江苏省沭阳县高一数学下学期期中调研测试试题

2016～2017学年度第二学期期中调研测试
高一数学试题
本试卷包含填空题（第1题—第14题）和解答题（第15题—第20题）两部分，共4页．本卷满分160分，考试时间为120分钟．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．求值：cos16cos61sin16sin61+= ▲ ．
2．已知1
sin cos 5αα+=，则sin 2α的值为 ▲ ．
3．在ABC △中，2a =，4b =，2π
3
C =
，则ABC △的面积为 ▲ ． 4．已知lg lg 1x y +=，则2x y +的最小值为 ▲ ． 5．在ABC △中，π6A =
，7π12
B =
，c =a = ▲ ． 6．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且8S ，7S ，9S 成等差数列，则公比q 为 ▲ ．
7．已知甲、乙两地距丙的距离均为10km ，且甲地在丙地的北偏东25处，乙地在丙地的南偏东35处，则甲乙两地的距离为 ▲ km ．
8．在ABC △中，若sin sin sin a A b B c C +<，则ABC △的形状是 ▲ （填直角、锐角或钝角）三角形．
9．已知,m n +∈R ，且210m n +-=，则()16n
m 的最大值为 ▲ ．
10．在等差数列}{n a 中，前m 项（m 为奇数）和为135，其中偶数项之和为63，且114m a a -=，则100
a 的值为 ▲ ．
11．若关于x 的不等式2260mx x m -+<的解集为(3)()n -∞-+∞，
，，则n 的值为 ▲ ． 12．已知1tan 2α=
，1
tan()23
βα-=，则tan β的值为 ▲ ． 13． 已知函数2()1
()41x a x f x x a x x ⎧-≤⎪
=⎨++>⎪
⎩
，　，　，若(1)f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的最大值为 ▲ ．
14．若等差数列}{n a 满足22
110
10a a +=，则101119S a a a =++⋅⋅⋅+的范围为 ▲ ． 二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题．．卡指定的区域内作答．．．．．．．．．
， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知全集为R
，集合{|A x y ==，{|(2)0}B x x x =-<．
（1）求A B ，； （2）求()A B R ð．
16．在等比数列{}n a 中，12q =，116m a =，63
16
m S =． （1）求m ；
（2）设2log n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
17．如图，某企业的两座建筑物AB ，CD 的高度分别为20m 和40m ，其底部BD 之间距离为20m ．为响
应创建文明城市号召，进行亮化改造，现欲在建筑物AB 的顶部A 处安装一投影设备，投影到建筑物CD 上形成投影幕墙，既达到亮化目的又可以进行广告宣传．已知投影设备的投影张角∠EAF 为45︒，投影幕墙的高度EF 越小，投影的图像越清晰．设投影光线的上边沿AE 与水平线AG 所成角为α，幕墙的高度EF 为y （m ）．
（1）求y 关于α的函数关系式()y f α=，并求出定义域； （2）当投影的图像最清晰时，求幕墙EF 的高度．
18．已知在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且222b a c ac =+-．
（第17题）
A
B
D
C F
α
E
G
（1）若b =，求角A ；
（2）求函数2
3()2sin cos
2
C A
f A A -=+的值域．
19．在数列{}n a 中，12a =，设n S 为{}n a 的前n 项和，对任意的*n ∈N ，+14n n n S a a =且0n a ≠. （1）求2a ；
（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设1
{}n
S 的前n 项的和为n T ，求2017T .
20．已知函数2()(1)1f x m x mx m =+-+-（m ∈R ）． （1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围； （2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；
（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[11]D -⊆，
，求m 的取值范围．
2016～2017学年度第二学期期中调研测试
高一数学参考答案
本试卷包含填空题（第1题—第14题）和解答题（第15题—第20题）两部分，共4页．本卷满分160分，考试时间为120分钟．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．求值：cos16cos61sin16sin61+=
▲ ．
2．已知1sin cos 5αα+=，则sin 2α的值为 ▲ ．24
25-
3．在ABC △中，2a =，4b =，2π
3
C =
，则ABC △的面积为
▲ ．4．已知lg lg 1x y +=，则2x y +的最小值为
▲ ．5．在ABC △中，π6A =
，7π12
B =
，c =a =
▲ ．6．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且8S ，7S ，9S 成等差数列，则公比q 为 ▲ ．2- 7．已知甲、乙两地距丙的距离均为10km ，且甲地在丙地的北偏东25处，乙地在丙地的南偏东35处，则甲乙两地的距离为 ▲ km
．8．在ABC △中，若sin sin sin a A b B c C +<，则ABC △的形状是 ▲ （填直角、锐角或钝角）三角形． 钝角
9．已知,m n +∈R ，且210m n +-=，则()16n
m 的最大值为 ▲ ．
10．等差数列}{n a 中，前m 项（m 为奇数）和为135，其中偶数项之和为63，且114m a a -=，则100
a 的值为 ▲ ．101
11．若关于x 的不等式2260mx x m -+<的解集为(,3)(,)n -∞-+∞，则n 的值为 ▲ ． 1或2
12．已知1tan 2α=
，1tan()23
βα-=，则tan β的值为 ▲ 724
13． 已知函数2(),1,
()4
, 1.
