异方差的诊断及修正

异方差的诊断与修正
—甘子君 经济1202班 1205060432
一、
异方差的概念：
异方差性（heteroscedasticity ）是相对于同方差而言的。

所谓同方差，是为了保证回归参数估计量具有良好的统计性质，经典线性回归模型的一个重要假定：总体回归函数中的随机误差项满足同方差性，即它们都有相同的方差。

如果这一假定不满足，即：随机误差项具有不同的方差，则称线性回归模型存在异方差性。

在回归模型的经典假定中，提出的基本假定中，要求对所有的i （i=1，2，…，n ）都有
2
)(σ=i u Var
也就是说i
u 具有同方差性。

这里的方差2
σ度量的是随机误差项围绕其均值的分散程
度。

由于
)(=i u E ，所以等价地说，方差2σ度量的是被解释变量Y 的观测值围绕回归线
)(i Y E =
ki
k i X X βββ+++ 221的分散程度，同方差性实际指的是相对于回归线被解释变
量所有观测值的分散程度相同。

设模型为
n
i u X X Y i
ki k i i ,,2,1221 =++++=βββ
如果其它假定均不变，但模型中随机误差项
i
u 的方差为
).
,,3,2,1(,
)(22n i u Var i i ==σ
则称
i
u 具有异方差性。

也称为方差非齐性。

二、内容
根据1998年我国重要制造业的销售利润与销售收入数据，运用EV 软件，做回归分析，用图示法，White 检验模型是否存在异方差，如果存在异方差，运用加权最小二乘法修正异方差。

三、过程：（实践过程、实践所有参数与指标、理论依据说明等）
（一） 模型设定
为了研究我国重要制造业的销售利润与销售收入是否有关，假定销售利润与销售收入之间满足线性约束，则理论模型设定为：
i Y =1β+2βi X +i μ
其中，i Y 表示销售利润，i X 表示销售收入。

由1998年我国重要制造业的销售收入与销售利润的数据，如图1：
1988年我国重要制造业销售收入与销售利润的数据 （单位：亿元）
（二）参数估计
1、双击“Eviews”，进入主页。

输入数据：点击主菜单中的File/Open /EV Workfile—excel —异方差数据.xlsx ；
2、在EV主页界面的窗口，object-new object,输入“y c x”，按“Enter”。

出现OLS回归结果,如图2：
估计样本回归函数
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 12/18/14 Time: 22:10
Sample: 1 28
Included observations: 28
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 12.03564 19.51779 0.616650 0.5428 X
0.104393
0.008441
12.36670
0.0000
R-squared 0.854696 Mean dependent var 213.4650 Adjusted R-squared 0.849107 S.D. dependent var 146.4895 S.E. of regression 56.90368 Akaike info criterion 10.98935 Sum squared resid 84188.74 Schwarz criterion 11.08450 Log likelihood -151.8508 Hannan-Quinn criter. 11.01844 F-statistic 152.9353 Durbin-Watson stat 1.212795
Prob(F-statistic) 0.000000
估计结果为： i
Y ˆ = 12.03564 + 0.104393i X （19.51779） (0.008441) t=（0.616650） （12.36670）
2R =0.854696 2R =0.849107 S.E.=56.89947 DW=1.212859 F=152.9353
这说明在其他因素不变的情况下，销售收入每增长1元，销售利润平均增长0.104393元。

2R =0.854696 , 拟合程度较好。

在给定 =0.0时，t=12.36670 > )26(025.0t =2.056 ，拒
绝原假设，说明销售收入对销售利润有显著性影响。

F=152.9353 > )6,21(F 05.0= 4.23 ,表明方程整体显著。

（三） 检验模型的异方差
※（一）图形法
1、在“Workfile ”页面：选中x,y 序列，点击鼠标右键，点击Open —as Group
2、在“Group ”页面：点击View －Graph —Scatter, 得到X,Y 的散点图（下图3所示）：
0100
200
300
400
500
600
销售收入X
销售利润Y
3、在“Workfile ”页面：点击Generate ，输入“e2=resid^2”—OK
4、选中x,e2序列，点击鼠标右键，Open —as Group
5、在“Group ”页面：点击View －Graph —Scatter, 得到X,e2的散点图（下图4所示）：
05,000
10,00015,000
20,000
25,000
销售收入X
E 2
6、判断
由图3可以看出，被解释变量Y 随着解释变量X 的增大而逐渐分散，离散程度越来越大； 同样，由图4可以看出，残差平方2
i e 对解释变量X 的散点图主要分布在图形中的下三角部分，大致看出残差平方2
i e 随i X 的变动呈增大趋势。

