秋高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和第2课时等差数列前n项和的综合应用学案新人教A版必修5

2018年秋高中数学第二章数列2.3 等差数列的前n项和第2课时等差数列前n项和的综合应用学案新人教A版必修5
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第2课时等差数列前n项和的综合应用
学习目标：1.掌握a n与S n的关系并会应用（难点）。

2。

掌握等差数列前n项和的性质及应用(重点）。

3.会求等差数列前n项和的最值(重点)。

4.会用裂项相消法求和（易错点）．
［自主预习·探新知]
1．S n与a n的关系
a n＝错误!
2．等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{a n｝中，其前n项和为S n，则｛a n｝中连续的n项和构成的数列S n，S2n－S n，S
－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．
3n
（2）数列{a n｝是等差数列⇔S n＝an2＋bn(a，b为常数)．
思考：如果｛a n}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10,a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗?
[提示](a11＋a12＋…＋a20）－(a1＋a2＋…＋a10）＝（a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30）－（a11＋a12 ＋…＋a20）＝100d。

∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20,a21＋a22＋…＋a30是等差数列．
3．等差数列前n项和S n的最值
（1）若a1<0，d〉0，则数列的前面若干项为负数项（或0），所以将这些项相加即得{S n}的最小值．
(2）若a1>0,d〈0，则数列的前面若干项为正数项（或0)，所以将这些项相加即得｛S n}的最大值．
特别地，若a1〉0,d>0，则S1是{S n}的最小值；若a1〈0，d<0，则S1是｛S n}的最大值．思考：我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数S n＝错误!n2＋错误!n，类比二次函数的最值情况，等差数列的S n何时有最大值？何时有最小值?
［提示]由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d〉0时，S n先减后增,有最小值；当a1〉0，d<0时,S n先增后减,有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，S n取到最值．
［基础自测]
1．思考辨析
(1）若S n为等差数列｛a n｝的前n项和,则数列错误!也是等差数列．（)
(2)若a1>0,d〈0,则等差数列中所有正项之和最大．（）
(3）在等差数列中，S n是其前n项和,则有S2n－1＝（2n－1）a n。

（）
[答案]（1)√(2）√(3）√
2．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
B[∵错误!＝错误!，∴错误!＝错误!。

∴n＝10。

故选B项．]
3．等差数列｛a n}中,S2＝4，S4＝9,则S6＝________。

15［由S2，S4－S2，
S
－S4成等差数列得2（S4－S2）＝S2＋（S6－S4）
6
解得S6＝15.］
4．已知数列{a n｝的通项公式是a n＝2n－48，则S n取得最小值时，n为________。

【导学号：91432176】23或24[由a n≤0即2n－48≤0得n≤24.
∴所有负项的和最小，即n＝23或24.]
[合作探究·攻重难］
等差数列前n项和的性质
（1）等差数列｛a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列｛a n}的前3m项的和S3m;
(2）两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n和T n,已知错误!＝错误!，求错误!的值．[解］(1）在等差数列中，
∵S m,S2m－S m，S3m－S2m成等差数列．
∴30，70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋（S3m－100)，∴S3m＝210。

(2）错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.
［规律方法］等差数列前n项和计算的几种思维方法
（1）整体思路：利用公式S n＝错误!，设法求出整体a1＋a n，再代入求解。

（2)待定系数法：利用S n是关于n的二次函数，设S n＝An2＋Bn A≠0，列出方程组求出A，B即可，或利用错误!是关于n的一次函数,设错误!＝an＋b a≠0进行计算.
1．(1)等差数列{a n}中,a2＋a7＋a12＝24，则S13＝________。

【导学号：91432177】（2）等差数列｛a n}的通项公式是a n＝2n＋1,其前n项和为S n，则数列错误!的前10项和为________．
(1）104（2）75[(1)由a2＋a7＋a12＝24，得a7＝8，
所以S13＝错误!×13＝a7·13＝104.
（2）因为a n＝2n＋1,所以a1＝3.
所以S n＝错误!＝n2＋2n，所以错误!＝n＋2，
所以错误!是公差为1,首项为3的等差数列，
所以前10项和为3×10＋错误!×1＝75.]
等差数列前n项和S n的函数特征
[探究问题］
1．将首项为a1＝2,公差d＝3的等差数列的前n项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n项和为S n＝3n2＋n,那么这个数列是等差数列吗?上述结论推广到一般情况成立吗？
提示：首项为2，公差为3的等差数列的前n项和为S n＝2n＋错误!＝错误!n2＋错误!n，显然S n是关于n的二次型函数．
且常数项为0,二次项系数为错误!，一次项系数为a1－错误!;如果一个数列的前n项和为S n ＝3n2＋n，那么当n＝1时，S1＝a1＝4。

