四川省自贡市2017届高三第一次诊断性考试

四川省自贡市2017届高三第一次诊断性考试
文数试题
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．若集合A={x|x2+3x﹣4＞0}，B={x|﹣2＜x≤3}，且M=A∩B，则有（）A．1∈M B．2∈M C．（∁R B）⊆A D．B⊆A
2．已知z=﹣（i是虚数单位）．那么复数z的虚部为（）
A．B．i C．1 D．﹣1
3．已知向量=（﹣1，2），=（﹣1，1），=（﹣3，1），则•（+）=（）A．（6，3） B．（﹣6，3）C．﹣3 D．9
4．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）
A． B．C．D．
5．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n都有a n=S n+2成立．若b n=log2a n，则b1008=（）
A．2017 B．2016 C．2015 D．2014
6．在“双11”促销活动中，某商场对11月11日9时到14时的销售额进行统计，
其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为14万元，则9时到11时的销售额为（）
A．3万元B．6万元C．8万元D．10万元
7．将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减
C．在区间[﹣，]上单调递增D．在区间[﹣，]上单调递减
8．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）
A． B．C．D．
9．如图是利用我国古代数学家刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（）
参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305．
A．12 B．24 C．48 D．96
10．已知双曲线C 1：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）经过抛物线C 2：y 2=2px （p ＞0）
的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C 1的离心率是（ ） A ．2
B ．
C ．
D ．
11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ﹣1=﹣2，S m =0，S m +1=3，其中m ≥2，则nS n 的最小值为（ ） A ．﹣3 B ．﹣5 C ．﹣6 D ．﹣9
12．对于函数f （x ）和g （x ），设α∈{x ∈R |f （x ）=0}，β∈{x ∈R |g （x ）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f （x ）与g （x ）互为“零点关联函数”．若函数f （x ）=e x ﹣1+x ﹣2与g （x ）=x 2﹣ax ﹣a +3互为“零点关联函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．
B ．
C ．[2，3]
D ．[2，4]
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知函数()31f x ax x =++的图象在点()()1 1f ，处的切线与直线40x y +=垂直，则实数a =．
14. 设实数 x y ，满足70
310350x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪--≥⎩
，则2z x y =-的最小值为．
15. 已知一个多面体的三视图如图所示：其中正视图与侧视图都是边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．
16. 设()'f x 是函数()f x 的导数，()''f x 是函数()'f x 的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00 x f x ，为函数()f x 的拐点，某同学经过探究发现：任何一个三次函数
()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数()32342g x x x x =-++，利用上述探究结果 计算：1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
…．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）
在ABC △中， A B C ，
，的对边分别为 a b c ，，， 83
C b π
==，，ABC △
的面积为（Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求()cos B C -的值.
18. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足121
1 2
b b ==，，若*n N ∈时，11n n n n a b b nb -+-=.
（Ⅰ）求{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n n n C a a +=，求{}n c 的前n 项和n S .
19. （本小题满分12分）
甲、乙两位射击运动员，在某天训练中已各射击10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
（Ⅰ）通过计算估计，甲、乙二人的射击成绩谁更稳；
（Ⅱ）若规定命中8环及以上环数为优秀，请依据上述数据估计，在第11次射击时，甲、乙人分别获得优秀的概率.
20. （本小题满分12分）
如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ABC ⊥底面，11
2AA AC AC ===，AB BC =且AB BC ⊥.
（Ⅰ）求证：1AC A B ⊥； （Ⅱ）求三棱锥1C ABA -的体积..
21. （本小题满分12分） 已知函数()2212f x e x x =-+
（e 为自然对数的底数），()()21
2
g x x ax b a R b R =++∈∈，.
（Ⅰ）求()f x 的极值；
（Ⅱ）若()()f x g x ≥，求()1b a +的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线l
的参数方程为15x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪
=-⎪⎩
（其中t 为参数），现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （Ⅰ）写出直线l 和曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）已知点P 为曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知a 是常数，对任意实数x ，不等式1212x x a x x +--≤≤++-都成立. （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）设0m n >>，求证：2
2
1
222m n a m mn n +≥+-+.
