基于有限元法的V型缺口平板应力集中系数研究

基于有限元法的V型缺口平板应力集中系数研究
刘庆刚;魏青;韩伟信;于新奇;刘麟
【摘要】针对双边V型缺口有限宽平板的应力集中问题,采用有限元软件ANSYS 对缺口尖端区域应力场进行了分析.采用数值积分方法对平均应力及不同开口角度2α、不同尖端半径ρ 条件下的应力集中系数进行了计算,并将有限元分析结果与Filippi缺口应力场方程的结果进行了对比验证.结果表明,有限元分析方法得到的结果与Filippi方程的计算结果最大误差为3.77％;在缺口尖端处存在明显的应力集中,但随着到缺口尖端距离的增加应力集中系数降低很快;缺口处最大应力集中系数随缺口尖端半径的增大而明显减小,且减小速率逐渐降低;随着缺口角度的增加,应力集中系数缓慢减小.因此,采用有限元方法可以有效开展含缺口结构的应力集中分析,研究方法对于其他复杂含缺口结构的安全分析具有一定的参考价值.
【期刊名称】《河北工业科技》
【年(卷),期】2019(036)004
【总页数】6页(P240-245)
【关键词】断裂力学;V型缺口;应力集中系数;有限元;Filippi缺口方程
【作者】刘庆刚;魏青;韩伟信;于新奇;刘麟
【作者单位】河北科技大学机械工程学院,河北石家庄 050018;河北科技大学机械工程学院,河北石家庄 050018;河北科技大学机械工程学院,河北石家庄 050018;河北科技大学机械工程学院,河北石家庄 050018;常州大学机械工程学院,江苏常州213164
【正文语种】中文
【中图分类】TH114
缺口会引起应力集中，因此缺口部位是各类航空器、机械装置、建筑结构中的薄弱环节，其强度问题需要予以格外重视。

因此，为了保障含缺口结构的安全性，自20世纪初期含缺口结构的应力、应变问题得到固体力学领域研究人员的重视，并逐渐形成了“缺口力学”这一固体力学的分支。

在缺口力学领域，国内外学者以V型缺口为研究对象做了大量研究。

早期，研究人员的研究工作主要集中在含缺口结构应力场的解析解方面。

人们采用不同的应力函数来表示缺口周边应力场[1]，研究并解决了钝裂纹问题[2]、尖锐V形缺口和包含尖端过渡圆弧的V形缺口应力场方程[3]，其中FILIPPI提出的计算公式影响最为广泛。

2002年，FILIPPI等[4]在前人研究基础上，考虑平板有限尺寸对应力场的影响，给出更为精确的应力计算式，被后人称为“Filippi缺口应力场方程”，奠定了缺口力学的理论基础。

对于尖锐缺口尖端应力场，研究中考虑了微观约束效应[5-6]，引入虚拟缺口圆半径，利用虚拟缺口圆边界的平均应力作为尖锐型缺口尖端的应力值[7-9]。

近年来，随着计算机技术的发展，有限元方法(FEM)逐渐应用于缺口结构应力分析中[10-15]。

工程问题中，如机械装置、压力容器等问题，由于装置结构复杂难以获得有效的解析解，试验方法成本较高，实施困难。

因此，有限元方法由于其方便快捷性，越来越受到人们的重视，在缺口结构应力分析中的应用越来越广泛。

本文以双边V型缺口平板为研究对象，分别采用Filippi缺口方程和有限元方法分析了缺口尖端附近的应力场和应力集中系数，得到了应力集中系数KT与开口角度2α、缺口尖端过渡半径ρ的关系，对于表征含缺口结构的应力状态，保障结构安
全具有一定的意义。

1 缺口应力集中系数分析方法
1.1 几何模型
本文的研究对象为一长方形平板，尺寸为H×L，厚度为δ，板两侧有开口角度为2α，尖端半径为ρ的V型缺口，板材弹性模量E=2×105MPa，泊松比μ=0.3，在板的顶部和底部分别施加σnom的远场拉应力，缺口模型示意如图1所示。