因此，模型很可能存在异方差。

但是否
确实存在异方差还应该通过更近一步的检验。

※ （二）White 检验
1、 在“Equation ”页面：点击View －Residual Diagnostics —Heteroskedasticity Tests
—White 检验（no cross ）,（本例为一元函数，没有交叉乘积项）得到检验结果，如图5：
White 检验结果
Heteroskedasticity Test: White
F-statistic
3.607218 Prob. F(2,25)
0.0420 Obs*R-squared 6.270612 Prob. Chi-Square(2) 0.0435 Scaled explained SS
7.631425 Prob. Chi-Square(2) 0.0220
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 12/18/14 Time: 22:35
Sample: 1 28
Included observations: 28
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -3279.779 2857.117 -1.147933 0.2619 X^2 -0.000871 0.000653 -1.334000 0.1942 X
5.670634
3.109363
1.823728
0.0802
R-squared 0.223950 Mean dependent var 3006.741 Adjusted R-squared 0.161866 S.D. dependent var 5144.470 S.E. of regression 4709.744 Akaike info criterion 19.85361 Sum squared resid 5.55E+08 Schwarz criterion 19.99635 Log likelihood -274.9506 Hannan-Quinn criter. 19.89725 F-statistic 3.607218 Durbin-Watson stat 1.479908
Prob(F-statistic) 0.042036
2、因为本例为一元函数，没有交叉乘积项，则辅助函数为 2t σ=0α+1αt x +2α2
t x +t ν 从上表可以看出，n 2R =6.270612 ，有White 检验知，在α=0,05下，查2
χ分布表，得临界值5.002
χ
（2）
=5.99147。

比较计算的2χ统计量与临界值，因为n 2R = 6.270612 > 5
.002
χ
（2）=5.99147 ，所以拒绝原假设，不拒绝备择假设，这表明模型存在异方差。

（四） 异方差的修正
在运用加权最小二乘法估计过程中，分别选用了权数t 1ω=1/t X ，t 2ω=1/2
t X ，t 3ω=1/t X 。

1、在“Workfile ”页面：点击“Generate ”，输入“w1=1/x ”—OK ；同样的输入“w2=1/x^2”
“w3=1/sqr(x)”；
2、在“Equation ”页面：点击“Procs-Specify-Estimate ”进入Equation Specification 对话框，点击Options 按钮，在Type 中勾选“Inverse std. dev ”在weight series 输入w1,出现如图6：
用权数t 1ω的结果
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 12/18/14 Time: 22:57 Sample: 1 28
Included observations: 28 Weighting series: W1
Weight type: Inverse standard deviation (EViews default scaling)
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 5.988351 6.403392 0.935184 0.3583 X 0.108606
0.008155 13.31734 0.0000
Weighted Statistics
R-squared 0.032543 Mean dependent var 123.4060 Adjusted R-squared -0.004667 S.D. dependent var 31.99659 S.E. of regression 32.07117 Akaike info criterion 9.842541 Sum squared resid 26742.56 Schwarz criterion 9.937699 Log likelihood -135.7956 Hannan-Quinn criter. 9.871632 F-statistic 177.3515 Durbin-Watson stat 1.465148 Prob(F-statistic)
0.000000 Weighted mean dep. 67.92129
Unweighted Statistics
R-squared 0.853095 Mean dependent var 213.4650 Adjusted R-squared 0.847445 S.D. dependent var 146.4895 S.E. of regression 57.21632 Sum squared resid 85116.40
Durbin-Watson stat 1.261469
3、在“Equation”页面：同样的输入“w2”,出现如图7：
ω的结果
用权数
t2
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 12/18/14 Time: 23:01
Sample: 1 28
Included observations: 28
Weighting series: W2
Weight type: Inverse standard deviation (EViews default scaling)
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 6.496703 3.486526 1.863374 0.0737
X 0.106892 0.010991 9.725260 0.0000
Weighted Statistics
R-squared 0.922715 Mean dependent var 67.92129 Adjusted R-squared 0.919743 S.D. dependent var 75.51929 S.E. of regression 21.39439 Akaike info criterion 9.032884 Sum squared resid 11900.72 Schwarz criterion 9.128041 Log likelihood -124.4604 Hannan-Quinn criter. 9.061975 F-statistic 94.58068 Durbin-Watson stat 1.905670 Prob(F-statistic) 0.000000 Weighted mean dep. 36.45276
Unweighted Statistics
R-squared 0.854182 Mean dependent var 213.4650 Adjusted R-squared 0.848573 S.D. dependent var 146.4895 S.E. of regression 57.00434 Sum squared resid 84486.88 Durbin-Watson stat 1.242212
4、在“Equation”页面：同样的输入“w3”,出现如图8：
ω的结果
用权数
t3
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 12/18/14 Time: 23:08
Sample: 1 28
Included observations: 28
Weighting series: W3
Weight type: Inverse standard deviation (EViews default scaling)
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 8.640341 11.18733 0.772333 0.4469 X 0.106153
0.007746
13.70473 0.0000
Weighted Statistics
R-squared 0.611552 Mean dependent var
165.8420 Adjusted R-squared 0.596612 S.D. dependent var
67.13044 S.E. of regression 42.63646 Akaike info criterion 10.41205 Sum squared resid 47264.56 Schwarz criterion 10.50720 Log likelihood -143.7686 Hannan-Quinn criter. 10.44114 F-statistic 187.8197 Durbin-Watson stat 1.275429 Prob(F-statistic)
0.000000 Weighted mean dep. 123.4060
Unweighted Statistics
R-squared 0.854453 Mean dependent var 213.4650 Adjusted R-squared 0.848855 S.D. dependent var 146.4895 S.E. of regression 56.95121 Sum squared resid 84329.44
Durbin-Watson stat
1.233545
经估计检验，发现用权数t 1ω，t 3ω的结果，其可决系数反而减小；只有用权数t 2ω的效果最好，可决系数增大。

