)(]4,13,4-⋃B. [)(]4,31,4--⋃-C. ()()4,13,4-D. ()()4,31,4--⋃-【答案】A 【解析】求解二次不等式可得：{}|44A x x =-≤≤， 求解对数不等式可得：{}31B x x x =<或， 结合交集的定义有：[)(]4,13,4A B ⋂=-⋃. 本题选择A 选项.2.复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z 满足122z z ⋅=-，则2||z =（ ）2 B. 210D. 10【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得z 1＝﹣1﹣i ，则11z i =-+，代入1z •z 2＝﹣2，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z 2，则答案可求．【详解】解：由已知可得z 1＝﹣1﹣i ， 则11z i =-+， 又1z •z 2＝﹣2， ∴()2121i z i ----===+，∴|z 2|2=．故选A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A. 35B. 36C. 45D. 54【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .【详解】正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，2552150a a ∴--=，解得55a =或53a =-（舍），()91959995452S a a a ∴=+==⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.4.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A. 134B. 67C. 182D. 108【答案】B 【解析】根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为13,22，则小正方形的边长为312-，小正方形的面积23131222S⎛⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为31325001500(10.866)5000.13450067112-⎛⎫⨯=-⨯≈-⨯=⨯=⎪⎪⨯⎝⎭，故选：B.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.5.在ABC∆中，H 为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若AM AB ACλμ=+，则λμ+等于（）A.12B.23C.16D.13【答案】A【解析】【分析】根据题意，用,AB AC表示出,AH BH与AM，求出,λμ的值即可.【详解】解：根据题意，设BH xBC=，则11111()()()22222AM AH AB BH AB xBC AB x AC AB==+=+=+-11(1)22x AB xAC=-+，又AM AB ACλμ=+，11(1),22x xλμ∴=-=，111λμ故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题. 6.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A. 5?i >B. 5?i <C. 4?i >D. 4?i <【答案】D 【解析】 【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项．【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，； 第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，； 第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ．【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到7.将函数sin(3)y x ϕ=+的图象向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则6π=ϕ”是()f x 是偶函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必婴不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条仲 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的平移关系式，求解函数的解析式，利用充要条件判断求解即可． 【详解】把函数()sin 3y x ϕ=+的图像向左平移9π个单位长度后，得到的图象的解析式是33y sin x πϕ=++（） ，该函数是偶函数的充要条件是 32k k Z ππϕπ+=+∈，，所以则“6πϕ=”是“()f x 是偶函数”的充分不必要条件．故选A ．【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及充分必要条件，属中等题．8.已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A. 2()(2)3-∞+∞，，B. 2(2)3， C. 22()33-，D. 22()()33-∞-+∞，， 【答案】D 【解析】 【分析】先由(2)f x +是偶函数，得到()f x 关于直线2x =对称；进而得出()f x 单调性，再分别讨论232x -≥和232x -<，即可求出结果.【详解】因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称； 因此，由(0)0f =得(4)0f =；又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；解得23x <-； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23x >； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞，，. 【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型. 9.