图1 缺口模型示意图Fig.1 Diagram of notch model
图1 a)中，a表示单侧开口深度，h表示韧带宽度；图1 b)中，r0表示缺口尖端圆弧高度，q为确定r0和ρ之间关系的辅助参数；σθ，σr，τrθ分别表示极坐标条件下的应力。

1.2 解析解
对于本文所述缺口类型，文献[4]给出了Filippi缺口应力场方程。

在平面拉伸应力场下，Filippi缺口应力场方程如式(1)所示。

(1)
根据Filippi缺口应力场方程计算出角度为0，π/6，π/4，π/3，π/2，2π/3，
3π/4和5π/6时，特征参数λ1，μ1，χb1，χc1和χd1的值，平面拉伸载荷情况下的特征参数如表1所示，参数的具体含义和计算方法见参考文献[4]。

在含缺口结构部件的强度分析中，σθ通常远远大于其他2个方向的应力分量，因此本文重点关注σθ应力。

沿具有开口角为0°，45°，90°，135°的缺口平分线上σθ具体表示为
表1 平面拉伸载荷情况下的特征参数Tab.1 Characteristic parameters under plane tensile loads2αλ1μ1χb1χc1χd100.5-0.5140π/60.501 4-0.456 11.070 73.790 70.063 2π/40.505 0-0.431 91.165 63.572 10.082 8π/30.512 2-0.405
71.312 33.283 20.096 0π/20.544 8-0.344 91.841 42.505 70.104 62π/30.615
7-0.267 83.002 71.515 00.087 13π/40.673 6-0.219 84.153 00.993 30.067
35π/60.752 0-0.162 46.361 70.513 70.041 3
(2)
应力集中系数KT表达式：
KT=
(3)
1.3 有限元解
1.3.1 有限元网格
依照表2数据建立模型作为算例，在ANSYS软件中，建立模型进行分析，如图2所示。

整体网格采用四面体网格自由划分，并对缺口尖端部分进行局部网格细化，缺口处应力梯度较大处的最小网格尺寸设置为0.1 mm，如图3所示。

材料选用常用的Q245结构钢，材料弹性模量设置为2×1011 Pa，强化模式为双线性强化。

表2 算例模型参数Tab.2 Sample model parameters缺口深a/mm开口角度2α /(°)缺口尖端过渡半径ρ/mm 平板宽度H/mm10452.560
图2 算例模型示意图Fig.2 Sample model sketch
图3 网格示意图Fig.3 Grid schematic
1.3.2 应力分布及应力集中系数计算方法
在平板顶部、底部分别施加100 MPa拉应力，利用ANSYS软件计算应力分布情况, 有限元分析结果如图4所示。

由图4可知, 应力最大值σmax为537.13 MPa，出现在缺口角平分线附近的过渡圆弧段，该区域存在明显的应力集中，采用应力集中系数KT表征。

应力集中系数是最大应力与平均应力之比，计算方法见式(4)。

图4 有限元计算结果Fig.4 Calculation result by finite element method
应力集中系数计算公式：
(4)
式中：σmax为最大局部弹性应力；σ0为名义应力。

名义应力σ0的定义有2种：一是净面积应力，为缺口处净截面的名义应力，二是毛面积应力，为构件无缺口时截面的名义应力[16]。

本文采用数值积分的方法，根据净面积计算名义应力。

首先，在进行后处理时建立路径1，路径起点为应力最大值处，终点为另一端缺口处，如图5所示。

在路径上提取计算结果，如图6所示。

为了计算路径1上的名义应力，对应力曲线进行数值积分，积分值除以路径长度
得到该净截面上的名义应力。

图5 路径1示意图Fig.5 Schematic of path 1
图6 积分示意图Fig.6 Integral schematic diagram
名义应力
式中：s为路径长度；为上述应力沿路径数值积分。

