高中上海市复兴高级中学高一上学期期中数学试题

上海市复兴高级中学【精品】高一上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知是全集，、是的两个子集，用交、并、补关系将下图中的阴影部分表示
出来为 ．
2．已知集合{}2921A x x =-+，
，，集合{}212B x =，，若{}2A B ⋂=，则x =___________
3．函数()f x =的定义域是M ，则R C M =____________
4．已知{}2()1A x y y x ==+，，(){}B x y x a =
=，，则A B 的元素个数是
____________ 5．已知,x y R ∈，命题“若5x y +≥，则3x ≥或2y ≥”是______命题（填“真”或“假”）.
6．若{}222A y y x x ==-+.且a A ∈，则11
a +的取值范围是____________ 7．设:40x m α+<，R m ∈，2:20x x β-->．若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是______．
8．已知不等式()()2
2240a x a x -+--≥解集是∅，则实数a 的取值范围是______． 9．已知正数,x y 满足x y xy +=，那么x y +的最小值为 ．
10．定义实数运算213*213x x y x y y x y -≥⎧=⎨-⎩，，，
＜且1*1m m m -=-，则实数m 的取值范围是_______.
11．对于x ∈R ，不等式2|2||1|2x x a a -++≥-恒成立，则实数a 的取值范围是___________.
12．设非空集合{}
S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下四个命题：
①若1m =，则{}1S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则02
m -≤≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =；
其中正确命题的序号为____________
二、单选题
13．下列各组函数中表示同一函数的是（ ）
A ．1y =与0y x =
B ．y x =与2y =
C ．2y x 与2
x y x = D ．y x =与t =14．若110a b
<<，有下列四个不等式：①a b > ②a b < ③a b ab +< ④33a b >；其中，不正确的不等式有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
15．对任意a ，b ，R c ∈，给出下列命题：
①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；
②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；
③“4a <”是“3a <”的必要条件，
④“a b >”是“22a b >”的充分条件．
其中真命题的个数为（）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
16．已知()()21*f n n n N =+∈，集合{}12345A =，
，，，，{}34567B =，，，，，记(){}()f A n f n A =∈，()(){}f B m f m B =∈，则()()f A f B =（ ）
A ．{}12，
B ．{}123，，
C ．{}35，
D ．{}357，，
三、解答题 17．已知集合{}|14A x x =+<，1|
02x B x x a -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭
. （1）求A 和B ；
（2）若A B B =，求实数a 的取值范围.
18．某农户计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室外，沿左右两侧与后侧各保留1m 宽的通道，沿前侧3m 宽的空地，当矩形温室的长和宽分别为多少时，总占地面积最小？并求出最小值.
19．已知()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()15-，
，不等式()1x f x ≥的解集为A .
（1）求实数k 的值；
（2）设集合{}
220B x x ax =-+<，若A B ⊆.求实数a 的取值范围.
20．已知函数()232f x x ax b =--，其中a ，b R ∈. （1）若不等式()0f x ≤的解集是[]0,6，求b a 的值；
（2）若3b a =，对任意x ∈R ，都有()0f x ≥成立，且存在x ∈R ，使得()223f x a ≤-成立，求实数a 的取值范围；
（3）若方程()0f x =有一个根是1，且a ，0b >，求
11212a b +++的最小值，并求此时a ，b 的值.
21．已知数集{}()1212,,,0,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的i 、()1j i j n ≤≤≤，i j a a +，与j i a a -两数中至少有一个属于A ．
（1）分别判断数集{}0,1,3,4与{}0,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；
（2）证明：10a =，且()122n n na a a a =+++；
（3）当5n =时，若22a =，求集合A ．
参考答案
1．
【解析】
题图中阴影部分包含在集合B 中，但恰好不包含和集合A 相交的部分，故阴影部分等价于集合B 交集合A 的补集，表示为
. 2．-1
【解析】
【分析】 根据{}2A B ⋂=得：222x =解得x ，代入集合{}
2921A x x =-+，，进行检验即可. 【详解】
由题：{}2A B ⋂=，所以222x =，解得1x =或1x =-，
当1x =时，{}912A =，，，{}1,2A B =，不合题意，舍去，
当1x =-时，{}932A =，
，，{}2A B ⋂=，满足题意， 所以1x =-.