函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，则1()ln 1f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞.1()1g x x'=-，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单增，当(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单减，则()(1)0g x g ≥=.则()f x 在(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()0f x >.选B. 【点睛】本题考查了函数图像判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进10.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A. 48 B. 72 C. 90 D. 96【答案】D 【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．11.已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. (2,)+∞ B. 3,2)C. 2,3)D. 2)【答案】A 【解析】双曲线22x a﹣22y b =1的渐近线方程为y=b a ±x ，不妨设过点F 2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba（x ﹣c ）， 与y=﹣b a x 联立，可得交点M （2c ，﹣2bc a）， ∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF 2|，即有24c +2224b c a＞c 2， ∴22b a＞3，即b 2＞3a 2， ∴c 2﹣a 2＞3a 2，即c ＞2a ． 则e=ca＞2． ∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12.已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭B. 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可 【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-，当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；当0x ≤时，()232f x x x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增； 根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x x x =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x x y mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13.在32nx x ⎫⎪⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.【答案】112 【解析】 【分析】由题意可得8n =，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值． 【详解】32()nx x的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，8n ∴=，通项公式为4843318(2)(2)n r r r rrr r nTC xC x--+=-=-，令8403r-=，求得2r ，可得二项展开式常数项等于284112C ⨯=， 故答案为112．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14799a a a ++=，25893a a a ++=.若对任意n *∈N 都有n k S S ≤，成立，则k 的值为__________. 【答案】20 【解析】 【分析】设出等差数列的公差为d ，由14799a a a ++=，25893a a a ++=，利用等差数列的性质求出4a 和5a 的值，两者相减即可得到d 的值，根据4a 和公差d 写出等差数列的通项公式n a ，令n a 大于0列出关于n 的不等式，求出解集中的n 的最大正整数解即为满足题意k 的值. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 由14799a a a ++=，得4399a =，即433a =. 由25893a a a ++=，得5393a =，即531a =. 所以42,(4)241n d a a n d n =-=+-=-+. 由0n a >，得20.5n <，所以n S 的最大值为20S ，所以20k =， 故答案为：20.【点睛】本题考查学生灵活运用等差数列的性质及等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题. 15.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 且斜率为13的直线与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则cos AOB ∠=__________.【答案】313- 【解析】 【分析】求得抛物线的焦点，设出直线AB 的方程，以及,A B 的坐标，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示和夹角公式，计算可得所求值. 【详解】解：抛物线()220y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 设1:32p AB y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立22y px =，可得224760x px p -+=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则2212121219,,4p x x p x x y y p +===-，则2121234OA OB x x y y p ⋅=+=-， ()()()()()()2222221212121342438444p p x x x x p p x x p p p ⎛⎫=+++=++= ⎪⎝⎭， 则22334cos 1313||||4pOA OB AOB OA OB p -⋅∠===-⋅， 故答案为：313-.