四川省自贡市2017届高三第一次诊断性考试
文数试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．若集合A={x |x 2+3x ﹣4＞0}，B={x |﹣2＜x ≤3}，且M=A ∩B ，则有（ ） A ．1∈M
B ．2∈M
C ．（∁R B ）⊆A
D ．B ⊆A
【考点】交集及其运算．
【分析】解不等式求出集合A ，根据交集的定义写出M=A ∩B ，再判断选项是否正确．
【解答】解：集合A={x |x 2+3x ﹣4＞0}={x |x ＜﹣4或x ＞1}， B={x |﹣2＜x ≤3}， 则M=A ∩B={x |1＜x ≤3}， ∴2∈M ． 故选：B ． 2．已知z=﹣
（i 是虚数单位）．那么复数z 的虚部为（ ）
A ．
B ．i
C ．1
D ．﹣1
【考点】复数的基本概念．
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【解答】解：z=﹣=﹣==+i，
那么复数z的虚部为1．
故选：C．
3．已知向量=（﹣1，2），=（﹣1，1），=（﹣3，1），则•（+）=（）A．（6，3） B．（﹣6，3）C．﹣3 D．9
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】进行向量加法和数量积的坐标运算即可．
【解答】解：．
故选：D．
4．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）
A． B．C．D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．
∴其正视图和侧视图是一个圆，
∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上
∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，
故选：B
5．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n都有a n=S n+2成立．若b n=log2a n，则b1008=（）
A．2017 B．2016 C．2015 D．2014
【考点】数列递推式．
【分析】根据数列的递推公式即可求出数列{a n}为等比数列，根据对数的运算性质可得b n=2n+1，代值计算即可
【解答】解：在a n=S n+2中令n=1得a1=8，
因为对任意正整数n，都有a n=S n+2成立，所以a n+1=S n+1+2成立，
﹣a n=a n+1，
两式相减得a n
+1
=4a n，
所以a n
+1
又a1≠0，
所以数列{a n}为等比数列，
所以a n=8•4n﹣1=22n+1，
所以b n=log2a n=2n+1，
所以b1008=2017，
故选：A
6．在“双11”促销活动中，某商场对11月11日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为14万元，则9时到11时的销售额为（）
A．3万元B．6万元C．8万元D．10万元
【考点】频率分布直方图．
【分析】根据频率分布直方图，利用频率比与销售额的比相等，即可求出对应的值．
【解答】解：根据频率分布直方图知，12时到14时的频率为0.35，
9时到11时的频率为0.25，
所以9时到11时的销售额为：
14×=10（万元）．
故选：D．
7．将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减
C．在区间[﹣，]上单调递增D．在区间[﹣，]上单调递减
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得所得图象对应的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得所得图象对应的函数的单调区间，即可得解．【解答】解：将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，
得到y=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）的图象，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
可得函数的单调递增区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z，
当k=0时，单调递增区间为：[，]，故A正确．
故选：A．
8．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）
A． B．C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．
【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，
∴f′（x）=x﹣sinx，
∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，
故选：A．
9．如图是利用我国古代数学家刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（）
参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305．
A．12 B．24 C．48 D．96
【考点】程序框图．
【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：
n=6，S=3sin60°=，
不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，
不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，
满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．
故选：B．
10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）经过抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是（）
A．2 B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得抛物线的焦点坐标和准线方程，可得p=2a，求得双曲线的渐近线方程，联立准线方程，可得等边三角形的边长和高，可得a=b，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），
由题意可得a=，
双曲线C 1：
﹣=1的渐近线方程为y=±x ，
抛物线的准线方程为x=﹣，
代入渐近线方程可得交点为（﹣a ，b ），（﹣a ，﹣b ）， 由双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形， 可得边长为2b ，高为a ， 即有a=
b ，c=
=
a ，
即有e==．
故选：D ．
11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ﹣1=﹣2，S m =0，S m +1=3，其中m ≥2，则nS n 的最小值为（ ） A ．﹣3 B ．﹣5 C ．﹣6 D ．﹣9 【考点】等差数列的前n 项和．
【分析】由等差数列性质求出a1=﹣2，d=1，由此利用导数性质能求出nS n 的最小值．
【解答】解：由Sm ﹣1=﹣2，Sm=0，Sm +1=3，得am=2，am +1=3，所以d=1，因为Sm=0，故ma1+d=0，故a1=﹣
，
因为am +am +1=5，
故am +am +1=2a1+（2m ﹣1）d=﹣（m ﹣1）+2m ﹣1=5，解得m=5． 所以=﹣2，
nS n =n （﹣2n +
）=n 3﹣n 2，
设f （n ）=n 3﹣n 2，则
，由f′（n ）=0，得n=
或n=0，
由n ∈N *，得当n=3时，nS n 取最小值=﹣9．
故选：D ．
12．对于函数f （x ）和g （x ），设α∈{x ∈R |f （x ）=0}，β∈{x ∈R |g （x ）=0}，
若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）
A．B．C．[2，3]D．[2，4]
【考点】函数的零点．
【分析】先得出函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的零点为x=1．再设g（x）=x2﹣ax﹣a+3的零点为β，根据函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，及新定义的零点关联函数，有|1﹣β|≤1，从而得出g（x）=x2﹣ax﹣a+3的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可．
【解答】解：函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的零点为x=1．
设g（x）=x2﹣ax﹣a+3的零点为β，
若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，
根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1，
∴0≤β≤2，如图．
由于g（x）=x2﹣ax﹣a+3必过点A（﹣1，4），
故要使其零点在区间[0，2]上，则
g（0）×g（2）≤0或，
解得2≤a≤3，
故选C．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知函数()31f x ax x =++的图象在点()()1 1f ，处的切线与直线40x y +=垂直，则实数a =． 【答案】1
考点：导数的几何意义.
