2019届广东省惠州市高三第三次调研考试数学(文)试题(解析版)

2019届广东省惠州市高三第三次调研考试数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则集合（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】化简集合A，然后求并集即可.
【详解】
∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＞0}，
∴集合A∪B={x|x＞﹣2}．
故选：B．
【点睛】
本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意利用数轴求集合间的交并补．
2．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
【答案】B
【解析】因为函数，要得到函数的图象，只
需要将函数的图象向右平移个单位。

本题选择B选项.
点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．
3．若、满足约束条件，则的最大值为（）
A．2 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】分析：作出可行域，研究目标函数的几何意义可知，当时目标函数取得最大值为.
详解：作出可行域，如下图中的阴影部分，
易知目标函数中的值随直线向上平移而增大，
过点时取得最大值为，故选C.
点睛：将目标函数转化为直线的斜截式方程，当截距取得最大值时，
取得最大值；当截距取得最小值时，取得最小值.
4．已知双曲线：的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由渐近线方程可得，从而得到双曲线的离心率.
【详解】
∵一条渐近线方程为，
∴，从而，，故选D.
【点睛】
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
5．已知函数是奇函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意首先求得m的值，然后结合函数的性质求解不等式即可.
【详解】
函数为奇函数，则恒成立，
即恒成立，整理可得：，
据此可得：，即恒成立，
据此可得：.函数的解析式为：，
，
当且仅当时等号成立，故奇函数是定义域内的单调递增函数，
不等式即，
据此有：，由函数的单调性可得：，
求解不等式可得的取值范围是.
本题选择C选项.
【点睛】
对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调
性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
6．已知，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】利用平方关系与二倍角公式即可得到所求值.
【详解】
由得,所以，，
所以,故选D.
【点睛】
本题考查三角函数求值，涉及到同角基本关系式、二倍角公式，考查恒等变形能力，属于基础题.
7．如图所示，△ABC中，，点E是线段AD的中点，则（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】利用平面向量的线性运算表示.
【详解】
，故选C.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，涉及到加法、减法及数乘运算，属于基础题.
8．已知函数，则函数的大致图象为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据函数奇偶性的概念得到BC错误，再由特殊值
得到答案.
【详解】
故函数非奇非偶，排除B,C.
.
故选A．
【点睛】
这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.
9．已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】利用圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围．
【详解】
直线l为kx﹣y+2k=0，又直线l与圆x2+y2=2x有两个交点
故∴
故选：C．
【点睛】
本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，是基础题．
10．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，则该空间几何体的表面积为（）
A．192 B．186 C．180 D．198
【答案】A
【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为，下部分为长方体，棱长分别为，再由表面积公式求解
【详解】
由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为，下部分为长方体，棱长分别为，
其表面积为
故选
【点睛】
本题考查了求组合体的表面积问题，关键是由三视图还原几何体图形，注意题目中的计算。

11．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于,两点，若线段的长分别为，则的最小值是（）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【解析】由题意结合抛物线焦点弦的性质结合均值不等式的结论求解的最小值即可.
【详解】
由抛物线焦点弦的性质可知：，
则，
当且仅当时等号成立.
即的最小值是9.
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查抛物线焦点弦的性质，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．已知是定义在上的偶函数，且，当时，．若
在区间内关于的方程且有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，又是定义在上的偶函数，所以
，即，则函数是以4为周期的函数，结合题意画出函数
在上的图象与函数的图象，结合图象分析可知，要使与
的图象有4个不同的交点，则有由此解得，即的取值范围是，选.
【考点】函数的奇偶性、周期性，函数的零点，函数的图象.
二、填空题
13．（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于_________．
【答案】
【解析】试题分析：由树状图可得：从3男3女共6名同学有15种基本事件，2名都是女同学由3种基本事件，故其概率为.
【考点】古典概型.
14．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是______.
①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；
②支出最高值与支出最低值的比是6:1；
③第三季度平均收入为50万元；
④利润最高的月份是2月份。