故答案为：-1
【点睛】
此题考查根据集合的交集求参数的值，需要注意考虑集合中元素的互异性和检验结果是否符合题意.
3．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，
【分析】
求出函数()f x =
的定义域，再求出补集即可. 【详解】
解不等式(21)0x x -≥得：(]1,0,2x ⎡⎫∈-∞+∞⎪⎢⎣⎭
，
函数()f x (]1,0,2M ⎡⎫=-∞+∞⎪⎢⎣⎭
，
所以102R C M ⎛
⎪=⎫ ⎝⎭
，. 故答案为：102⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
【点睛】
此题考查求函数定义域和补集运算，关键在于准确求解不等式.
4．1
【分析】 21y x =+与x a =只有一个公共点，所以A B 只有一个元素.
【详解】 由题：{}
2()1A x y y x ==+，，是函数21y x =+的点构成的集合， (){}B x y x a ==，，是直线x a =上的点构成的集合，
A B 即21y x =+与x a =的公共点构成的集合，
其公共点为()2,1a a +，仅有一个点，
所以A B 只有一个元素.
故答案为：1
【点睛】
此题考查求集合的交集，并分析集合内元素的个数.
5．真
【分析】
互为逆否命题的两个命题等价，当原命题不易判断真假时，可以先判断其逆否命题的真假.
【详解】
原命题和逆否命题互为等价命题，
命题的逆否命题“若3x <且2y <，则5x y +<”显然是真命题，
所以原命题也是真命题.
故答案为：真
【点睛】
本题考查四种命题的关系，以及判断命题的真假，属于基础题型，四种命题中，原命题和逆
否命题等价，否命题和逆命题互为逆否，也是等价命题，所以判断命题真假时，当命题不好判断时，可以转化其逆否命题判断.
6．102⎛⎤ ⎥⎝⎦
， 【分析】
先求出集合A ，再根据a A ∈，求
11
a +的取值范围. 【详解】
考虑函数()[)2222111,y x x x =-+=-+∈+∞，
所以[)1,A =+∞，即[)[)1,,12,a a ∈+∞+∈+∞， 所以110,12a ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦
. 故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
【点睛】
此题考查根据函数值域表示的集合求代数式的取值范围，其本质是求函数值域.
7．[4,)+∞
【分析】
先分别化简两个命题, α即4m x <-
,β即 1x <-,或2x >.由题意可得,只有αβ⇒成立,故14
m -≤-,由此解得m 的范围. 【详解】 解:由:40x m α+<得4m x <-
; 由2:20x x β-->得1x <-,或2x >. α是β的充分条件,∴只有αβ⇒成立,
14
m ∴-≤-,解得4m ≥, 故m 的取值范围为[4,)+∞.
故答案为：[4,)+∞
【点睛】
本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义,解不等式,属于基础题. 8．(2,2]-
【分析】
利用命题的否定去判断.分情况讨论当,2a =时不等式即为40-<,对一切恒成立,当2a ≠时利用二次函数的性质列出a 满足的条件并计算,最后两部分的合并即为所求范围.
【详解】
解：不等式()()2
2240a x a x -+--≥解集是∅等价于： 不等式()()2
2240a x a x -+--<解集是R , ①当20,2a a -==时,不等式即为40-<,对一切x ∈R 恒成立,
②当2a ≠时，则须2204(2)16(2)0
a a a -<⎧⎨∆=-+-<⎩, 即222a a <⎧⎨-<<⎩
,22a -<<, 由①②得实数a 的取值范围是(2,2]-.
故答案为：(2,2]-
【点睛】
本题考查不等式恒成立的参数取值范围,考查二次函数的性质.注意对二次项系数是否为0进行讨论.