当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝6n－2，则该数列的通项公式为a n＝6n－2，所以该数列为等差数列，事实上对于任何一个等差数列的前n项和都是关于n的二次型函数，且常数项为0，反之，一个数列的前n项和具备上述特征，该数列一定是等差数列．
2．已知一个数列｛a n}的前n项和为S n＝n2－5n，试画出S n关于n的函数图象．你能说明数列｛a n｝的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？
提示：
S n ＝n 2－5n ＝错误!2
－错误!，它的图象是分布在函数y ＝x 2－5x 的图象上的离散的点，由图
象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了｛a n ｝前n 项为负数．由S n 的图象可知，S n 有最小值且当n ＝2或3时，S n 最小,最小值为－6,即数列{a n ｝前2项或前3项和最小．
数列{a n ｝的前n 项和S n ＝33n －n 2
, (1)求｛a n }的通项公式;
（2)问｛a n ｝的前多少项和最大；
(3)设b n ＝|a n |，求数列｛b n }的前n 项和S n ′。

【导学号:91432178】
思路探究：(1)利用S n 与a n 的关系求通项，也可由S n 的结构特征求a 1,d ,从而求出通项． （2)利用S n 的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．
(3)利用a n 判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用S n 的函数特征判断项的正负求解．
［解］ （1)法一:（公式法）当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝34－2n ， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝32＝34－2×1满足a n ＝34－2n . 故｛a n ｝的通项公式为a n ＝34－2n .
法二：（结构特征法)由S n ＝－n 2
＋33n 知S n 是关于n 的缺常数项的二次型 函数,所以｛a n ｝是等差数列，由S n 的结构特征知错误! 解得a 1＝32，d ＝－2，所以a n ＝34－2n 。

(2)法一：（公式法）令a n ≥0，得34－2n ≥0，所以n ≤17， 故数列{a n ｝的前17项大于或等于零．
又a 17＝0，故数列｛a n ｝的前16项或前17项的和最大． 法二：(函数性质法）由y ＝－x 2＋33x 的对称轴为x ＝错误!。

距离错误!最近的整数为16,17.由S n＝－n2＋33n的
图象可知:当n≤17时，a n≥0，当n≥18时，a n〈0,
故数列｛a n｝的前16项或前17项的和最大．
(3)由(2)知，当n≤17时，a n≥0;
当n≥18时,a n<0.
所以当n≤17时,S n′＝b1＋b2＋…＋b n
＝|a1｜＋|a2|＋…＋｜a n|
＝a1＋a2＋…＋a n＝S n＝33n－n2.
当n≥18时，
S n′＝|a
|＋｜a2|＋…＋|a17｜＋|a18｜＋…＋｜a n|
1
＝a1＋a2＋…＋a17－（a18＋a19＋…＋a n)
＝S17－(S n－S17）＝2S17－S n
＝n2－33n＋544。

故S n′＝错误!
母题探究：1。

(变条件)将例题中的条件“S n＝33n－n2”变为“在等差数列｛a n}中a1＝25，S
＝S9”求其前n项和S n的最大值．
17
［解]法一：∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋错误!d
＝17×25＋错误!d，
解得d＝－2.
∴S n＝25n＋错误!×（－2）＝－n2＋26n
＝－(n－13）2＋169.
∴当n＝13时，S n有最大值169.
法二:同法一，求出公差d＝－2。

∴a n＝25＋（n－1）×（－2)＝－2n＋27.
∵a1＝25〉0，
由错误!
得错误!
又∵n∈N＊,∴当n＝13时，S n有最大值169.
法三：∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0。

由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
∵a1〉0，∴d〈0.∴a13〉0，a14〈0。

∴当n＝13时，S n有最大值169。

法四：设S n＝An2＋Bn。

∵S9＝S17，
∴二次函数对称轴为x＝错误!＝13，且开口方向向下,
∴当n＝13时，S n取得最大值169.
2．(变条件)将例题中的条件“S n＝33n－n2”变为“S n＝－错误!＋错误!n”求数列｛｜a n｜}的前n项和T n。

［解]a1＝S1＝－错误!×12＋错误!×1＝101。

当n≥2时，a n＝S n－S n－1
＝错误!－错误!
＝－3n＋104.
∵n＝1也适合上式，
∴数列{a n}的通项公式为a n＝－3n＋104（n∈N*）．
由a n＝－3n＋104≥0，得n≤34。