【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题. 16.若函数f （x ）=﹣56x ﹣112cos2x+m （sinx ﹣cosx ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则m 的取值范围是____________． 【答案】[22【解析】 【分析】先求导得f ′（x ）=﹣56+16sin2x +m （sin x +cos x ），令sin x +cos x =t ，（22t -≤sin2x =t 2﹣1那么y =216t + m t -1，h （t ）=216t + m t -1≤0在t∈[2-2]恒成立．可得(2)0(2)0h h ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解不等式得解.【详解】函数f （x ）=﹣56x ﹣112cos2x +m （sin x ﹣cos x ）,则f ′（x ）=﹣56+16sin2x +m （sin x +cos x ），令sin x +cos x =t ，（22t -≤≤sin2x =t 2﹣1那么y =216t + m t -1，因为f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则h （t ）=216t + m t -1≤0在t∈[2-，2]恒成立．可得(2)02)0h h ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即1210312103⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩解得：22m ≤≤，故答案为[23-，23]． 【点睛】本题考查了利用导函数研究单调性，求解参数范围问题．属于中档题. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图，在ABC 中，已知点D 在边BC 上，且DAC 90∠=，22sin BAC 3∠=，AB 32=，AD 3=．()1求BD 长； ()2求cosC【答案】（13（26. 【解析】 【分析】()1由已知利用诱导公式可求cos BAD ∠的值，利用余弦定理即可计算BD 的长．()2由()1可求cos BAD ∠的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin BAD ∠，由正弦定理可求sin ADB ∠的值，根据诱导公式可求cosC 的值．【详解】（1）由题意，因为DAC 90∠=，πsin BAC sin BAD cos BAD 2∠∠∠⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，22cos BAD 3∠∴=，在ABD 中，由余弦定理得，222BD AB AD 2AB AD cos BAD ∠=+-⋅⋅， 即22BD 189232333=+-⨯⨯=，得BD 3.= ()2由2cos BAD 3∠=，得1sin BAD 3∠=， 在ABD 中，由正弦定理，得：BD ABsin BAD sin ADB∠∠=．132AB sin BAD63sin ADB BD33∠∠⋅∴===，πADB DAC C C 2∠∠=+=+，6cosC 3∴= 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，又{}n b 单调递增的等比数列， 123512b b b =，11a b + 33a b =+.(Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅱ)若()()21n n n n b c b b =-- ，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求证：213n T ≤<.【答案】（1）63n a n =-+，12n n b +=；（2）详见解析.【解析】【详解】（1）当1n =时，13n a S ==-，当2n ≥时，2213[3(1)]63n n n a S S n n n -=-=----=-+， 当1n =时，也满足63n a n =-+，∴63n a n =-+，∵等比数列{}n b ，∴2132b b b =， ∴3123225128b b b b b ==⇒=，又∵1133a b a b +=+，∴831582q q q -+=-+⇒=或12q =-（舍去）， ∴2122n n n b b q -+==；（2）由（1）可得：111112211(22)(21)(21)(21)2121n n n n n n n n n c +++++===-------，∴123n n T c c c c =++++2231111111()()()212121212121n n +=-+-++------- 111121n +=-<-，显然数列{}n T 是递增数列，∴123n T T ≥=，即213n T ≤<.）19.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点(2,1).（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M ，N 两点，点D 在C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判断四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1) 22142x y += (2)见解析【解析】 【分析】（1）根据离心率和椭圆经过的点的坐标，建立方程组求解椭圆的方程；（2）写出四边形的面积表达式，结合表达式的特征进行判断.【详解】解：（1）因为椭圆C 的离心率22e =，所以2222a b a -=，即222a b =. 因为点)2,1在椭圆C 上，所以22211a b +=. 由22222211a b a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 解得2242a b ⎧=⎨=⎩.所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN 6. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是y kx m =+，联立方程组22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222124240k x kmx m +++-=，()228420k m∆=+->，122412km x x k -+=+，21222412m x x k -=+，()121222212m y y k x x m k+=++=+. 22222242112k m MN k k+-=++， 点O 到直线MN 的距离是21m d k=+由OM ON OD +=，得2412D km x k -=+，2212Dmy k =+. 因为点D 在曲线C 上，所以有2222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=.由题意，四边形OMDN 为平行四边形，所以四边形OMDN 的面积为2222222421121OMDNm k m S MN d k k k +-==+++222242m k m +-=.由22122k m +=，得6OMDN S ∆=，故四边形OMDN 的面积是定值，其定值为6.【点睛】本题主要考查椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系，椭圆方程求解一般是采用待定系数法；直线和椭圆的关系问题一般是求出目标表达式，根据表达式的特征选择合适的方法. 20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？ （3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001） 附：①2204.75s =204.7514.31=；②2(,)zN μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.【答案】（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 【解析】 【分析】（1）根据平均数公式计算x ；（2）根据正态分布的对称性计算P （z ≥84.81），再估计人数； （3）根据二项分布的概率公式计算P （ξ≤3）． 【详解】（1）由题意知： 中间值 45 55 65 75 85 95 概率 0.10.150.20.30.150.1∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯ 850.15950.170.5+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分. （2）依题意z 服从正态分布()2,N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.682684.810.15872P z -≥==.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而()4,0.8413B ξ~，∴()()44431410.8413P P C ξξ≤=-==-⋅ 10.5010.499=-=. 【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1. 21.已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，()ln g x b x x =-的最大值为1e． ()1求实数b 的值；()2当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；()3当0a =时，令()()()22ln 2F x f x g x x =+++，是否存在区间[],(1m n ⊆，)+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域为()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦？若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 0b =;(2) 2a =时，()f x 在()0,+∞单调增；12a <<时, ()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增；2a >时,同理()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增；（3）不存在. 【解析】分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当1x e=时， ()g x 取得极大值，也是最大值， 由111g b e e e⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得结果；（2）求出()'f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（3）假设存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦，则()()()()2222{22F m m mlnm k m F n n nlnn k n =-+=+=-+=+，问题转化为关于x 的方程()2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果.详解：(1) 由题意得()'ln 1g x x =--， 令()'0g x =，解得1x e=， 当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'>0g x ，函数()g x 单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'<0g x ，函数()g x 单调递减. 所以当1x e=时， ()g x 取得极大值，也是最大值， 所以111g b e e e⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得0b =. （2）()f x 的定义域为()0,+∞.()()()21111x x a a x ax a f x x a x x x-+---+-=-+==' ①11a -=即2a =,则()()21x f x x='-，故()f x 在()0,+∞单调增②若11a -<,而1a >,故12a <<,则当()1,1x a ∈-时，()0f x '<; 当()0,1x a ∈-及()1,x ∈+∞时，()0f x '>故()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增．