9．4
【解析】
试题分析：因为：0,0x y >>，由均值不等式得：22x y x y xy +⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭
，令x y t +=，则240,4t t t -≥≥．
考点：1．均值不等式求最值；2．还原法解不等式．
10．(15⎤-∞⎥⎦
，
【分析】
由213*213x x y x y y x y -≥⎧=⎨-⎩，，，＜1*1m m m -=-可得2113m m --≥,再求解不等式即可. 【详解】
由213*213x x y x y y x y -≥⎧=⎨-⎩
，，，＜1*1m m m -=-可知1,m m -满足2113m m --≥ 即2131m m -≥+所以2231m m -≥+或2231m m -≤--即15m ≤
故答案为：(15⎤-∞⎥⎦
，
【点睛】
本题考查新定义函数问题,明确定义运算代入再求解绝对值不等式即可.属于中等题型. 11．[1,3]-.
【分析】
首先将题意转化为2min 2(|2||1|)a a x x -≤-++，再求出min (|2||x 1|)x -++，解不等式即可.
【详解】
对于x ∈R ，不等式2
|2||1|2x x a a -++≥-恒成立，
等价于2min 2(|2||1|)a a x x -≤-++即可. 因为|2||1||2||1|213x x x x x x -++=-++≥-+-=，
所以223a a -≤，解得：13a -≤≤.
故答案为：[1,3]-
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解法，同时考查了转化的思想，属于中档题. 12．①②③④
【分析】
由题分析：1m l -≤≤≤1，若x S ∈则2
x x l ≤≤，对每个选项列不等式组分析.
【详解】
非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈， 若1l >，则2l l >，2l S ∉，所以1l ≤，
若1m <-，则21m m >>，2m S ∉，所以1m ≥-，
所以1m l -≤≤≤1，
且当x S ∈时，有211x x x l -≤≤≤≤≤1,， 非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈， ①若1m =，根据1m l -≤≤≤1，则1l =，所以{}1S =； ②若12m =-，214m S =∈，则114
l ≤≤； ③若12l =， 221212m m m m ⎧≤⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪≥⎪⎩
，解得：02m -≤≤； ④若1l =，2211m m m m
≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，解得：10m -≤≤或1m =；
故答案为：①②③④
【点睛】
此题考查集合中元素特征的辨析，其中涉及解不等式及相关知识辨析. 13．D
【分析】
A ，
B ，
C 三个选项中的两个函数均出现定义域不同；
D 选项符合要求.
【详解】
A. 1y =定义域为R ，0y x =定义域中0x ≠，两个函数不是同一函数；
B. y x =定义域为R
，2y =
定义域[)0,+∞，两个函数不是同一函数； C. 2y x 定义域为R ，2
x y x =定义域中0x ≠，两个函数不是同一函数；
D. y x =与t s =，定义域均为R ，值域为R ，对应关系均为y x =.
故选：D
【点睛】 此题考查辨析两个函数是否相同，需要定义域值域对应关系三要素相同才是同一函数. 14．C
【分析】
由条件可得 0b a << ，代入各个选项，检验各个选项是否正确．
【详解】 由110a b
<<，得0b a <<，即a b <,所以①，②不正确. 所以0a b ab +<<，
由数3y x =的单调性，有33b a <，所以③，④正确.
故选: C
【点睛】
本题考查不等式的性质的应用，解题的关键是判断出0b a <<．属于基础题.
15．B
【分析】
对于①,考虑0c 时,不是必要条件,所以命题不正确;
对于②,根据无理数加有理数是无理数,有理数加有理数是有理数可知,命题正确;
对于③ ,小于4的数不一定小于3,但小于3的数一定小于4,说以命题正确;
对于④,1,2a b ==-时,说明不是充分条件,所以命题不正确.
【详解】
对于①,
,a b ac bc =∴=;所以“a b =”是“ac bc =”的充分条件, 在0c 时,0ac bc ==,此时a 与b 大小关系不确定,所以“a b =”不是“ac bc =”的必要条件,故①不正确;
对于②,因为5a +是无理数,5是有理数,所以a 必是无理数,所以“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充分条件;因为a 是无理数,5是有理数,所以5a +是无理数,所以“5a +是无理数”是“a 是无理数”的必要条件,因此是充要条件,故②正确;
对于③,因为3a <时,必有4a <,所以“4a <”是“3a <”的必要条件,故③正确;
对于④,因为1>-2,但221(2)<-,所以 “a b >”不是“22a b >”的充分条件,故④不正确.
故选B.
