(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(包含答案解析)(4)

一、选择题
1．
若10,0,cos ,sin 2
243423
π
π
ππβαβα⎛⎫⎛⎫
<<-
<<+=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A
B
．C
． D
2．
已知sin 410
πα⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭，02πα<<，则tan α的值为（ ） A ．1
2
-
B ．
12
C ．2
D ．1
2
-
或2 3．已知tan α，tan β是方程2
5
06
x x a -
+=的两个实数根，且()tan 1αβ+=，则实数a =（ ）
A ．
16
B ．
116
C ．512
D ．
712
4．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
对一切x ∈R 恒成立，则（ ）. A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫
>
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．()5π2f x f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
C ．π4f x ⎛
⎫
-
⎪⎝⎭
是偶函数 D ．π4f x ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
是奇函数 5．
函数2()sin 2f x x x =+-()cos(2)2 3 (0)6
g x m x m m π
=--+>，若
对任意1[0,]4x π
∈，存在2[0,]4
x π
∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4
(1,)3
B ．2(,1]3
C ．2[,1]3
D ．4[1,]3
6．设等差数列{}n a 满足：
()
222222222727
18sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-．若当且仅当11n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取
值范围是（ ） A ．9,10ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．11,
10ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
C ．9,10ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．11,
10
ππ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
7．已知(
)2020cos2020f x x x =+的最大值为A ，若存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A ．
2020
π B ．
1010
π C ．
505
π D ．
4040
π 8．
已知
cos 2π
3)
4
α
α=
+，则1
tan tan αα
+
等于（ ） A ．
92
B ．
29
C ．9-
2
D ．2-
9
9．
函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]6
ππ--
B ．5[,]66
ππ-
- C ．[,0]3π
-
D ．[,0]6
π
-
10．
已知()sin 2cos x x x ϕ+=+对x ∈R 恒成立，则cos 2ϕ=（ ） A ．25
-
B ．
25
C ．3
5
D ．
35
11．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1
sin22
α= A ．
310 B ．35 C ．−
310
D ．
110
12．
已知cos()63
πα+=
sin(2)6πα-的值为（ ） A
．
3
B ．
13
C ．13
-
D
．3
-
二、填空题
13．已知α、0,
2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，sin α=
，(
)cos αβ+=()cos 2αβ+=______.
14．已知,2παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，3tan 24α=．则2sin 2cos αα+=______．
15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若3
sin 4
α=
，则()cos αβ-=______. 16．求值：
sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10︒+︒︒
︒-︒︒
=_______
17．已知4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________.
18．已知cos 2βα⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭，cos 2αβ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22α
πβ⎛⎫
-
∈ ⎪⎝⎭，则2
αβ+的值为__________. 19．已知sin10cos102cos140m ︒-︒=︒，则m =_________.
20．化简4cos80︒︒=________.
三、解答题
21．（1）求值：4sin 220tan320-︒︒； （2）已知43sin ,4544x x πππ⎛⎫
+=--<<
⎪⎝⎭
，求22cos sin 2x x +的值.
22．已知2
()2sin ()142
x
f x π
=+-． （1）求()(2)3
g x f x π
=-
的递增区间；
（2）是否存在实数k ，使得不等式(2)(4)()(4)()32
f x k f x k f x π
+-⋅+-⋅+
<对任意
22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，的恒成立，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由． 23．已知1
sin cos 5
αα+=，其中0απ<<. （1）求
11
sin cos αα
+的值； （2）求tan α的值.
24．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①函数1()cos sin (0)22
64f x x x ωω
πω⎛⎫⎛⎫=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
②函数1
()sin +cos()(0)2224
f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③函数()1()sin 0,||22f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭对任意x ∈R 都有5()06f x f x π⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
成立；
已知_______（填所选条件序号），函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2
π
． （1）求3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间和对称中心､对称轴．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 25．已知函数()cos23f x x =-，()2cos 4g x a x a =-.
（1）求函数()()2h x x f x =+的最大值； （2）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围.
