高三数学第一次月考试卷
高三第一次月考(数学)试卷含答案
高三第一次月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．若{}{}2|22,|log (1)M x x N x y x =-≤≤==-，则M N =（ ）A.{}|20x x -≤<B. ﹛x| -1<x<0﹜C.{}2,0-D.{}21|≤<x x 2.（5分）2.复数imi212+-=A+B i (m 、A 、B ∈R)，且A+B=0，则m 的值是 （ ） A. 32- B. 32 C.2 D.23.（5分）3．下列命题中，真命题是 ( )A ．,00≤∈∃x e R x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 4.（5分）4.函数212log 4f xx 的单调递增区间是（ ）A.（0，+∞）B. （-∞，0）C. （2，+∞）D. （-∞，-2）5.（5分）5.函数f(x)=-1x+log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)6.（5分）6.如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),那么( )A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1) 7.（5分）7．函数()3cos 2xxf x x⋅=的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8.（5分）8．曲线y ＝e x ＋1在x ＝1处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.12e B ．e 2 C ．2e 2D ．94e 2 9.（5分）9.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，2()f x x =.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 （ ） A ．0 B ．0或－14 C ．－14或－12 D.0或－1210.（5分）10.若函数x x f xx2sin 3)(1212++=+-在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n],则m+n 等于( )A.0B.2C.4D.611.（5分）11.已知函数f(x)在R 上满足f(x)=2f(2-x)-x 2+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是 （ ）A.y=-2x+3B.y=xC. y=2x-1D.y=3x-212.（5分）12．设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为（ ）A ．3B ．7C ．5D ．6二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．函数24ln(1)x y x -=+的定义域为_______________14.（5分）14.函数y ＝log a (2x －3)＋8的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数f(x)的图象上，则f （3）＝________.15.（5分）15.若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为________16.（5分）16.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意x ∈R 总有)('x f <3，则不等式 f (x)<3x －15的解集为________．三、 解答题 （本题共计7小题，总分80分） 17.（12分）17．（本大题满分12分）设p ：函数y ＝log a (x ＋1)(a ＞0且a≠1)在(0，＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点.如果p∧q 为假，p∨q 为真，求实数a 的取值范围.18.（12分）18．（本大题满分12分）已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值；(2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．19.（12分）19.（本大题满分12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据： 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y7580777081(1)已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列.20.（12分）20. （本大题满分12分）设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-．（1）求a ，b ，c 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值．21.（12分）21. （本大题满分12分）已知函数f(x)＝ax －ln x ，a ∈R.(1)求函数f(x)的单调区间； (2)当x ∈(0，e]时，求g (x )＝e 2x －ln x 的最小值； (3)当x ∈(0，e]时，证明：e 2x －ln x －x x ln >52.22.（10分）22.（本大题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 213235 (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ． (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|·|MB|的值．23.（10分）23. （本大题满分10分） 选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a |≥1(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围答案一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5分）D2.（5分）A3.（5分）D4.（5分）D5.（5分）B6.（5分）A7.（5分）D8.（5分）A9.（5分）B10.（5分）D11.（5分）C12.（5分）B二、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13.（-1,0）∪（0,2］14.（5分） 14. 2715.（5分） 15.［-3，1］16.（5分） 16.（4，+∞）三、解答题（本题共计7小题，总分80分）17.（12分）17.1/2≤a＜1或a＞5/218.（12分）18.（1）f(x)最大值为5，最小值为1；（2）m的取值范围为（-∞，2]∪[6，+∞)19.（12分）19.（1）35件；（2）35×2/5=14件；（3）由题意，ξ的取值有0,1,2，P(ξ=0)=3/10,P(ξ=1)=3/5,P(ξ=2)=1/10,分布列为(2)f(x)的最大值为18，最小值为-8221.（12分）21.（1）综上，a≤0时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞），无单调增区间；a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0,1/a），单调增区间是（1/a，+∞）;(2)g（x）最小值为3;(3)略22.（10分）22.（1）x2+y2=2x;(2)｜MA｜·｜MB｜=1823.（10分）23.(1)(-∞,1/2]∪[5/2.+∞); (2)[4,+∞)。
高三第一次月考试卷数学
