高三数学第一次月考试卷
高三第一次月考(数学)试卷含答案
高三第一次月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．若{}{}2|22,|log (1)M x x N x y x =-≤≤==-，则M N =（ ）A.{}|20x x -≤<B. ﹛x| -1<x<0﹜C.{}2,0-D.{}21|≤<x x 2.（5分）2.复数imi212+-=A+B i (m 、A 、B ∈R)，且A+B=0，则m 的值是 （ ） A. 32- B. 32 C.2 D.23.（5分）3．下列命题中，真命题是 ( )A ．,00≤∈∃x e R x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 4.（5分）4.函数212log 4f xx 的单调递增区间是（ ）A.（0，+∞）B. （-∞，0）C. （2，+∞）D. （-∞，-2）5.（5分）5.函数f(x)=-1x+log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)6.（5分）6.如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),那么( )A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1) 7.（5分）7．函数()3cos 2xxf x x⋅=的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8.（5分）8．曲线y ＝e x ＋1在x ＝1处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.12e B ．e 2 C ．2e 2D ．94e 2 9.（5分）9.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，2()f x x =.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 （ ） A ．0 B ．0或－14 C ．－14或－12 D.0或－1210.（5分）10.若函数x x f xx2sin 3)(1212++=+-在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n],则m+n 等于( )A.0B.2C.4D.611.（5分）11.已知函数f(x)在R 上满足f(x)=2f(2-x)-x 2+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是 （ ）A.y=-2x+3B.y=xC. y=2x-1D.y=3x-212.（5分）12．设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为（ ）A ．3B ．7C ．5D ．6二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．函数24ln(1)x y x -=+的定义域为_______________14.（5分）14.函数y ＝log a (2x －3)＋8的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数f(x)的图象上，则f （3）＝________.15.（5分）15.若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为________16.（5分）16.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意x ∈R 总有)('x f <3，则不等式 f (x)<3x －15的解集为________．三、 解答题 （本题共计7小题，总分80分） 17.（12分）17．（本大题满分12分）设p ：函数y ＝log a (x ＋1)(a ＞0且a≠1)在(0，＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点.如果p∧q 为假，p∨q 为真，求实数a 的取值范围.18.（12分）18．（本大题满分12分）已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值；(2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．19.（12分）19.（本大题满分12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据： 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y7580777081(1)已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列.20.（12分）20. （本大题满分12分）设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-．（1）求a ，b ，c 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值．21.（12分）21. （本大题满分12分）已知函数f(x)＝ax －ln x ，a ∈R.(1)求函数f(x)的单调区间； (2)当x ∈(0，e]时，求g (x )＝e 2x －ln x 的最小值； (3)当x ∈(0，e]时，证明：e 2x －ln x －x x ln >52.22.（10分）22.（本大题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 213235 (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ． (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|·|MB|的值．23.（10分）23. （本大题满分10分） 选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a |≥1(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围答案一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5分）D2.（5分）A3.（5分）D4.（5分）D5.（5分）B6.（5分）A7.（5分）D8.（5分）A9.（5分）B10.（5分）D11.（5分）C12.（5分）B二、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13.（-1,0）∪（0,2］14.（5分） 14. 2715.（5分） 15.［-3，1］16.（5分） 16.（4，+∞）三、解答题（本题共计7小题，总分80分）17.（12分）17.1/2≤a＜1或a＞5/218.（12分）18.（1）f(x)最大值为5，最小值为1；（2）m的取值范围为（-∞，2]∪[6，+∞)19.（12分）19.（1）35件；（2）35×2/5=14件；（3）由题意，ξ的取值有0,1,2，P(ξ=0)=3/10,P(ξ=1)=3/5,P(ξ=2)=1/10,分布列为(2)f(x)的最大值为18，最小值为-8221.（12分）21.（1）综上，a≤0时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞），无单调增区间；a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0,1/a），单调增区间是（1/a，+∞）;(2)g（x）最小值为3;(3)略22.（10分）22.（1）x2+y2=2x;(2)｜MA｜·｜MB｜=1823.（10分）23.(1)(-∞,1/2]∪[5/2.+∞); (2)[4,+∞)。
高三第一次月考试卷数学
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(1)$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 若$a > 0$，$b > 0$，则下列不等式中恒成立的是（）A. $a^2 + b^2 \geq 2ab$B. $a^3 + b^3 \geq 2ab(a + b)$C. $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$D. $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5 = 50$，$S_8 = 80$，则$a_6 + a_7$的值为（）A. 15B. 20C. 25D. 304. 函数$y = \log_2(x + 1)$的图像与直线$y = x - 1$的交点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 35. 在直角坐标系中，点$A(1, 2)$关于直线$x + y = 1$的对称点$B$的坐标是（）A. $(-2, -1)$B. $(-1, -2)$C. $(2, -1)$D. $(1, -2)$6. 已知复数$z = 3 + 4i$，则$|z|$的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 127. 若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，且$a_1 + a_2 + a_3 = 21$，$a_2 \cdot a_3 = 27$，则$q$的值为（）A. 3B. $\frac{3}{2}$C. $\frac{2}{3}$D. 18. 在$\triangle ABC$中，$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则$\sin A$的值为（）A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{3}$D.$\frac{5}{4}$9. 已知函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$，则$f(x)$的对称轴方程是（）A. $x = 1$B. $x = -1$C. $y = 1$D. $y = -1$10. 若平面直角坐标系中，点$P(2, 3)$在直线$l$上，且直线$l$的方程为$y = kx + b$，则$k$的值为（）A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
2024-2025学年邵阳市二中高三数学上学期第一次月考试卷附答案解析
2024-2025学年邵阳市二中高三数学上学期第一次月考试卷时间：120分钟满分：150分2024.08一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若非空集合A ,B 满足A B ⊂，U 为全集，则下列集合中表示空集的是（）A.A B ⋂；B.A B ；C.A B ⋂；D.A B ．2.sin40°(tan10°－3)＝A.－12B.－1C.2D.－33.已知函数112y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是[]2,4，则函数()()()ln 2f x g x x =-的定义域为（）A.()2,3 B.(]2,3 C.()(]2,33,6 D.()(]2,33,4 4.下列求导数计算错误．．的是（）A.211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭B.222e e x x x x x'⎛⎫-= ⎪⎝⎭C.()ln 1ln x x x'=+ D.()21tan cos x x'=5.苏格兰数学家纳皮尔（J .Napier ，1550-1617）发明的对数及对数表（如下表），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N 可以表示成10(110,Z)n N a a n =⨯≤<∈，则(lg lg 0l 1)g N n a a =+≤<，这样我们可以知道N 的位数.已知正整数31M 是35位数，则M 的值为（）N23451112131415lg N0.300.480.600.701.041.081.111.151.18A.3B.12C.13D.146.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（）附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有1122m L m L =，其中1m 、2m 分别为左、右盘中物体质量，1L 、2L 分别为左右横梁臂长．A.等于10gB.小于10gC.大于10gD.不确定7.如图，在ABC V 中，已知2,5,60,,AB AC BAC BC AC ==∠=︒边上的两条中线,AM BM 相交于点P ，求MPN ∠的余弦值．（）A.69191B.49191C.59191D.791918.已知直线y kx b =+是曲线2(1)y x a =-+的切线，也是曲线ln 1y a x =-的切线，则k 的最大值是（）A.2e B.4eC.2eD.4e二､多选题（本题共三小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数()3113f x x x -=-，则（）A.()f x 有一个零点B.()f x 的极小值为53-C.()f x 的对称中心为()0,1 D.直线=1y x --是曲线()y f x =的切线10.设点D 是ABC V 所在平面内一点，O 是平面上一个定点，则下列说法正确的有（）A.若2133AD AB AC =+，则D 是BC 边上靠近B 的三等分点B.若cos cos AB AC AD AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，（R λ∈且0λ≠），则直线AD 经过ABC V 的垂心C.若AD xAB yAC =+ ，且x ，R y ∈，12x y +=，则BCD △是ABC V 面积的一半D.若平面内一动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，（R λ∈且0λ≠），则动点P 的轨迹一定通过ABC V 的外心11.设函数()()sin 0g x x ωω=>向左平移5πω个单位长度得到函数()f x ，已知()f x 在[]0,2π上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（）A.()f x 的图象关于直线2x π=对称B.在()0,2π上，方程()1f x =的根有3个，方程()1f x =-的根有2个C.()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC b =，()BC a b a =≥，AB c =，图中两个阴影三角形的周长分别为1l ，2l ，则12l l a b++的最小值为________.13.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离()cm d 表示成()s t 的函数，则d =______其中[]0,60t ∈.14.如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 点在正方形内（含边界），且AP AB →→=．①若BP AB →→=，则AP BP →→⋅的值是_______；②若向量AC DE AP λμ→→→=+，则λμ+的最小值为________．四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为s s ，且(12sin sin cos )sin cos B A C b a C B -=．（1）求ba的值；（2）若6a =，点D 是线段BC 上的一点，CAD BAD ∠=∠，DA DC =，求cos C 的值．16.如图所示，正方形11AA D D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22AB AD ==，点E 为AB 的中点.（1）求证：1//BD 平面1A DE ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使二面角1D MC D --的平面角的大小为π4？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.17.已知函数()()e 1ln xf x a x x x=--+，其导函数为()f x '.（1）若()f x 在()1,+∞不是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）若()0f x ≥在()1,+∞恒成立，求实数a 的最小整数值.()2e 7.39≈18.已知函数() 2.f x x x a =-+（1）当2a =时，求()f x 的单调增区间；（2）若12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->，求实数a 的取值范围．19.如果数列{}n a 满足：1230n a a a a +++=⋅⋅⋅+且()12313N ,n a a a a n n *+++⋅⋅⋅+=≥∈，则称{}n a 为n 阶“归化”数列.（1）若某3阶“归化”数列{}n a 是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；（2）若某11阶“归化”数列{}n a 是等差数列，求该数列的通项公式；（3）若{}n a 为n 阶“归化”数列，求证12311111.2322n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≤-【答案解析】1.D【分析】根据venn 图，对各个选项逐一分析，即可求得正确答案.【详解】根据venn可以看出对A ，A B A ⋂=≠∅；对B ，A B B ⋂=≠∅；对C ，A B ⋂≠∅；对D ，A B ⋂=∅.故选：D 2.B【分析】利用三角函数的切化弦及化一公式、诱导公式化简即可求解．【详解】解：sin 40(tan10︒︒-sin10sin 40(cos10︒=︒-︒sin10sin 40·cos10︒︒=︒︒132sin 40(sin10cos10)22cos10︒︒-︒=︒2sin 40sin(1060)cos10︒︒-︒=︒2sin 40sin 50cos10-︒︒=︒sin 40cos 402cos10-︒︒=⨯︒sin801cos10︒=-=-︒故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的切化弦及化一公式、诱导公式的综合应用．