26．已知函数2()[2sin()sin ]cos 3
f x x x x x π
=+
+．
（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；
（2）若函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称，求正数m 的最小值；
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】 由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】 因为10,cos 243
π
παα⎛⎫<<
+= ⎪⎝⎭，
所以
34
4
4π
π
πα<
+<
，sin +43πα⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 因为02
π
β-
<<，所以
4
4
2
2
π
π
β
π
<
-
<
，
又因为sin 423πβ⎛⎫-=
⎪⎝⎭，所以cos 423
πβ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭ 而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+
=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦， cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
133==
. 故选：A.
【点睛】
三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.
2．C
解析：C 【分析】
由同角间的三角函数关系先求得cos()4π
α-，再得tan()4π
α-，然后由两角和的正切公式
可求得tan α． 【详解】 ∵02
π
α<<
，∴4
4
4
π
π
π
α-
<-
<
，
∴cos 410
πα⎛
⎫-
=
⎪⎝
⎭， ∴sin 14tan 43cos 4παπαπα⎛
⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=
= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪
⎝
⎭， ∴tan tan 44ππαα⎡⎤
⎛
⎫=-
+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
1tan 11
432111tan 34παπα⎛
⎫-++ ⎪⎝⎭===⎛⎫
-
-- ⎪⎝
⎭.
故选：C ． 【点睛】
思路点睛：本题考查三角函数的求值．考查同角间的三角函数关系，两角和的正切公式．三角函数求值时首先找到“已知角”和“未知角”之间的联系，选用恰当的公式进行化简求值．注意三角公式中“单角”与“复角”的区别与联系，它们是相对的．不同的场景充当的
角色可能不一样．如题中4
π
α-
在tan tan
4tan 41tan tan 4
π
απαπ
α-⎛
⎫
-
=
⎪⎝
⎭+作为复角，但在
tan tan 44ππαα⎡⎤
⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦中充当“单角”角色．
3．A
解析：A 【分析】
首先利用韦达定理求得5
tan tan 6
αβ+=
，tan tan a αβ⋅=，再结合()tan 1αβ+=，利用两角和正切公式得到关于a 的等量关系式，求得结果. 【详解】
因为tan α，tan β是方程2
5
06
x x a -+=的两个实数根， 所以有5
tan tan 6
αβ+=
，tan tan a αβ⋅=， 因为()tan 1αβ+=，所以有5
611a
=-，所以1
6a =，
故选：A. 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关两角和正切公式，解题思路如下： （1）先利用韦达定理，写出两根和与两根积；
（2）利用两角和正切公式，结合题中条件，得到等量关系式，求得结果.
4．B
解析：B 【分析】
利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
对一切x ∈R 恒成
立知π422f a ⎛⎫=+=
⎪
⎝⎭
a b =，整理得()
sin 4f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数
的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】
由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，
利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan b
a
ϕ=
， 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的最值，
所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭
， 即
22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2
102
a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ=
=，可得4
π
ϕ=，
所以()sin 4f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
5
sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<， 当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故选项A 不正确； 对于选项B ：
sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎭
()ππ
4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
--+，故选项B 正确；
对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝
⎭是奇函数，故选项C 不正确；
对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+
++ ⎪⎭⎝⎭⎝
⎭⎝
是偶函数，故选项D 不正确， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
对一切x ∈R 恒成立，知
π
4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值，π422f a ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
，从而得
()
sin 4f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，属于中档题.