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(1)$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 若$a > 0$，$b > 0$，则下列不等式中恒成立的是（）A. $a^2 + b^2 \geq 2ab$B. $a^3 + b^3 \geq 2ab(a + b)$C. $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$D. $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5 = 50$，$S_8 = 80$，则$a_6 + a_7$的值为（）A. 15B. 20C. 25D. 304. 函数$y = \log_2(x + 1)$的图像与直线$y = x - 1$的交点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 35. 在直角坐标系中，点$A(1, 2)$关于直线$x + y = 1$的对称点$B$的坐标是（）A. $(-2, -1)$B. $(-1, -2)$C. $(2, -1)$D. $(1, -2)$6. 已知复数$z = 3 + 4i$，则$|z|$的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 127. 若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，且$a_1 + a_2 + a_3 = 21$，$a_2 \cdot a_3 = 27$，则$q$的值为（）A. 3B. $\frac{3}{2}$C. $\frac{2}{3}$D. 18. 在$\triangle ABC$中，$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则$\sin A$的值为（）A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{3}$D.$\frac{5}{4}$9. 已知函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$，则$f(x)$的对称轴方程是（）A. $x = 1$B. $x = -1$C. $y = 1$D. $y = -1$10. 若平面直角坐标系中，点$P(2, 3)$在直线$l$上，且直线$l$的方程为$y = kx + b$，则$k$的值为（）A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
2024-2025学年邵阳市二中高三数学上学期第一次月考试卷附答案解析
2024-2025学年邵阳市二中高三数学上学期第一次月考试卷时间：120分钟满分：150分2024.08一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若非空集合A ,B 满足A B ⊂，U 为全集，则下列集合中表示空集的是（）A.A B ⋂；B.A B ；C.A B ⋂；D.A B ．2.sin40°(tan10°－3)＝A.－12B.－1C.2D.－33.已知函数112y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是[]2,4，则函数()()()ln 2f x g x x =-的定义域为（）A.()2,3 B.(]2,3 C.()(]2,33,6 D.()(]2,33,4 4.下列求导数计算错误．．的是（）A.211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭B.222e e x x x x x'⎛⎫-= ⎪⎝⎭C.()ln 1ln x x x'=+ D.()21tan cos x x'=5.苏格兰数学家纳皮尔（J .Napier ，1550-1617）发明的对数及对数表（如下表），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N 可以表示成10(110,Z)n N a a n =⨯≤<∈，则(lg lg 0l 1)g N n a a =+≤<，这样我们可以知道N 的位数.已知正整数31M 是35位数，则M 的值为（）N23451112131415lg N0.300.480.600.701.041.081.111.151.18A.3B.12C.13D.146.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（）附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有1122m L m L =，其中1m 、2m 分别为左、右盘中物体质量，1L 、2L 分别为左右横梁臂长．A.等于10gB.小于10gC.大于10gD.不确定7.如图，在ABC V 中，已知2,5,60,,AB AC BAC BC AC ==∠=︒边上的两条中线,AM BM 相交于点P ，求MPN ∠的余弦值．（）A.69191B.49191C.59191D.791918.已知直线y kx b =+是曲线2(1)y x a =-+的切线，也是曲线ln 1y a x =-的切线，则k 的最大值是（）A.2e B.4eC.2eD.4e二､多选题（本题共三小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数()3113f x x x -=-，则（）A.()f x 有一个零点B.()f x 的极小值为53-C.()f x 的对称中心为()0,1 D.直线=1y x --是曲线()y f x =的切线10.设点D 是ABC V 所在平面内一点，O 是平面上一个定点，则下列说法正确的有（）A.若2133AD AB AC =+，则D 是BC 边上靠近B 的三等分点B.若cos cos AB AC AD AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，（R λ∈且0λ≠），则直线AD 经过ABC V 的垂心C.若AD xAB yAC =+ ，且x ，R y ∈，12x y +=，则BCD △是ABC V 面积的一半D.若平面内一动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，（R λ∈且0λ≠），则动点P 的轨迹一定通过ABC V 的外心11.设函数()()sin 0g x x ωω=>向左平移5πω个单位长度得到函数()f x ，已知()f x 在[]0,2π上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（）A.()f x 的图象关于直线2x π=对称B.在()0,2π上，方程()1f x =的根有3个，方程()1f x =-的根有2个C.()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC b =，()BC a b a =≥，AB c =，图中两个阴影三角形的周长分别为1l ，2l ，则12l l a b++的最小值为________.13.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离()cm d 表示成()s t 的函数，则d =______其中[]0,60t ∈.14.如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 点在正方形内（含边界），且AP AB →→=．①若BP AB →→=，则AP BP →→⋅的值是_______；②若向量AC DE AP λμ→→→=+，则λμ+的最小值为________．四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为s s ，且(12sin sin cos )sin cos B A C b a C B -=．（1）求ba的值；（2）若6a =，点D 是线段BC 上的一点，CAD BAD ∠=∠，DA DC =，求cos C 的值．16.如图所示，正方形11AA D D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22AB AD ==，点E 为AB 的中点.（1）求证：1//BD 平面1A DE ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使二面角1D MC D --的平面角的大小为π4？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.17.已知函数()()e 1ln xf x a x x x=--+，其导函数为()f x '.（1）若()f x 在()1,+∞不是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）若()0f x ≥在()1,+∞恒成立，求实数a 的最小整数值.()2e 7.39≈18.已知函数() 2.f x x x a =-+（1）当2a =时，求()f x 的单调增区间；（2）若12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->，求实数a 的取值范围．19.如果数列{}n a 满足：1230n a a a a +++=⋅⋅⋅+且()12313N ,n a a a a n n *+++⋅⋅⋅+=≥∈，则称{}n a 为n 阶“归化”数列.