第二章 时频分析与连续小波变换 ppt课件

定理及傅里叶变换的性
质）
再根据 Schwarz 不等式，有：
2 t
2
1 * (t ) dt ]2
1 f4
t [ f '(t) f *(t) 2
f
'*
(t)
f
(t )]dt
2
4
1 f
4
t(
f
(t
)
2
)
'
dt
2
1 / 4( 考虑到
lim
t
t f (t ) 0 , 再由分部积分
x(n)X(ej)
离散、非连 周续 期、周
信号时域和频域特性之间关系：
本课程中傅里叶变换的记号:
fˆ()
f
(t)eit dt
f (t) 1 fˆ()eitd
2
连续时间傅里叶变换性质
f ( t ) F fˆ
f 1 * f 2 ( t ) F fˆ1 fˆ 2
kN
kN
ak
1 x[n]ejk0n1 x[n]ejk(2/N)n
NnN
NnN
四种傅里叶变换的关系:
连 续 时 间 傅 立 叶 级 数 C F S
x(t) Ak
连续、周 离期 散、非周期
离 散 时 间 傅 立 叶 级 数 D F S
x(n) Ak
An
1 N
x(k)
离 散 、 周 期 离 散 、 周 期
Heisenberg测不准原理结论
t22
1 4
当且仅f当 (t) aeb(tu)2eit时等号成立
证明（ Weyl ）：假定 lim t f (t ) 0 , 不失一般性，只证明该
t
定理对 u 0时成立。
2 t
2
1
2 f
tf (t ) 2 dt •
4
2
fˆ d
1 f4
tf (t ) 2 dt • f ' (t ) 2 dt ...（.. Parseval
时频原子基本概念
时频原子
具有时频局部化特性的基本信号分析单元
短时傅里叶时频原子
(t)gu,(t)g(tu)eit
小波时频原子
(t)u,s(t)1stsu
特点：都是由一个基本的单元信号经过变换得到；
短时傅里叶原子是通过平移和调制形成的；
小波原子是通过平移和伸缩得到的。
线性时频变换
Tf () f ,
将 exp(i (t t0 ))展 开 成 无 穷 级 数 有 ：
f (t ) 1 [i (t t0 )]n
2 n0 n !
b b
fˆ
n
exp(i t0 )d
0.
这 与 f 0矛 盾 。
时频能量密度
P f(u ,)f,u ,(t) 2 f(t)u * ,(t)d t2
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
一、傅里叶分析回顾
概述 定义 性质 实现
傅里叶分析概述
傅里叶分析可以分析信号中的“频率成分”。 ▪ 它是一个全局的分析。
Parseval定理： f (t)g (t)dt 1 fˆ ( )gˆ ()d
2
短时谱
P sf(u ,) ST f(u ,F )2 T f(t)g (t u )e itd2t
短时傅里叶原子的时频结构:
(为简化起见，设g(t)为实偶信号)：
1、gu, (t)的时频能量中心为（u，）：
傅里叶变换在高频处的衰减性依赖于信号的整体奇异性。
傅里叶变换的衰减性与信号的全局正则性之间的关系：
定理：如果信号f (t)的傅里叶变换fˆ()满足：
fˆ() (1 p)d ，
则:f (t)是有界的，并且f (t)具有p阶导数。
推论:如果存在常数K及
0使得：fˆ()
1
K
p1
，
则:f (t)具有p阶导数。
傅里叶变换的重要缺陷:难于获得信号的“局部变化”规律
从频率分析角度看： 傅里叶变换不能提供频率随时间局部变化的规律。
从信号奇异性分析角度看:
傅里叶变换不容易提供信号局部奇异性信息：
不容易从傅里叶变换系数在高频的分布规律分析出原始信号在特定点 上的奇异性（局部的变化）…..然而,小波变换可以做到这一点。
CTFT:连续时间傅里叶变换
适用信号:连续时间信号 变换公式:
X(j) x(t)ejtdt
x(t)21
X(j)ejtd