【点睛】
本题考查了命题真假的判断, 充分必要条件的判断,属于基础题.
16．A
【分析】
根据题意求出()(),f A f B 即可得解.
【详解】
由题：已知()()21*f n n n N =+∈，集合{}12345A =，
，，，，{}34567B =，，，，，记(){}
(){}()*0,1,2f A n f n A n N =∈∈=， ()(){}(){}*1,2,3f B m f m B m N =∈∈=，
则()
(){}1,2f A f B =. 故选：A
【点睛】
此题考查根据已知条件求解集合中的元素，再求集合的交集.
17．(1) 见解析；（2）[ 2.5-，1.5]
【分析】
（1）通过解绝对值不等式得到集合A ，对于集合B ，需要对a 的取值进行分类讨论： （2）A
B B =，则B 是A 的子集，据此求实数a 的取值范围．
【详解】
（1）{|14}{|53}A x x x x =+<=-<<，
当0.5a >时，{|12}B x x a =<<．
当0.5a =时，B =∅．
当0.5a <时，{|21}B x a x =<<．
（2）由（1）知，{|53}A x x =-<<，
A B B ⋂=，
B A ∴⊆，
①当0.5a >时，{|12}B x x a =<<．
此时，1223
a a <⎧⎨⎩，则1 1.52a <； ②当0.5a =时，B =∅．满足题意；
③当0.5a <时，{|21}B x a x =<<．
此时2125a a <⎧⎨-⎩
，则 2.50.5a -<． 综上所述，实数a 的取值范围是[ 2.5-，1.5]．
【点睛】
本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，绝对值不等式，一元二次不等式的解法，求出A 和B ，是解题的关键．
18．温室长和宽分别为40,20时，总占地面积最小值9682m .
【详解】
设温室的长和宽分别为800,x x ，则整个基地的长和宽分别为8004,2x x
++，
所以整个占地面积为8001600(2)(
4)8084808968S x x x x =++=++≥+=. 当且仅当x=20时，取等最小值.
所以温室长和宽分别为40,20时，总占地面积最小值9682m .
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．（1）1k =-（2）3a >
【分析】
（1）根据23kx +<，对k 分类讨论求解，进而求出k 的值；
（2）解出不等式解集为A ，转化成不等式恒成立求参数范围.
【详解】
解（1）|()|3f x <即23kx +<即51kx -<<
当0k =时，解集为R 不合题意；
当0k >时，解为51x k k -<<，令5115k k
-⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解； 当k 0<时，解为15x k k <<-，令5511k k
-⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得1k =- 所以1k =-；
（2）由题：()1x f x ≥，即：102x x
--≥， 即2202x x
-≥- 解得：12x ≤<，
[)12A =，，令2()2g x x ax =-+，则由A B ⊆，
2()20g x x ax =-+<对[)12x ∈，
恒成立， 得(1)0(2)0g g <⎧⎨⎩
≤， 解得：3a >.
【点睛】
此题考查根据绝对值不等式的解集求参数值，解分式不等式，根据不等式恒成立求参数范围.
20．（1）1b a =；（2）[]
{}9,60--；（3）最小值23
，1a b ==. 【分析】 （1）利用不等式的解集，转化为方程的根，求解即可．
（2）利用二次函数的性质，列出不等式组求解即可．
（3）利用基本不等式转化求解函数的最值的即可．
【详解】
（1）依题意，2063a +=，063
b ⨯=-，解得9a =，0b =，1b a ∴= （2）若3b a =，则2()323f x x ax a =--． 依题意，22436036422123a a a a a ⎧+⋯⎪⎨---⋯⎪⎩
①②，由①得，90a -， 由②得，1a -或6a -，
所以，96a --或10a -为所求．
（3）方程有一个根是1，且a 、0b >，320a b ∴--=，即23a b +=，
23a b +=可得(21)(2)6a b +++=，
设21u a =+，2v b =+，可得u ，0v >，6u v +=，
111112(2)21263
v u a b u v u v +=+=++++， 当且仅当3u v ==，即1a b ==时取等号．
【点睛】
本题考查函数的零点个数，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．
21．（1）集合{}0,1,3,4具有性质P ,集合{}0,2,3,6不具有性质P .（2）证明见解析. （3）{0,2,4,6,8}A =.