3.A【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.【详解】因为函数112y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是[]2,4，所以24x ≤≤，所以12132x ≤+≤，所以函数()f x 的定义域为[]2,3，所以要使函数()()()ln 2f x g x x =-有意义，则有232021x x x ≤≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解得23x <<，所以函数()()()ln 2f x g x x =-的定义域为()2,3.故选：A.4.B【分析】利用导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算即可．【详解】解：A ．1211()()x x x-''==-，正确，不符合题意；B ．22222e e 2(e (e )e x x x x xx x x x x --'==，错误，符合题意；C ．(ln )ln (ln )ln 1x x x x x x x '''=⋅+⋅=+，正确，不符合题意；D ．22222sin (sin )cos sin (cos )cos sin 1(tan )()cos cos cos cos x x x x x x x x x x x x''-⋅+''====，正确，不符合题意．故选：B ．5.C【分析】根据所给条件列出不等式，结合对数的运算即可求解.【详解】由题意可知3431351010M ≤<,两边同时取对数可得3431lg 35M ≤<，所以3435lg 3131M ≤<，故3435lg 3131M ≤<，则1.09lg 1.13M ≤<，由表中数据可知13M =,故选：C 6.C【分析】设天平左臂长1x ，右臂长2x ，且12x x ≠，根据已知条件求出1a 、2a 的表达式，利用基本不等式比较12a a +与10的大小关系，即可得出结论.【详解】设天平左臂长1x ，右臂长2x ，且12x x ≠，设天平右盘有1a 克黄金，天平左盘有2a 克黄金，所以11221255x a x a x x =⎧⎨=⎩，所以1125x a x =，2215x a x =，则1212215510x x a a x x +=+>．故选：C ．7.B【分析】先求三角形中线AM ，BN 的长度，根据三角形重心的性质求得PA ，PB ，在PAB 中，利用余弦定理求APB ∠的余弦，即为所求结果.【详解】因为25cos 605AB AC ⋅=⨯⨯︒=，24AB = ，225AC = .因为()12AM AB AC =+ ⇒AM =2==12BN AC AB =-⇒BN =212==.由P 为ABC V 的重心，所以23933PA AM ==，22133PB AN ==.在PAB 中，由余弦定理，得：222cos cos 2PA PB ABMPN APB PA PB+-∠=∠=⋅392149933+-=49191=.故选：B【点睛】关键点点睛：熟悉三角形重心得性质是解决问题得关键.8.B【分析】设切点分别为211(,(1))x x a -+和22(,ln 1)x a x -，则()()12f x g x k ''==，根据题意转化为211n02l a x x a +=有解，设()2112ln h a a a x x +=，求得()11ln ln(2)h a a x '=+-，得出函数的单调性和极小值12(e x h ，结合12()0exh ≤，即可求解.【详解】因为y kx b =+是()2(1)f x x a =-+和()ln 1g x a x =-的公切线，设切点分别为211(,(1))x x a -+和22(,ln 1)x a x -，则()()12f x g x k ''==，由()2(1)f x x a =-+，可得()2f x x '=，则()112k f x x '==又由()ln 1g x a x =-，可得()a g x x'=，且0x >，则()22a k g x x '==，所以2211221ln 2a x x a a x k x x x -+===-，可得211111ln222aa x a x x k ax x -+==-，即211n02l ax x a +=，显然1,a x 同号，不妨设10,0a x >>，设()2112lnh a a ax x +=，（其中10,0a x >>），可得()11ln ln(2)h a a x '=+-，令()0h a '=，可得12ex a =，当12(0,e x x ∈时，()0h a '<，()h a 单调递减；当12(,)exx ∈+∞时，()0h a '>，()h a 单调递增，要使得()0h a =有解，则需要12(0e x h ≤，即211111222e (ln 0e e 2x x x x x h =+≤即21120e x x -+≤，解得12e x ≤，所以142e k x =≤，即k 的最大值为4e.故选：B.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．9.ABD【分析】对于A ，由函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，再结合零点存在性定理分析判断，对于B ，由选项A 的得到函数的单调区间分析判断，对于C ，令()313h x x x =-，可判断()h x 的图象关于原点对称，从而可判断出()f x 的对称中心，对于D ，利用导数的几何意义分析判断即可.【详解】对于A ，由()3113f x x x -=-，得()()()2111f x x x x =-=+-'，令()0f x '<，得11x -<<；令()0f x '>，得1x <-或1x >，则函数()f x 在()1,1-上单调递减，在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，且()()()1510,10,35033f f f -=-<=-<=>，所以当1x ≤时，()()10f x f ≤-<，当1x >时，()f x 存在唯一零点，故函数()f x 在R 上只有一个零点，故A 正确；对于B ，由选项A 可知，函数()f x 的极小值为()513f =-，故B 正确；对于C ，令()313h x x x =-，定义域为R ，则()()313h x x x h x -=-+=-，所以函数()h x 为奇函数，对称中心为()0,0，将函数()h x 图象向下平移1个长度单位，得函数()f x 的图象，所以()f x 的对称中心为()0,1-，故C 错误；对于D ，由选项A 知，()21f x x '=-，令()10f x x =-⇒='，又()01f =-，所以切线方程为()10y x +=--，即=1y x --，所以直线=1y x --是曲线()y f x =在点()0,1-处的切线，故D 正确，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查利用导数解决函数零点问题，考查导数解决函数极问题，考查导数的几何意义，解题的关键是对函数求导，然后由导数的正负求出函数的单调区间，再分析判断，考查计算能力，属于较难题.10.ABC【分析】对于A ，化简等式成13BD BC = ，即可判断；对于B ，将等式两边与BC作点乘，化简得出结果为0即可判断；对于C ，利用平面向量基本定理推出三点共线，结合图形和共线向量即得结论；对于D ，化简向量等式，利用单位向量作出00AB DC 即得菱形，推得AP AD λ=，即得结论.【详解】对于A ，由2133AD AB AC =+ 可得，)13311(3AD AB AB AC AC AB =--=-+，即得13BD BC =，故点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，故A 正确；对于B ，因()cos cos AB AC AD AB B AC C λ=+，则()()cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC AD BC BC AB B AC C AB B AC C λλ⋅⋅⋅=+⋅=+cos cos ()()0cos cos AB BC B AC BC C BC BC AB B AC Cλλ-⋅⋅=+=-+=，即AD BC ⊥，故直线AD 经过ABC V 的垂心，即B 正确；对于C ，因AD xAB yAC =+ ，12x y +=，则222AD x AB y AC =+ ，设2AM AD =，则22AM x AB y AC =+ ，因221x y +=，故,,M B C 三点共线，如图1所示，12DM AM =，故DBC △的BC 边上的高是ABC V 的BC 边上的高的一半，故BCD △是ABC V 面积的一半，即C 正确；对于D ，由()AB AC OP OA AB AC λ=++ 可得，()AB AC AP AB ACλ=+，如图2，取00,||||AB AC AB AC AB AC ==，则有00||||1AB AC ==，以00,AB AC 为两邻边作00AB DC ，易知00AB DC 是菱形，故AD 平分BAC ∠，且00AD AB AC =+ 故得，AP AD λ=，故动点P 的轨迹为BAC ∠的平分线，即动点P 的轨迹一定通过ABC V 的内心，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量的线性运算和数量积的应用，属于难题.对于向量等式，要结合图形，和选项的启发，有时从构造平面向量基本定理的条件入手；有时通过与其他向量的点乘为0判断线线垂直；有时通过两单位向量的和作平行四边形，推得菱形.11.CD【分析】根据函数的零点的个数，求出参数ω的范围，再判断函数的单调性、对称性和方程根的个数.【详解】由题意，()sin ()sin()55f x x x ππωωω=+=+，由题意，2x π=不一定是函数的对称轴，所以A 错误；当[0,2]x πÎ时，得[,2555x πππωωπ+∈+，故5265ππωππ≤+<；1229510ω≤<，所以D 正确.因为5265ππωππ≤+<，则()1f x =的根分别可由52x ππω+=或552x ππω+=或952x ππω+=求出，共有3个根；当115252πππωπ≤+≤时，()1f x =-的根分别可由352x ππω+=或752x ππω+=求出，共2个根；当112625ππωππ<+<时，()1f x =-的根分别可由352x ππω+=或752x ππω+=或1152x ππω+=求出，共3个根；所以B 错误；当(0,10x π∈时，得(,)55105x ππωππω+∈+，由1229510ω≤<，得1149[,10525100ωππππ+∈，所以1052ωπππ+<，此时()f x 在(0,10π上单调递增，所以C 正确.故选：CD.【点睛】本题重点考查三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质，难度较大，做题时注意利用整体法判断：即通过将x ωϕ+作为整体，借助sin y x =的图象和性质来进行判断.12.12+【分析】根据图形中的相似关系先表示出12l l +，然后利用基本不等式求解出最小值.【详解】如图1，易知BDE V ∽ACB △，且BD CD BC b a =-=-，所以1l BD b a AC b a b c -==++，所以()1b al a b c b -=⨯++；如图2，易知GFH ∽ACB △，且FG a =，所以2l FG a AC b a b c ==++，所以()2al a b c b=⨯++，所以1211l l a b c a b a b a b +++==+=++++1=,又因为222a b ab +≥，所以2221ab a b +≤，当且仅当a b =时取等号，所以12112l l a b +≥+=++，所以最小值为12+，故答案为：12+.13.πt10sin60,[]0,60t ∈【分析】可以求出π30t AOB ∠=，从而由余弦定理可以得到d =即可化简得πt10sin 60.【详解】如图，πt 2π=6030t AOB ∠=⋅；在AOB V 中，由余弦定理得，由[0t ∈，60]知，πsin 060tππt 52sin 10sin 6060t AB d =====⨯=故答案为：πt10sin 60．14.①.12##0.5②.12##0.5【分析】①由题知ABP 是边长为1的等边三角形，进而根据向量数量积求解即可；②考虑到该题为高一题目，不能使用导数，故提供了另一种解法，法二仅供参考.法一：结合图像，作AF DE →→=，连接PF ，设1PF AC C ⋂=，利用1A C C 、、三点共线可得1AC AF t AP t →→→=+μλ，又1P C F 、、三点共线，故可得1t+=λμ，因此只需要考虑t 值最大的情况即可得到λμ+的最小值.法二：由题知点P 的轨迹为以A 为圆心，AB 为半径的圆在正方体ABCD 内的圆弧部分，进而建立直角坐标系，设点()cos ,sin ,0,2P πααα⎡⎤∈⎢⎣⎦,再利用向量坐标运算得2sin 2cos 3,2cos sin 2cos sin ααλμαααα-==++，进而构造函数，利用导数研究函数最值即可得答案.【详解】解：①因为AP AB →→=，BP AB →→=，所以ABP 是边长为1的等边三角形，所以1cos ,11cos 32AP BP AP BP AP BP π⋅=⋅=⨯⨯=.②法一：如图，作AF DE →→=，连接PF ，设1PF AC C ⋂=，由于1A C C 、、共线，不妨设1AC t AC=，又AC DE AP λμ→→→=+故1t A D t t t t C AC E AP DE AP AF AP t →→→→→→→→⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭μλλμλμ，又由于1P C F 、、共线，所以1t t =+λμ，故1t+=λμ，结合图像可知，当P B 、两点重合时，PF AC 、交于2C 处，此时t 值最大，易知//BC AG ，故1max 2AC AGt AC BC===，故()min max 112t =+=μλ..法二：因为AP AB →→=，所以点P 的轨迹为以A 为圆心，AB 为半径的圆在正方体ABCD 内的圆弧部分，所以以点A 为坐标原点，如图建立坐标系，因为正方体ABCD 的边长为1，所以设点()cos ,sin ,0,2P πααα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()10,0,1,1,0,1,,02A C D E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以由AC DE AP λμ→→→=+得()()11,1,1cos ,sin 2λμαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以11cos 21sin λμαλμα⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得2sin 2cos 3,2cos sin 2cos sin ααλμαααα-==++，所以2sin 2cos 32sin 2cos 32cos sin 2cos sin 2cos sin ααααλμαααααα--++=+=+++，令()2sin 2cos 33sin 31,0,2cos sin 2cos sin 2f αααπαααααα-++⎡⎤==-+∈⎢⎥++⎣⎦，所以()()266sin 3cos '0,22cos sin f ααπαααα+-⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦+因为0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以66sin 3cos 0αα+->，所以()()266sin 3cos '02cos sin f ααααα+-=>+在区间0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，所以函数()f α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()min23122f α-+==，所以λμ+的最小值为12.故答案为：12；12..【点睛】本题考查向量坐标运算，数量积运算，导数求解函数最值，考查运算求解能力，是难题；本题第二空解题的关键在于灵活利用向量共线的性质与结论，将λμ+转化为1t 1AC t AC ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而考虑特殊位置点即可；而法二，将利用了导数的知识，根据题意设点()cos ,sin ,0,2P πααα⎡⎤∈⎢⎣⎦，进而利用坐标运算得2sin 2cos 3,2cos sin 2cos sin ααλμαααα-==++，再结合函数性质求解最值即可.15.（1）36b a =（2）cos 3C =【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换即可求解；（2）由,ADB ADC 的面积比值得AB BD AC CD=（角平分线定理），设(0)AB BDm m AC CD ==>，则AB =，61m BD m =+，61CD m=+，再通过余弦定理列式即可求解.【小问1详解】因为(12sin sin cos )sin cos B A C b a C B -=，由正弦定理得(12sin sin cos )sin sin sin cos B A C B A C B -=，所以212sin sin sin cos sin cos sin sin (sin cos cos sin )B AC B A C B A C B C B =+=+2sin sin()sin sin(π)sin A B C A A A =+=-=.即2212sin sin B A =,由正弦定理得2212b a =，又0a >、0b >，则36b a =或36b a =-（舍去）．所以36b a =.【小问2详解】因为CAD BAD ∠=∠，设ABC V 中BC 边上的高为h ，所以11sin 2211sin 22ADB ADC AD AB BAD BD hS S AD AC CAD CD h ⋅∠⋅==⋅∠⋅ ，所以AB BDAC CD =，设(0)AB BDm m AC CD==>，由6a =，6b a =，6BD CD BC +==,所以b =，则AB =，61m BD m =+，61CD m=+,在ABC V 中，由余弦定理得222222cos2CA CB AB C CA CB +-==⋅，设AC 的中点为E ，连接DE ，如图所示，由DA DC =,则DE AC ⊥，在Rt CED 中，3(1)cos 12CE m C CD +==，所以222)12m +=解得3m =或4m =-（舍去），所以cos 3C =.16.