CFS: 连续时间傅里叶级数
适用信号:连续时间周期信号 变换公式:
x(t)
akejk0t
a ej k(2/T)t k
k
k
ak
1 TT
x(t)ej
k0td
g(t)为实偶函数，关于原点对称，则gu, (t) g(t u)eit以u为中心。
它度量了信号的能量在以(u,) 为中心的时频邻域内的分布。
三、短时傅里叶变换STFT(Short Time Fourier Transform)
连续STFT
定义 短时傅里叶原子的时频结构 常用信号的连续STFT 连续STFT的反变换 连续STFT的性质
能量守恒定理 再生核方程
短时谱
* u ,
(t)dt表示信号f
(t)和短时傅里叶原子
gu, (t)之间的内积。物理意义上它可用来衡量信号f (t)和短时傅里叶
原子gu, (t)之间的“相似性”。
3、根据Parseval定理有：
STFTf (u, )
f (t) g (t u)eitdt 1
2
fˆ ( )gˆ ( )eiu( )d
Heisenberg-box示例：
有关Heisenberg-box的几个值得注意的问题： 根据测不准原理，Heisenberg-box的面积至少要大于1/2； 在Heisenberg-box所处位置以外的地方并不表示该时频原子就没 有能量分布，Heisenberg-box只是代表了该时频原子的大部分能 量集中的位置和区域。
t1 TT
x(t)ej
d k(2/T)t
t
DTFT：离散时间傅里叶变换
适用信号:离散时间信号 变换公式:
x(n)212X(ej)ejnd
X(ej) x(n)ejn n
DFS：离散时间傅里叶级数
适用信号:离散时间周期信号 变换公式:
x[n]
akejk0n
aejk(2/N)n k
……
1946年,Dennis Gabor(1971年 Nobel奖获得者) :
“迄今为止，通信理论的基础一 直是信号分析的两种方法组成的： 一种将信号号描述成时间的函数， 另一种将信号描述成频率的函数 （Fourier分析）。这两种方法 都是理想化的……。然而，我们 每一天的经历－特别是我们的听 觉－却一直是用时间和频率来描 述的。”
定理:时频不能同时有限长
如 果 f (t ) 0是 紧 支 撑 的 ， 则 fˆ 不 能 在 某 区 间 上 为 0 ；
类 似 地 ， 如 果 fˆ ( ) 0是 紧 支 撑 的 ， 则 f (t )也 不 能 在 某 区 间 上 为 零 。 证明（前半部分）：
设 fˆ的 支 集 为 [ b , b ], 则 ： f (t ) 1 b fˆ ex p (i t ) d .
时频原子的分辨率受如下两个结论限制:
Heisenberg测不准原理 不存在同时具有时限和频限的时频原子
时频原子 (t ) 的时频结构：时频局部化的定量描述
设 (t) 1, (t)Fˆ ()， (t)的4个时频参数为：
u
t
(t)
2
d
t:
(t)的时域能量分布..中 ....心 .........均 .. 值时间
▪ 它有很多好的性质：如其所选择的基本分析单元是LTI 系统的特征函数，可将其方便地用于分析线性时不变 系统-利用傅里叶分析可以将时域卷积运算转化成频域 相乘运算。
▪ 傅里叶分析数字实现时常常采用FFT进行快速实现。
傅里叶变换(分析)的定义
•根据信号的不同，傅里叶变换有四种定义： •CTFT: 连续时间傅里叶变换 •CFS: 连续时间傅里叶级数 •DTFT： 离散时间傅里叶变换 •DFS： 离散时间傅里叶级数
据(2)式,则 仅Tf 与() 信号f(t)的频谱在该邻域的值有关。
“最高的时频分辨率 ”
▪ 如果所选择的时频原子的能量在时间上集中在某个时 刻点,同时在频率上集中在某个频率点,则线性时频变 换的结果必然精确反映原始信号在某个时刻点和某个 频率点上的信息-具有最高的时频分辨率。
▪ 问题:上述时频原子存在否?