7。

即当n≤34时，a n〉0；
当n≥35时，a n〈0。

(1)当n≤34时,T n＝｜a1|＋|a2｜＋…＋|a n｜＝a1＋a2＋…＋a n＝S n＝－错误!n2＋错误!n；
（2)当n≥35时，
T n＝｜a
|＋|a2｜＋…＋｜a34｜＋|a35|＋…＋｜a n｜
1
＝(a1＋a2＋…＋a34）－（a35＋a36＋…＋a n)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋a n）
＝2S34－S n
＝2错误!－错误!
＝错误!n2－错误!n＋3 502。

故T n＝
错误!
[规律方法］
1．在等差数列中，求S n的最小（大)值的方法:
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点,则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小）．
(2）借助二次函数的图象及性质求最值．
2．寻求正、负项分界点的方法：
(1)寻找正、负项的分界点,可利用等差数列性质或利用错误!或错误!来寻找．
（2）利用到y＝ax2＋bx（a≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
3．求解数列｛｜a n|}的前n项和,应先判断｛a n｝的各项的正负,然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题。

裂项相消法求和
等差数列{a n}中，a1＝3，公差d＝2,S n为前n项和，求错误!＋错误!＋…＋错误!.
思路探究：根据{a n}为等差数列求出其前n项和,根据错误!的通项特征，利用裂项相消法求和．
［解]∵等差数列｛a n｝的首项a1＝3，公差d＝2，
∴前n项和S n＝na1＋错误!d
＝3n＋错误!×2＝n2＋2n（n∈N＊），
∴错误!＝错误!＝错误!
＝错误!错误!，
∴错误!＋错误!＋…＋错误!
＝错误!错误!
错误!
＝错误!错误!
＝错误!－错误!。

[规律方法]
裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项裂项之差，
并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而求数列的前n项和.
2．已知数列｛a n｝的通项公式为a n＝
1
2n－12n＋1
，求数列｛a n｝的前n项和S n.
【导学号:91432179】
［解］a n＝错误!＝错误!错误!,
∴S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!
＝错误!错误!
错误!
＝错误!错误!＝错误!，
∴S n＝错误!.
［当堂达标·固双基］
1．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30，则其公差为( ）A．5 B．4
C．3 D．2
C[由题知S偶－S奇＝5d
∴d＝错误!＝3.]
2．已知S n是等差数列｛a n}的前n项和，且S6>S7〉S5，有下列四个命题：①d〈0；②S11〉0;③S12〈0；④数列{S n}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是（)
【导学号:91432180】A．②③ B．①②
C．①③ D．①④
B［∵S6>S7,∴a7〈0，
∵S7>S5,∴a6＋a7>0，
∴a6>0，∴d〈0，①正确．
又S11＝错误!（a1＋a11）＝11a6〉0，②正确．
S
12
＝错误!(a1＋a12）＝6（a6＋a7)〉0，③不正确．
{S n｝中最大项为S6，④不正确．
故正确的是①②。

］
3．已知等差数列｛a n}中，|a5|＝｜a9|，公差d>0，则使得前n项和S n取得最小值的正整数n的值是________．
6或7[由|a5｜＝｜a9|且d〉0得a5〈0,a9〉0,且a5＋a9＝0⇒2a1＋12d＝0⇒a1＋6d＝0,即a7＝0，故S6＝S7且最小．］
4．数列｛a n}的通项公式a n＝错误!,其前n项和S n＝9，则n＝________。

99[a n＝错误!＝错误!－错误!,
∴S n＝(错误!－1）＋（错误!－错误!）＋…＋(错误!－错误!）＝错误!－1＝9.
∴n＝99.]
5．已知数列｛a n｝的前n项和公式为S n＝n2－30n.
(1）求数列｛a n｝的通项公式a n；
（2)求S n的最小值及对应的n值.
【导学号：91432181】［解］(1)∵S n＝n2－30n，
∴当n＝1时,a1＝S1＝－29。

当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(n2－30n)－[（n－1）2－30(n－1）］＝2n－31.
∵n＝1也适合，
∴a n＝2n－31，n∈N*.
(2）法一：S n＝n2－30n
n－152－225
＝(）
∴当n＝15时，S n最小，且最小值为S15＝－225。

法二：∵a n＝2n－31,∴a1<a2<…<a15〈0,当n〉15时，a n>0.
∴当n＝15时，S n最小,且最小值为S15＝－225。