5．D
解析：D 【解析】
222221f x sin x x sin x cos x =+-=+-（））
1
2222222223
sin x x sin x cos x sin x π
==+=+（）（）
， 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，552[]21[12]3366min x f x sin f x ππππ
+∈∴==∴∈，，（），（），， 对于22306
g x mcos x m m π
=--+（）（）（＞），
2[]2[]36662m x mcos x m ππ
ππ-
∈--∈，，（），，3
[33]2
g x m m ∴∈-+-（），，
∵对任意10,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，存在20,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12g x f x =成立，3
31
2
32
m m ⎧-+≥⎪∴⎨⎪-≤⎩ ，解得实数m 的取值范围是41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
故选D ．
【点睛】本题考查三角函数恒等变换，其中解题时问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，
6．D
解析：D 【解析】
因为
222222222727
18sin cos cos cos sin sin 1sin()
a a a a a a a a -+-=+，所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得
2272718cos 2cos()cos()
1sin()
a a a a a a a -+-+=+，再运用
积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+，即72181
[cos 2cos 2]
21sin()a a a a -=+，再
由差化积公式可得
727218sin()sin()
1sin()
a a a a a a --+=+．由于{}n a 是等差数列，因此1827a a a a +=+，即1827sin()sin()a a a a +=+，所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注
意到()1,0d ∈-，则()55,0d ∈-，所以52
10
d d π
π
=-⇒=-
，故对称轴方程故等差数
列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+，即221()()222020
n d d S n a n n a n ππ
=+-=-++，其对称轴是1202a n ππ+=，由题设可得1202123222a ππ+<<，即11110
a π
π<<，应选答案
D ．
点睛：解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简，再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10
d π
=-
，然后将等差数列的前n 项和公式1(1)
2
n n n S na d -=+
变形为221()()222020
n d d S n a n n a n ππ
=
+-=-++，借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<，进而求得数列首项的取值范围是11110
a ππ<<． 7．B
解析：B
化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x ，总有
()()()12f x f x f x ≤≤成立，即12x x -半周期的整数倍，代入求最小值即可．
【详解】
(
)2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
则220201010
T ππ
=
=，2A = 1212210101010
A x x ππ
-≥⨯⨯=
故选：B 【点睛】
本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．
8．A
解析：A 【分析】
先利用cos 2sin 22παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
结合cos 2π)4
αα=+
cos 46πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭的值，然后利用二倍角公式得到24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫
⎛⎫+
=+-=- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭
，即4sin 29α=，又12tan tan sin 2ααα+
=，将4
sin 29
α=代入便可解出答案. 【详解】
因为
sin 22sin cos cos 2244π4)444πππααααπαππααα⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪
⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
4πα⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪
⎝
⎭ 所以24cos 22cos 1249ππαα⎛
⎫
⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭， 又4cos 2sin 229παα⎛
⎫
+
=-=- ⎪⎝
⎭，所以4
sin 29
α=， 所以
1sin cos 1229
tan 4tan cos sin sin cos sin 229
ααααααααα+
=+====.
故选：A.
本题考查诱导公式，考查正弦、余弦的二倍角公式及其应用，难度一般，解答时公式的变形运用是关键.
9．D
解析：D 【解析】
()sin 23f x x x sin x π⎛⎫
==-
⎪⎝
⎭
，因为[]
,0x π∈-4
,,333x π
ππ⎡⎤∴-
∈--⎢⎥⎣⎦
，由1
,323x π
ππ⎡⎤-
∈--⎢⎥⎣⎦，得,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，函数()[]()sin ,0f x x x x π=∈-的单调递增区间是,06π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，故选D.
10．D
解析：D 【分析】
利用两角和的正弦公式进行展开，结合恒成立可得cos ϕ，最后根据二倍角公式得结果. 【详解】
由题可知，cos sin sin 2cos x x x x ϕϕ+=+， 则cos
ϕ=，sin ϕ=， 所以2
8
3cos22cos 1155
ϕϕ=-=-=，
故选：D. 【点睛】
本题主要考查了两角和的余弦以及二倍角公式的应用，通过恒成立求出cos ϕ是解题的关键，属于中档题.
11．A
解析：A 【分析】
由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值． 【详解】
直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，
∴
2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．
12．B
解析：B 【解析】
∵cos 63
πα⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭，则5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛
⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛
⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.
二、填空题
13．【分析】利用同角三角函数的平方关系求得的值然后利用两角和的余弦公式可求得的值【详解】因为则又所以所以故答案为：【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值同时也考查了同角三角函数基本关系的应用考查计算能
解析：
2
【分析】
利用同角三角函数的平方关系求得cos α、()sin αβ+的值，然后利用两角和的余弦公式可求得()cos 2αβ+的值. 【详解】 因为α、0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则0αβ<+<π，
又
10sin
，()cos αβ+=cos α==
()sin 5
αβ+==
， 所以
()()()()
cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ+=++=+-+⎡⎤⎣⎦
-=
故答案为：2
. 【点睛】
本题考查利用两角和的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.