（1）证明见解析（2）存在，2AM =-【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质得1DD ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面1A DE 的法向量、1BD，利用11BD n ⊥ 可得答案；（2）假设在线段AB 上存在点M ，设()()001,,002M y y ≤≤，求出平面1D MC 、平面MCD 的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.【小问1详解】平面11AA D D ⊥平面ABCD ，平面11AA D D ⋂平面ABCD AD =，11,⊥⊂DD AD DD 平面111,AA D D DD ∴⊥平面ABCD ，则以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()()()()()()110,0,0,0,2,0,1,0,1,0,0,1,1,2,0,1,1,0D C A D B E .()()11,0,1,1,1,0DA DE ∴==，设平面1A DE 的法向量为1 =1,1,1，则11111110n DA x z n DE x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =，解得：()1111,1,1,1,1y z n =-=-∴=--，又()1111,2,1,0BD BD n =--∴⋅= ，即11BD n ⊥ ，又1⊄BD 平面11//,∴A DE BD 平面1A DE ；【小问2详解】假设在线段AB 上存在点M ，使二面角1D MC D --的大小为π4.设()()001,,002M y y ≤≤，则()()011,2,0,0,2,1MC y D C =--=-.设平面1D MC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则()222021222020n MC x y y n D C y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，解得：()202202,2,2,1,2x y z n y =-=∴=-，又平面MCD 的一个法向量为()10,0,1D D =-，212121πcos cos ,42n D D n D D n D D⋅∴=⋅==，即200410yy -+=，解得：02y =-或02y=+（舍去），此时2AM =，∴在线段AB 上存在点M ，使二面角1D MC D --的平面角的大小为π4，此时2AM =.17.（1）(),e -∞-（2）7-【分析】（1）求出函数的导数，根据题意可知'在1,+∞有变号零点，由此结合函数的单调性，解不等式即可求得答案；（2）法一：采用分离参数法，将原不等式变为即为2e ln xa x x x x ≥-+在1,+∞恒成立，构造函数()2e ln xm x x x x x=-+，求函数的导数，利用导数求其最小值，即可求得答案；法二：求函数()()e 1ln xf x a x x x=--+的导数，利用导数判断其单调性，求得函数最小值，结合解不等式即可求得答案.【小问1详解】()()()()()22e 11e 1e 111x x xx a x x ax x x f x a x x x x ⎛⎫-+ ⎪--+-⎛⎫⎝⎭=--+== ⎪⎝⎭'；因为()f x 在1,+∞不是单调函数，所以'在1,+∞有变号零点；因为10x x ->恒成立，令()e xg x a x=+，则()g x 在1,+∞有变号零点；因为()()21e 0xx g x x-'=>，所以()g x 在1,+∞单调递增，因为()1e g a =+，当x 的值趋近正无限大时，exx趋近于正无限大，a 为待定的参数，故()g x 趋近于正无限大，故只需e 0a +<，即e a <-，所以实数a 的取值范围是(),e ∞--.【小问2详解】（法一）令()1ln (1)x x x x ϕ=-+>，因为()110x xϕ'=-<在1,+∞恒成立，所以在1,+∞单调递减，所以()()10x ϕϕ<=，所以()0f x ≥在1,+∞恒成立，即为2e ln xa x x x x ≥-+在1,+∞恒成立，令()2e ln xm x x x x x=-+，则()()()222e ln 12ln 1ln xm x x xx x x x x xx x=-+-+--'-+()()()22e 1ln 2ln xx x x x xx x=⋅--+-+，令()ln 2h x x x =-+，则()110h x x-'=<在1,+∞恒成立，所以ℎ在1,+∞单调递减；因为()()110,4ln420h h =>=-<；所以ℎ有唯一零点0x ，且()0200001,4,ln 2,e ex x x x x ∈=-∴=当()01,x x ∈时，ℎ>0，即()0m x '>，所以()m x 在()01,x 单调递增；当∈0,+∞时，ℎ<0，即()0m x '<，所以()m x 在()0,x ∞+单调递减；所以()()220max02200000000e e ()e 7.39ln 2x x m x m x x x x x x x x x ====-≈--+-+-；所以实数a 的最小整数值为7-.（法二）()()e 1x x a x f x x⎛⎫-+ ⎝'⎪⎭=由（1）得，当e a -≥时，()f x 在1,+∞上单调递增，所以()()1e 0f x f >=>成立.当e a <-时，存在()01,x ∞∈+，使得()0e 0,xf x a x ==-'当()01,x x ∈时，'<0，当∈0,+∞时，'>0，所以()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增；所以()()()000min0000e ()1ln 1ln 2ln e x x x f x f x a x x a a a a x ⎛⎫⎡⎤==--+=--+=--- ⎪⎣⎦⎝⎭，令()2ln 0a a ⎡⎤---≥⎣⎦得()ln 2a -≤；解之得2e e a -≤<-.综上，2e 7.39a ≥-≈-，所以实数a 的最小整数值为7-.【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题，常用方法有：（1）将原不等式变形整理，分离参数，继而构造函数，转化为求解函数的最值问题解决；（2）直接构造函数，求导数，求解函数的最值，使得最小值恒大于(或大于等于)0或恒小于（或小于等于）0，解不等式即可.18.（1）单调递增区间为(),1-∞和()2,+∞（2）(,1))-∞⋃+∞【分析】（1）根据已知及分段函数，函数的单调性与单调区间的计算，求出()f x 的单调增区间；（2）根据已知及二次函数的性质求最值，结合不等式和绝对值不等式的计算求出实数a 的取值范围．【小问1详解】当2a =时，()2222,22222,2x x x f x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨-++<⎩，2x ≥时，()f x 单调递增，2x <时，()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,2上单调递减，所以()f x 的单调递增区间为(),1∞-和()2,∞+，【小问2详解】12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->所以()()12max 2f x f x ->，即()()max min 2f x f x ->，①当2a ≥时，()22f x x ax =-++，对称轴2a x =，(i)当122a ≤≤即24a ≤≤时，()2max 224a a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()min 02f x f ==，所以()20224a a f f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以a >a <-，因为24a ≤≤，所以4a <≤，(ii)当22a>即4a >时，()()max 222f x f a ==-，()()min 02f x f ==，所以()()20242f f a -=->，3a >，因为4a >，所以4a >，②当0a ≤时，()22f x x ax =-+，对称轴02a x =<，所以()()max 262f x f a ==-，()()min 02f x f ==，所以()()20422f f a -=->，1a <，所以0a ≤，③当02a <<时，()222,02,2x ax x a f x x ax a x ⎧-++<<=⎨-+<<⎩，因为()()()min 02f x f f a ===，因为()220124a a f f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，所以2a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭不可能是函数的最大值，所以()()max 262f x f a ==-，所以()()20422f f a -=->，所以01a <<，综上所述：a 的取值范围是(,1))-∞⋃+∞.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了分段函数，函数的单调性与单调区间，函数的最值，不等式和绝对值不等式的应用，属于较难题，解题的关键是将12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->，转化为()()max min 2f x f x ->，然后分类利用二次函数的性质求出其最值即可，考查了分类思想和计算能力19.（1）11,0,22-（2）6,(N ,11)30n n a n n +-=-∈≤（3）证明见解析【分析】（1）设123,,a a a 成公差为r 的等差数列，显然0r >，由1230a +a +a =得到11330,0a r a +=<，2310,0,a a a ==->由123++=1a a a 得到112a =-，得到答案；（2）设公差为d ，根据等差数列求和公式得到60a =，当0d =，0d >和0d <，求出首项和公差，得到通项公式；（3）设12,,p i i i a a a ，为i a 中所有大于0的数，12m j j j a a a ，，，为j a 中所有小于0的数，故1212p i i i a a a = ++，1212m j j j a a a =- ++，所以12111111111222k k kk p p m m i j n i j k k k k k k a a a a a a a n i j n n====+=+≤+=-∑∑∑∑ ++.【小问1详解】设123,,a a a 成公差为r 的等差数列，显然0r >，则由1230a +a +a =得111330,0,0a r a r a +=∴-=>∴<，213110,20,a a r a a r a ∴=+==+=->由123++=1a a a 得121a -=，解得112a =-，∴数列11,0,22-为所求3阶“归化”数列.【小问2详解】设等差数列12311,a a a a ⋯，，，的公差为d ，因为123110a a a a ⋅⋅⋅+=+++，所以11110112da ⨯+=0，，所以150a d +=，即60a =.当0d =时，此时()12303N n a a a a n n *+++⋅⋅⋅+=≥∈，，与归化数列的条件()12313N n a a a a n n *+++⋅⋅⋅+=≥∈，相矛盾.当0d >时，由12561,02a a a a ++⋅⋅⋅+=-=，故1541522a d ⨯=-+，又150a d =+，联立解得111,306d a ==-，所以()116N ,11.63030n nn a n n +--=-+=∈≤当0d <时，由12512a a a ++⋅⋅⋅+=，60a =，同理解得111,306d a =-=，所以()116N ,1163030n n n a n n +--=-=-∈≤.综上，当0d >时，()6N ,1130n n a n n +-=∈≤；0d <当时，()6,N ,11.30n n a n n +-=-∈≤【小问3详解】由已知可得：必有0i a >，也必有0j a <（{},1,2,3,,i j n ∈ ，i j ≠），设12,,p i i i a a a ，为i a 中所有大于0的数，12m j j j a a a ⋯，，，为j a 中所有小于0的数，由已知得1212p i i i X a a a =++= ，12j 12m j j Y a a a =++=- ，所以11111211111222k k k k k k k k i j n i j p m p m k ka a a a a a a n i j n n ∑∑∑∑====+++=+≤+= .【点睛】数列不等式问题，常常需要进行放缩，放缩后变形为等差数列或等比数列，在结合公式进行证明，又或者放缩后可使用裂项相消法进行求和，常常使用作差法和数学归纳法，技巧性较强.。
2024-2025学年河南省周口市太康第一高级中学高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年河南省周口市太康第一高级中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|x x−1≤0}，则∁R A =( )A. (−∞,0)∪(1,+∞)B. (−∞,0]∪[1,+∞)C. (−∞,0)∪[1，+∞)D. [0,1)2.设x ∈R ，则“ x +1≤2”是“|x−1|<2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A. 若a >b ，则a|c|>b|c|B. 若a >b ，则1a 2<1b 2C. 若a c 2>b c 2，则a >bD. 若a 2>b 2，则a >b 4.已知a ，b ∈R ，且2a−b−2=0，则9a +13b 的最小值为( )A. 2B. 4C. 6D. 85.已知函数f(x)的定义域为R ，f(x +2)为偶函数，f(2x +1)为奇函数，则( )A. f(−12)=0B. f(−1)=0C. f(2)=0D. f(4)=06.已知函数f(x)的定义域为R ，满足f(x +1)=f(1−x)，当x 1，x 2∈(1,+∞)，且x 1≠x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立，设a =f(−1)，b =f(0)，c =f(e)(其中e =2.71828…)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c >a >bB. c >b >aC. b >a >cD. b >c >a7.已知函数f(x)={−x 2+ax,x ≤1ax−1,x >1，若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是( )A. a <2B. a >2C. −2<a <2D. a >2或a <−28.如果函数f(x)=12(m−2)x 2+(n−8)x +1(m ≥0,n ≥0)在区间[12,2]上单调递减，那么mn 的最大值为( )A. 16B. 18C. 25D. 812二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024-2025学年上海华二附中高三上学期数学月考试卷及答案(2024.09)
1华二附中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知i 为虚数单位，复数12iz i+=，则z 的实部为________． 2．若函数()133x xf x a =⋅+为偶函数，则实a =________． 3．若事件A 、B 发生的概率分别为1()2P A =，2()3P B =，且相互独立，则()P A B =________．4．已知集合(){}2|log 1A y y x ==−，{}3|27B x x =≤，则A B =________．5．设{}n a 是等比数列，且13a =，2318a a +=，则n a =________．6．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V 与直径d 的关系式为36d V π=，当2d =时，气球体积的瞬时变化率为________． 7．已知随机变量X 的分布为123111236⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，且3Y aX =+，若[]2E Y =−，则实数a =________． 8．记函数()()()cos 0,0f x x =ω+ϕω><ϕ<π的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为________．9．若6(0)b ⎛> ⎝的展开式中含x 项的系数为60，则2a b +的最小值为________．10．顶点为S 的圆锥的母线长为60cm ，底面半径为25cm ，A ，B 是底面圆周上的两点，O 为底面中心，且35AOB π∠=，则在圆锥侧面上由点A 到点B 的最短路线长为____cm ．（精确到0.1cm ）11．已知△ABC 中，22AB BC ==，AB 边上的高与AC 边上的中线相等，则tan B =2________．12．给定公差为d 的无穷等差数列{}n a ，若存在无穷数列{}n b 满足： ①对任意正整数n ，都有1n n b a −≤②在21b b −，32b b −，…，20252024b b −中至少有1012个为正数，则d 的取值范围是________． 二、单选题（本大题共4小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 13．“1a b +>”是“33a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（ ） A ．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B ．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C ．两种证券的收益有同向变动的倾向 D ．两种证券的收益有反向变动的倾向15．设0k >，若向量a 、b 、c 满足::1::3a b c k =，且2()b a c b −=−，则满足条件的k 的取值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．设1A ，1B ，1C ，1D 分别是四棱锥P ABCD −侧棱PA ，PB ，PC ，PD 上的点．给出以下两个命题，①若ABCD 是平行四边形，但不是菱形，则1111A B C D 可能是菱形；②若ABCD 不是平行四边形，则1111A B C D 可能是平行四边形．（ ） A ．①真②真 B ．①真②假 C ．①假②真 D ．①假②假三、解答题（本大题共5小题，共78.0分．）17．（本小题14.0分）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周⊥，F是垂足．（1）求证：AF DB⊥；（2）若圆柱与三棱锥D ABE−的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABD所成角的大小．3418．（本小题14.0分）李先生是一名上班旋，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：（1）求出这40个通勤记录的中们数M ，并完成下列22⨯列联表：（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d −χ=++++，()2 3.8410.05P χ≥≈．519．（本小题14.0分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放，已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角NBE ∠=θ，总造价为W 元。