（1）若某3阶“归化”数列{}n a 是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；（2）若某11阶“归化”数列{}n a 是等差数列，求该数列的通项公式；（3）若{}n a 为n 阶“归化”数列，求证12311111.2322n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≤-【答案解析】1.D【分析】根据venn 图，对各个选项逐一分析，即可求得正确答案.【详解】根据venn可以看出对A ，A B A ⋂=≠∅；对B ，A B B ⋂=≠∅；对C ，A B ⋂≠∅；对D ，A B ⋂=∅.故选：D 2.B【分析】利用三角函数的切化弦及化一公式、诱导公式化简即可求解．【详解】解：sin 40(tan10︒︒-sin10sin 40(cos10︒=︒-︒sin10sin 40·cos10︒︒=︒︒132sin 40(sin10cos10)22cos10︒︒-︒=︒2sin 40sin(1060)cos10︒︒-︒=︒2sin 40sin 50cos10-︒︒=︒sin 40cos 402cos10-︒︒=⨯︒sin801cos10︒=-=-︒故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的切化弦及化一公式、诱导公式的综合应用．3.A【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.【详解】因为函数112y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是[]2,4，所以24x ≤≤，所以12132x ≤+≤，所以函数()f x 的定义域为[]2,3，所以要使函数()()()ln 2f x g x x =-有意义，则有232021x x x ≤≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解得23x <<，所以函数()()()ln 2f x g x x =-的定义域为()2,3.故选：A.4.B【分析】利用导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算即可．【详解】解：A ．1211()()x x x-''==-，正确，不符合题意；B ．22222e e 2(e (e )e x x x x xx x x x x --'==，错误，符合题意；C ．(ln )ln (ln )ln 1x x x x x x x '''=⋅+⋅=+，正确，不符合题意；D ．22222sin (sin )cos sin (cos )cos sin 1(tan )()cos cos cos cos x x x x x x x x x x x x''-⋅+''====，正确，不符合题意．故选：B ．5.C【分析】根据所给条件列出不等式，结合对数的运算即可求解.【详解】由题意可知3431351010M ≤<,两边同时取对数可得3431lg 35M ≤<，所以3435lg 3131M ≤<，故3435lg 3131M ≤<，则1.09lg 1.13M ≤<，由表中数据可知13M =,故选：C 6.C【分析】设天平左臂长1x ，右臂长2x ，且12x x ≠，根据已知条件求出1a 、2a 的表达式，利用基本不等式比较12a a +与10的大小关系，即可得出结论.【详解】设天平左臂长1x ，右臂长2x ，且12x x ≠，设天平右盘有1a 克黄金，天平左盘有2a 克黄金，所以11221255x a x a x x =⎧⎨=⎩，所以1125x a x =，2215x a x =，则1212215510x x a a x x +=+>．故选：C ．7.B【分析】先求三角形中线AM ，BN 的长度，根据三角形重心的性质求得PA ，PB ，在PAB 中，利用余弦定理求APB ∠的余弦，即为所求结果.【详解】因为25cos 605AB AC ⋅=⨯⨯︒=，24AB = ，225AC = .因为()12AM AB AC =+ ⇒AM =2==12BN AC AB =-⇒BN =212==.由P 为ABC V 的重心，所以23933PA AM ==，22133PB AN ==.在PAB 中，由余弦定理，得：222cos cos 2PA PB ABMPN APB PA PB+-∠=∠=⋅392149933+-=49191=.故选：B【点睛】关键点点睛：熟悉三角形重心得性质是解决问题得关键.8.B【分析】设切点分别为211(,(1))x x a -+和22(,ln 1)x a x -，则()()12f x g x k ''==，根据题意转化为211n02l a x x a +=有解，设()2112ln h a a a x x +=，求得()11ln ln(2)h a a x '=+-，得出函数的单调性和极小值12(e x h ，结合12()0exh ≤，即可求解.【详解】因为y kx b =+是()2(1)f x x a =-+和()ln 1g x a x =-的公切线，设切点分别为211(,(1))x x a -+和22(,ln 1)x a x -，则()()12f x g x k ''==，由()2(1)f x x a =-+，可得()2f x x '=，则()112k f x x '==又由()ln 1g x a x =-，可得()a g x x'=，且0x >，则()22a k g x x '==，所以2211221ln 2a x x a a x k x x x -+===-，可得211111ln222aa x a x x k ax x -+==-，即211n02l ax x a +=，显然1,a x 同号，不妨设10,0a x >>，设()2112lnh a a ax x +=，（其中10,0a x >>），可得()11ln ln(2)h a a x '=+-，令()0h a '=，可得12ex a =，当12(0,e x x ∈时，()0h a '<，()h a 单调递减；当12(,)exx ∈+∞时，()0h a '>，()h a 单调递增，要使得()0h a =有解，则需要12(0e x h ≤，即211111222e (ln 0e e 2x x x x x h =+≤即21120e x x -+≤，解得12e x ≤，所以142e k x =≤，即k 的最大值为4e.故选：B.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．9.ABD【分析】对于A ，由函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，再结合零点存在性定理分析判断，对于B ，由选项A 的得到函数的单调区间分析判断，对于C ，令()313h x x x =-，可判断()h x 的图象关于原点对称，从而可判断出()f x 的对称中心，对于D ，利用导数的几何意义分析判断即可.【详解】对于A ，由()3113f x x x -=-，得()()()2111f x x x x =-=+-'，令()0f x '<，得11x -<<；令()0f x '>，得1x <-或1x >，则函数()f x 在()1,1-上单调递减，在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，且()()()1510,10,35033f f f -=-<=-<=>，所以当1x ≤时，()()10f x f ≤-<，当1x >时，()f x 存在唯一零点，故函数()f x 在R 上只有一个零点，故A 正确；对于B ，由选项A 可知，函数()f x 的极小值为()513f =-，故B 正确；对于C ，令()313h x x x =-，定义域为R ，则()()313h x x x h x -=-+=-，所以函数()h x 为奇函数，对称中心为()0,0，将函数()h x 图象向下平移1个长度单位，得函数()f x 的图象，所以()f x 的对称中心为()0,1-，故C 错误；对于D ，由选项A 知，()21f x x '=-，令()10f x x =-⇒='，又()01f =-，所以切线方程为()10y x +=--，即=1y x --，所以直线=1y x --是曲线()y f x =在点()0,1-处的切线，故D 正确，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查利用导数解决函数零点问题，考查导数解决函数极问题，考查导数的几何意义，解题的关键是对函数求导，然后由导数的正负求出函数的单调区间，再分析判断，考查计算能力，属于较难题.10.ABC【分析】对于A ，化简等式成13BD BC = ，即可判断；对于B ，将等式两边与BC作点乘，化简得出结果为0即可判断；对于C ，利用平面向量基本定理推出三点共线，结合图形和共线向量即得结论；对于D ，化简向量等式，利用单位向量作出00AB DC 即得菱形，推得AP AD λ=，即得结论.