【分析】
（1）利用i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .即可判断出结论.
（2）先由0n n a a A =-∈，得出10a =，令“,1j n i =>,由“i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ”可得n i a a -属于A .令1i n =-,那么1n n a a --是集合A 中某项,1a 不符合不符
合题意,2a 符合.同理可得:令1i n =-可以得到21n n a a a -=+,令2i n =-,3,....,2n -可以得到1n i n i a a a +-=+,倒序相加即可.
（3）当5n =时,取5j =,当2i ≥时,55i a a a +>,由A 具有性质P,5i a a A -∈,又1i =时,51a a A -∈,可得51i a a Ai -∈=51525354550a a a a a a a a a a ->->->->-=,则515533524a a a a a a a a a -=-=-= ,又34245a a a a a +>+=,可得34a a A +∉,则43a a A -∈,则有43221a a a a a -==-.可得即12345,,,,a a a a a 是首项为0,公差为22a =等差数列是首项为0,公差为22a =等差数列.
【详解】
解：（1）在集合{}0,1,3,4中，设{}0,1,3,4A =
①011,101A A +=∈-=∈,具有性质P
②033,303A A +=∈-=∈,具有性质P
③044,404A A +=∈-=∈,具有性质P
④134,312A A +=∈-=∉,具有性质P
⑤145,413A A +=∉-=∈,具有性质P
⑥347,431A A +=∉-=∈,具有性质P
综上所述：集合{}0,1,3,4具有性质P ；
在集合{}0,2,3,6中，设{}0,2,3,6B =,
①022,202B B +=∈-=∈,具有性质P
②033,303B B +=∈-=∈,具有性质P
③066,606B B +=∈-=∈,具有性质P
④235,321B B +=∉-=∉,不具有性质P
⑤267,624B B +=∉-=∉,具有性质P
⑥368,633B B +=∉-=∈,具有性质P
综上所述：集合{}0,2,3,6不具有性质P .
故集合{}0,1,3,4具有性质P ,集合{}0,2,3,6不具有性质P .
（2）证明:令,1j n i =>
由于120n a a a ≤<<<，则n n n a a a +>，故2n a A ∉
则0n n a a A =-∈，即10a =
i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ,
i j a a ∴+不属于A ,n i a a ∴-属于A .
令1i n =-,那么1n n a a --是集合A 中某项,10a =不符合题意,2a 可以.
如果是3a 或者4a ,那么可知31n n a a a --=
那么231n n n a a a a a -->-=,只能是等于n a ,矛盾.
所以令1i n =-可以得到21n n a a a -=+,
同理,令2i n =-,3,....,2n -可以得到1n i n i a a a +-=+,
∴倒序相加即可得到1232
n n n a a a a a +++⋯+=
即()122n n na a a a a =+++⋯+ （3）当5n =时,取5j =,当2i ≥时,55i a a a +>,
由A 具有性质P ,5i a a A -∈,又1i =时,51a a A -∈,
51,2,3,4,5i a a Ai ∴-∈=
123451234500a a a a a a a a a a =<<<<=<<<<,
51525354550a a a a a a a a a a ∴->->->->-=,
则515524a a a a a a -=-=,
533a a a -=,
从而可得245532a a a a a +==,
故2432a a a +=,即433230a a a a a <-=-<,
又3424534a a a a a a a A +>+=∴+∈/
,则43a a A -∈,则有43221a a a a a -==-
又54221a a a a a -==-
544332212a a a a a a a a a ∴-=-=-=-=,
即12345,,,,a a a a a 是首项为0,公差为22a =等差数列,
{0,2,4,6,8}A ∴=
【点睛】
（1）本问采用举反例的方法证明A 不具有P 性质;
（2）采用极端值是证明这类问题的要点,一个数集满足某个性质,则数集中的特殊的元素（比如最大值、最小值）也满足这个性质;本问的第二个要点是集合的元素具有互异性,由互异性及题中给的性质P ,可得出等式;
（3）利用在（2）中得到的结论得出12345,,,,a a a a a 之间的关系，再结合A 中元素所具有的P 性质即可得到结论.。