高三数学第一次月考试题(附答案)
高三数学第一次月考试题（注意:答案一律写在答题纸上）一、填空题 (本大题共12小题，每小题4分，共48分)1. 已知集合A ={x |x 2－p x ＋15=0}B ={x |x 2－5x ＋q =0}，如果A ∩B ={3}，那么p ＋q =2. 已知集合}2,1,1{-=M ，集合},|{2M x x y y N ∈==，则N M = 3. 设A 、B 、C 是三个集合，则“A ∩B=A ∩C ”是“B=C ”的 条件。
4. 已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，那么f (2)= 。
5. 设函数 f (x )在 (－∞,+∞)内有定义，下列函数(1) y =－|f (x )|; (2) y = x f (x 2); (3) y =－f (－x ); (4) y =f (x )－f (－x ) 中必为奇函数的有▁▁▁▁▁▁（要求填写正确答案的序号）。
6．⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，则方程()1(12)f x x x +=-的各个解之和为7．已知函数y ＝f (x )是奇函数，周期T ＝5，若f (－2)＝2a －1则f (7)＝ 8．函数 )0(12≤-=x x y 反函数是9．某班有50名学生，其中 15人选修A 课程，另外35人选修B 课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率是 (结果用分数表示)． 10．若不等式|2|6ax +<的解集为(－1，2)，则实数a = 。
11．当不等式61022≤++≤px x 恰有一个解时，实数p 的值是____。
12. 已知集合M ＝{x |1≤x ≤10，x ∈N }，对它的非空子集A ，将A 中每个元素k ，都乘以(－1)k再求和(如A={1，3，6}，可求得和为(－1)·1＋(－1)3·3＋(－1)6·6＝2，则对M 的所有非空子集，这些和的总和是 ． 二、选择题(本大题共4小题，共16分)13．若函数y ＝f (x ) (f (x )不恒为零)的图象与函数y ＝－f (x )的图象关于原点对称，则函数y ＝f (x ) （ ）（A ）是奇函数而不是偶函数 （B ）是偶函数而不是奇函数（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）既不是奇函数又不是偶函数设函数14．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍然回到甲手中，则不同的传球方式有 ( ) （A ） 6种 （B ） 8种 （C ） 10种 （D ）16种 15、已知关于x 的方程：2x =x 2解的个数为 （ ） (A )1 (B )2 (C )3 (D ) 4 16. 设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意R ∈x ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值； （2）若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，且0x x ≠，有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数()f x 的最大值；（3）若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，有)()(0x f x f ≤，则)(0x f 是函数()f x 的最大值.。
2024-2025学年海南省北京师大万宁附中高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年海南省北京师大万宁附中高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M ={x|x 2+x−2≤0}，Q ={x ∈N||x|≤2}，则M ∩Q =( )A. {0,1}B. {−2,−1,0,1}C. [−2,1]D. [0,1]2.设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 1<a 2”是“数列{a n }是递增数列”的( )A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.设a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列不等式正确的是( )A. 1a <1bB. ac 2<bc 2C. b a >a bD. a 2>ab >b 24.已知函数f(x)=e x (2x−1)x−1，则f(x)的大致图象为( )A. B.C. D.5.若正实数x ，y 满足xy +3x =3，则12x +y 的最小值为( )A. 7B. 8C. 9D. 106.设函数f(x)=log 2|x|−x −2，则不等式f(x−2)≥f(2x +2)的解集为( )A. [−4,0]B. [−4,0)C. [−4,−1)∪(−1,0]D. [−4,−1)∪(−1,0)7.已知函数f(x)={x 2−ax +5,(x ≤1)a x ,(x >1)满足对任意实数x 1≠x 2，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0成立，则a 的取值范围是( )A. 0<a ≤3B. a ≥2C. a >0D. 2≤a ≤38.如图，圆锥的高SO = 3，底面直径AB =2，C 是圆O 上一点，且AC =1，若SA 与BC 所成角为θ，则sin 2θ2−cos 2θ2=( )A. 134B. −34C. 58D. − 134二、多选题：本题共3小题，共18分。
高三第一次月考试卷数学及答案
高三第一次月考试卷数学及答案一、选择题（共15题，每小题4分，共60分）1. 一幢大厦的边长为6米，高度为20米。
一个人从这座大厦的一侧往上望去，他的目视线与大厦顶端连线与大厦相交的角的大小为（）。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 若函数 f(x) 在区间 (-∞, a) 上是增函数，在区间(a, +∞) 上为减函数，则 a 的值为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 33. 已知集合 A = {2, 4, 6, 8}，集合 B = {3, 6, 9, 12}，则A ∩ B 的元素个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 34. 若等差数列 {a_n} 的前 5 项和为 15，且公差为 2，则 a_5 等于（）。
A. -1B. 0C. 1D. 25. 已知正整数 n 的个位数是 5，十位数是 3，百位数是 1，其千位数是（）。
A. 0B. 1C. 3D. 56. 设甲, 乙两车同时从 A, B 两地相向而行，两车相遇后又同时返回原地，已知甲车以每小时 60 公里的速度行驶，求相对速度小的车（乙车）的速度是几公里每小时。
7. 已知等比数列 {a_n} 的前 3 项分别是 1, 2, 4，若 a_4 = 16，则 a_5 = （）。
A. 16B. 20C. 24D. 328. 已知函数 f(x) 关于 y 轴对称，且图像经过点 (1, 1)，则函数图像在点 (-1, -1) 是否对称？（）A. 是B. 否9. 在直角坐标系中，已知点 A(-1, 3)、B(4, -2)，则 AB 的中点坐标为（）。
A. (0.5, 0.5)B. (1.5, 0.5)C. (1.5, 2.5)D. (2.5, 0.5)10. 设函数 f(x) = x^2 - 2x - 3，则过点 (1, -4) 的切线方程为（）。
A. y = -2x - 6B. y = 2x + 6C. y = 2x - 6D. y = -2x + 611. 已知向量 a = <2, -3>，向量 b = <6, -1>，则 |a + b| = （）。
数学高三第一次月考试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若f(x)的图像关于点(0,0)对称，则f(x)的对称中心是：A. (0,0)B. (0,1)C. (0,-1)D. (0,3)2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 2^n - 1，则Sn的通项公式是：A. Sn = 2^n - n - 1B. Sn = 2^n - nC. Sn = 2^n + n - 1D. Sn = 2^n + n3. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为Q，则点Q的坐标是：A. (2,3)B. (3,2)C. (-2,-3)D. (-3,-2)4. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 + a3 + a5 = 0，则a2 + a4 + a6的值为：A. 0B. dC. -dD. 2d5. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 = 1，若圆C上存在两点A、B，使得OA = OB = 1，则∠AOB的度数为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°6. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(x)的图像开口向上，且f(1)= 0，f(2) = 4，则a、b、c的值分别为：A. a=1，b=-3，c=2B. a=1，b=3，c=2C. a=-1，b=3，c=-2D. a=-1，b=-3，c=-27. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1 = 2，a3 = 8，则q的值为：A. 2B. 4C. 8D. 168. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = n^2 + n，则Sn的值是：A. n(n+1)(n+2)/3B. n(n+1)^2/2C. n(n+1)(n+2)/2D. n(n+1)^2/39. 在直角坐标系中，若直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 4相切，则k、b的值分别为：A. k=±2，b=0B. k=±2，b=±2C. k=±1，b=0D. k=±1，b=±110. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(x)的图像开口向下，且f(1) = 0，f(2) = -4，则a、b、c的值分别为：A. a=1，b=-3，c=2B. a=1，b=3，c=2C. a=-1，b=3，c=-2D. a=-1，b=-3，c=-2二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像的顶点坐标是______。
宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷
宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．命题p ：x R ∀∈，2210x mx -+>的否定是 A ．x R ∀∈，2210x mx -+≤ B ．x R ∃∈，2210x mx -+< C ．x R ∃∈，2210x mx -+> D ．x R ∃∈，2210x mx -+≤2．已知函数21(1),()2(1).x x f x x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则()()1f f -的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．3D ．03．“3a > ”是“函数2()(2)2f x a x x =-- 在(1,+)∞上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知2081.5.12,,log 42a b c -⎛⎫⎝⎭=⎪==，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．在同一个坐标系中，函数()log a f x x =，()x g x a -=，()ah x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数()f x ax x =的图象经过点(1,1)-，则关于x 的不等式29()(40)f x f x +-<解集为（ ） A ．(,1)(4,)-∞-+∞U B ．(1,4)- C ．(,4)(1,)∞∞--⋃+D ．(4,1)-7．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为a ,b ,c 的三角形，其面积S 可由公式S =1=)2p a b c ++（，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足14,6a b c +==，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．6B ．C ．12D ．8．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数()()11132x g x x -⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为A ．2B ．4C ．6D ．8二、多选题9．下列运算正确的是（ ）AB ．()326a a =C ．42log 32log 3=D ．2lg5lg2log 5÷=10．已知函数()y f x =是定义域为R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，下列说法正确的有（ ）A ．函数()y f x =的周期为4B ．(0)0f =C ．(2024)1f =D ．(1)(1)f x f x -=+11．已知函数()24,0,31,0,x x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩其中()()()f a f b f c λ===，且a b c <<，则（ ）A ．()232f f -=-⎡⎤⎣⎦B ．函数()()()g x f x f λ=-有2个零点C ．314log ,45a b c ⎛⎫++∈+ ⎪⎝⎭D ．()34log 5,0abc ∈-三、填空题12．已知集合A ＝{}01x x ≤≤，B ＝{}13x a x -≤≤，若A ⋂B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为．13．已知函数()()231m f x m m x +=+-是幂函数，且该函数是偶函数，则f的值是．14．已知函数()34x f x x =--在区间[1,2]上存在一个零点，用二分法求该零点的近似值，其参考数据如下：(1.6000)0.200f ≈，(1.5875)0.133f ≈，(1.5750)0.067f ≈，(1.5625)0.003f ≈，(1.5562)0.029f ≈-，(1.5500)0.060f ≈-，据此可得该零点的近似值为．（精确到0.01）四、解答题15．已知x ，y ，z 均为正数，且246x y z ==. (1)证明：111x y z+>；(2)若6log 4z =，求x ，y 的值，并比较2x ，3y ，4z 的大小. 16．已知函数()121(0),,R 4x f x m x x m=>∈+，当121x x =+时，()()1212f x f x +=. (1)求m 的值；(2)已知()120n n a f f f f n n n ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭L ，求n a 的解析式. 17．已知函数2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x +-<⎧=⎨-++≥⎩且(e)3f -=． (1)求实数a 的值；(2)若函数()()=-g x f x k 在R 上恰有两个零点，求实数k 的取值范围．18．已知函数()e xf x =与函数()lng x x =，函数()()()11x g x g x ϕ=++-的定义域为D .(1)求()x ϕ的定义域和值域；(2)若存在x D ∈，使得(2)1()mf x f x ≥-成立，求m 的取值范围；(3)已知函数()y h x =的图象关于点(),P a b 中心对称的充要条件是函数()y h x a b =+-为奇函数.利用上述结论，求函数()1ey f x =+的对称中心.19．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．(1)设技术改造后，甲方案第n 年的利润．．为n a （万元），乙方案第n 年的利润．．为n b （万元），请写出n a 、n b 的表达式；(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据101.1 2.594≈，101.313.79)≈。