【详解】对于A ，由2133AD AB AC =+ 可得，)13311(3AD AB AB AC AC AB =--=-+，即得13BD BC =，故点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，故A 正确；对于B ，因()cos cos AB AC AD AB B AC C λ=+，则()()cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC AD BC BC AB B AC C AB B AC C λλ⋅⋅⋅=+⋅=+cos cos ()()0cos cos AB BC B AC BC C BC BC AB B AC Cλλ-⋅⋅=+=-+=，即AD BC ⊥，故直线AD 经过ABC V 的垂心，即B 正确；对于C ，因AD xAB yAC =+ ，12x y +=，则222AD x AB y AC =+ ，设2AM AD =，则22AM x AB y AC =+ ，因221x y +=，故,,M B C 三点共线，如图1所示，12DM AM =，故DBC △的BC 边上的高是ABC V 的BC 边上的高的一半，故BCD △是ABC V 面积的一半，即C 正确；对于D ，由()AB AC OP OA AB AC λ=++ 可得，()AB AC AP AB ACλ=+，如图2，取00,||||AB AC AB AC AB AC ==，则有00||||1AB AC ==，以00,AB AC 为两邻边作00AB DC ，易知00AB DC 是菱形，故AD 平分BAC ∠，且00AD AB AC =+ 故得，AP AD λ=，故动点P 的轨迹为BAC ∠的平分线，即动点P 的轨迹一定通过ABC V 的内心，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量的线性运算和数量积的应用，属于难题.对于向量等式，要结合图形，和选项的启发，有时从构造平面向量基本定理的条件入手；有时通过与其他向量的点乘为0判断线线垂直；有时通过两单位向量的和作平行四边形，推得菱形.11.CD【分析】根据函数的零点的个数，求出参数ω的范围，再判断函数的单调性、对称性和方程根的个数.【详解】由题意，()sin ()sin()55f x x x ππωωω=+=+，由题意，2x π=不一定是函数的对称轴，所以A 错误；当[0,2]x πÎ时，得[,2555x πππωωπ+∈+，故5265ππωππ≤+<；1229510ω≤<，所以D 正确.因为5265ππωππ≤+<，则()1f x =的根分别可由52x ππω+=或552x ππω+=或952x ππω+=求出，共有3个根；当115252πππωπ≤+≤时，()1f x =-的根分别可由352x ππω+=或752x ππω+=求出，共2个根；当112625ππωππ<+<时，()1f x =-的根分别可由352x ππω+=或752x ππω+=或1152x ππω+=求出，共3个根；所以B 错误；当(0,10x π∈时，得(,)55105x ππωππω+∈+，由1229510ω≤<，得1149[,10525100ωππππ+∈，所以1052ωπππ+<，此时()f x 在(0,10π上单调递增，所以C 正确.故选：CD.【点睛】本题重点考查三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质，难度较大，做题时注意利用整体法判断：即通过将x ωϕ+作为整体，借助sin y x =的图象和性质来进行判断.12.12+【分析】根据图形中的相似关系先表示出12l l +，然后利用基本不等式求解出最小值.【详解】如图1，易知BDE V ∽ACB △，且BD CD BC b a =-=-，所以1l BD b a AC b a b c -==++，所以()1b al a b c b -=⨯++；如图2，易知GFH ∽ACB △，且FG a =，所以2l FG a AC b a b c ==++，所以()2al a b c b=⨯++，所以1211l l a b c a b a b a b +++==+=++++1=,又因为222a b ab +≥，所以2221ab a b +≤，当且仅当a b =时取等号，所以12112l l a b +≥+=++，所以最小值为12+，故答案为：12+.13.πt10sin60,[]0,60t ∈【分析】可以求出π30t AOB ∠=，从而由余弦定理可以得到d =即可化简得πt10sin 60.【详解】如图，πt 2π=6030t AOB ∠=⋅；在AOB V 中，由余弦定理得，由[0t ∈，60]知，πsin 060tππt 52sin 10sin 6060t AB d =====⨯=故答案为：πt10sin 60．14.①.12##0.5②.12##0.5【分析】①由题知ABP 是边长为1的等边三角形，进而根据向量数量积求解即可；②考虑到该题为高一题目，不能使用导数，故提供了另一种解法，法二仅供参考.法一：结合图像，作AF DE →→=，连接PF ，设1PF AC C ⋂=，利用1A C C 、、三点共线可得1AC AF t AP t →→→=+μλ，又1P C F 、、三点共线，故可得1t+=λμ，因此只需要考虑t 值最大的情况即可得到λμ+的最小值.法二：由题知点P 的轨迹为以A 为圆心，AB 为半径的圆在正方体ABCD 内的圆弧部分，进而建立直角坐标系，设点()cos ,sin ,0,2P πααα⎡⎤∈⎢⎣⎦,再利用向量坐标运算得2sin 2cos 3,2cos sin 2cos sin ααλμαααα-==++，进而构造函数，利用导数研究函数最值即可得答案.【详解】解：①因为AP AB →→=，BP AB →→=，所以ABP 是边长为1的等边三角形，所以1cos ,11cos 32AP BP AP BP AP BP π⋅=⋅=⨯⨯=.②法一：如图，作AF DE →→=，连接PF ，设1PF AC C ⋂=，由于1A C C 、、共线，不妨设1AC t AC=，又AC DE AP λμ→→→=+故1t A D t t t t C AC E AP DE AP AF AP t →→→→→→→→⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭μλλμλμ，又由于1P C F 、、共线，所以1t t =+λμ，故1t+=λμ，结合图像可知，当P B 、两点重合时，PF AC 、交于2C 处，此时t 值最大，易知//BC AG ，故1max 2AC AGt AC BC===，故()min max 112t =+=μλ..法二：因为AP AB →→=，所以点P 的轨迹为以A 为圆心，AB 为半径的圆在正方体ABCD 内的圆弧部分，所以以点A 为坐标原点，如图建立坐标系，因为正方体ABCD 的边长为1，所以设点()cos ,sin ,0,2P πααα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()10,0,1,1,0,1,,02A C D E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以由AC DE AP λμ→→→=+得()()11,1,1cos ,sin 2λμαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以11cos 21sin λμαλμα⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得2sin 2cos 3,2cos sin 2cos sin ααλμαααα-==++，所以2sin 2cos 32sin 2cos 32cos sin 2cos sin 2cos sin ααααλμαααααα--++=+=+++，令()2sin 2cos 33sin 31,0,2cos sin 2cos sin 2f αααπαααααα-++⎡⎤==-+∈⎢⎥++⎣⎦，所以()()266sin 3cos '0,22cos sin f ααπαααα+-⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦+因为0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以66sin 3cos 0αα+->，所以()()266sin 3cos '02cos sin f ααααα+-=>+在区间0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，所以函数()f α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()min23122f α-+==，所以λμ+的最小值为12.故答案为：12；12..