2018年数学同步优化指导湘教版选修2-2练习：5-4 复数

活页作业(十六) 复数的几何表示
一、选择题
1．|(3＋2i)－(1＋i)|表示( ) A ．点(3,2)与(1,1)之间的距离 B ．点(3,2)与(－1，－1)之间的距离 C ．点(3,2)到原点的距离 D ．以上都不对
解析：复数3＋2i 对应点(3,2)，复数1＋i 对应点(1,1)． 答案：A
2．复数z 1＝tan α＋i ，z 2＝cos α－2i(α是锐角)，则复数z 1＋z 2对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：z 1＋z 2＝(tan α＋cos α)－i. ∵α是锐角，∴tan α＋cos α＞0.
又∵－1＜0，∴复数z 1＋z 2对应的点在第四象限． 答案：D
3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数为－1－3i ，则向量CA →
对应的复数为( )
A ．1－2i
B ．－1＋2i
C ．3＋4i
D ．－3－4i 解析：∵CA →＝CB →＋BA →＝CB →－AB →，∴(－1－3i)－(2＋i)＝－3－4i.∴向量CA →
对应的复数是－3－4i.
答案：D
4．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z ＋2|－|z －2|＝4，那么复数z 所对应的点Z (x ，y )的轨迹是( )
A ．实轴在x 轴上的双曲线
B ．实数在x 轴上的双曲线的右支
C ．两条射线
D ．一条射线 答案：D
5．若P ，A ，B ，C 四点分别对应复数z ，z 1，z 2，z 3，且|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则点P
为△ABC 的( )
A ．内心
B ．外心
C ．重心
D ．垂心
解析：由|z －z 0|的几何意义可知，动点P 到三角形三个顶点的距离相等，即为△ABC 的外接圆圆心．
答案：B
6．已知集合P ＝{ω|ω＝z ＋z －，z ∈C }，Q ＝{ω|ω＝z －z －，z ∈C }(z －
是z 的共轭复数)，则P ∩Q ＝____________.
解析：由P ＝{ω|ω∈R }，Q ＝{纯虚数或0}，得P ∩Q ＝{0}． 答案：{0}
7．若复数z ＝a ＋i(a ∈R )所对应的向量与它的共轭复数z －
所对应的向量垂直，则a 的值是____________.
解析：由z ＝a ＋i ，得z －＝a －i.则复数z ，z －
所对应的向量的坐标分别为(a,1)，(a ，－1)．又z ，z －
所对应的向量互相垂直，所以a 2－1＝0.即a ＝±1.
答案：±1
8．若复数z 满足|z －1|＝|z －2|＝|z －i|，则z ＝____________.
解析：方法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则⎩
⎪⎨⎪⎧
(a －1)2＋b 2＝(a －2)2＋b 2
，(a －1)2＋b 2＝a 2＋(b －1)2.解得a ＝b ＝3
2. 故z ＝32＋32
i.
方法二 本题的几何意义是复数z 对应的点Z 到A (1,0)、B (2,0)，C (0,1)三点的距离相等，即点Z 是△ABC 的外心．故点Z 既在线段AB 的垂直平分线x ＝32上．又在线段AC 的垂直平
分线y ＝x 上，则Z ⎝⎛⎭⎫32，32.故z ＝32＋32
i. 答案：32＋3
2
i
9．已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －
－4，求|ω|.
(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．
解：(1)∵ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ， ∴|ω|＝ 2.
(2)由已知，得(a ＋b )＋(a ＋2)i
i
＝1－i.
∴(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，a ＋2＝1，即⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝2. 10．设三个复数z 1，z 2，z 3分别对应复平面内的点Z 1，Z 2，Z 3.
(1)当z 1＋z 2＋z 3＝0，|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝1时，求证：△Z 1Z 2Z 3为正三角形．
(2)当|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝r (r ＞0)，z 1z 2＋z 2z 3＋z 3z 1＝0时，求证：△Z 1Z 2Z 3为正三角形． 证明：(1)由条件，得z 3＝－(z 1＋z 2)，z －3＝－(z －1＋z －2)， ∴z 3·z －3＝[－(z 1＋z 2)][－(z －1＋z －2)]＝z 1z －1＋z 2z －2＋z 1z －2＋z 2z －1. 即|z 3|2＝|z 1|2＋|z 2|2＋z 1·z －2＋z 2·z －
1， ∴z 1·z －2＋z 2·z －
1＝－1.