2024-2025学年湖南师范大学附属中学高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （ ）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b + 在向量b 上投影向量为（ ）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈⎥⎝⎦11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．销售量千张经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．.参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ya y bxx x x nx====---==---∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （ ）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =-≤≤=-<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ⋂=<<∣，故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =-+，再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i 3i z +=-+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z -+--+-+====-+++-，所以z ==.故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b +在向量b 上的投影向量为（ ）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=-+⋅=== 所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b b b +⋅==- .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =-=∴=-=-，()767732212S ⨯∴=⨯-+⨯=，故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22μσ=⨯==，()()(),0.750.547p k P k X k p μσμσ=-≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p =≈，()()900.510.5470.2265P X ≥=⨯-=，∴该校及格人数为0.22651200272⨯≈（人），故选：B ．6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay -=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ⨯>，可得2222299a b c a b ->=+，即22224555a b c a >=-，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝.故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x ==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞-]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共36分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=︒，90EMG ∴∠=︒，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f ⎛⎫⎛⎫=+⨯=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确.故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++-=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =-=∑，可得D 错误.【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x -=-=-，且()()()00,21g f x g x =++-=，即()()21f x g x +-=①，用x -替换()()21f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=②，由①+②得()()222f x f x ++-=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++-=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++-=+=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+-，则()()()()882121g x f x f x g x +=++-=+-=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =-=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180-【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅-，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +-的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅-=-，得2x y 的系数为180-.故答案为：180-．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ''-=，因此可得()()2f x f x '>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x '->，所以()()2f x f x '>.构造函数()()2x f x h x =e ，则()()()22xf x f x h x '-'=e，所以当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞--上小于零，在()1,0-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为：()()1,01,-⋃+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.【答案】⎡⎢⎣【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λμ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ⎛ ⎝，其中π,0,3BOC θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，由(),R OC OA OB λμλμ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλμ⎛=+⎝，整理得1cos sin 2λμθθ+==，解得cos λμθ==，则ππcos cos ,0,33λμθθθθθ⎛⎫⎡⎤+==+=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，ππ2ππ,,sin 3333θθ⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦所以λμ⎡+∈⎢⎣.方法二：设k λμ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λμ=+=；当点C 运动到AB的中点时，k λμ=+==，所以λμ⎡+∈⎢⎣故答案为：⎡⎢⎣四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =-，所以2π3C =．【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB ==所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin B ADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABC ACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,-∞-+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα--=='+⋅+，由1111ln 10e e e a f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x ='+，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．【小问2详解】由（1）知min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．函数()g x 的导函数()()1exg x k x -=-'①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=-，使得()()12111e 1e k g x g f x k ⎛⎫=-=-<-<-≤ ⎪⎝⎭，即()()120f x g x -≥，符合题意．②若()0,0k g x ==，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x -<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x '<在(),1∞-上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ek g x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞--⋃+．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ⋂=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E -，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ-=-，所以,2,1x y z λλλ===-，即(),2,1F λλλ-．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==-=-，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即2020a b a b c +=⎧⎨+-=⎩，，取()1,2,3m =--，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅====整理得2620λλ-=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==⨯=，所以抛物线1C 的方程是2y x =.设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥-=-=≥，所以当232ι=时，线段PQ.【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a --=--，即()21y a x a a b-=-+，即()0x a b y ab -++=.直线()21:111a DM y x a --=--，即()10x a y a -++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r -+-+-=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r -+-+-=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，22224224,11r r a b ab r r --∴+==--代入方程()0x a b y ab -++=得()()222440x y r x y +++---=，220,440,x y x y ++=⎧∴⎨++=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=-⎩∴直线MN 恒过定点()0,1-.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43259 2.682.76 2.70.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑.（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni i i i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====---==---∑∑∑∑.【答案】（1）673220710001200y t =+ （2）433774n n P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得 2.2100.4 2.49y ⨯-==新，12345678959t ++++++++==新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t ==⎛⎫⎛⎫=-⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t ==⎛⎫- ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =-⨯=，所以6732207ˆ60001200y t =+.【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12111313,444416P P ==⨯+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n ---+=+≥，又由2131331141644P P +=+⨯=，所以134n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n -+=≥所以1434(2)747n n P P n --=--≥，又因为1414974728P -=-=-，所以数列47n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为928-，公比为34-的等比数列，故143)74n n P --=-，所以1934433(()2847774n n n P -=--+=+-.【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=-⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14.②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε-=⋅-=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
湖南省常德市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题(含答案)
常德市第一中学2025届高三第一次月水平检测数 学时量：120分钟 满分：150分命题人： 审题人：一、单选题。
（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）1．已知集合，则（ ）A ． B ．C ．D ．2．命题“，”的否定是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，3．设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）A ．16B ．72C ．74D ．905．“”是“函数在单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．对于三次函数给出定义: 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（ ）A ．1010B ．2020C ．2023D ．20247．，均有成立，则a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本题有3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）9．下列选项中正确的有（ ）A ．若，则B ．若集合，且，则实数a 的取值所组成的集合是．C ．若不等式的解集为，则不等式的解集为或D ．已知函数的定义域是，则的定义域是．10．已知，且，则（ ）A ．的最小值是B ．最小值为CD ．的最小值是11．已知函数，下列选项中正确的是（ ）A ．在上单调递增，在上单调递减{}{}21,24A x x B x x =-≤=-<≤A B = {}4x x ≤{}34x x ≤≤{}23x x -<≤{}24x x -<≤x ∃∈R ln e 0x x x ++>x ∃∈R ln e 0x x x ++≤x ∀∈R ln e 0x x x ++≤x ∀∉R ln e 0x x x ++≤x ∃∉R ln e 0x x x ++<5log 2a =25log 3b =0.20.6c =c b a >>c a b >>b a c >>a c b>>181425GL ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭L G lg20.301≈1m £()()22log 1f x x mx =--()1,+∞()()³²0f x ax bx cx d a =+++≠()f x '()y f x =()f x ''()f x '()0f x ''=0x 00(,())x f x ()y f x =32115()33212f x x x x =-+-12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1212,[1,e]x x x x ∀∈≠122121ln ln x x x x a x x -<-(],0-∞[)1,+∞[]0,1[)0,+∞()()22e ,e xf x x x ag x x =-+=-(][]12,0,1,e x x ∞∀∈-∃∈()()12g x f x ≤a [)2e 1,-+∞12e 1,e ∞⎡⎫+-+⎪⎢⎣⎭)2e ,⎡+∞⎣21e ,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭a b >22ac bc >{}{}20|1,2,A B x ax =-=+=B A ⊆{}1,2-20ax bx c ++>{}3|1x x <<20cx bx a ++<1{3x x <1}x >()1y f x =+[]2,3-()1y f x =-[]0,50,0a b >>1a b +=ab 14222a b +2312a a b+1+()1e ,01ln ,04x x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩()f x (),1-∞-()1,0-B．