普朗克黑体辐射公式推导

所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态: 处于某一温度 T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。

实验发现：
热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料无关。

实验得到： 1. Wien 公式
从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：
Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。

2. Rayleigh-Jeans 公式
Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且
∞→=⎰∞
v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是
4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann
公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。

3. Planck 黑体辐射定律
1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。

作为辐射原子的模型，Planck 假定： （1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 v 振荡；
（2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不
是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。

得到：
νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1
833该式称为 Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10
626.634
-⨯
4，普朗克的推导过程：
把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为
).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏α
αk C 2,1=
每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ，
则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()νννν
d g G ⎰=0。

借助几何方法求出()3338νπνc V G =
，取微分得()ννπννd c
V d g 2
3
8= 令E 代表体积为V 的空窖内热平衡辐射的总内能，()ννd T u ,代表单位体积,频率间隔在
()
νννd +,内的能量，
于是
()ννεννd g d T u V E
⎰⎰∞
∞==0
~0)(,，
的振子的平均能量代表频率为νε，()()ννπ
νννd c
g V d g 23~
81=≡
代表单位体积内频率间隔在()νννd +,内的振动自由度数。

应用经典统计的能量均分定理得到平均能量为KT =ε与振子的频率无关，代入
()()ννενd g d T v u ~
,=可以得到()ννπνd kT c
d T v u 238,=
，这就是瑞利-金斯公式，在低频区和实验符合，高频区严重偏离。

普朗克热辐射理论采用的也是波的观点，()()ννπ
νννd c
g V d g 23~
81=≡
依旧认为他正确，但是能量均分定理不适用，原因在于麦克斯韦——波尔滋蔓分布不对，问题出在振子能量取
连续值上。

Planck 假定：黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量,对于频率为v 的振子，其能量只能取一个最小能量单元的整数倍即()ννεεnh n =→，他认为振子的平均分布仍遵从麦克斯韦——玻尔兹曼分布，即()
νβεανn e
a n --=)(代表频率为v 对的振子处于能级()v n ε的
平均数，于是振子的平均能量为()()∑∑∑∑-
-
-
--
-=
=
n
n
n n
n
n
n
n
n
n
e e e e βε
βεβε
αβε
ανενεε，
即()()νβ
νεZ ln ∂∂
-
= 其中()()
∑∞
=-
=
n n
e Z νβεν代表频率为v 的振子的配分函数，可以得到
()ν
βνβνh n h n e e Z -∞
=--=
=∑11。

()()1
1
ln -=-=∂∂-
=kT
h h e
h e h Z ν
νβνννβνε由此可以知道振子的平均能量与其频率有关，能
量均分定理不成立。

把上式代入()()ννενd g d T v u ~
,=得到：
()1
8,/33-=kT h d e h c d T v u νννπν这就是普朗克辐射公式。

此
时
辐射场的
内能为
()()⎰⎰⎰∞
=∞
=∞
===-==-==0
33454
334
30/33
158,18/,18,n x n kT h n c h k a aT dx e x h kT c E kT hv x e
d h c d T u E ππννπ
ννν其中得令,5，对 Planck 辐射定律的讨论：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1
833 （1）当 v 很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv /kT)， 于是
Planck 定律
化为 Wien 公式。

νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1
833变为νννπνρνd kT h C h d )/ex p(833-= 2）当 v 很小（长波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ 1+(h v /kT)-1=(h v /kT)， 则 Planck 定律变为 Rayleigh-Jeans 公式。

3）。