【点睛】本题考查向量坐标运算，数量积运算，导数求解函数最值，考查运算求解能力，是难题；本题第二空解题的关键在于灵活利用向量共线的性质与结论，将λμ+转化为1t 1AC t AC ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而考虑特殊位置点即可；而法二，将利用了导数的知识，根据题意设点()cos ,sin ,0,2P πααα⎡⎤∈⎢⎣⎦，进而利用坐标运算得2sin 2cos 3,2cos sin 2cos sin ααλμαααα-==++，再结合函数性质求解最值即可.15.（1）36b a =（2）cos 3C =【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换即可求解；（2）由,ADB ADC 的面积比值得AB BD AC CD=（角平分线定理），设(0)AB BDm m AC CD ==>，则AB =，61m BD m =+，61CD m=+，再通过余弦定理列式即可求解.【小问1详解】因为(12sin sin cos )sin cos B A C b a C B -=，由正弦定理得(12sin sin cos )sin sin sin cos B A C B A C B -=，所以212sin sin sin cos sin cos sin sin (sin cos cos sin )B AC B A C B A C B C B =+=+2sin sin()sin sin(π)sin A B C A A A =+=-=.即2212sin sin B A =,由正弦定理得2212b a =，又0a >、0b >，则36b a =或36b a =-（舍去）．所以36b a =.【小问2详解】因为CAD BAD ∠=∠，设ABC V 中BC 边上的高为h ，所以11sin 2211sin 22ADB ADC AD AB BAD BD hS S AD AC CAD CD h ⋅∠⋅==⋅∠⋅ ，所以AB BDAC CD =，设(0)AB BDm m AC CD==>，由6a =，6b a =，6BD CD BC +==,所以b =，则AB =，61m BD m =+，61CD m=+,在ABC V 中，由余弦定理得222222cos2CA CB AB C CA CB +-==⋅，设AC 的中点为E ，连接DE ，如图所示，由DA DC =,则DE AC ⊥，在Rt CED 中，3(1)cos 12CE m C CD +==，所以222)12m +=解得3m =或4m =-（舍去），所以cos 3C =.16.（1）证明见解析（2）存在，2AM =-【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质得1DD ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面1A DE 的法向量、1BD，利用11BD n ⊥ 可得答案；（2）假设在线段AB 上存在点M ，设()()001,,002M y y ≤≤，求出平面1D MC 、平面MCD 的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.【小问1详解】平面11AA D D ⊥平面ABCD ，平面11AA D D ⋂平面ABCD AD =，11,⊥⊂DD AD DD 平面111,AA D D DD ∴⊥平面ABCD ，则以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()()()()()()110,0,0,0,2,0,1,0,1,0,0,1,1,2,0,1,1,0D C A D B E .()()11,0,1,1,1,0DA DE ∴==，设平面1A DE 的法向量为1 =1,1,1，则11111110n DA x z n DE x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =，解得：()1111,1,1,1,1y z n =-=-∴=--，又()1111,2,1,0BD BD n =--∴⋅= ，即11BD n ⊥ ，又1⊄BD 平面11//,∴A DE BD 平面1A DE ；【小问2详解】假设在线段AB 上存在点M ，使二面角1D MC D --的大小为π4.设()()001,,002M y y ≤≤，则()()011,2,0,0,2,1MC y D C =--=-.设平面1D MC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则()222021222020n MC x y y n D C y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，解得：()202202,2,2,1,2x y z n y =-=∴=-，又平面MCD 的一个法向量为()10,0,1D D =-，212121πcos cos ,42n D D n D D n D D⋅∴=⋅==，即200410yy -+=，解得：02y =-或02y=+（舍去），此时2AM =，∴在线段AB 上存在点M ，使二面角1D MC D --的平面角的大小为π4，此时2AM =.17.（1）(),e -∞-（2）7-【分析】（1）求出函数的导数，根据题意可知'在1,+∞有变号零点，由此结合函数的单调性，解不等式即可求得答案；（2）法一：采用分离参数法，将原不等式变为即为2e ln xa x x x x ≥-+在1,+∞恒成立，构造函数()2e ln xm x x x x x=-+，求函数的导数，利用导数求其最小值，即可求得答案；法二：求函数()()e 1ln xf x a x x x=--+的导数，利用导数判断其单调性，求得函数最小值，结合解不等式即可求得答案.【小问1详解】()()()()()22e 11e 1e 111x x xx a x x ax x x f x a x x x x ⎛⎫-+ ⎪--+-⎛⎫⎝⎭=--+== ⎪⎝⎭'；因为()f x 在1,+∞不是单调函数，所以'在1,+∞有变号零点；因为10x x ->恒成立，令()e xg x a x=+，则()g x 在1,+∞有变号零点；因为()()21e 0xx g x x-'=>，所以()g x 在1,+∞单调递增，因为()1e g a =+，当x 的值趋近正无限大时，exx趋近于正无限大，a 为待定的参数，故()g x 趋近于正无限大，故只需e 0a +<，即e a <-，所以实数a 的取值范围是(),e ∞--.【小问2详解】（法一）令()1ln (1)x x x x ϕ=-+>，因为()110x xϕ'=-<在1,+∞恒成立，所以在1,+∞单调递减，所以()()10x ϕϕ<=，所以()0f x ≥在1,+∞恒成立，即为2e ln xa x x x x ≥-+在1,+∞恒成立，令()2e ln xm x x x x x=-+，则()()()222e ln 12ln 1ln xm x x xx x x x x xx x=-+-+--'-+()()()22e 1ln 2ln xx x x x xx x=⋅--+-+，令()ln 2h x x x =-+，则()110h x x-'=<在1,+∞恒成立，所以ℎ在1,+∞单调递减；因为()()110,4ln420h h =>=-<；所以ℎ有唯一零点0x ，且()0200001,4,ln 2,e ex x x x x ∈=-∴=当()01,x x ∈时，ℎ>0，即()0m x '>，所以()m x 在()01,x 单调递增；当∈0,+∞时，ℎ<0，即()0m x '<，所以()m x 在()0,x ∞+单调递减；所以()()220max02200000000e e ()e 7.39ln 2x x m x m x x x x x x x x x ====-≈--+-+-；所以实数a 的最小整数值为7-.（法二）()()e 1x x a x f x x⎛⎫-+ ⎝'⎪⎭=由（1）得，当e a -≥时，()f x 在1,+∞上单调递增，所以()()1e 0f x f >=>成立.当e a <-时，存在()01,x ∞∈+，使得()0e 0,xf x a x ==-'当()01,x x ∈时，'<0，当∈0,+∞时，'>0，所以()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增；所以()()()000min0000e ()1ln 1ln 2ln e x x x f x f x a x x a a a a x ⎛⎫⎡⎤==--+=--+=--- ⎪⎣⎦⎝⎭，令()2ln 0a a ⎡⎤---≥⎣⎦得()ln 2a -≤；解之得2e e a -≤<-.综上，2e 7.39a ≥-≈-，所以实数a 的最小整数值为7-.【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题，常用方法有：（1）将原不等式变形整理，分离参数，继而构造函数，转化为求解函数的最值问题解决；（2）直接构造函数，求导数，求解函数的最值，使得最小值恒大于(或大于等于)0或恒小于（或小于等于）0，解不等式即可.18.