③若11a ->,即2a >,同理()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增 （3）由（1）知()2ln 2F x x x x =-+，所以()'2ln +1F x x x =-，令()()'2ln +1x F x x x ω==-，则()1'20x xω=->对()1,x ∀∈+∞恒成立，所以()'F x 在区间()1,+∞内单调递增， 所以()()''110F x F >=>恒成立，所以函数()F x 在区间()1,+∞内单调递增.假设存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦，则()()()()2222{22F m m mlnm k m F n n nlnn k n =-+=+=-+=+，问题转化为关于x 的方程()2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，即方程2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，令()2ln 22x x x h x x -+=+， ()1,x ∈+∞，则()()22342ln '2x x x h x x +--=+， 设()2342ln p x x x x =+--， ()1,x ∈+∞，则()()()2122'230x x p x x x x-+=+-=>对()1,x ∀∈+∞恒成立，所以函数()p x 在区间()1,+∞内单调递增，故()()10p x p >=恒成立，所以()'0h x >，所以函数()h x 在区间()1,+∞内单调递增，所以方程2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内不存在两个不相等的实根. 综上所述，不存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦. 点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题.求函数极值、最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 333πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2 【解析】 【分析】（1）首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ．【详解】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ= 所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设()11,ρθP ，则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫⎪⎝⎭； 设()22Q ,ρθ，则由2sin 333{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫⎪⎝⎭； 所以Q 2P =【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.23.已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8；(2)若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0，求证：f (ab )＞|a |·f b a ⎛⎫⎪⎝⎭.【答案】（1）{x |x ≥3或x ≤－5}．（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分段讨论当x＜－3时，当－3≤x≤1时，当x＞1时，求解不等式即可；（2）利用分析法，要证f(ab)＞|a|fba⎛⎫⎪⎝⎭，只需证|ab－1|＞|b－a|，再两边平方证明即可.【详解】解：（1）依题意，原不等式等价于|x－1|＋|x＋3|≥8.当x＜－3时，则－2x－2≥8，解得x≤－5.当－3≤x≤1时，则4≥8不成立，不等式解集为∅.当x＞1时，则2x＋2≥8，解得x≥3.所以不等式f(x)＋f(x＋4)≥8的解集为{x|x≥3或x≤－5}．（2）证明：要证f(ab)＞|a|fba⎛⎫ ⎪⎝⎭，只需证|ab－1|＞|b－a|，只需证(ab－1)2＞(b－a)2.∵|a|＜1，|b|＜1，知a2＜1，b2＜1，∴(ab－1)2－(b－a)2＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)＞0.故(ab－1)2＞(b－a)2成立．从而原不等式成立．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，重点考查了利用分析法证明不等式，属中档题.。
河南省南阳市第一中学校2020届高三数学上学期10月月考试题理(含解析)
河南省南阳市第一中学校2020届高三数学上学期10月月考试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1.复数1ii+的虚部是（ ） A. i - B. 1-C. 1D. i【答案】B 【解析】 试题分析：，虚部为-1.考点：复数的概念和运算.2.已知R 是实数集，22{|1},{|1}=<==-M x N y y x x，则()R C M N =I （） A. ()1,2- B. []1,2-C.(0)2， D. []0,2【答案】D 【解析】 【分析】由分式不等式解法和二次函数值域可求得集合M 和集合N ，根据补集和交集的定义可求得结果. 【详解】由21x<得：0x <或2x >，即()(),02,M =-∞+∞U []0,2R C M ∴= 21y x =-Q 的值域为[)1,-+∞，即[)1,N =-+∞ ()[]0,2R C M N ∴=I本题正确选项：D【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集混合运算，属于基础题.3.已知向量()1,2a =r ，()1,0b =r ，()3,4c =r，若λ为实数，()//a b c λ+r r r ，则λ=（）A. 2B. 1C.12D. 2-【答案】C【解析】 【分析】根据向量坐标运算可求得()1,2a b λλ+=+r r；由向量共线坐标表示可构造方程求得结果. 【详解】()()()1,2,01,2a b λλλ+=+=+r r()//a b c λ+r r r Q ()4123λ∴+=⨯，解得：12λ=本题正确选项：C【点睛】本题考查根据向量共线求解参数值的问题，关键是能够熟练掌握向量的坐标运算.4.