14．【分析】由正切的二倍角公式求得用正弦二倍角公式变形化用1的代换化
求值式为关于析二次齐次分式再弦化切后求值【详解】因为所以或（舍）所以故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式考查同角间的三角函数解题关键是
解析：1
2
-
【分析】
由正切的二倍角公式求得tan α，用正弦二倍角公式变形化用“1”的代换化求值式为关于
sin ,cos αα析二次齐次分式，再弦化切后求值．
【详解】 因为22tan 3
tan 21tan 4ααα=
=-，所以tan 3
α=-或13
（舍）， 所以22
222
2sin cos cos 2tan 11
sin 2cos sin cos tan 12
ααααααααα+++===-++． 故答案为：1
2
-． 【点睛】
本题考查二倍角公式，考查同角间的三角函数．解题关键是由221sin cos αα=+化待求值式为关于sin ,cos αα析二次齐次分式，然后利用弦化切求值．
15．；【分析】根据角的终边关于轴对称得到以及两角差的余弦公式即可求出【详解】因为角与角均以为始边它们的终边关于轴对称所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用两角差的余弦公式同角三角函数
解析：
18； 【分析】
根据角的终边关于y 轴对称得到cos cos ,sin sin αβαβ=-=，以及两角差的余弦公式即可求出. 【详解】
因为角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， 所以3cos cos ,sin sin 4
αβαβ=-==
， 所以()2
2cos cos cos sin sin sin
cos αβαβαβαα-=+=-
22sin 1α=-
92116
=⨯
- 18
= 故答案为：
18
【点睛】
本题主要考查了三角函数定义的应用，两角差的余弦公式，同角三角函数的关系，属于中档题.
16．【分析】根据代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值需要根据所给的角度与特殊角的关系并利用三角恒等变换进行求解属于中档题
【分析】
根据506010︒=︒-︒，代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可. 【详解】
()()sin 6010sin 30sin10sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10cos 6010cos30sin10︒-︒+︒︒
︒+︒︒=︒-︒︒︒-︒-︒︒
sin 60cos10cos60sin10sin 30sin10cos60cos10sin 60sin10cos30sin10︒︒-︒︒+︒︒
=︒︒+︒︒-︒︒
sin 60cos10
tan 60cos60cos10︒︒
=
=︒=︒︒
【点睛】
本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值，需要根据所给的角度与特殊角的关系，并利用三角恒等变换进行求解.属于中档题.
17．【分析】由已知式求出利用同角三角函数间的平方关系和商数关系将化为代入即可求值【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系正余弦其次式的计算二倍角的正弦公式属于中档题 解析：
2425
【分析】
由已知式求出3
tan 4
α=-
，利用同角三角函数间的平方关系和商数关系，将2sin 23cos +αα化为
22tan 3
tan 1
αα++，代入即可求值. 【详解】
4sin 3cos 0αα+=，
3
tan 4
α∴=-，
则22
222sin cos 3cos sin 23cos sin cos ααα
αααα
++=+
22tan 3
tan 1
αα+=
+
2
32()3
43()14
⨯-+=-+ 2425
=
. 故答案为：2425
. 【点睛】
本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系，正、余弦其次式的计算，二倍角的正弦公式，属于中档题.
18．【分析】求出和再由两角和余弦公式求得然后可得角的大小【详解】∵且∴同理∴又由得∴故答案为：【点睛】本题考查已知三角函数值求角一般要求角可先这个角的某个三角函数值最好先确定这个角的范围选用在此范围内三
解析：4π． 【分析】
求出sin()2β
α-和sin()2
αβ-，再由两角和余弦公式求得cos 2
αβ
+，然后可得角的大
小． 【详解】
∵cos 2βα⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
，cos 2αβ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，
∴sin()25
β
α-==
sin()2αβ
-=， ∴cos
cos[()()]cos()cos()sin()sin()2
222222
αβ
βαβαβα
αβαβαβ+=-+-=-----
2
=
=
， 又由0,22β
πα⎛⎫
-
∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭得(0,)2αβπ+∈，∴2αβ+4π=． 故答案为：4
π
． 【点睛】
本题考查已知三角函数值求角．一般要求角可先这个角的某个三角函数值，最好先确定这个角的范围，选用在此范围内三角函数是单调的函数求函数值后再确定角的大小．
19．【分析】化简得再利用诱导公式与和差角公式化简求解即可【详解】由题故答案为：【点睛】本题主要考查了根据余弦的诱导公式与和差角公式化简求解的问题需要根据题中的角跟特殊角的关系用和差角公式属于中档题
【分析】 化简得sin102cos140cos10m ︒-︒
=︒
,再利用诱导公式与和差角公式化简cos140︒求解即可.