（1）单调递增区间为(),1-∞和()2,+∞（2）(,1))-∞⋃+∞【分析】（1）根据已知及分段函数，函数的单调性与单调区间的计算，求出()f x 的单调增区间；（2）根据已知及二次函数的性质求最值，结合不等式和绝对值不等式的计算求出实数a 的取值范围．【小问1详解】当2a =时，()2222,22222,2x x x f x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨-++<⎩，2x ≥时，()f x 单调递增，2x <时，()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,2上单调递减，所以()f x 的单调递增区间为(),1∞-和()2,∞+，【小问2详解】12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->所以()()12max 2f x f x ->，即()()max min 2f x f x ->，①当2a ≥时，()22f x x ax =-++，对称轴2a x =，(i)当122a ≤≤即24a ≤≤时，()2max 224a a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()min 02f x f ==，所以()20224a a f f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以a >a <-，因为24a ≤≤，所以4a <≤，(ii)当22a>即4a >时，()()max 222f x f a ==-，()()min 02f x f ==，所以()()20242f f a -=->，3a >，因为4a >，所以4a >，②当0a ≤时，()22f x x ax =-+，对称轴02a x =<，所以()()max 262f x f a ==-，()()min 02f x f ==，所以()()20422f f a -=->，1a <，所以0a ≤，③当02a <<时，()222,02,2x ax x a f x x ax a x ⎧-++<<=⎨-+<<⎩，因为()()()min 02f x f f a ===，因为()220124a a f f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，所以2a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭不可能是函数的最大值，所以()()max 262f x f a ==-，所以()()20422f f a -=->，所以01a <<，综上所述：a 的取值范围是(,1))-∞⋃+∞.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了分段函数，函数的单调性与单调区间，函数的最值，不等式和绝对值不等式的应用，属于较难题，解题的关键是将12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->，转化为()()max min 2f x f x ->，然后分类利用二次函数的性质求出其最值即可，考查了分类思想和计算能力19.（1）11,0,22-（2）6,(N ,11)30n n a n n +-=-∈≤（3）证明见解析【分析】（1）设123,,a a a 成公差为r 的等差数列，显然0r >，由1230a +a +a =得到11330,0a r a +=<，2310,0,a a a ==->由123++=1a a a 得到112a =-，得到答案；（2）设公差为d ，根据等差数列求和公式得到60a =，当0d =，0d >和0d <，求出首项和公差，得到通项公式；（3）设12,,p i i i a a a ，为i a 中所有大于0的数，12m j j j a a a ，，，为j a 中所有小于0的数，故1212p i i i a a a = ++，1212m j j j a a a =- ++，所以12111111111222k k kk p p m m i j n i j k k k k k k a a a a a a a n i j n n====+=+≤+=-∑∑∑∑ ++.【小问1详解】设123,,a a a 成公差为r 的等差数列，显然0r >，则由1230a +a +a =得111330,0,0a r a r a +=∴-=>∴<，213110,20,a a r a a r a ∴=+==+=->由123++=1a a a 得121a -=，解得112a =-，∴数列11,0,22-为所求3阶“归化”数列.【小问2详解】设等差数列12311,a a a a ⋯，，，的公差为d ，因为123110a a a a ⋅⋅⋅+=+++，所以11110112da ⨯+=0，，所以150a d +=，即60a =.当0d =时，此时()12303N n a a a a n n *+++⋅⋅⋅+=≥∈，，与归化数列的条件()12313N n a a a a n n *+++⋅⋅⋅+=≥∈，相矛盾.当0d >时，由12561,02a a a a ++⋅⋅⋅+=-=，故1541522a d ⨯=-+，又150a d =+，联立解得111,306d a ==-，所以()116N ,11.63030n nn a n n +--=-+=∈≤当0d <时，由12512a a a ++⋅⋅⋅+=，60a =，同理解得111,306d a =-=，所以()116N ,1163030n n n a n n +--=-=-∈≤.综上，当0d >时，()6N ,1130n n a n n +-=∈≤；0d <当时，()6,N ,11.30n n a n n +-=-∈≤【小问3详解】由已知可得：必有0i a >，也必有0j a <（{},1,2,3,,i j n ∈ ，i j ≠），设12,,p i i i a a a ，为i a 中所有大于0的数，12m j j j a a a ⋯，，，为j a 中所有小于0的数，由已知得1212p i i i X a a a =++= ，12j 12m j j Y a a a =++=- ，所以11111211111222k k k k k k k k i j n i j p m p m k ka a a a a a a n i j n n ∑∑∑∑====+++=+≤+= .【点睛】数列不等式问题，常常需要进行放缩，放缩后变形为等差数列或等比数列，在结合公式进行证明，又或者放缩后可使用裂项相消法进行求和，常常使用作差法和数学归纳法，技巧性较强.。
2024-2025学年河南省周口市太康第一高级中学高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年河南省周口市太康第一高级中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|x x−1≤0}，则∁R A =( )A. (−∞,0)∪(1,+∞)B. (−∞,0]∪[1,+∞)C. (−∞,0)∪[1，+∞)D. [0,1)2.设x ∈R ，则“ x +1≤2”是“|x−1|<2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A. 若a >b ，则a|c|>b|c|B. 若a >b ，则1a 2<1b 2C. 若a c 2>b c 2，则a >bD. 若a 2>b 2，则a >b 4.已知a ，b ∈R ，且2a−b−2=0，则9a +13b 的最小值为( )A. 2B. 4C. 6D. 85.已知函数f(x)的定义域为R ，f(x +2)为偶函数，f(2x +1)为奇函数，则( )A. f(−12)=0B. f(−1)=0C. f(2)=0D. f(4)=06.已知函数f(x)的定义域为R ，满足f(x +1)=f(1−x)，当x 1，x 2∈(1,+∞)，且x 1≠x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立，设a =f(−1)，b =f(0)，c =f(e)(其中e =2.71828…)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c >a >bB. c >b >aC. b >a >cD. b >c >a7.已知函数f(x)={−x 2+ax,x ≤1ax−1,x >1，若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是( )A. a <2B. a >2C. −2<a <2D. a >2或a <−28.如果函数f(x)=12(m−2)x 2+(n−8)x +1(m ≥0,n ≥0)在区间[12,2]上单调递减，那么mn 的最大值为( )A. 16B. 18C. 25D. 812二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024-2025学年上海华二附中高三上学期数学月考试卷及答案(2024.09)