x a x f x x a x x ⎧-≤⎪
=⎨++>⎪⎩
，若(1)f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的最大值为
▲ ．
14．若等差数列}{n a 满足22
110
10a a +=，则101119S a a a =++⋅⋅⋅+的范围为 ▲ ．
[-
二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题．．卡指定的区域内作答．．．．．．．．．
， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知全集为R
，集合{|A x y ==，{|(2)0}B x x x =-<． （1）求,A B ； （2）求()
A B R ð．
解：（1）由已知得2{|540}A x x x =-+≥, ……………………2分 {|(1)(4)0}x x x =--≥
所以(,1][4,)A =-∞+∞ ……………………5分
{|(2)0}(0,2)B x x x =-<= ……………………8分
（2）(1,4)A =R ð ……………………11分 ()
(1,4)
(0,2)(1,2)A B ==R ð ……………………14分
16．在等比数列{}n a 中，12q =，116m a =，63
16
m S =． （1）求m ；
（2）设2log n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
解：（1）在等比数列{}n a 中，因为12q =
，116m a =，63
16
m S = 由通项公式11n n a a q -=，求和公式11n n a a q
S q -=-得
所以11111()216116316211612
m a a -⎧=⎪⎪⎪ ⎨-⨯⎪
=⎪-⎪⎩ …………………………………………3分
所以12
6a m =⎧ ⎨=⎩
……………………………………………6分
（2）由（1）知1212()22
n n
n a --=⨯=， ……………………………………………8分
所以22
2log 2n n n n n
b a a --==
…………………………………………10分
因为12n n T b b b =+++
即102
21012222222n n n
T -----=
+++++
① 023
211
1012322222222n n n n n
T ------=
+++++
+② ①-②得0232
1
11111
122222222
2n n n n
T ---=-----
--
……………………12分 1
1111()22212212
n n n n n -----=--=- 2
2n n n T -= ……………………………………………14分
17．如图，某企业的两座建筑物AB ，CD 的高度分别为20m 和40m ，其底部BD 之间距离为20m ．为响
应创建文明城市号召，进行亮化改造，现欲在建筑物AB 的顶部A 处安装一投影设备，投影到建筑物CD 上形成投影幕墙，既达到亮化目的又可以进行广告宣传．已知投影设备的投影张角∠EAF 为45︒，投影幕墙的高度EF 越小，投影的图像越清晰．设投影光线的上边沿AE 与水平线AG 所成角为α，幕墙的高度EF 为y （m ）．
（1）求y 关于α的函数关系式()y f α=，并求出定义域；
（2）当投影的图像最清晰时，求幕墙EF 的高度．
解：（1）由AB=20m ，CD =40m ，BD =20m 可得，∠CAG =45︒,∠GAD =45︒,
又投影设备的投影张角∠EAF 为45︒，所以π
[0,]4α∈， ……………………………2分
所以G 一定在EF 上，所以EF EG GF =+,
所以ππ
20tan 20tan(),[0,]44y ααα=+-∈． ……………………………………………6分
（2）当投影的图像最清晰时，幕墙EF 的高度最小，即求y 的最小值
（第17题）
A
B
D
C
F
α
E
G
由（1）得
ππ
20tan 20tan(),[0,]44
y ααα=+-∈
1tan 220(tan )20[(tan 1)2]1tan 1tan ααααα
-=+
=++-++， …………………………………8分
因为π
[0,]4α∈，所以tan [0,1],tan 10αα∈+>，
所以2
(tan 1)1tan αα
++
≥+ ……………………………………………10分
当且仅当2
tan 11tan αα
+=
+，即tan 1α=时取等号，
又tan 1[0,1]α=∈，所以满足题意， ……………………………………………12分
此时，min 1)y =．
答：当tan 1α=时，投影的图像最清晰，此时幕墙EF 的高度为1)m ． ……………………………………………14分 18．已知在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且222b a c ac =+-．
（1）若b =，求角A ；