有极大值C．无最小值D．若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是.13．已知函数，分别是定义在上的奇函数，偶函数，且，则.14．设函数，若在上满足的正整数至多有两个，则实数的取值范围是．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）15．（13分）在中，内角所对的边分别为，已知向量满足，，且．(1)求角；(2)若是锐角三角形，且，求周长的取值范围．16．（15分）已知正方体的棱长为，，，为线段上的动点，是点关于所在直线的对称点.(1)求证：；(2)求三棱锥的体积；(3)当时，求二面角的余弦值的绝对值.17．（15分）数列满足．(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和．18．（17分）已知椭圆的右焦点与点连线的斜率为2，且点在椭圆上(其中为的离心率)．(1)求椭圆的标准方程．(2)已知点，过点的直线与交于A，B两点，直线DA，DB分别交于M，N两点，试问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．（17分）已知(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)已知有两个极值点，且满足，求的值；(3)在(2)的条件下，若在上恒成立，求的取值范围．()f x()f x()()()()2[]24h x f x af x a=-+∈R a5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭[]1,5x∃∈1e0x ax--<a()f x()g x R()()e xf xg x+=()()22f xg x-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()2e exf x ax x=--()0,∞+()0f x<aABCV,,A B C,,a b c,m n(2,m a=),n B b=m n⊥AABCV3a=ABCV1111ABCD A B C D-311113PD A D=11123QC C D=MBD M'M AD1MB PQ⊥1Q PMB-2BM DM=M PQ M'--{}na321212222nna aaa n-+++⋯+={}nannnba={}nb nnT2222:1(0)x yC a ba b+=>>3,12P⎛⎫⎪⎝⎭()1,eC e CC(2,0)D P l C C()2lnx ax x bf xx++=3,1a b=-=-()y f x=()()1,1f()f x12,x x()()12f x f x+=b()1f x x≥-+[)1,+∞a参考答案：1．C 2．B 3．B 4．C 5．B 6．B 7．B 8．B9．CD 10．BC 11．ABD 12． 13． 14．11．【详解】对于A ，当时，，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以A 正确，对于B ，由选项A 可知在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，所以B 正确，对于C ，当时，，当时，，当时，，所以当时，，因为在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，综上，的值域为，所以有最小值0，所以C 错误，对于D ，因为在上单调递增，在上单调递减，，，所以的大致图象如图所示由，得，令，则，由的图象可知，要使有6个零点，则方程有两个不相等的实数根，不妨令，若，则由图可知有6个零点，但，所以不符合题意，所以，因为，所以，解得，即实数的取值范围是，所以D 正确，故选：ABD 14．【详解】由在上满足的正整数至多有两个，即在上满足的正整数至多有两个，设，，则，设，，则，，设，，则恒成立，则在上单调递增，即，即，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；(],e 1∞--1-3e 3e ,9⎛⎤--∞ ⎝⎦0x ≤1()e x f x x +=-111()(e e )e (1)x x x f x x x +++'=-+=-+1x <-()0f x '>10x -<<()0f x '<()f x (),1∞--()1,0-()f x (),1∞--()1,0-()f x =1x -0x >14141ln ,e 14()ln 41ln ,0e 4x x f x x x x ⎧-≥⎪⎪=-=⎨⎪-<<⎪⎩14e x ≥1ln 04x -≥140e x <<1ln 04x ->0x >()0f x ≥()f x (),1∞--()1,0-0x ≤()0f x ≥()f x [0,)+∞()f x ()f x (),1∞--()1,0-()11f -=(0)0f =14141ln ,e 14()ln 41ln ,0e 4x x f x x x x ⎧-≥⎪⎪=-=⎨⎪-<<⎪⎩()f x ()0h x =()()2[]240f x af x -+=()f x t =2240t at -+=()f x ()h x 2240t at -+=12,t t 12t t <120,01t t =<<()h x 202040a -⨯+≠1201,1t t <<>2020440a -⨯+=>21240a -+<52a >a 5,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3e 3e ,9⎛⎤--∞ ⎝⎦()0,∞+()2e e 0xf x ax x =--<()0,∞+2e e x x a x ->()2e e x xg x x -=0x >()()3e 2e x x x g x x -+'=()()e 2e xh x x x =-+0x >()()e 1e x h x x '=-+0x >()()e 1e x m x x =-+0x >()e 0xm x x '=>()m x ()0,∞+()()0e 10m x m >=->()0h x '>()h x ()0,∞+()10h =()0,1x ∈()0h x <()0g x '<()g x ()1,x ∈+∞()0h x >()0g x '>()g x所以当时，取最小值，又在上满足的正整数至多有两个，则，即，故答案为：.15．(1)或.(2)【详解】（1）解：∵，∴，即.由正弦定理得.∵，∴∵，∴或.（2）∵，且三角形为锐角三角形，∴.∴由正弦定理得.∴，.∴，.又∵为锐角三角形，∴，∴，得，.，，∴，又∵，∴.∴的周长的取值范围为.16．(1)证明见解析(2) (3)【详解】（1）证明：连接.由，得，又，则有，正方体中，平面，平面，得，又正方形中，，，平面，所以平面，由平面，得.又，所以.（2），，， ，有，，∴.1x =()g x ()0,∞+()2e e x x a g x x ->=()3e 3e39a g -≤=3e 3e ,9a ⎛⎤-∈-∞ ⎥⎝⎦3e 3e ,9⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦π3A =2π3(3+m n ⊥20a B =2a B =2sin sin A B B sin 0B ≠sin A =(0,π)A ∈π3A =2π33a =ABC π3A =sin sin sin a b cA B C ====b B =c C =)2πsin sin sin sin 3b c B C B B ⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦13sin sin sin 22B B B B B ⎫⎫=++=⎪⎪⎪⎪⎭⎭)1πcos 32cos 6sin 26B B B B B ⎫⎛⎫=+=⨯+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ABC V π02B <<2π0π32B <-<ππ62B <<ππ2π363B <+<πsin()16B <+≤6sin 66B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭6b c <+≤3a =39a b c +<++≤ABC V (3+5217191111,A C B D 11123QC C D =11113QD C D =11113PD A D =11//PQ A C 1111ABCD A B C D -1BB ⊥1111D C B A 11A C ⊂1111D C B A 111BB A C ⊥1111D C B A 1111B D A C ⊥1111BB B D B ⋂=111,BB B D ⊂11BB D D 11A C ⊥11BB D D 1MB ⊂11BB D D 111A C MB ⊥11//PQ AC 1PQ MB ⊥111D P D Q ==PQ ==111111,A B C B A P C Q ==1111Rt Rt A B P C B Q ≅V V 222222*********B P B Q A P A B ==+=+=11B P B Q ==1115222PQB S PQ ===V 11115332Q PMB M PQB PQB V V S --==⨯⨯=V（3）如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，，，，当时，有，则，，.设为平面的一个法向量，∴，令，得，可得.设为平面的一个法向量，∴，令，得，可得.设所成的角为∴.17．(1) (2)【详解】（1）数列满足，当时，，两式相减可得，，所以，当时，也满足上式，所以；（2）由（1）得，所以，则，两式相减的，，所以．18．(1) (2)是定值，定值为（1）由题意可得，解得 故椭圆的标准方程为；（2）由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，，，则直线DA 的方程为． 联立，整理得 则，即． D DA x DC y 1DD z (0,0,0)D (3,0,0)A (1,0,3)P (0,1,3)Q 2BM DM =(1,1,0)M (1,1,0)M -'(1,1,0)PQ =- (1,2,3)QM -'=- (0,1,3)PM =-()111,,m x y z = QPM '111110230PQ m x y QM m x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅='--=⎪⎩13x =113,1y z ==-()3,3,1m =- ()222,,n x y z = QPM 2222030PQ n x y PM n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩23x =223,1y z ==(3,3,1)n =M PQ M '--θ17cos 19m n m n θ⋅===⋅ 2n n a =222n nn T +=-{}n a 321212222n n a a a a n -++++= 2n ≥()31212221222n n a a a a n --+++⋯+=-122nn a -=2n n a =1n =1122a ==2n n a =2n n n b =231232222nn nT =++++ 234111*********n n n n n T +-=+++++ 2311111(1)11111222112222222212n n n n n n n n n T +++-+=++++-=-=-- 222nnn T +=-2212x y +=2-22222221023211c c a a b a b c-⎧=⎪-⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩C 2212xy +=l l ()312x m y =-+()11,A x y ()22,B x y ()33,M x y ()44,N x y 1122x x y y -=+11222212x x y y x y -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()22111132220x y x y y y -+-+=2113132y y y x =-13132y y x =-代入，得． 同理可得． 因为 所以直线MN 的斜率为定值，且定值为．19．(1)(2)(3)【详解】（1）当时，，所以，所以．所以曲线在点处的切线方程为．（2）因为，所以，因为有两个极值点，所以有两个大于0的变号零点，所以方程有两个不等正根，所以，解得，又因为，即有，整理得，代入，可得，解得，又因为，所以可得，经检验，符合题意．（3）由(2)可知且，从而，因为在上恒成立，令，则有在上恒成立，易得，因为，所以，令，对称轴，①当时，，所以在单调递增，从而恒成立，所以在也恒成立，所以在单调递增，从而恒成立．②当时，，所以有两个不等实根（不妨设），所以，且当时，，从而，所以在上单调递减，所以，与“在上恒成立”矛盾，1122x x y y -=+()13112312322232x x x x -=+=---()2442231,322232y y x x x ==---()()()()21211213214312123232323211232232MNy y y x y x y y x x k x x x x x x -------===-----()()()21112112123332322222,y my m y my m m y y m y y m y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦===---2-1y x =-+1b =-[)3,2--3,1a b =-=-()()13ln ,10f x x x f x =--=()2311f x x x'=-+()11f '=-()y f x =()()1,1f 1y x =-+()()ln ,0,b f x x a x x x =++∈+∞()2221a b x ax bf x x x x +-=+-='()f x 12,x x ()f x '20x ax b +-=21212Δ4000a b x x b x x a ⎧=+>⎪=->⎨⎪+=->⎩2400a bb a ⎧>-⎪<⎨⎪<⎩()()120f x f x +=112212ln ln 0b b x a x x a x x x +++++=()()12121212ln 0x x x x a x x bx x ++++=1212,x x b x x a =-+=-()()ln 0aa ab b b--+-+=-1b =-240a ba ⎧>-⎨<⎩2a <-1b =-2a <-()1ln f x x a x x=+-()1f x x ≥-+[)1,+∞()()[)112ln 1,1,g x f x x x a x x x=+-=+--∈+∞()0g x ≥[)1,+∞()12ln1110g a =+--=()2221212a x ax g x x x x ++=++='()13g a '=+()[)()221,1,,13h x x ax x h a =++∈+∞=+4a x =-32a -≤<-()3130,44a h a x =+≥=-≤()h x [)1,+∞()()130h x h a ≥=+≥()()20h x g x x ='≥[)1,+∞()g x [)1,+∞()()10g x g ≥=3a <-()130h a =+<2210x ax ++=34,x x 34x x <341x x <<()41,x x ∈()0h x <()()20h x g x x='<()g x []41,x ()()410g x g <=()0g x ≥[)1,+∞综上，的取值范围是．a [)3,2--。
辽宁省本溪市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷(含答案)
本溪市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）A. B.C. D.2.设，，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知为锐角，，则（ ）4.将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象，则（ ）B.C.D.15.已知函数（且），若有最小值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ）A. B.为奇函数{}lg(1)A x y x ==-{}21x B y y ==+{}0A B x x =< A B R = {}1A B x x => A B =∅∅0a >0b >lg()0a b +>lg()0ab >απ3sin 45α⎛⎫-=-⎪⎝⎭sin α=()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭π1212()g x π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭121(2)21,2()2,2x a x a x f x a x --++≤⎧=⎨>⎩0a >1a ≠()f x a 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3(0,1)1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦330,1,42⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦()f x R (1)f x -(1)f x +(1,1]x ∈-()f x =21x -+7324f ⎛⎫=-⎪⎝⎭(7)f x +C.在上是减函数D.方程仅有6个实数解7.已知，，，则（ ）A. B. C. D.8.定义在上的函数的导函数为，当时，且.，.则下列说法一定正确的是（ ）A.B.C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知的最小正周期是，下列说法正确的是（ ）A.在是单调递增 B.是偶函数C.的最大值是 D.是的对称中心10.已知函数，则（ ）A.在上单调递增 B.是函数的极大值点C.既无最大值，也无最小值D.当时，有三个零点11.已知函数，是的导函数，则（ ）A.“”是“为奇函数”的充要条件B.“”是“为增函数”的充要条件C.若不等式的解集为且，则的极小值为D.若，是方程的两个不同的根，且，则或三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如果，是方程两根，则__________.