已知α∈（-4π，0）且sin2α=-2425，则sinα+cosα=（ ） A.15 B. -15C. -75D. 75【答案】A 【解析】24sin 22sin cos 25ααα==-,又α∈（-4π，0），所以sin 0,cos 0αα<>，且sin cos 0αα+>，222241sin cos 2sin cos (sin cos )12525αααααα++=+=-=，所以 1sin cos 5αα+=，选A.5.在ΔABC 中，a x =，2,45b B ==︒，若ΔABC 有两解，则x 的取值范围是（ ）A. (2,B. (0,2)C. (2,)+∞D. 2)【答案】A 【解析】【详解】因为ΔABC 有两解，所以2sin 45bb a a <<∴<<︒A ．6.直线12y =与曲线2sin cos 22⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ππ在y 轴右侧的交点自左向右依次记为M 1，M 2，M 3，…，则113||M M u u u u u u u r等于（）A. 6πB. 7πC. 12πD. 13π【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式可将函数化为sin 2y x =，结合正弦函数图象可得12y =与函数sin 2y x =在y 轴右侧的交点坐标，求得113,M M 坐标后，根据向量模长的求解方法可求得结果.【详解】2sin cos 2cos sin sin 222y x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,122M π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，13731,122M π⎛⎫⎪⎝⎭()1136,0M M π∴=u u u u u u u r 1136M M π∴=u u u u u u u r本题正确选项：A【点睛】本题考查直线与正弦型函数交点的问题，关键是能够将函数化为正弦型函数，结合正弦函数的图象求解交点坐标.7.已知函数()3sin()6f x x πω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是 （ ）A. 3[,3]2-B. [3,3]-C. 1[2-D. [0,2【答案】A 【解析】考点：由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域． 专题：计算题．解答：解：函数f(x)=3sin(ωx -π6)（ω＞0）和g （x ）=3cos （2x+φ）的图象的对称中心完全相同，所以ω=2，f(x)=3sin(2x-π6)，因为x∈[0，π2]所以2x-π6∈ [-π6，5π6]，所以3sin(2x-π6)∈[-32，3]；故选A点评：本题是基础题，考查三角函数的基本知识，基本性质的应用，周期的应用，考查计算能力．8.在 ABC V 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，已知()()32sin B A sin B A sin A -++=，且c =3C π=，则 ABC V 的面积是 ()n nA.4B.6C.3D.4或6【答案】D 【解析】分析：由题意得3sinBcosA sinAcosA =，分0cosA =和0cosA ≠两种情况求解，然后结合三角形面积公式可得结果．详解：∵()()32sin B A sin B A sin A -++=， ∴3sinBcosA sinAcosA =．①当0cosA =时，ABC V 为直角三角形，且2A π=．∵c =3C π=，∴33b tanπ==．∴1122ABC S bc ===n ②当0cosA ≠时，则有3sinB sinA =， 由正弦定理得3b a =．由余弦定理得2222c a b abcosC =+-， 即()()22173232a a a a =+-⋅⋅， 解得1a =．∴1133132234ABC S absinC sin n π==⨯⨯⨯=． 综上可得ABC V 的面积是334 或 736． 故选D ．点睛：在判断三角形的形状时，对于形如3sinBcosA sinAcosA =的式子，当需要在等式的两边约去cosA 时，必须要考虑cosA 是否为0，否则会丢掉一种情况． 9.若是的重心，a ，b ，c 分别是角的对边，若3G G GC 0a b c A +B +=u u u r u u u r u u ur r ，则角（ ）A. 90oB. 60oC. 45oD. 30o【答案】D 【解析】 试题分析：由于是的重心，，，代入得，整理得，，因此，故答案为D.考点：1、平面向量基本定理；2、余弦定理的应用.10.在平面直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-u u u r u u u r ，且O A u u u v 与OB uuur 在直线l 上的射影长度相等，直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率为 （ ）A.43B.52C.25D.34【答案】C 【解析】【详解】设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方向向量为(1,)m k =r ，由且O A u u u v 与OB uuu r在直线l 上的射影长度相等，得OA m OB m m m⋅⋅=u u u v u u u v r rr r，即143k k +=-+，解之得25k =或43k =-（舍），故选C ．考点：向量投影定义及运算．11.定义域为R 的函数()f x 满足()()24+=f x f x ，当[)0,2x ∈时，2,[0,1)()1),[1,2)x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨+∈⎪⎩,若)2[0∈-，x 时,对任意的 )2[1∈，t 都有2()168t a f x t ≥-成立，则实数a 的取值范围是（）A. (]2-∞，B. [)2+∞，C. (]6-∞，D. [)6+∞，【答案】D 【解析】 【分析】由()()24+=f x f x 可求解出[)2,1x ∈--和[)1,0-时，()f x 的解析式，从而得到()f x 在[)2,0-上的最小值，从而将不等式转化为2116816t a t -≤-对[)1,2t ∈恒成立，利用分离变量法可将问题转化为322a t t ≥+，利用导数可求得32t t +在[)1,2上的最大值，从而得到212a ≥，进而求得结果.