ˆ()
2
d:
(t)的频域能量分布..中 ....心 ........均 . 值频率
t2()
(t
u
)2
(t)
2
d
t:
(t)的时域能量分布..范 ...时 .围宽
2()
(t
)2
ˆ
()
2
d:
(t)的频域能量分布..范 .频围 宽
可以 (u,用 )为中心， t(时 )频 , 宽 宽 为 (为 ) 的时频 he盒 ise： nbboe定 xrg量表 (t)的 示时频分
连续STFT
STFTf (u, )
f (t), gu, (t)
f (t ) g (t u )eit dt
注意：
1、gu, (t) g (t u)eit为短时傅里叶原子,它是由一个原始的窗函数g (t) 经过时间平移和频率调制而得到。
2、
f (t), gu, (t)
f
(t
)
g
)
再考虑到许瓦兹不等式
成立的条件，有：存在
b, 使得： f ' (t ) 2 btf (t )
进一步推出存在 C , 使得 f (t ) a exp( bt 2 （) 得证）
时频不可能同时有限长
尽管有了Heisenberg测不准原理的限制,可能仍然有人认为存在 某个信号在时间-频率域上可以同时是有限长的,但这个结论也是 不成立的。
2 b
如 果 t [c , d ]时 f (t ) 0 , 则 在 点 t0 (c d ) / 2处 将 上 式 两 边 微 分 n次 得 到 ：
f
(n) (t0 )
1 2
b b
fˆ i
n
exp(i t0 )d
0.
因 为 ： f (t ) 1
2
b b
fˆ
exp
i
t
t0 ex p (i t0 ) d ,
f
(t)*(t)dt..................(1)
1
2
fˆ()ˆ*()d........(2)
：参数集
线性时频变换的时频局部化
如果时频原子在时间上是集中于某个时刻点u周围,根 据(1)式,则 Tf仅()与信号f(t)在该邻域的值有关。
如果时频原子在频率上是集中于某个频率点 周围,根
f 1 ( t ) f 2 ( t ) F
1 2
fˆ1 * fˆ 2 ( )
f ( t t 0 ) F f e j t 0
e j t 0 f ( t ) F fˆ 0
f ( t ) F s fˆ s
s
f ( p ) ( t ) F ( j ) p fˆ
傅里叶变换的快速算法：FFT
1965年库利和图基提出FFT算法
FFT不是一种新的傅里叶变换,它仅仅是计算DFS 的一种快速算法.
FFT的出现极大地促进了傅里叶变换在工程 中的应用.
二、联合时频分析 联合时频分析引入的动机：
具有时变频率结构的信号在自然界中随处可见： 语音/音频信号 颜色变化的光线 雷达信号 地震信号
小波分析导论
第二章 时频分析与连续小波变换
时频联姻(Time Meets Frequency)
傅里叶分析回顾 联合时频分析的基本原理 短时傅里叶分析:STFT 连续小波变换:CWT 时频分析的应用
瞬时频率 基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检测 本章小结
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
为了分析信号中时变的频率结构，需要引入 一些时频分析的新工具：短时傅里叶变换和 小波变换就是其中的代表。
短时傅里叶变换和小波变换的差别在于采用 了不同的时频原子
不同时频原子具有不同的时频特性。
时频原子
时频原子的基本概念 线性时频变换的定义 时频原子的时频局部化描述
Heisenberg测不准原理 时频原子的时频结构-Heisenberg-box 时频能量密度
Ak
1 T
X(j
2
T
k)
x(n) D T FX T(ej) X(ejt) C F Sx(k)
Ak
1 N
j 2 k
X(e N )
连 续 时 间 傅 立 叶 变 换 C T F T
离 散 时 间 傅 立 叶 变 换 D T F T
x(t) X( j)
X( jt) 2x()
连续、非连 周续 期、非周期