14. 设实数 x y ，满足70
310350x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪--≥⎩
，则2z x y =-的最小值为．
【答案】8 【解析】
试题分析：作出不等式组70310350x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪--≥⎩
表示的平面区域如图：
根据图形得：当直线2z x y =-经过点B 时z 取得最大值，
由70
310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩
解得：()5 2B ，
，∴max 5228z =⨯-=.
考点：线性规划.
15. 已知一个多面体的三视图如图所示：其中正视图与侧视图都是边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．
【答案】3π
考点:三视图.
【名师点睛】本题考查三视图，属基础题；解三视图相减问题的关键在于根据三视图还原几何体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体
16. 设()'f x 是函数()f x 的导数，()''f x 是函数()'f x 的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00 x f x ，为函数()f x 的拐点，某同学经过探究发现：任何一个三次函数
()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数()32342g x x x x =-++，利用上述探究结果 计算：1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
…．
【答案】76
考点：1.新定义问题；2.导数的运算；3.函数的对称性.
【名师点睛】本题考查新定义问题、导数的运算、函数的对称性，属难题；解决新定义问题首先要对新概念迅速理解，并学以致用，本题注意经过两次求导得到的零点为函数的拐点，也是函数的对称中心，再就是对函数中心对称的性质在掌握，即若函数()f x 关于点(,)a b 成中心对称，则(2)()2f a x f x b -+=.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）
在ABC △中， A B C ，
，的对边分别为 a b c ，，， 83
C b π
==，，ABC △的面积为（Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求()cos B C -的值. 【答案】（Ⅰ）7c =；（Ⅱ）
13
14
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得222
49
25641
cos 2707
a c
b B a
c +-+-===，
由于B 是三角形的内角，得sin B ==
所以()1113
cos cos cos
sin sin
3
3
7214
B C B B π
π
-=+=
+⨯=（12分） 考点：1.正弦定理与余弦定理；2.三角恒等变换.
【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理、与三角恒等变换，属中档题；解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形方向，利用三角恒等变换公式进行转化. 18. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足121
1 2
b b ==，，若*n N ∈时，11n n n n a b b nb -+-=.
（Ⅰ）求{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n n n C a a +=
，求{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）1
12n n b -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
；（Ⅱ）269
n n
S n =
+.
试题解析： （Ⅰ）由数列{}n b 满足12
1
1 2
b b ==
，，1n n n n a b b nb --=， 当1n =时，1221a b b b -=，即1113
322
a a =⇒=，
又因为数列{}n a 是公差为2的等差数列，所以21n a n =+（3分） 由21n a n =+得()1121n n n n b b nb +++-=， 化简得：12n n b b +=，即
112
n n b b +=， 即数列{}n b 是以1为首项，以1
2
为公比的等比数列， 所以1
12n n b -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
. （6分）
考点：1.等差数列、等比数列的定义与性质；2.裂项相消法求和.
【名师点睛】本题考查等差数列、等比数列的定义与性质以及裂项相消法求和，属中档题；，本题易错点在裂项时写错公式或弄错数列的首项与尾项. 本题在考查等差数列、等比数列等
基础知识的同时，考查考生的计算能力,本题是教科书及教辅材料常见题型，能使考生心理更稳定，利于正常发挥. 19. （本小题满分12分）
甲、乙两位射击运动员，在某天训练中已各射击10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
（Ⅰ）通过计算估计，甲、乙二人的射击成绩谁更稳；
（Ⅱ）若规定命中8环及以上环数为优秀，请依据上述数据估计，在第11次射击时，甲、乙人分别获得优秀的概率.
【答案】（Ⅰ）乙比甲的射击成绩稳定；（Ⅱ）19
25
. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）分别计算甲乙二人射击的平均成绩与方差，比较其大小即可；（Ⅱ）由题意得：甲运动员获得优秀的概率为25，乙运动员为3
5
,分别计算甲、乙中有一人优秀、与两人均优秀的概率相加即可. 试题解析： （Ⅰ）∵()1784710x =
+++=甲…，()1
957710
x =+++=乙…， ∴()()()222
21778747410s ⎡⎤=
-+-++-=⎣
⎦甲…， ()()()222
2
1975777 1.210s ⎡⎤=
-+-++-=⎣
⎦乙…， ∵22
s s <乙甲
， ∴乙比甲的射击成绩稳定.
