2018年西南大学《中学几何研究》作业

单项选择题
1、
1. 既不充分也不必要条件
2.
充分不必要条件
3.
必要不充分条件 4.
充要条件
2、
1. A.
2. C.
3.
E.
4.
3、44．若三角形两角的平分线相等，则此三角形为（ ）
1.
直角三角形 2.
不能判断
3.
等腰三角形
4.
等边三角形
4、45．下列结论不正确的是（ ）
1. 两圆的内公切线等于外公切线
2. 中垂线上的点到两端点距离相等
3. 圆的垂径平分弦
4.
角平分线上的点到两边的距离相等
5、
41．钱大姐常说：“便宜没好货”。

她这句话意思是“不便宜”是“好货”的（ ）
1.
B. 充分条件
2.既不充分也不必要
3.必要条件
4.充要条件
6、
1. F.
2.
3.
4.
7、
1.
2.
3. 4.
8、
1. 2. 3.
4.
9、
1.
D. 充要条件
2.
既不充分也不必要条件 3.
必要不充分条件 4.
充分不必要条件
10、
1.
2.
3. 4.
判断题
11、38．三角形的高线平分垂足三角形的内角。

1. A.√
2. B.×
12、33．用反证法证明几何问题时，图形不能按实际情况作图。

1. A.√
2. B.×
13、36．用同一法证明问题的理论根据是命题满足同一原理。

1. A.√
2. B.×
14、37．同一性原理是指命题的条件和结论的事项均唯一。

1. A.√
2. B.×
15、26．综合法是从命题的条件入手由因导果的方法。

1. A.√
2. B.×
16、
1. A.√
2. B.×
17、31．用反证法证明就是证原命题的逆命题不成立。

1. A.√
2. B.×
18、29．证明几何问题，我们往往用分析法分析思路，用综合法书写证明。

1. A.√
2. B.×
19、27．用综合法时叙述简明，所以综合法优于分析法。

1. A.√
2. B.×
20、
1. A.√
2. B.×
21、32．证明否定式的结论时一定用反证法。

1. A.√
2. B.×
22、34．能用同一法证明的问题均可用反证法证明。

1. A.√
2. B.×
23、25．分析法是从命题的结论入手执果索因的方法。

1. A.√
2. B.×
24、28．用分析法时思路清晰，所以分析法优于综合法。

1. A.√
2. B.×
25、30．用反证法证明问题的理论根据是原命题与逆否命题同真同假。

1. A.√
2. B.×
26、35．分断式定理的逆命题一定成立。

1. A.√
2. B.×
主观题
27、12．介于定三角形两边之间且平行于第三边的线段，其中点的轨迹是。

参考答案：
12．第三边的中线．
28、
17．平面内到两定点距离的平方和为常量的点的轨迹是一圆，该圆叫。

参考答案：
17．定和幂圆．
29、
16．平面内到两定点和定直线距离相等的点的轨迹是。

参考答案：
16．抛物线．
30、
参考答案：
31、
参考答案：
32、10．平面内与两平行定直线等远的点的轨迹是。

参考答案：
10．平行于定直线的一条直线．
33、6．三角形的三中垂线共点于。

参考答案：
6．外心．
34、5．三角形的三中线共点于。

参考答案：
5．重心．
35、14．平面内到两定点距离之比不为1的点的轨迹是­圆，该圆叫。

参考答案：
14．阿氏圆．
36、3．三角形的三高线共点于。

参考答案：
3．垂心．
37、
18．平面内到两定点的平方差为常量的点的轨迹是一条直线，该直线叫。

参考答案：
18．定差幂线．
38、
19．尺规作图的作图公理为。

参考答案：
19．过两点作直线；已知圆心和半径作圆；作直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点。