【详解】当[)2,1x ∈--时，[)20,1x +∈()()()()()2211122232444f x f x x x x x ⎡⎤∴=+=+-+=++⎣⎦[)2,1x ∴∈--时，()min 31216f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当[)1,0x ∈-时，[)21,2x +∈ ()()()112344f x f x x ∴=+=+[)1,0x ∴∈-时，()()min 112f x f =-= [)2,0x ∴∈-时，()min116f x =-，即2116816t a t -≤-对[)1,2t ∈恒成立即：322a t t ≥+对[)1,2t ∈恒成立令()32g t t t =+，[)1,2t ∈，则()232g t t t '=+当[)1,2t ∈时，()0g t '>，则()g t 在[)1,2上单调递增 ()()212g t g ∴<=212a ∴≥，解得：[)6,a ∈+∞本题正确选项：D【点睛】本题考查恒成立问题的求解，涉及到利用函数性质求解出未知区间内函数的解析式，关键是能够将问题转化为所求变量与函数最值之间的大小关系的比较问题.12.已知函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ，且230a b c ++=，(0)(1)0,f f >设12,x x 是方程()0f x =的两根，则12x x -的取值范围是（ ）A. 2[0,)3B. 4[0,)9C. 12(,)33D. 14(,)99【答案】A 【解析】 试题分析：因为2()32f x ax bx c=++，所以(0)(1)(32)(22)0,01c f f c a b c c a c a=++=-><<，又12312[0,).33333a c c x x a a a a --====-∈考点：二次方程根与系数关系二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.下列四个命题：①函数()cos sin f x x x =的最大值为1；②“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题；③若ABC ∆为锐角三角形，则有sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++； ④“0a ≤”是“函数()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增”的充分必要条件．其中所有正确命题的序号为____________． 【答案】③④ 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数，可得()1sin 22f x x =，根据正弦型函数值域可知①错误；确定原命题的逆命题后，通过20m =可知逆命题为假，②错误；利用诱导公式和角的范围可证得结论，③正确；分类讨论去掉函数中的绝对值符号，根据二次函数的性质可确定函数的单调性，从而得到满足题意的范围，进而说明充要条件成立，④正确. 【详解】①()1cos sin sin 22f x x x x ==()max 12f x ∴=，①错误 ②“若22am bm <，则a b <”的逆命题为：“若a b <，则22am bm <” 若20m =，可知22am bm =，则其逆命题为假命题，②错误 ③ABC∆Q 锐角三角形 0,2A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2A B π+>2A B π∴>-且0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ sin sin cos 2A B B π⎛⎫∴>-= ⎪⎝⎭同理可得：sin cos B C >，sin cos C A >sin sin sin cos cos cos A B C A B C ∴++>++，③正确④令20x ax -=，解得：10x =，2x a =当0a ≤时，20x ax ->对()0,x ∈+∞恒成立 ()2f x x ax ∴=-()f x Q 对称轴为02ax =≤ ()f x ∴在()0,∞+上单调递增，充分条件成立 当0a >时，()22,0,ax x x a f x x ax x a⎧-<<=⎨-≥⎩，此时()f x 在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，不满足题意∴“0a ≤”是“()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增”的充分必要条件，④正确本题正确结果：③④【点睛】本题考查正假命题的判定，涉及到函数最值的求解、逆命题真假性的判断、诱导公式的应用、函数单调性的应用、充要条件的判定等知识，属于中档题.14.若点(sin ,cos )P αα在直线2y x =-上，则tan()4πα+=___________．【答案】13【解析】 【分析】根据点在直线上可代入求得tan α，利用两角和差正切公式可求得结果.【详解】()sin ,cos P ααQ 在直线2y x =-上 cos 2sin αα∴=- 1tan 2α∴=-1tan tan1142tan 1431tan tan 142παπαπα+-+⎛⎫∴+=== ⎪⎝⎭-+本题正确结果：13【点睛】本题考查两角和差正切公式的应用，属于基础题.15.已知向量,a b rr 满足20a b =≠r r ，且函数在()()321132f x x a x a b x =++⋅r r r 在R 上有极值，则向量,a b rr 的夹角的取值范围是_______________．【答案】,3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据函数有极值可知导函数有变号零点，由()f x '为二次函数可知>0∆，从而得到214a b a ⋅<r r r ，根据向量夹角公式可求得cos ,a b <>rr 的范围，根据向量夹角的范围和余弦函数图象可确定夹角的取值范围.【详解】由题意得：()()2f x x a x a b '=++⋅r r r ()f x Q 在R 上有极值 ()240aa b ∴∆=-⋅>r r r ，即214a b a⋅<r r r22114cos ,11222aa b a b a b a b a a a ⋅⋅∴<>==<=⋅⋅r r r r r r r r r r r r[],0,a b π<>∈r r Q ,,3a b ππ⎛⎤∴<>∈ ⎥⎝⎦r r本题正确结果：,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查向量夹角取值范围的求解，涉及到导数与极值之间的关系、向量夹角公式的应用等知识；关键是能够根据函数有极值确定导函数有变号零点，从而利用二次函数的性质得到向量数量积和模长之间的关系.16.