【详解】 由题()sin102cos 1030sin102cos140cos10cos10m ︒+︒+︒︒-︒=
=
︒︒
sin102cos10cos302sin10sin 302cos10cos302cos30cos10cos10︒+︒︒-︒︒︒︒
=
==︒=︒︒
.
【点睛】
本题主要考查了根据余弦的诱导公式与和差角公式化简求解的问题.需要根据题中的角跟特殊角的关系用和差角公式,属于中档题.
20．1【分析】利用诱导公式得到通分整理后由利用两角差的正弦公式展开化简后得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查诱导公式进行化简求值利用两角差的正弦公式进行化简求值属于中档题
解析：1 【分析】
利用诱导公式，得到cos80sin10︒︒=，通分整理后，由(
)sin 20sin 3010︒
︒︒
=-，利用两
角差的正弦公式，展开化简后，得到答案. 【详解】
4cos80︒︒
=
(
)2sin 3010cos10
︒︒︒
︒
-=
=
cos10cos110
︒︒︒︒
+==. 故答案为：1.
【点睛】
本题考查诱导公式进行化简求值，利用两角差的正弦公式进行化简求值，属于中档题.
三、解答题
21．（1
）2）825
. 【分析】
（1）利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正弦与余弦公式以及辅助角公式求解即可；（2）先利用已知条件得到4x π
+的范围，进而求出cos 4x π⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值，再利用二倍角公式和诱导公式求解即可. 【详解】
（1）4sin 220tan320-︒︒
()()sin 18040tan 360404︒+︒-︒-=︒ sin 440tan 40︒+=-︒ sin 440sin 40cos 40︒
︒=-+︒
sin 40cos 40sin 40cos 440︒︒+︒
-=︒
sin80sin 40co 402s -=
︒+︒
︒
()
0sin 3010cos 402cos1︒+︒+︒=
-︒
0sin 30cos10cos32cos 0sin10co 01s 4︒+︒︒+︒︒
=
-︒
3cos1022
cos 40-︒︒
︒
=
=
（2）
344x ππ-<<， 4
2
2
x π
π
π
∴-
<
+<
，
则cos 04x π⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
， 所以3
cos 45
x π⎛⎫+=
⎪⎝⎭， 又2cos 22cos 1x x =-，
cos 2sin 2sin 22sin cos 2444x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
43
24255
25⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，
则2
241
2cos cos 2112525
x x =+=-
+=； sin 2cos 2cos 224x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
297
2cos 12142525x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=-⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦，
所以2
178
2cos sin 2252525
x x +=+=； 【点睛】
关键点睛：本题主要考查了三角函数与三角恒等变换问题.灵活的运用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正弦与余弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键. 22．（1）5[,
],1212k k Z ππ
π-+∈；（2
）存在，14k <<
【分析】
（1）利用二倍角公式化简可得()sin f x x =，从而可得()sin(2)3
g x x π
=-，由正弦函数
的单调性可得222232
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+，k Z ∈，解不等式即可.
（2）不等式化为2sin cos (4)(sin cos )3x x k x x ⋅+-+<
，令
sin cos [t x x =+∈-，不等式等价为2(4)40t k t +--<
在⎡-⎣恒成立，令函数2
()(4)4,m t t k t =+--
根据二次函数根的分布只需(1)0
m m -<⎧⎪⎨<⎪⎩，解不等式即可.