根据最大应力和名义应力值，计算该V型缺口平板应力集中系数 KT。

对于开口角度为45°的V型缺口沿x方向σθ应力集中系数，采用有限元分析得到的结果和采用Filippi缺口应力场方程得到的结果如图7所示。

由图7可知，有限元模拟结果得出的应力曲线与Filippi缺口应力场方程得到的结果具有很好的一致性，表明有限元法具有良好的可靠性。

图7 缺口中心线上应力比变化Fig.7 Change of stress ratio on notch center
line
2 结果与讨论
2.1 缺口尖端附近应力场分析
通过有限元模拟，得到了沿着缺口中心线x， y， z 3个方向的应力分布，坐标系
情况参见图1 b)。

根据图1 b)，x，y方向的应力分别为σr和σθ。

将3个方向的应力绘制成曲线，如图8所示。

图8中，横坐标x/ρ为应力点到缺口弧顶距离与
缺口半径的比值。

由图8可知，y方向的应力远远大于其他2个方向的应力，表明σθ是对缺口强度影响最大的应力。

σθ在缺口尖端取得最大值，随着到缺口尖端
距离的增加，σθ逐渐减小并接近平均应力值。

图8 缺口尖端附近应力场分布Fig.8 Distribution of stress field near notch tip 2.2 开口角度对应力集中系数KT的影响
取缺口尖端过渡半径ρ分别为0.5，1.25和2.5 mm，取不同的开口角度，通过上述有限元法和Filippi缺口应力场方程计算KT，结果如图9所示。

由图9可知，
有限元方法和Filippi缺口应力场方程得到的结果具有很好的一致性。

3个过渡圆
弧半径条件下，缺口应力集中系数均随着开口角度的增加而减小。

图9 KT与2α的关系Fig.9 Relationship between KT and 2α
2.3 缺口尖端过渡半径对应力集中系数KT的影响
取缺口的开口角度分别为45°，90°，135°，同样采用有限元法和Filippi缺口应力场方程计算KT，结果如图10所示。

由图10可得，应力集中系数随缺口尖端过渡半径增大KT减小，且减小速率降低；3种角度条件下，当过渡半径从0.5 mm增加到2.5 mm时，最大应力集系数分别下降了50.27%，50.62%和37.53%。

对
比图9和图10可以发现过渡圆弧半径对应力集中系数的影响大于开口角度的影响。

图10 KT与ρ的关系Fig.10 Rela tionship between KT and ρ
3 结论
通过对双边V型缺口有限宽平板的有限元计算及Filippi缺口应力场验证，得出以下结论。

1)利用有限元方法计算了不同参数下的缺口应力集中系数值，并与采用Filippi缺
口方程的计算结果进行对比，两者最大相差为3.77%，表明有限元方法具有良好
的可靠性。

2)沿着缺口中心线方向，σθ的数值远远大于其他2个方向的应力，是决定缺口结
构强度的主要因素；随着到缺口尖端距离的增加，σθ值迅速减小，并逐渐接近平
均应力。

3)V型缺口平板在缺口尖端处的应力集中程度较大，尖端过渡半径ρ对应力集中系数KT的大小有显著影响。

当开口角度为45°时，尖端过渡圆弧半径ρ从0.5 mm
增加至1.25 mm，应力集中系数KT从7.59下降到4.86，降幅为35.97%；圆弧半径ρ从1.25 mm增加至2.5 mm，应力集中系数KT从4.86下降到3.54，降
幅为27.16%。

由此可知，随半径的增大应力集中系数逐渐减小，且减小速率逐渐降低。

4)当开口角度为45°，90°，135°时，尖端过渡圆弧半径ρ从0.5 mm增加至2.5 mm，对应的应力集中系数KT的降幅依次为50.27%，50.62%和37.53%。

因此，过渡圆弧半径对应力集中系数的影响大于开口角度。

本文的分析结论是在固定板厚下得出的，没有考虑到板厚对应力分布状态的影响，有待进一步研究。

另外，许多工程零部件，可能存在缺口尖端过度圆弧半径为0
的特殊结构即尖锐缺口问题，也需要进一步研究和探讨。

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