()f x (6,8)()lg 0f x x +=910m =1011m a =-89m b =-0a b>>0a b >>0b a >>0b a>>R ()f x ()f x '[0,)x ∈+∞()2sin cos 0x x f x '⋅->R x ∀∈()()cos 21f x f x x -++=15π32π4643f f ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15π34π4643f f ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π13π4324f f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13π3π2443f f ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π2π()sin 33f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π()f x ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭()f x 1+(π,0)()k k Z ∈()f x ()|2|xf x x e a =--()f x (1,2)1x =()f x ()f x (1,2)a ∈()f x 32()2(,,)f x x ax bx c a b c R =-++∈()f x '()f x 0a c ==()f x 0a b ==()f x ()0f x <{1x x <}1x ≠-()f x 3227-1x 2x ()0f x '=12111x x +=0a <3a >tan αtan β2330x x --=sin()cos()αβαβ+=-13.已知函数（且），若对任意，，则实数的取值范围是__________.14.已知函数，则的单调递增区间为__________；若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数.（1）求的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的x 值；（2）讨论在上的单调性.16.（15分）已知在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.（1）求；（2）若外接圆的直径为的取值范围.17.（15分）有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵.科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据：，，）（1）若，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少？（2）若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为，雌鸟的飞行速度为，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？18.（17分）已知函数，.（1）求的单调区间；（2）设函数.证明：（i ）函数有唯一极值点；（ii ）若函数有唯一零点，则.2()1xx a f x a =+0a >1a ≠(1,3)x ∈()()242f x f ax ++-<a()e xf x x =-()f x (0,)x ∈+∞ln 2e 1x x ax+-≥a 2π()sin sin 2f x x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭()f x ()f x π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABC △cos()cos a B C a A -+-sin cos B A 0=A ABC △2c b -301log lg 2100x v x =-km /min x 0x lg 20.30= 1.23 3.74= 1.43 4.66=02x =km /min 05x = 2.5km /min 1.5km /min 21()ln 2f x x x =-121()(0)2x g x e x ax a -=-->()f x ()()()F x f x g x =+()F x ()F x 0x 012x <<19.（17分）麦克劳林展开式是泰勒展开式的一种特殊形式，的麦克劳林展开式为：，其中表示的阶导数在0处的取值，我们称为麦克劳林展开式的第项.例如：.（1）请写出的麦克劳林展开式中的第2项与第4项；（2）数学竞赛小组发现的麦克劳林展开式为，这意味着：当时，，你能帮助数学竞赛小组完成对此不等式的证明吗？（3）当时，若，求整数的最大值.()f x ()()20(0)(0)(0)()(0)(0)2!!!n n n nn f f f f x f x x x x n n f ∞=''=+++++='∑ ()(0)n f ()f x n ()(0)!n nn f T x n =()f x 1n +234e 12!3!4!xx x x x =+++++ ()sin f x x =ln(1)x +234ln(1)234x x x x x +=-+-+ 0x >2ln(1)2x x x +>-1x ≥31e ln 26xx x mx ++>+m本溪市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题答案一、单选题1-4：DBDA5-8：DCAB 二、多选题9：ABD10：BD11：ACD三、填空题12.13.14.；四、解答题15.解：（1）所以的最小正周期，当时，，此时（2）当时，有，从而时，即时，单调递增，时，即时，单调递减，综上所述，单调增区间为，单调减区间为.16.解：（1）由，得，故得，所以，即.32-()[)0,15,+∞ (0,)+∞12a ≤2π()sin sin 2f x x x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭1cos sin cos 2)sin 222x x x x x =-+=--πsin 23x ⎛⎫=--⎪⎝⎭()f x πT =πsin 213x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x 5ππ()12x k k Z =+∈π2π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π02π3x ≤-≤ππ0232x ≤-≤π5π612x ()f x ππ2π23x ≤-≤5π2π123x()f x ()f x π5π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦5π2π,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦πA B C ++=(),cos cos()A B C A B C π=-+=-+cos()cos()sin cos a B C a B C B A --+=cos cos sin sin (cos cos sin sin )sin cos a B C a B C a B C B C B A +--=sin sin sin cos a B C B A =由正弦定理，得，显然，，所以，所以.因为，所以.（2）由正弦定理，得，，故.又，所以，，所以.又，所以，所以，所以的取值范围为.17.解：（1）将，，代入函数解析式得，故此时飞行速度为；（2）将，，代入函数解析式得，即，所以，于是，故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位；（3）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，依题意可得：，两式相减得，所以，18.解：（1）由函数可得：，且，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以函数减区间是，增区间是.（2）（i ）因为，的定义域为，sin sin sin sin cos A B C C B A =sin 0C >sin 0B >sin A A =tan A =(0,π)A ∈π3A =2sin sin sin a c bR A C B====b B =c C =2sin )c b C B C B -=-=-πA B C ++=2π3B C =-2π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2π3π22sin sin sin 6sin 326c b C C C C C ⎫⎤⎛⎫⎛⎫-=--==-⎪⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎦⎭2π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ,662C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭π26sin (3,6)6c b C ⎛⎫-=-∈- ⎪⎝⎭2c b -(3,6)-02x =8100x =31log 81lg 22lg 2 1.702v =-=-=1.70km /min 05x =0v =310log lg 52100x =-3log 2lg 52(1lg 2) 1.40100x ==-= 1.43 4.66100x==466x =1x 2x 13023012.5log lg 210011.5log lg 2100x x x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩13211log 2x x =129x x =21()ln 2f x x x =-0x >()211(1)(1)x x x f x x x x x -+-'=-==01x <<()0f x '<()f x 1x >()0f x '>()f x ()f x (0,1)(1,)+∞0a >1()ln x F x ex ax -=--(0,)+∞所以，所以在上单调递增.设，则，当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，所以，所以，即，所以，又，所以存在唯一的，使得，即，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数有唯一极值点.（ii ）由（i ）得，因为函数有唯一零点，所以，所以，即，所以，设，所以，所以在单调递减，因为，，所以.19.（1）因为，，，所以第2项，.（2）设，，因为，所以，单调递增，所以，所以.（3）当时，成立，得出，的最大整数为3.11()x F x e a x-'=--()F x '(0,)+∞()1xh x e x =--()1xh x e '=-0x >()0h x '>()x 0x <()0h x '<()x ()(0)0h x h ≥=10x e x --≥1x e x ≥+111(1)110111a F a e a a a a a a'+=-->+--=->+++(1)0F a '=-<0(1,1)t a ∈+()00F t '=0110t e a t ---=()00,x t ∈()0F x '<()0,x t ∈+∞()0F x '>()F x ()F x ()min 0()F x F t =()F x 0x ()00F t =00x t =011x ea x -=+()00001ln 0F x a x ax x =+--=()00001ln x a x ax x ϕ=+--()0200110x a x x ϕ'=---<()0x ϕ(1,)+∞(1)10ϕ=>1(2)ln 202a ϕ=--<012x <<()cos f x x '=(2)()sin f x x =-(3)()cos f x x =-11cos 01!T x x ==333cos 013!6T x x -==-2()ln(1)2x g x x x =+-+()221111111x x g x x x x x +-'=-+==+++0x >()201x g x x '=>+()g x ()(0)ln1000g x g >=-+=2ln(1)2x x x +>-1x =111e ln126m ++>+1e 3m <+m当时，设，，，当，，单调递增，则，所以，又当时，成立，所以当时.3m =323311()e ln 31ln 3262626xx x x x h x x x x x x =++--=+++++--23()ln 222x h x x x =++-1()220h x x x '=+-≥-=1x >()0h x '>()h x 13()(1)ln12022h x h >=+-+=31e ln 326xx x x ++>+1x =211e ln1326++>+1x ≥31e ln 326xx x x ++>+。
高三数学第一次月考试题及答案
高三数学第一次月考试题及答案一、 选择题（每小题5分，把每小题的正确答案所对应的字母填在题后相应的表格内）1、若集合}03|{},2|||{2=-=≤=x x x N x x M ，则M ∩N=A ．{3}B ．{0}C ．{0，2}D ．{0，3}2、不等式01312>+-x x 的解集是A ．}2131|{>-<x x x 或B ．}2131|{<<-x xC ．}21|{>x xD ．}31|{->x x3、函数f (x )＝x 21-的定义域是A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．（－∞，0）D ．（－∞，＋∞）4、设()x f ＝|x －1|－|x |，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛21f fA ．－21 B ．0 C ．21 D ． 15、设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -=A ．1B ．1-C ．2D ．2-6、已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为A ．1B ．2C ．3D ．47、若函数)1,0( )2(log )(2≠>+=a a x x x f a 在区间)21,0(内恒有()x f >0，则()x f 的单调递增区间为A ．)41,(--∞B ．),41(+∞-C ．(0,∞)D ．)21,(--∞8、对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．49、命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是A.若12≥x ，则11-≤≥x x ，或B.若11<<-x ，则12<xC.若11-<>x x ，或，则12>xD.若11-≤≥x x ，或，则12≥x10．在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x fA.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数11、已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则A.()()76f f >B. ()()96f f >C. ()()97f f >D. ()()107f f > 12、某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为 A ．0.9，35 B ．0.9，45 C ．0.1，35D ．0.1，45秒选择题答题表：二、填空题（每小题4分）13、某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的躯体素养情形，采纳按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的人数为___________．14、已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值范畴是15、把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g = 。
2024学年上海川沙中学高三上学期数学月考试卷及答案(2024.09)
1川沙中学2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知全集U R =，集合(,1)[2,)A =−∞+∞，则A =________． 2．函数()sin2f x x =的最小正周期是________．3．在等比数列{}n a 中，若公比4q =，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a =________．4．参考数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分）依次如下：56、70、91、98、79、80、81、83、84、86、88、90、72、94、78，则15人成绩的第80百分位数是________． 5．在△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为________．6．已知3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的各项系数之和为256，则访二项展开式中的常数项为_____． 7．双曲线222:1y C x b−=的渐近线与直线1x =交于A ，B 两点，且4AB =，那么双曲线C 的离心率为________．8．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若6b =，2a c =，πB 3=，则△ABC 的面积为________．9．春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是45，感冒发作的概率是67，鼻炎发作且感冒发作的概率是35，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是________． 10．已知函数1()lg f x x x =−，则不等式111f x ⎛⎫−< ⎪⎝⎭的解集为________． 11．已知函数()(1)x f x x e =−，若关于x 的不等式()1f x ax <−有且仅有一个正整数解，则实数a 的取值范围是________．212．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足231(,1)n n S a n N n =−∈≥，函数()f x 定义域为R ，对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=−，若()21f =−2025()f a 的值为 .二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13．下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥− C．a b +≥ D．a b +≥−14．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若0(2)(2)1lim22h f h f h →+−=，则(2)f '=（ ）A ．1−B ．14− C ．1 D ．1415．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要16．已知实数1x 、1y 、2x 、2y 、3x 、3y 同时满足：①11x y <，22x y <，33x y <；②112233x y x y x y +=+=+；③11332220x y x y x y +=>，则下列选项中恒成立的是（ ）A ．2132x x x <+B ．2132x x x >+C ．2213x x x <D ．2213x x x >三、解答题（本大题共5题，共141414181878++++=分）17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，∥AB CD ，1AB AD ==，12D D CD ==，AB AD ⊥． （1）求证：BC ⊥平面1D DB ；（2）求点D 到平面1BCD 的距离．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)设函数2()f x x x a=+−，a为常数．（1）若()f x为偶函数，求a的值；（2）设0a>，()()f xg xx=，(]0,x a∈为严格减函数，求实数a的取值范围．19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活。