【详解】
（1）解：2
()2sin (
)1cos()sin 422
x f x x x π
π
=+-=-+=， ()(2)sin(2)33
g x f x x ππ
=-=-，
2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+
解得5,12
12
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈，
函数()g x 的递增区间为5[,],1212
k k Z ππ
π-
+∈； （2）假设存在这样的实数k ,则不等式即为2sin cos (4)(sin cos )3x x k x x ⋅+-+<,
令sin cos ,t x x =+则()2
2sin cos 1
1sin cos 2
2
x x t x x +--⋅=
=
则不等式(
)
2
2
1(4)3(4)40t k t t k t ⇔-+-<⇔+--<
又sin cos )4
t x x x π
=+=
+，
由,02x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
π，3,444x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，
所以sin cos )[4
t x x x π
=+=
+∈-
令函数2
()(4)4,m t t k t =+--
即2
()(4)40,t m t t k t ⎡=+--<∈-⎣恒成立，
由一元二次方程根的分布，
只需(1)0101404)20m k k m k ⎧-<-<⎧⎪⎪
⇒⇒<<⎨<--<⎪⎩ 【点睛】
关键点点睛：本题考查了三角恒等变换、三角函数的性质、三角不等式恒成立以及一元二次方程根的分布，解题的关键是将不等式通过换元法转化为2
(4)40t k t +--<
在
⎡-⎣恒成立，考查了分析能力、运算求解能力.
23．（1）115sin cos 12αα+=-；（2）4
tan 3
α=-. 【分析】
（1）将等式1
sin cos 5
αα+=
两边平方，可求出sin cos αα的值，进而可求得11
sin cos αα
+的值； （2）法一：利用同角三角函数的基本关系可求得sin cos αα-的值，结合已知条件可得出关于sin α、cos α的方程组，解出sin α、cos α的值，进而可求得tan α的值；
法二：由弦化切可得出
222sin cos tan 12
sin cos tan 125
αααααα==-++，可得出关于tan α的二次方
程，由已知条件可得出tan 1α<-，由此可求得tan α的值. 【详解】
（1）由1sin cos 5αα+=①，得()2
1sin cos 12sin cos 25
αααα+=+=
.
12
sin cos 25αα∴=-，所以，
1
11sin cos 5512sin cos sin cos 1225
αααααα++===--； （2）法一：由（1）知12
sin cos 25
αα=-，
0απ<<，sin 0α>，cos 0α<，sin cos 0αα∴->.
()2
49sin cos 12sin cos 25
αααα∴-=-=
，7sin cos 5αα∴-=②.
由①②得，4sin 5
α
，3cos 5α=-，sin 4
tan cos 3∴=
=-ααα； 法二：由（1）知12sin cos 25
αα=-
，22sin cos 1αα+=，22
sin cos 12
sin cos 25αααα∴=-+. 2222sin cos 12cos sin cos 25cos αα
αααα
∴=-+，即2tan 12
tan 125
αα=-+，整理可得212tan 25tan 120αα++=，
得4
tan 3α=-
或3tan 4
α=-. 因为0απ<<，所以sin 0α>，cos 0α<， 又
1sin cos 05αα+=
>，所以sin cos αα>，tan 1α∴<-，所以4
tan 3
α=-. 【点睛】
方法点睛：在利用同角三角函数的基本关系求值时，可利用以下方法求解：
（1）应用公式时注意方程思想的应用，对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα这三个式子，利用()2
sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二； （2）关于sin α、cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． 24．条件性选择见解析，（1）
14；（2）单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦；
对称中心的坐标为,0,212k k Z ππ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭
；对称轴为直线26k x ππ=+，k Z ∈. 【分析】 选择条件①：()f
x 11
cos cos
2
22224x x x ω
ωω⎛⎫⎛⎫=+- ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
11cos sin 426x x x πωωω⎛⎫
=
+=+ ⎪⎝⎭
，再根据相邻两对称轴之间距离为2π，可得ω
从而求出()f x ；
选择条件②：()f x 11sin cos sin 4426x x x πωωω⎛⎫
=
+=+ ⎪⎝⎭
，相邻两对称轴之间距离为2
π
，可得ω，从而求出()f x ； 选择条件③：()f x 相邻两对称轴之间距离为
2
π
，求出ω，对任意x ∈R 都有5()06f x f x π⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭成立，则()f x 的图象关于5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称，可求出ϕ，从而得出
()f x ；
（1）由于选择哪种情况，都有1()sin 226f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝⎭，代入3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
可得答案. （2）分别根据正弦函数的单调递增区间、对称中心、对称轴可得答案. 【详解】
选择条件①：依题意，()1cos sin 22
64f x x x ωω
π⎛⎫⎛⎫=+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
即有：()11cos cos
2
2224f x x x x ω
ωω⎫⎛⎫=+-⎪
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
化简得：2
11
()cos cos 22224
f x x x x ωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，
即有：11()cos sin 4426f x x x x πωωω⎛⎫=
