第二章第1节函数及其表示

第二章第1节函数及其表示
1.设f：x那么A∩B为()
A.∅
B.{1}
C.∅或{2}
D.∅或{1}
解析：由x2＝1或x2＝2，解之得x＝±1或x＝±2.假设1∈A，那么A∩B＝{1}，假设1∉A，那么A∩B＝∅.故A∩B＝∅或{1}.
答案：D
2.以下各组函数中，表示同一函数的是
(
)
A.y y
B.y＝lne x与y＝e ln x
C.y＝
()()
13
1
x x
x
-+
-
与y＝x＋3
D.y＝x0与y＝
1
x
解析：关于命题A，对应关系不同；关于命题B，定义域不同；关于命题C，定义域不同；关于命题D，y＝x0(x≠0)与y＝(x≠0)完全相同.
答案：D
3.两个函数f (x)和g(x)的定义域和值域差不多上集合{1,2,3}，其定义如下表：
那么方程g[f(x)]＝x的解集为()
A.{1}
B.{2}
C.{3}
D.∅
解析：当x＝1时，g[f(1)]＝g(2)＝2，不合题意；
当x＝
2时，g[f(2)]＝g(3)＝1，不合题意；
当x＝3时，g[f(3)]＝g(1)＝3，符合题意.
答案：C
1
x
4.函数f (x )的图象是两条线段(如图，不含端点)，那么f [f (1
3)]＝ ( )
A.－13
B.13
C.－23
D.23
解析：由图象知f (x )＝ ∴f (13)＝13－1＝－23
，
∴f [f (13)]＝f (－23)＝－23＋1＝13.
答案：B
5.f 11x x
-+()＝2211x x -+，那么f (x )的解析式为 ( )
A. f (x )＝
21x x + B. f (x )＝
221x
x -+
C. f (x )＝
221x x + D. f (x )＝2
1x
x -+
解析：由f 11x x -+()＝2211x x -+，令t ＝11x
x
-+，
那么x ＝
11t
t
-+， ∴2
2
2
2211121,11111t x t t t x t t
---+=
=-++++(
)
()
即f (t )＝
2
2,1t
t + ∴f (x )＝
2
21x
x
+. 答案：C
6.函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (
1
x
)x －1，那么f (x )＝ . 解析：考虑到所给式子中含有f (x )和f (
1
x
)，故可考虑利用换元法进行求解. 在f (x )＝2f (
1x )x －1，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )x
－1，将f (1x )＝2f x x ()
－1
代入f (x )＝2f (
1x
)x －1中，可求得f (x )＝23x ＋1
3.
答案：23x ＋13
7.(2018·青岛模拟)函数f (x )＝2,,2,x x x x +⎧⎨-+>⎩≤0
那么不等式f (x )≥x 2的解集为 ( )
A.[－1,1]
B.[－2,2]
C.[－2,1]
D.[－1,2] 解析：当x ≤0时，不等式
f (x )≥x 2化为
x ＋2≥x 2，即
2
20x x x ⎧+⎨
⎩
≥≤,因此－1≤x ≤0； 当x ＞0时，不等式f (x )≥x 2化为－x ＋2≥x 2，即2
2>0
x x
x ⎧-+⎨⎩≥因此0＜x ≤1.
综上可得不等式的解集为[－1,1]. 答案：A
8.函数f (x )＝22,2<2x x x -⎧⎨-⎩
(≥)
()那么不等式x ·
f (x －1)＜10的解集是 . 解析：当x －1≥2，即x ≥3时，不等式等价于3
,3<x x x ⎧⎨
-⎩
≥()10解得3≤x ＜5；当
x －1＜2，即x ＜3时，不等式等价于 <3
,2<x x ⎧⎨
-⎩10
解得－5＜x ＜3.
综上可知不等式的解集为{x |－5＜x ＜5}. 答案：{x |－5＜x ＜5}
9.f (x )＝2
2,1,2,1<<2,,2,2
x x x x x x ⎧
⎪+-⎪
-⎨⎪⎪⎩≤≥且f (a )＝3，求a 的值.
解：①当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，
由a ＋2＝3，得a ＝1，与a ≤－1相矛盾，应舍去. ②当－1<a <2时，f (a )＝2 a ， 由2a ＝3，得a ＝3
2
，满足－1<a <2.
③当a ≥2时，f (a )＝2
2
a ，
由
2
2
a
＝3，得a＝±6，又a
≥2，∴a＝ 6.
综上可知，a的值为
3
2或 6.
题组四函数及其表示的灵活应用
10.汽车通过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，假设把这一过程中汽车的行驶路程s看作时刻t的函数，其图象可能是()
解析：画出曲线的切线，其切线的斜率的意义为速度.由图中切线斜率的变化规律可知选A.
答案：A
11.假如f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，那么
f(2)
f(1)＋
f(4)
f(3)＋
f(6)
f(5)＋…＋
f(2006)
f(2005)＋
f(2018)
f(2007)＋
f(2018)
f(2018)＝.
解析：f(2)＝f(1)f(1)＝22，
f(2)
f(1)＝2，
f(3)＝f(1)f(2)＝23，f(4)＝f(2)f(2)＝24，
f(4)
f(3)＝2，…
f(2018)
f(2018)＝2，
∴原式＝2×1005＝2018.
答案：2018
12.下面是一个电子元件在处理数据时的流程图：
(1)试确定y与x的函数关系式；
(2)求f(－3)、f(1)的值；
(3)假设f(x)＝16，求x的值.
解：(1)y＝
2
2
2,1,
2,<1.
x x
x x
⎧+
⎪
⎨
+
⎪⎩
()≥
(2)f(－3)＝(－3)2＋2＝11；f(1)＝(1＋2)2＝9.
(3)假设x≥1，那么(x＋2)2＝16，
解得x＝2或x＝－6(舍)；
假设x＜1，那么x2＋2＝16，解得x＝14(舍)或x＝－14. 即x＝2或x＝－14.。