用权数t 2ω的结果
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 12/18/14 Time: 23:12 Sample: 1 28
Included observations: 28 Weighting series: W2
Weight type: Inverse standard deviation (EViews default scaling)
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 6.496703 3.486526 1.863374 0.0737 X 0.106892
0.010991 9.725260 0.0000
Weighted Statistics
R-squared 0.922715 Mean dependent var
67.92129 Adjusted R-squared 0.919743 S.D. dependent var
75.51929 S.E. of regression 21.39439 Akaike info criterion 9.032884 Sum squared resid
11900.72 Schwarz criterion
9.128041
Log likelihood -124.4604 Hannan-Quinn criter. 9.061975 F-statistic 94.58068 Durbin-Watson stat 1.905670 Prob(F-statistic)
0.000000 Weighted mean dep. 36.45276
Unweighted Statistics
R-squared 0.854182 Mean dependent var 213.4650 Adjusted R-squared 0.848573 S.D. dependent var 146.4895 S.E. of regression 57.00434 Sum squared resid 84486.88
Durbin-Watson stat
1.242212
用权数t 2ω的估计结果为： i
Y ˆ= 6.496703 + 0.106892i X （1.863374） （9.725260）
2R =0.922715 DW=1.905670 F=94.58068
括号中的数据为t 统计量值。

由上可以看出，运用加权最小二乘法消除了异方差后，参数2β的t 检验显著，可决系数提高了不少，F 检验也显著，并说明销售收入每增长1元，销售利润平均增长0.106892元。

四、结果：
1、用图示法初步判断是否存在异方差：被解释变量Y 随着解释变量X 的增大而逐渐分散，离散程度越来越大；同样的，残差平方2
i e 对解释变量X 的散点图主要分布在图形中的下三角部分，大致看出残差平方2
i e 随i X 的变动呈增大趋势。

因此，模型很可能存在异方差。

但是否确实存在异方差还应该通过更近一步的检验。

再用White 检验异方差：因为n 2
R = 6.270612 > 5.002
χ（2）=5.99147 ，所以拒绝原假设，
不拒绝备择假设，这表明模型存在异方差。

2、用加权最小二乘法修正异方差：
发现用权数t 2ω的效果最好，则估计结果为：
i
Y ˆ= 6.496703 + 0.106892i X （1.863374） （9.725260）
2R =0.922715 DW=1.905670 F=94.58068
括号中的数据为t 统计量值。

由上可以看出，2
R =0.922715,拟合程度较好。

在给定α=0.0时，t=9.725260 >
)26(025.0t =2.056 ，拒绝原假设，说明销售收入对销售利润有显著性影响。

F=94.58068 > )6,21(F 05.0= 4.23 , 表明方程整体显著。

运用加权最小二乘法后，参数2β的t 检验显著，可决系数提高了不少，F 检验也显著，并说明销售收入每增长1元，销售利润平均增长0.106892元。

3、再用White 检验修正后的模型是否还存在异方差：
White 检验结果
Heteroskedasticity Test White
F-statistic 3.144597 Probability 0.060509 Obs*R-squared
5.628058 Probability
0.059963
Test Equation:
Dependent Variable: STD_RESID^2 Method: Least Squares Date: 12/18/14 Time: 23:15
Sample: 1 28
Included observations: 28
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1927.346 675.2246 2.854378 0.0085 X -1.456613 0.734838 -1.982223 0.0585 X^2
0.000245
0.000154
1.586342
0.1252
R-squared 0.201002 Mean dependent var 425.0258 Adjusted R-squared 0.137082 S.D. dependent var 1198.210 S.E. of regression 1113.057 Akaike info criterion 16.96857 Sum squared resid 30972414 Schwarz criterion 17.11130 Log likelihood -234.5599 F-statistic 3.144597 Durbin-Watson stat
2.559506 Prob(F-statistic)
0.060509
由上看出，n 2
R = 5.628058 ，由White 检验知，在α=0,05下，查2
χ分布表，得临界值：
5.002χ（2）=5.99147。

比较计算的2
χ统计量与临界值，因为n 2R = 5.628058 < 5
.002
χ（2）=5.99147 ，所以接
受原假设，这说明修正后的模型不存在异方差。