1华二附中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知i 为虚数单位，复数12iz i+=，则z 的实部为________． 2．若函数()133x xf x a =⋅+为偶函数，则实a =________． 3．若事件A 、B 发生的概率分别为1()2P A =，2()3P B =，且相互独立，则()P A B =________．4．已知集合(){}2|log 1A y y x ==−，{}3|27B x x =≤，则A B =________．5．设{}n a 是等比数列，且13a =，2318a a +=，则n a =________．6．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V 与直径d 的关系式为36d V π=，当2d =时，气球体积的瞬时变化率为________． 7．已知随机变量X 的分布为123111236⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，且3Y aX =+，若[]2E Y =−，则实数a =________． 8．记函数()()()cos 0,0f x x =ω+ϕω><ϕ<π的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为________．9．若6(0)b ⎛> ⎝的展开式中含x 项的系数为60，则2a b +的最小值为________．10．顶点为S 的圆锥的母线长为60cm ，底面半径为25cm ，A ，B 是底面圆周上的两点，O 为底面中心，且35AOB π∠=，则在圆锥侧面上由点A 到点B 的最短路线长为____cm ．（精确到0.1cm ）11．已知△ABC 中，22AB BC ==，AB 边上的高与AC 边上的中线相等，则tan B =2________．12．给定公差为d 的无穷等差数列{}n a ，若存在无穷数列{}n b 满足： ①对任意正整数n ，都有1n n b a −≤②在21b b −，32b b −，…，20252024b b −中至少有1012个为正数，则d 的取值范围是________． 二、单选题（本大题共4小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 13．“1a b +>”是“33a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（ ） A ．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B ．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C ．两种证券的收益有同向变动的倾向 D ．两种证券的收益有反向变动的倾向15．设0k >，若向量a 、b 、c 满足::1::3a b c k =，且2()b a c b −=−，则满足条件的k 的取值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．设1A ，1B ，1C ，1D 分别是四棱锥P ABCD −侧棱PA ，PB ，PC ，PD 上的点．给出以下两个命题，①若ABCD 是平行四边形，但不是菱形，则1111A B C D 可能是菱形；②若ABCD 不是平行四边形，则1111A B C D 可能是平行四边形．（ ） A ．①真②真 B ．①真②假 C ．①假②真 D ．①假②假三、解答题（本大题共5小题，共78.0分．）17．（本小题14.0分）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周⊥，F是垂足．（1）求证：AF DB⊥；（2）若圆柱与三棱锥D ABE−的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABD所成角的大小．3418．（本小题14.0分）李先生是一名上班旋，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：（1）求出这40个通勤记录的中们数M ，并完成下列22⨯列联表：（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d −χ=++++，()2 3.8410.05P χ≥≈．519．（本小题14.0分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放，已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角NBE ∠=θ，总造价为W 元。
高三数学第一次月考试题(附答案)
高三数学第一次月考试题（注意:答案一律写在答题纸上）一、填空题 (本大题共12小题，每小题4分，共48分)1. 已知集合A ={x |x 2－p x ＋15=0}B ={x |x 2－5x ＋q =0}，如果A ∩B ={3}，那么p ＋q =2. 已知集合}2,1,1{-=M ，集合},|{2M x x y y N ∈==，则N M = 3. 设A 、B 、C 是三个集合，则“A ∩B=A ∩C ”是“B=C ”的 条件。
4. 已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，那么f (2)= 。
5. 设函数 f (x )在 (－∞,+∞)内有定义，下列函数(1) y =－|f (x )|; (2) y = x f (x 2); (3) y =－f (－x ); (4) y =f (x )－f (－x ) 中必为奇函数的有▁▁▁▁▁▁（要求填写正确答案的序号）。
6．⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，则方程()1(12)f x x x +=-的各个解之和为7．已知函数y ＝f (x )是奇函数，周期T ＝5，若f (－2)＝2a －1则f (7)＝ 8．函数 )0(12≤-=x x y 反函数是9．某班有50名学生，其中 15人选修A 课程，另外35人选修B 课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率是 (结果用分数表示)． 10．若不等式|2|6ax +<的解集为(－1，2)，则实数a = 。
11．当不等式61022≤++≤px x 恰有一个解时，实数p 的值是____。
12. 已知集合M ＝{x |1≤x ≤10，x ∈N }，对它的非空子集A ，将A 中每个元素k ，都乘以(－1)k再求和(如A={1，3，6}，可求得和为(－1)·1＋(－1)3·3＋(－1)6·6＝2，则对M 的所有非空子集，这些和的总和是 ． 二、选择题(本大题共4小题，共16分)13．若函数y ＝f (x ) (f (x )不恒为零)的图象与函数y ＝－f (x )的图象关于原点对称，则函数y ＝f (x ) （ ）（A ）是奇函数而不是偶函数 （B ）是偶函数而不是奇函数（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）既不是奇函数又不是偶函数设函数14．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍然回到甲手中，则不同的传球方式有 ( ) （A ） 6种 （B ） 8种 （C ） 10种 （D ）16种 15、已知关于x 的方程：2x =x 2解的个数为 （ ） (A )1 (B )2 (C )3 (D ) 4 16. 设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意R ∈x ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值； （2）若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，且0x x ≠，有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数()f x 的最大值；（3）若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，有)()(0x f x f ≤，则)(0x f 是函数()f x 的最大值.。