39、7．三角形外一点在其内接圆上的充要条件是。

参考答案：
7．该点在三边上的射影共线．
40、13．平面内到两定点距离之比为1的点的轨迹是­。

参考答案：
13．两定点线段的中垂线．
41、20．求解作图题的基本步骤为。

参考答案：
20．分析、作法、证明、讨论．
42、24．古典的尺规作图不可能三问题是．
参考答案：
24．三等分任意角、化圆为方、倍立方．
43、
参考答案：
44、9．平面内与两相交直线等远的点的轨迹是。

参考答案：
9．两定直线所成角的平分线．
45、8．轨迹证明要“不漏不滥”，“不漏”是指，“不滥”是指。

参考答案：
8．符合条件的点都在图形上；图形上的点均满足条件．
46、
参考答案：
15．椭圆．
47、
参考答案：
48、4．三角形的三内角平分线共点于。

参考答案：
4．内心．
49、11．平面内切定直线上一定点的圆，其圆心的轨迹是。

参考答案：
11．定直线在定点的垂线．
50、56.轨迹讨论:
距两定点等远的点的轨迹，是该两点连线段的中垂线。

（只证完备性和纯粹性，不必讨论）参考答案：
51、56.轨迹讨论:
距两定点等远的点的轨迹，是该两点连线段的中垂线。

（只证完备性和纯粹性，不必讨论）参考答案：
52、55.轨迹讨论：
设一点与一定圆的距离等于圆半径，则该点的轨迹为该圆中心和一个半径加倍的同心圆的并。

参考答案：
53、59.简述欧几里得《几何原本》的不足之处。

参考答案：
59.答：《几何原本》的不足之处表现在三方面：
第一，欧几里得在《几何原本》中试图对每个概念都给出定义，实际上是不可能的．因此一些定义，如开头的7个定义不过是对点、线、面等几何概念的直观描述，它们在以后的推理论证中根本不起作用；还有一些定义含糊不清，令人费解，如“直线”“平面”等概念；还有一些定义利用了未加定义的概念，如“界限”“长度”等等．总之，在概念的处理上存在一些问题．
第二，《几何原本》中作为演绎、推理基础的公设不够用．希尔伯特对欧几里得几何给出了20条公理，不多不少正好够用，而《几何原本》仅给出5条公理(即5条公设，不含算术公理)，显然缺少很多，有许多命题的证明由于缺少论据，不得不借助于图形的直观感觉或未加证明的一些事实为根据，即离不开几何实体．后来过了2000多年的时间，才逐步补齐了所缺的公理．
第三、叙述上格式单调、割裂；有的命题的证明过于烦琐、重复，以特例证明一般，甚至出现逻辑错误等。

54、60.简述欧几里得《几何原本》的伟大贡献。

参考答案：
60.答：《几何原本》的伟大贡献表现在三方面：
第一，从科学和数学本身来看，它是历史上第一部真正的、系统的数学科学理论著作．它把公元前3世纪以前所积累的经验几何和早期推理几何的庞大的几何知识，加工整理成理论体系，为后来几何发展奠定了坚实的基础．实际证明，它是几何学发展的一个重要的里程碑，是人类文明遗产中的瑰宝．
第二，从科学方法论的角度来看，欧几里得吸取了亚里士多德的关于建立科学理论的思想，总结了古希腊各个学派对几何学方法的研究成果，在《几何原本》中确立了古典公理化方法．《几何原本》从少数基本概念和公理出发，运用形式逻辑的原理，把几何学编排成由概念、公理、命题组成的演绎体系．他的思想方法和示范性的工作，为几何学的研究开创了史无前例的新的途径，为公理化方法奠定了良好的开端．
第三，从数学教育方面来看，由于《几何原本》已把几何知识编排成系统的科学著作，自然就成为传播几何知识的重要教材，它在世界上引起的巨大影响，使欧几里得的名字几乎成为几何学的代名词了．世界上各国的中学几何教材，几乎都是以《几何原本》的内容、方法编排而成的．
55、
参考答案：
56、
参考答案：
57、58.叙述并证明西姆松定理。

参考答案：
58、57.叙述并证明塞瓦定理.参考答案：
59、
参考答案：
60、
参考答案：。