（2）求函数2
3()2sin cos
2
C A
f A A -=+的值域． 18．解：（1）在ABC ∆中，因为2
2
2
b a
c ac =+- ，所以2221
cos 22a c b B ac +-=
=， 所以π
3
B =
………3分
因为sin sin c b C B =，b =，即1sin sin 3C =
， 1sin 2C =
所以π6C =
或5π6
C = …………6分 因为++=πA B C 所以当π6C =时，π
2
A =， 当5π
6
C =
时，πB C +>，不合题意 …………8分 （2）因为π3B =
，2π+=3
A C ,
23π12sin cos
1cos2cos(2)1cos2cos22232C A y A A A A A A -=+=-+-=-++
所以
1π
2cos21sin(2)126
y A A A =
-+=-+ …………12分 2π+=3A C ，所以2π
(0,)3A ∈，所以ππ7π2(,)666A -∈-，所以π1sin(2)(,1]62
A -∈-
()f A 的值域为1
(,2]2
． …………16分
19.在数列{}n a 中，12a =，设n S 为{}n a 的前n 项和，对任意的*n ∈N ，+14n n n S a a =且0n a ≠. （1）求2a ；
（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设1
{
}n
S 的前n 项的和为n T ，求2017T . 解：当1n =时，1214S a a =，即1214a a a =，又12a =，所以24a =. …………2分 （2）由+14n n n S a a =①得，1+214n n n S a a ++=② …………4分 ②-①得1+21+14n n n n n a a a a a ++=-，
又因为0n a ≠，所以+24n n a a -=， …………6分 即{}n a 隔项成等差数列，所以 当n 为奇数时，1(1)
422
n n a a n -=+⨯= …………8分 当n 为偶数时，2(2)
422
n n a a n -=+
⨯= 所以{}n a 的通项公式为2n a n = …………10分 （3）所以+1(1)4
n n
n a a S n n =
=+， …………12分 1111(1)1
n S n n n n ==-++， 所以12
111111*********
11
n n T S S S n n n =
+++
=-+-++
-=-++， …………14分 所以201712017
120182018
T =-=． …………16分
20．已知函数2()(1)1f x m x mx m =+-+-．
（1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围； （2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；
（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[11]D -⊆，
，求m 的取值范围． 20．解：（1）①当10m +=即1m =-时，()2f x x =-，不合题意； …………1分 ②当10m +≠即1m ≠-时，
2
104(1)(1)0m m m m +>⎧⎨∆=-+-≤⎩，即21
340m m >-⎧⎨-≥⎩
， ………………3分
∴1m m m >-⎧⎪⎨≤≥⎪
⎩
，∴m ≥
……………5分 （2）()f x m ≥即2(1)10m x mx +--≥ 即[(1)1](1)0m x x ++-≥
①当10m +=即1m =-时，解集为{}1x x ≥ …………………7分 ②当10m +>即1m >-时，1
()(1)01
x x m +
-≥+ ∵1
011m -
<<+，∴解集为111x x x m ⎧⎫≤-
≥⎨⎬+⎩⎭
或 …………………9分 ③当10m +<即21m -<<-时，1
()(1)01
x x m +
-≤+ ∵21m -<<-，所以110m -<+<，所以1
11
m -
>+ ∴解集为111x x m ⎧⎫
≤≤-⎨⎬+⎩
⎭ …………………11分
（3）不等式()0f x ≥的解集为D ，[1,1]D -⊆，
即对任意的[1,1]x ∈-，不等式2(1)10m x mx m +-+-≥恒成立， 即22(1)1m x x x -+≥-+恒成立，
因为2
10x x -+>恒成立，所以22212111
x x
m x x x x -+-≥=-+-+-+恒成立，………………13分
设2,x t -=则[1,3]t ∈，2x t =-，
所以22221
31(2)(2)1333x t t x x t t t t t t
-===
-+---+-++-，
11
因为3
t t +≥
t =
所以221x x x -≤=-+
，当且仅当2x =
所以当2x =
2max 21()1x x x -+=-+
所以m …………………16分。