2024-2025学年海南省北京师大万宁附中高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年海南省北京师大万宁附中高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M ={x|x 2+x−2≤0}，Q ={x ∈N||x|≤2}，则M ∩Q =( )A. {0,1}B. {−2,−1,0,1}C. [−2,1]D. [0,1]2.设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 1<a 2”是“数列{a n }是递增数列”的( )A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.设a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列不等式正确的是( )A. 1a <1bB. ac 2<bc 2C. b a >a bD. a 2>ab >b 24.已知函数f(x)=e x (2x−1)x−1，则f(x)的大致图象为( )A. B.C. D.5.若正实数x ，y 满足xy +3x =3，则12x +y 的最小值为( )A. 7B. 8C. 9D. 106.设函数f(x)=log 2|x|−x −2，则不等式f(x−2)≥f(2x +2)的解集为( )A. [−4,0]B. [−4,0)C. [−4,−1)∪(−1,0]D. [−4,−1)∪(−1,0)7.已知函数f(x)={x 2−ax +5,(x ≤1)a x ,(x >1)满足对任意实数x 1≠x 2，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0成立，则a 的取值范围是( )A. 0<a ≤3B. a ≥2C. a >0D. 2≤a ≤38.如图，圆锥的高SO = 3，底面直径AB =2，C 是圆O 上一点，且AC =1，若SA 与BC 所成角为θ，则sin 2θ2−cos 2θ2=( )A. 134B. −34C. 58D. − 134二、多选题：本题共3小题，共18分。
高三第一次月考试卷数学及答案
高三第一次月考试卷数学及答案一、选择题（共15题，每小题4分，共60分）1. 一幢大厦的边长为6米，高度为20米。
一个人从这座大厦的一侧往上望去，他的目视线与大厦顶端连线与大厦相交的角的大小为（）。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 若函数 f(x) 在区间 (-∞, a) 上是增函数，在区间(a, +∞) 上为减函数，则 a 的值为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 33. 已知集合 A = {2, 4, 6, 8}，集合 B = {3, 6, 9, 12}，则A ∩ B 的元素个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 34. 若等差数列 {a_n} 的前 5 项和为 15，且公差为 2，则 a_5 等于（）。
A. -1B. 0C. 1D. 25. 已知正整数 n 的个位数是 5，十位数是 3，百位数是 1，其千位数是（）。
A. 0B. 1C. 3D. 56. 设甲, 乙两车同时从 A, B 两地相向而行，两车相遇后又同时返回原地，已知甲车以每小时 60 公里的速度行驶，求相对速度小的车（乙车）的速度是几公里每小时。
7. 已知等比数列 {a_n} 的前 3 项分别是 1, 2, 4，若 a_4 = 16，则 a_5 = （）。
A. 16B. 20C. 24D. 328. 已知函数 f(x) 关于 y 轴对称，且图像经过点 (1, 1)，则函数图像在点 (-1, -1) 是否对称？（）A. 是B. 否9. 在直角坐标系中，已知点 A(-1, 3)、B(4, -2)，则 AB 的中点坐标为（）。
A. (0.5, 0.5)B. (1.5, 0.5)C. (1.5, 2.5)D. (2.5, 0.5)10. 设函数 f(x) = x^2 - 2x - 3，则过点 (1, -4) 的切线方程为（）。
A. y = -2x - 6B. y = 2x + 6C. y = 2x - 6D. y = -2x + 611. 已知向量 a = <2, -3>，向量 b = <6, -1>，则 |a + b| = （）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三数学第一次月考试卷（集合、函数）
班级： 学号： 姓名： .
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、如果C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C 是全集。
则有( )
A. C=R ∪I
B. R ∩I=｛0｝
C. R ∩I=φ
D. ＣcR=C ∩I 2、已知{1,3,5,7,9}I
A B ==,{3,7}A B =,{9}A B =,则A B =（ ）
A 、{1,3,7}
B 、{1,5}
C 、{3,7,9}
D 、{3,7}
3、满足｛a ，b ｝UM=｛a ，b ，c ，d ｝的所有集合M 的个数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
4、若命题P ：x ∈A B ，则非 P 是（ ）
A. x ∉A
B B. x ∉A 或x ∉B C. x ∉A 且x ∉B D. x ∈A
B
5、用反证法证明：“若m ∈Z 且m 为奇数，则()
1122
m
m --±均为奇数”，其假设正确的( )
A. 都是偶数
B. 都不是奇数
C. 不都是奇数
D. 都不是偶数
6、命题P:若 a.b ∈R ，则a b +>1是a b +>1的充分而不必要条件：命题q:函数
12y x =
--的定义域是(][),13,-∞-+∞.则 （ ）
A.“ p 或q ”为假
B. “p 且q ”为真
C. p 真q 假
D. p 假q 真
7、 已知01a <<，则方程||
|log |x a a x =的实根个数是( )
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、1个或2个或3个 8、已知0log 2log 2a b <<，则a ，b 的关系是( )
9、 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，1()()3
x
f x =，那么1
(9)f
--的
值为( ) A 、2 B 、-2 C 、3 D 、-3
10、设0.3log 4a =，4log 3b =，2
0.3c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
12、设()lg(101)x
f x ax =++是偶函数，4()2x x
b
g x -=是奇函数，则a b +的值为
13、含有三个实数的集合可表示为{}2,
,1,,0b a a a b a ⎧⎫
=+⎨⎬⎩⎭
，则20052006a b += 14、不等式3log |2|1x -<的解集是________________。
15、函数212
log (2)y x x =-的单调递减区间是____ __。
16、设集合2
122
{|2log log 0}A x x x =-≥，{|||4}B x x a a R x R =-<∈∈，
若A B ⊆，则a 的取值范围是________________。
三、解答题（本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）
17、（本小题满分10分）已知全集U=R ，
{
}{
}
2
2
120,450A x x x B x x x =--≤=--，
求()
()u u C A C B
18、（本小题满分12分）解关于x 的不等式：(1)(1)0ax x -->
19、（本小题满分12分）已知函数1
2
++=
x b ax y 的最大值为4，最小值为－1，
求a 、b 的值.
20、（本小题12分）某市的一家报刊摊点从报社买进一种晚报的价格为每份0.12元，卖
出的价格是每份0.20元，卖不掉的报纸还可以每份0.04元的价格退回报社。
在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同。
他每天应该从报社买进多少份报纸，才能使每月可获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
21、（本小题满分14分）二次函数f(x)=ax 2+bx+c 和一次函数g(x)= －bx ，其中a 、b 、c
满足a>b>c ，a+b+c=0（a 、b 、c ∈R ）. （1）求证：两函数图象交于不同的两点A 、B ； （2）求证：方程f(x)－g(x)=0的两根均小于2； （3）求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围.
22、（本小题满分14分）设函数2
()21
x f x a =-
+。
(Ⅰ)求证：无论a 为何实数，()f x 总是增函数；（Ⅱ）确定a 值，使()f x 为奇函数； （Ⅲ）当()f x 为奇函数时，求()f x 的值域。