【答案】①②③
【解析】通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可．
【详解】
对于①，2至月份的收入的变化率为20，11至12月份的变化率为20，故相同，正确．
对于②，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1，正确．
对于③，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第
三季度的平均收入为50万元，正确．
对于④，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是80﹣60＝20万元，错误．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目．
15．在中，角的对边分别为，已知，则______.
【答案】
【解析】由题意结合正弦定理可得，即
，从而得到结果.
【详解】
由正弦定理得，即
∴，因为，∴，从而．
【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了两角和正弦公式，同角基本关系式，考查计算能力，
属于基础题.
16．如图，将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后、、、四点都在球的表面上，则球的表面积为_____平方单位.
【答案】
【解析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OD，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．
【详解】
△BCD中，BD＝1，CD＝1，∠BDC＝60°，
底面三角形的底面圆半径为：DM＝CM，
AD是球的弦，DA，∴OM，
∴球的半径OD．
该球的表面积为：4π×OD2π；
故答案为：．
【点睛】
本题考查球的表面积的求法，球的内接体，考查空间想象能力以及计算能力．
三、解答题
17．已知数列的前项和满足.
（1）求
的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）（2） 【解析】(1)由
得到
的通项公式；
（2）由（1）知，利用裂项相消法即可得到结果.
【详解】 （1）当时,
， 当
时，
，又
两式相减得
，所以
（2）由（1）知
∴
【点睛】
裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
(1)；（2） ； （3）
；（4） ；此外，
需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
18．如图，在直三棱柱
中，
分别为
的中点，
，
.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）设为边的中点，连接，，∵，分别为，的中
点，根据三角形中位线定理以及题设条件可证明四边形为平行四边形，可得
，从而根据线面平行的判定定理可得结论；（2）先证明平面，知
，从而可得三角形的面积为，三角形的面积为，利用等积变换可得
.
试题解析：（1）设为边的中点，连接，
∵，分别为，的中点，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴ 四边形为平行四边形.
∴，
又平面，平面，
∴平面，
（2）在直三棱柱中，
又，
平面，平面，，
∴平面，
知，可得三角形的面积为，三角形的面积为，
由（1）平面知：到平面的距离等于到平面的距离
∴.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.
19．已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若椭圆的右焦点到直线
的距离是3.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与该椭圆交于另一点，当弦的长度最大时，求直线的方程.
【答案】（1）（2）或
【解析】（1）根据点到直线的距离列式求得c，再求得a；
（2）根据弦长公式求得弦长后，换元成二次函数求最值．
【详解】
（1）由题意，
右焦点到直线的距离,，
,
∵椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的方程为
（2）〖解法1〗当不存在时，
当存在时，设直线方程为，联立，得，
令则
所以，当，即，得时
的最大值为，即的最大值为
直线的方程为.
（2）〖解法2〗设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），设点对应的参数分别为，且;
将参数方程代入椭圆方程可得：，
化简可得：，
若，则上面的方程为，则,矛盾
若，则，，
则弦长为
上式，
当且仅当即或，时等号成立.
直线方程为：或
【点睛】
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
20．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。

某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：
用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.
（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；
（2）计算所抽到的10个样本的均值和方差；
（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“级”。

试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少？
（参考数据：）
【答案】（1）见解析；（2）均值，方差（3）
【解析】（1）根据题意，由表格分析可得通过系统抽样分别抽取编号，据此可得样本的评分数据；
（2）根据题意，由平均数和方差公式计算可得答案；
（3）根据题意，分析评分在，即（77.26，88.74）之间的人数，进而计算进而可得答案．
【详解】
（1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40
则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89.
（2）由（1）中的样本评分数据可得
，
则有
所以均值，方差.
（3）由题意知评分在即之间满意度等级为“A级”，
由（1）中容量为10的样本评分在之间有5人，
则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为
【点睛】
本题考查系统抽样方法以及数据方差的计算，关键是分析取出的数据，属于基础题．21．已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当时，求证：.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）当时，，求出切线斜率及切点坐标，即可得到切线方程；（2）要证，即求的最小值大于零即可.
【详解】
（1）当时，
,
所以，切线方程为，即
（2）当时，
，，所以在上单调递增，
又，
所以，使得，即
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为
又函数是单调减函数，所以
即恒成立。

又，所以
又所以，所以
【点睛】
利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点是曲线上的动点，求点到曲线的最小距离．
【答案】（1）（2）
【解析】(1) 曲线C1的参数方程消去参数，能求出曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐
标方程利用，能求出曲线C2的直角坐标方程；(2)设点的坐标为
，利用点到直线的距离表示点到曲线的最小距离，结合三角函数的图像与性质即可得到最小值.
【详解】
（1）消去参数得到，
故曲线的普通方程为
，由
得到，
即,故曲线的普通方程为
（2）〖解法1〗设点的坐标为，
点到曲线的距离
所以，当时，的值最小，
所以点到曲线的最小距离为.
（2）〖解法2〗设平行直线：的直线方程为
当直线与椭圆相切于点P时，P到直线的距离取得最大或最小值。

由得，
令其判别式，解得，
经检验，当时，点P到直线的距离最小，最小值为
所以点到曲线的最小距离为.
【点睛】
本题考查的知识要点：参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知.
（1）求不等式的解集；
（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意得|，可得，整理可得，利用一元二次不等式的解法可得结果不；（2），将写出分段函数形式，利用单调性可得时，取得最大值1，所以的取值范围是．
【详解】
（1）由题意得|x＋1|＞|2x－1|,
所以|x＋1|2＞|2x－1|2,
整理可得x2－2x＜0，解得0＜x＜2，
故原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．
（2）由已知可得，a≥f(x)－x恒成立，
设g(x)＝f(x)－x，则,
由g(x)的单调性可知，x＝时，g(x)取得最大值1，
所以a的取值范围是[1，＋∞）．
【点睛】
绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想；
④转化法，转化为一元二次不等式或对数、指数不等式.。