∴|z 1－z 2|2＝(z 1－z 2)(z －1－z －2)＝|z 1|2＋|z 2|2－(z 1z －2＋z －
1z 2)＝3. ∴|z 1－z 2|＝ 3.
同理，有|z 1－z 3|＝|z 2－z 3|＝ 3. 故△Z 1Z 2Z 3为正三角形． (2)∵z 1z 2＋z 2z 3＋z 3z 1＝0， ∴z －1·z －2·z －
3(z 1z 2＋z 2z 3＋z 3z 1)＝0.
∴z 1z －1·z 2z －2·z －3＋z －1·z 2z －2·z 3z －3＋z －2·z 1z －1·z 3z －3＝0. ∴r 4·(z －1＋z －2＋z －3)＝0. ∴z －1＋z －2＋z －
3＝0. ∴z 1＋z 2＋z 3＝0.
由(1)知，△Z 1Z 2Z 3为正三角形．
11．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)
D ．(0，＋∞)
解析：∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， ∴a 2＋4<5，即a 2＋4<5. ∴a 2<1，即－1<a <1. 答案：B
12．已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝|z 1＋z 2|，z 1＋z 2＝2i ，则z 1＝____________，z 2＝____________.
解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )．
∵z 1＋z 2＝2i ，∴z 2＝2i －z 1＝－a ＋(2－b )i.
由已知，得⎩⎨⎧
a 2＋
b 2＝2，
a 2＋(2－
b )2
＝2.
解得a ＝±3，b ＝1.
故所求的复数为z 1＝3＋i ，z 2＝－3＋i 或z 1＝－3＋i ，z 2＝3＋i. 答案：±3＋i ±3＋i
13．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2(z 2
表示z 2的共轭复数)是实数，则t ＝
____________.
解析：∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i ，z 1·z 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，即t ＝34
.
答案：34
14．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝____________.
解析：由复数的几何意义知，z 1，z 2的实部、虚部均互为相反数．故z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i
15．集合M ＝{z ||z －1|≤1，z ∈C }，N ＝{z ||z －1－i|＝|z －2|，z ∈C }，集合P ＝M ∩N . (1)指出集合P 在复平面上所表示的图形． (2)求集合P 中的复数的模的最大值和最小值． 解：(1)设z ＝x ＋y i.
由|z －1|≤1，得(x －1)2＋y 2≤1. 又由|z －1－i|＝|z －2|，得 (x －1)2＋(y －1)2＝(x －2)2＋y 2. 平方、整理得y ＝x －1.
因此，集合P 是圆截直线l 所得的一条线段AB ，如图所示． (2)圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，直线l 的方程为y ＝x －1.
解方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x －1，
得A ⎝
⎛⎭⎪⎫2＋22，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22
，－22. ∴|OA |＝2＋2，|OB |＝2－2，点O 到直线l 的距离为2
2
，且过点O 向直线l 引垂线，垂足在线段BE 上．
∵
2
2
<2－2， ∴集合P 中复数的模的最大值为2＋2，最小值为
22
. 16．已知全集U ＝C ，A ＝{z |||z |－1|＝1－|z |，z ∈C }，B ＝{z ||z |<1，z ∈C }，且z ∈A ∩(∁U B )．求复数z 在复平面内的对应点的轨迹．
解：∵z ∈C ，∴|z |∈R .∴1－|z |∈R . 由||z |－1|＝1－|z |，得1－|z |≥0，即|z |≤1. ∴A ＝{z ||z |≤1}． 又B ＝{z ||z |<1，z ∈C }， ∴∁U B ＝{z ||z |≥1，z ∈C }．
∵z ∈A ∩(∁U B )等价于z ∈A 且z ∈(∁U B )．
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
|z |≤1，|z |≥1.∴|z |＝1. 由模的几何意义知，复数z 在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆．。