+=+ ⎪⎝⎭
， 又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为2
π
，则周期为π，从而2ω=， 从而1()sin 226f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭ ；
选择条件②：依题意，()1
cos cos 2224
f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
即有：11()cos sin 4426f x x x x πωωω⎛⎫
=
+=+ ⎪⎝⎭
， 又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为
2
π
，则周期为π，从而2ω=， 从而1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭；
选择条件③：依题意，()f x 相邻两对称轴之间距离为
2
π
，则周期为π，从而2ω=，
对任意x ∈R 都有5()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭成立，
则()f x 的图象关于5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭对称，则5212k πϕπ⨯+=，k Z ∈，由||2ϕπ<知6π=ϕ， 从而1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭； （1）由于选择哪种情况，都有1()sin 226f x x π⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭，所以11sin 233264f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. （2）1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭， 单调递增区间为222262
1,k x k k z π
ππππ-≤+≤+∈， 解得,,36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣
⎦， 从而()f x 的单调增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-
+∈⎢⎥⎣⎦ 又由2,6x k k Z π
π+=∈，所以212
k x k Z ππ=-∈，， 得()f x 的对称中心的坐标为,0,212k k Z ππ⎛⎫-∈
⎪⎝⎭， ()f x 的对称轴为直线2,62x k k Z π
π
π+=+∈，即
26
k x ππ=
+，k Z ∈. 【点睛】 关键点点睛：本题考查了三角函数解析式的化简，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
25．（1）-1；（2）()4-+∞
【分析】
（1）易得()2sin 233h x x π⎛⎫=+
- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解. （2）将0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，转化为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立，令[]cos 0,1t x =∈，利用二次函数的性质求
()22244r t t at a =-+-的最小值即可.
【详解】
（1）因为函数()cos23f x x =-，
所以()2cos 232sin 233h x x x x π⎛⎫=+-=+
- ⎪⎝⎭， 当22,32x k k Z π
π
π+=+∈，即 ,12x k k Z π
π=+∈时， sin 213x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以()h x 的最大值是-1；
（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()()f x g x >恒成立， 所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，cos232cos 4x a x a >--恒成立， 所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立， 令[]cos 0,1t x =∈ ()22244r t t at a =-+- 当02
a ≤，即 0a ≤时， ()()min 0440r t r a ==->，解得 1a >，此时无解； 当012a <<，即 02a <<时， ()2min 44022a a r t r a ⎛⎫==-+-> ⎪⎝⎭
，解得
44-<+，此时42a -<； 当12
a ≥，即 2a ≥时， ()()min 1220r t r a ==->，解得 1a >，此时2a ≥；
综上：a 的取值范围是()
4-+∞
【点睛】
方法点睛：恒成立问题的解法：
若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；
若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则
()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.
26．（1）T π=，7[
,],1212++∈k k k Z ππππ；（2）3π. 【分析】
（1）先利用三角恒等变换，将函数转化为()2sin(2)3f x x π=+
，再利用正弦函数的性质
求解.
（2）根据函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称，令2()3m k k Z ππ+
=∈求解. 【详解】
（1）2()[2sin()sin ]cos 3=++f x x x x x π
2(sin sin )cos =++-x x x x x
2(2sin )cos =+x x x x
222sin cos sin )x x x x =+-
sin 222sin(2)3
x x x π==+， T π=， 由3222232
k x k π
π
πππ+≤+≤+， 解得71212
k x k π
πππ+≤≤+， 则()f x 的单调递减区间是7[
,],1212++∈k k k Z ππππ. （2）2()3+=∈m k k Z ππ，
,26
∴=-∈k m k Z ππ 又0m >
m ∴的最小值为
3
π. 【点睛】 方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=
，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω
=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．。