（Ⅱ）由题意得：甲运动员获得优秀的概率为
25，乙运动员为3
5
， 则甲、乙在第11次射击中获得优秀次数的情况为ξ取值0、1、2， ∴()326
05525P ξ==⨯=；
()223313
1555525P ξ==⨯+⨯=
； ()236
25525
P ξ==⨯=.
∴甲、乙两人分别获得优秀的概率：
13619
252525
+=
（12分） 考点：1.样本的数据特征；2.相互独立事件的概率.
20. （本小题满分12分）
如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ABC ⊥底面，11
2AA AC AC ===，AB BC =且AB BC ⊥.
（Ⅰ）求证：1AC A B ⊥； （Ⅱ）求三棱锥1C ABA -的体积..
【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】
试题分析：（Ⅰ）欲证1AC A B ⊥，只要证1
AC AOB ⊥平面即可，取AC 中点O ，连接1A O ，BO ，可证1AO AC ⊥，BO AC ⊥，从而可证1
AC AOB ⊥平面；（Ⅱ）由等体积转化即1111C ABA C ABA A ABC V V V ---==，此时1OA 为三棱锥1A ABC -的高，求出底面
ABC 的面积即可. 试题解析： （Ⅰ）证明：取AC 中点O ，连接1A O ，BO ，
∵11AA AC =，∴1AO AC ⊥（1分） 又AB BC =，∴BO AC ⊥（2分）
∵1AO BO O = ，∴1AC AOB ⊥平面（3分） 又11A B AOB ⊂平面（4分） ∴1AC A B ⊥（5分）
考点：1.直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质；2.多面体的体积.
21. （本小题满分12分）
已知函数()2212f x e x x =-+（e 为自然对数的底数），()()21 2
g x x ax b a R b R =++∈∈，. （Ⅰ）求()f x 的极值；
（Ⅱ）若()()f x g x ≥，求()1b a +的最大值.
【答案】（Ⅰ）3()=
2
f x 极小值,无极大值；（Ⅱ）2e . 【解析】
试题解析： （Ⅰ）∴()'1x f x e x =+-，
又()'1x f x e x =+-在R 上递增，且()'00f =，
∴当0x <时，()'0f x <，0x >时，()'0f x >，
故0x =为极值点，∴()302f =
（4分） （Ⅱ）()()()21102
x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()()'1x h x e a =-+，
①当10a +≤时，()()'0h x y h x >⇔=在x R ∈上单调递增，x ∈-∞时，
()h x -∞→与()0h x ≥相矛盾；
②当10a +>时，()()'0ln 1h x a >⇔+，()()'0ln 1h x x a <⇔<+得：当()ln 1x a =+时，()()()()min 11ln 10h x a a a b =+-++-≥，
即()()()11ln 1a a a b +-++≥，
∴()()()()22
111ln 1a b a a a +≤+-++，()10a +>（9分） 令()()22ln 0F x x x x x =->，则()()'12ln F x x x =-，
∴(
)'00F x x >⇔<<(
)'0F x x <⇔
当x ()max 2e F x =
，
即当1a
，b =时，()1a b +的最大值为2
e ， ∴()1a b +的最大值为2
e . （12分） 考点：1.导数的运算；2.导数与函数的单调性；3.函数与不等式.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线l
的参数方程为15x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（其中t 为参数），现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （Ⅰ）写出直线l 和曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）已知点P 为曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值.
【答案】（Ⅰ）直线l 的普通方程4y x =-，曲线C 的直角坐标方程为()2
224x y +-=；（Ⅱ）322-.
试题解析： （Ⅰ）直线l ：
21
25x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
消去参数t 得普通方程4y x =-（2分） 由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，
由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，以及222x y ρ+=， 整理得：()2
224x y +-=（2分） （Ⅱ）由()2
220x y -+=得圆心坐标为()0 2，，半径2R =， 则圆心到直线的距离为：d ==，
而点P 在圆上，即'O P PQ d +=（Q 为圆心到直线l 的垂足点）
所以P 到直线l 的距离最小值为2.
考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化；3.直线与圆的位置关系.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知a 是常数，对任意实数x ，不等式1212x x a x x +--≤≤++-都成立.
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）设0m n >>，求证：221
222m n a m mn n +≥+-+.
【答案】（Ⅰ）3a =；（Ⅱ）见解析.
试题解析：（Ⅰ）12123x x x x +--≤++-=，
31212x x x x =++-≤++-，
∵对任意实数x ，不等式1212x x a x x +--≤≤++-都成立， ∴3a =（4分）
（Ⅱ）证明：()()()2221
1222m n m n m n m mn n m n +-=-+-+-+-，
∵0m n >>，
∴()()()21
3m n m n m n -+-+≥=-，
∴21
2232m n m mn n +-≥-+，
即221
222m n a m mn n +≥+-+（10分）
考点：1.绝对值不等式的性质；2.不等式的证法；3.基本不等式.。