江苏专用2018_2019学年高中数学课时分层作业9双曲线的几何性质苏教版选修1

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课时分层作业(九) 双曲线的几何性质
(建议用时:45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线
x 24-y 2
3
=1的离心率
是__________.
【解析】 a 2=4,b 2=3,c 2=a 2+b 2=7,∴a =2,c =
7,∴e =
7
2.
【答案】
7
2
2.双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m 等
于________.
【导学号:95902122】
【解析】 双曲线方程化为标准形式:y 2-
x 2

1m
=1,则有:
a 2=1,
b 2=-1
m

由题设条件知,2=
-1
m ,∴m =-1
4
. 【答案】 -1
4
3.对于方程
x 2
4
-y 2=1和
x 2
4
-y 2=λ(λ>0且λ≠1)所表示
的双曲线有如下结论:
(1)有相同的顶点;(2)有相同的焦点;(3)有相同的离心率;
(4)有相同的渐近线.其中正确的是________.
x2
【解析】对于方程
-y2=1,a=2,b=1,c=5;
4
x2
-y2=λ,a′=2λ,b′=λ,c′=5λ,显对于方程
4
然a′、b′、c′分别是a、b、c的λ倍,因此有相同的离心率和渐近线.
【答案】(3)(4)
4.已知双曲线的焦点为(-4,0),(4,0),离心率为2,则双曲线的标准方程为________.
c
【解析】∵e=
=2,c=4,∴a=2,∴b2=c2-a2=12,
a
且焦点在x 轴上,故标准方程为
x 24-y 2
12
=1. 【答案】
x 24-y 2
12
=1 5.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为5
2

则C 的渐近线方程为________.
【导学号:95902123】
【解析】 由e =
5
2
,得c
a

52
, ∴c =
5
2
a ,
b =
c 2-a 2=1
2
a .
而x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±b
a
x ,
∴所求渐近线方程为
y =±1
2
x .
【答案】 y =±1
2
x
6.与椭圆x 29+y 2
25=1共焦点,离心率之和为14
5
的双曲线标
准方程为________.
【解析】 椭圆的焦点是(0,4),(0,-4),
∴c =4,e =45,∴双曲线的离心率等于145-4
5
=2,

4
a
=2,∴a =2.∴b 2=42-22=12.∴双曲线的标准方程为
y 24
-x 2
12
=1.
【答案】
y 24-x 2
12
=1 7.已知双曲线C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆x 225+y 2
16
=1
的长轴端点、焦点,则双曲线C 的渐近线方程为________.
【导学号:95902124】
【解析】 由已知得,双曲线焦点在x 轴上,且c =5,a =
3,
∴双曲线方程为
x 29
-y 2
16=1.∴渐近线方程为x 29-y 216=0,即x
3
±
y
4
=0.
【答案】 4x ±3y =0
8.已知F 1,F 2是双曲线
x 2a 2-y 2
b 2
=1(a >0,b >0)的两个焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2,若边MF 1的中点在双
曲线上,则双曲线的离心率是________.
【解析】 如图,设MF 1的中点为P ,由
题意知MF 1⊥PF 2.
在Rt △PF 1F 2中,PF 2=F 1F 2·sin 60°=2c ·
3
2=
3
c .PF 1=F 1F 2·cos 60°=2c ·1
2
=c ,

PF 2-PF 1=2a ,∴a =
3-
1
2
c .
∴e =
c
a

2
3-1
=3+1.
【答案】 3+1
二、解答题
9.求双曲线9y 2-4x 2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实
轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
【导学号:95902125】
【解】 将9y 2-4x 2=-36变形为
x 29-
y 2
4=1,即x 232-y 2
22
=1,∴a =3,b =2,c =
13,
因此顶点为A 1(-3,0),A 2(3,0),
焦点坐标为F 1(-13,0),F 2(13,0),
实轴长是2a =6,虚轴长是2b =4,离心率e =c
a

133
,渐近线方程:y =±b a x =±2
3
x .
10.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)虚轴长为12,离心率为5
4

(2)一条渐近线方程是x -2y =0,且过点P (4,3).
【解】 (1)设双曲线的标准方程为
x 2a 2-y 2
b 2=1或y 2a 2-x 2
b 2
=1(a >0,b >0).
由题知2b =12,c a =5
4
且c 2=a 2+b 2,∴b =6,c =10,a
=8,
∴标准方程为
x 264-y 236=1或y 264-x 2
36
=1. (2)方法一:∵双曲线的一条渐近线方程为x -2y =0,当x
=4时,y =2<yP =3.

双曲线的焦点在y 轴上.从而有a b =1
2
,∴b =2a .设双曲线
方程为
y 2
a 2-x 2
4a 2
=1, 由于点P (4,3)在此双曲线上,
∴9
a 2-16
4a 2
=1,解得a 2=5.∴双曲线方程为
y 25-x 2
20
=1. 方法二:∵双曲线的一条渐近线方程为x -2y =0,即x
2
-y
=0,
∴双曲线的渐近线方程为
x 2
4
-y 2=0.设双曲线方程为x 2
4
-y 2=λ(λ

0),

双曲线过点P (4,3),∴42
4
-32=λ,
即λ=-5.
∴所求双曲线方程为
x 2
4
-y 2=-5, 即y 25-x 2
20
=1. [能力提升练]
1.双曲线
x 24-
y 2
12
=1的焦点到渐近线的距离为________.
【解析】 由双曲线
x 24-
y 2
12
=1,知a =2,b =23,c =
4,∴焦点F 1(-4,0),F 2(4,0),
渐近线方程y =±
3x .由双曲线对称性知,任一焦点到任
一渐近线的距离都相等.
∴d =
|4
3+0|
3+1
=2 3.
【答案】 2 3
2.设△ABC 是等腰三角形,∠ABC =120°则以A ,B 为焦
点且过点C 的双曲线离心率是__________.
【导学号:95902126】
【解析】 AB =2c ,由AB =BC ,∠ABC =120°得AC =
23c,再由|AC-BC|=2a,得|23c-2c|=2a,即
c
a =
3+1
2

e=
3+1
2
.
【答案】
3+1
2
3.已知双曲线
x2
a2-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行
于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为________.
【解析】因为双曲线的一个焦点在直线l上,所以0=2c +10,即c=-5又因为渐近线平行于直线l:y=2x+10,故有
b
a

2,结合c 2=a 2+b 2,得a 2=5,b 2=20,所以双曲线的标准方
程为
x 25-y 2
20
=1. 【答案】
x 25-y 2
20
=1 4.双曲线
x 2a 2-y 2
b 2
=1(a >1,b >0)的焦距为2c ,直线l 过点(a,0)和(0,b ),且点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距
离之和s ≥4
5
c ,求双曲线离心率e 的取值范围.
【导学号:95902127】
【解】 设直线l 的方程为x a +y
b
=1,即bx +ay -ab =0.由
点到直线的距离公式,且a >1,得点(1,0)到直线l 的距离d 1=
ba-b
a2+b2,点(-1,0)到直线l的距离d2=
ba+b
a2+b2
.∴s=d1+
d2=
2ab
a2+b2=
2ab
c
.由s≥
4
5
c,得
2ab
c

4
5
c,即5a c2-a2
≥2c2.∵e=
c
a

∴5e2-1≥2e2,∴25(e2-1)≥4e4,即4e4-25e2+25≤0,∴
5
4
≤e2≤5(e>1).

5
2≤e≤5,即e的取值范围为
⎣⎢


⎢⎡
⎦⎥


⎥⎤
5
2
,5.。

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