天津市武清区天和城实验中学2024-2025学年高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年天津市武清区天和城实验中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={1,2,3}，B ={x|x 2−2x−2<0}，则A ∩B =( )A. {1}B. {1,2}C. {1,2,3}D. ⌀2.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，其终边经过点P(1,2)，则sinα=( )A. 2 55 B. 55 C. 2 D. 123.将函数f(x)=2sin(2x +π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位得到函数g(x)的图象，则“φ=3π8”是“函数g(x)为偶函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=|a−b |=2，则|a +b |=( )A. 6B. 5C. 2D. 15.△OAB ，点P 在边AB 上，AB =3AP ，设OA =a ,OB =b ，则OP =( )A. 1a +23bB. 2a +13bC. 13a−23bD. 2a−13b6.设a =log 20.3，b =log 120.4，c =0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. c <a <bC. b <c <aD. a <c <b7.在等差数列{a n }中，a 2=4，且a 1，a 3，a 9构成等比数列，则公差d =( )A. 0或2B. 2C. 0D. 0或−28.若函数f(x)=lnx +x 2−ax 在其定义域内单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1)B. (−∞,2 2]C. (−∞,2]D. [1,+∞)9.已知函数f(x)=2ax 3−3x 2+b 在x =1处取得极小值1，则f(x)在区间[−1,2]上的最大值为( )A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市耀华中学2025届高三上学期第一次月考数学试卷
天津市耀华中学2025届高三上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合A ＝{1，3，5}，B ＝{2，4}，则( ) A ．U ＝A ∪B B ．U ＝(∁U A)∪BC ．U ＝A ∪(∁U B)D ．U ＝(∁U A)∪(∁U B)2．“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()1ln(1)f x x x =-+，则y =f x 的图象大致为( )．A ．B ．C ．D ．4．若函数y cos 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (ω∈N +)图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为() A ．1 B ．2 C ．4 D ．85．函数()()sin cos sin cos y x x x x =+-是A ．奇函数且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．奇函数且在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．偶函数且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调减增D ．偶函数且在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增6．在等差数列{}n a 中，10a =，公差0d ≠，若129m a a a a =+++L ，则m 的值为A ．37B ．36C ．20D ．197．记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,,n x x x ⋯，最小数为{}12min ,,,n x x x ⋯，则{}{}2max min 116x x x x +-+-+=，，A ．34B ．1C ．3D ．72 8．已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在1212,,x x R x x ∈≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a <-或2a >B ．2a >C ．22a -<<D ．2a < 9．已知函数()()()*1ln ,N 1x k f x g x k x x+==∈-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()f c f a g b ==，则k 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题10．已知方程2cos 4sin 0x x a +-=有解，则a 的范围是.11．已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值为．12．已知11sin sin ,cos cos 22αβαβ-=--=，且,αβ均为锐角，则()tan αβ-的值等于 13．函数ln |1|y x =-的图象与函数2cos ,(24)y x x π=--≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于.14．将sin2y x =的图象向右平移ϕ单位（0ϕ>），使得平移后的图象仍过点π(3，则ϕ的最小值为．15．已知数列{}n a 满足：1211,2a a ==，且()2*121n n n n a a n a a +++=∈+N ，则数列{}n a 的通项公式是三、解答题16．在ABC V 中，角 A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且角 A B C ，，成等差数列. （Ⅰ）若3b a ==，求边 c 的值；（Ⅱ）设sin sin t A C =，求 t 的最大值.17．已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<，其图象经过点π1,32M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π．(1)求()f x 的解析式；(2)在ABC V 中，()()3513,,513a f A f B ===，求ABC V 的面积．18．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB =2，AA 1=D 是AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，且CO ⊥平面ABB 1A 1．（1）证明：BC ⊥AB 1；（2）若OC =OA ，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）记()()3210nn n n c a λλ=-⋅-≠，是否存在实数λ使得对任意的*n N ∈，恒有1n n c c +>？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．20．已知a 为实数，函数()2ln 4f x a x x x =⋅+-． (1)是否存在实数a ，使得()f x 在1x =处取极值？证明你的结论；(2)若函数()f x 在[]2,3上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；(3)设()212ln 5a g x a x x x x+=+--，若存在[]01,e x ∈，使得()()00f x g x <成立，求实数a 的取值范围．。
江苏省徐州市铜山区夹河中学2025届高三上学期第一次月考数学试卷
江苏省徐州市铜山区夹河中学2025届高三上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知集合{}{}2,2,1,0,1,2,3A x x B =<=--，则R ()A B =I ð（ ） A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2,3D ．{}2,32．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ⌝和q 都是真命题 C ．p 和q ⌝都是真命题 D ．p ⌝和q ⌝都是真命题3．sin1050︒=（ ）A ．12B ．12-C D ．4．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（ ）AB ．C ．D ．5．若2510a b ==，则11a b+=（ ）A ．1-B ．lg 7C ．1D ．7log 106．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称7．已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．12B C ．23D8．已知函数()2(1)e x f x --=．记,,a f b f c f ===⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>二、多选题9．已知函数f (x )=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间 −π12,11π12有两个极值点 C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴 D ．直线y = 32−x 是曲线()y f x =的切线10．已知ABC V 内角A B C ､､的对边分别是,2a b c A B =､､，则（ ）A ．()2a b b c =+B ．22b a c b+的最小值为3C ．若ABC V 为锐角三角形，则()1,2cb∈D ．若3a b ==，则3c =11．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()1f x +是奇函数，且()()12f x g x -+=，()()32f x g x +-=，则（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()02g =C ．()2010k f k ==∑D ．()20180k g k ==∑三、填空题12．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是.13．若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为．14．曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．四、解答题15．在ABC V 中，sin 2C C ． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC V 的面积为ABC V 的周长．16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求c o s2α的值；（2）求t a n ()αβ-的值．17．已知函数()232x f x x a-=+． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值． 18．在ABC V 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ∠；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c ；条件②：ABC V 的周长为4+条件③：ABC V 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14+=-n n n S a a ，11a =-. (1)证明：数列1{2}n n a a +-为等比数列； (2)设4(1)+=+n n a b n n ，求数列{}n b 的前n 项和；(3)是否存在正整数p ，q （6<<p q ），使得p S ，6S ，q S 成等差数列？若存在，求p ，q ；若不存在，说明理由.。
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高三数学第一次月考试卷（集合、函数）
班级： 学号： 姓名： .
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、如果C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C 是全集。
则有( )
A. C=R ∪I
B. R ∩I=｛0｝
C. R ∩I=φ
D. ＣcR=C ∩I 2、已知{1,3,5,7,9}I
A B ==,{3,7}A B =,{9}A B =,则A B =（ ）
A 、{1,3,7}
B 、{1,5}
C 、{3,7,9}
D 、{3,7}
3、满足｛a ，b ｝UM=｛a ，b ，c ，d ｝的所有集合M 的个数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
4、若命题P ：x ∈A B ，则非 P 是（ ）
A. x ∉A
B B. x ∉A 或x ∉B C. x ∉A 且x ∉B D. x ∈A
B
5、用反证法证明：“若m ∈Z 且m 为奇数，则()
1122
m
m --±均为奇数”，其假设正确的( )
A. 都是偶数
B. 都不是奇数
C. 不都是奇数
D. 都不是偶数
6、命题P:若 a.b ∈R ，则a b +>1是a b +>1的充分而不必要条件：命题q:函数
12y x =
--的定义域是(][),13,-∞-+∞.则 （ ）
A.“ p 或q ”为假
B. “p 且q ”为真
C. p 真q 假
D. p 假q 真
7、 已知01a <<，则方程||
|log |x a a x =的实根个数是( )
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、1个或2个或3个 8、已知0log 2log 2a b <<，则a ，b 的关系是( )
9、 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，1()()3
x
f x =，那么1
(9)f
--的
值为( ) A 、2 B 、-2 C 、3 D 、-3
10、设0.3log 4a =，4log 3b =，2
0.3c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
12、设()lg(101)x
f x ax =++是偶函数，4()2x x
b
g x -=是奇函数，则a b +的值为
13、含有三个实数的集合可表示为{}2,
,1,,0b a a a b a ⎧⎫
=+⎨⎬⎩⎭
，则20052006a b += 14、不等式3log |2|1x -<的解集是________________。
15、函数212
log (2)y x x =-的单调递减区间是____ __。
16、设集合2
122
{|2log log 0}A x x x =-≥，{|||4}B x x a a R x R =-<∈∈，
若A B ⊆，则a 的取值范围是________________。
三、解答题（本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）
17、（本小题满分10分）已知全集U=R ，
{
}{
}
2
2
120,450A x x x B x x x =--≤=--，
求()
()u u C A C B
18、（本小题满分12分）解关于x 的不等式：(1)(1)0ax x -->
19、（本小题满分12分）已知函数1
2
++=
x b ax y 的最大值为4，最小值为－1，
求a 、b 的值.
20、（本小题12分）某市的一家报刊摊点从报社买进一种晚报的价格为每份0.12元，卖
出的价格是每份0.20元，卖不掉的报纸还可以每份0.04元的价格退回报社。
在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同。
他每天应该从报社买进多少份报纸，才能使每月可获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
21、（本小题满分14分）二次函数f(x)=ax 2+bx+c 和一次函数g(x)= －bx ，其中a 、b 、c
满足a>b>c ，a+b+c=0（a 、b 、c ∈R ）. （1）求证：两函数图象交于不同的两点A 、B ； （2）求证：方程f(x)－g(x)=0的两根均小于2； （3）求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围.
22、（本小题满分14分）设函数2
()21
x f x a =-
+。
(Ⅰ)求证：无论a 为何实数，()f x 总是增函数；（Ⅱ）确定a 值，使()f x 为奇函数； （Ⅲ）当()f x 为奇函数时，求()f x 的值域。