设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)ππ-U 上，其导函数为()f x '，且()02f π=，当0πx <<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<,则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为 ．【答案】(,0)(,)66πππ-U 【解析】【详解】设()()sin f x g x x =，∴2()sin ()cos ()sin f x x f x xg x x'='-，∵()f x 是定义在(,0)(0,)ππ-U 上的奇函数，∴()()()()sin()sin f x f x g x g x x x--===-，∴()g x 是定义在(,0)(0,)ππ-U 上的偶函数， ∵当0πx <<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<，∴()0g x '<，∴()g x 在(0,)π上单调递减，()g x 在(,0)π-上单调递增，∵()02f π=，∴()2()02sin 2f g πππ==， ∵()2()sin 6f x f x π<，∴()()6g x g π<，(0,)x π∈，或，(,0)x π∈-，∴6x ππ<<或06x π-<<.∴关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为(,0)(,)66πππ-U . 考点：利用导数研究函数的单调性.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知函数2()1xe f x ax =+（Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。
河南省南阳市第一中学2020届高三上学期开学考试数学(理)试题 含答案
南阳一中2019年秋期高三开学考试理数试题1-12. AACC ADCC ACCD13. 14. 15. 30 16. 32 17.（I）所有不同的排法种数.（II）由（I）知，，的展开式的通项公式为，令，解得，展开式中的常数项为.18.（1）由，解得，由，解得，∴.（2）当时，函数在上单调递增.∵，∴，即.于是.要使，则满足，解得.∴.当时，函数在上单调递减.∵，∴，即.于是要使，则满足，解得与矛盾.∴.综上，实数的取值范围为.19.（1）记一名顾客摸球中奖元为事件从袋中摸出两只球共有：种取法；摸出的两只球均是红球共有：种取法（2）记一名顾客摸球中奖元为事件，不中奖为事件则：，由题意可知，所有可能的取值为：，，，，则；；；；随机变量的分布列为：20.详解：由，得，，，.要使得对都能被36整除，最小的正整数的值为9，由此猜想最小的正整数的值为9，即.下面用数学归纳法证明：（1）当时，显然成立.（2）假设时，能被36整除，即能被36整除.当时，，由于是2的倍数，故能被36整除.这就是说，当时，也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数都有能被36整除，的最小值为9.21.（1）由，当a=0时，则f（x）在（0，+∞）上递减，当a＞0时，令f'（x）＝0得或（负根舍去），令f'（x）＞0得；令f'（x）＜0得，所以f（x）在上递增，在上递减．综上：a=0时，f（x）在（0，+∞）上递减，a＞0时，f（x）在上递增，在上递减（2）由（1）当a＝0时，f（x）＝﹣≤0，符合题意，当a＞0时，，因为a＞0，所以，令,则函数单调递增，又，故得综上，a的取值范围为．22.【解析】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为，一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为，所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为.（2）设每篇学位论文的评审费为元，则的可能取值为900，1500.，，所以.令,.当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减,所以的最大值为.所以实施此方案，最高费用为（万元）.综上，若以此方案实施，不会超过预算.。
2020届河南省南阳市高三数学上学期期末考试数学试题理含解析
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
〖答 案〗A
〖解 析〗
求解二次不等式可得： ，
求解对数不等式可得： ，
结合交集的定义有： .
〖详 解〗 正项等差数列 的前 项和 ，
，
，
解得 或 （舍），
，故选C.
〖点 睛〗本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质 （ ）与前 项和的关系.
4.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为 ，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取 ），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A.134B.
根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.
〖详 解〗解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为 ，
则小正方形的边长为 ，小正方形的面积 ，
则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为
，
故选：B.
〖点 睛〗本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.
该函数是偶函数的充要条件是
所以则“ ”是“ 是偶函数”的充分不必要条件．
故选A．
〖点 睛〗本题考查三角函数的图象变换以及充分必要条件，属中等题．
8.已知 是偶函数， 在 上单调递减， ，则 的解集是
A. B.
C. D.
〖答 案〗D