【高考总复习】高中数学(理)课时作业10-3含答案(新人教版)

一、选择题
1．(2011年天津)在⎝
⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为 ( ) A ．－154 B.154
C ．－38 D.38 解析：在⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，第r ＋1项为 T r ＋1＝C 6r
⎝⎛⎭⎫x 26－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C 6r ⎝⎛⎭⎫126－r x 3－r (－2)r ，当r ＝1时，可得含x 2的项的系数是 C 61
⎝⎛⎭⎫125(－2)＝－38，故选C. 答案：C 2．(2011年课标全国)⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝
⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ( )
A ．－40
B ．－20
C ．20
D ．40
解析：对于⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5，可令x ＝1得1＋a ＝2，
故a ＝1.(2x －1x
)5的展开式的通项T r ＋1＝C 5r (2x )5－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C 5r 25－r ×(－1)r ×x 5－2r ，
要得到展开式的常数项，则x ＋1x 的x 与⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的1x
相乘， x ＋1x 的1x
与⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的x 相乘， 故令5－2r ＝－1得r ＝3，令5－2r ＝1得r ＝2，
从而可得常数项为C 53×22×(－1)3＋C 52×23×(－1)2＝40.
答案：D
3．二项展开式(2x －1)10中x 的奇次幂项的系数之和为( )
A.1＋3102
B.1－310
2
C.310－12 D ．－1＋3102
解析：设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，
令x ＝1，得1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，
再令x ＝－1，得310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＋a 10，
两式相减可得，a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102
，故选B. 答案：B
4．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数为( )
A ．297
B ．207
C ．252
D ．－45
解析：∵(1＋x )10＝C 100x 0＋C 101x 1＋C 102x 2＋C 103x 3
＋C 104x 4＋C 105x 5＋…
＝1＋10x ＋45x 2＋…＋252x 5＋…
∴(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数为252－45＝207.
答案：B
5．设⎝
⎛⎭⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则 展开式中x 的系数为( )
A ．－150
B ．150
C ．－210
D ．210
解析：由题意知，M ＝4n ，N ＝2n ，由M －N ＝240可解得n ＝4，所以展开式中x 的系 数为C 4252(－1)2＝150，故选B.
答案：B
二、填空题
6．(2011年浙江)设二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ， 则a 的值是________．
解析：对于T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a x 12r ＝C r 6(－a )r x 6－32r ， B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2.
答案：2
7．(2011年安徽)设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝ ___________________.
解析：(x －1)21的展开式的通项为T r ＋1＝C r 21x
21－r ·(－1)r .由题意知a 10，a 11分别是含x 10和x 11项的系数，所以a 10＝－C 1121，a 11＝C 1021，所以a 10＋a 11＝C 1021－C 1121＝0.
答案：0
8．(2011年山东)若⎝⎛⎭
⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________． 解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x 6－r (－a )r x －2r ＝C r 6x
6－3r (－a )r ，当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4.
答案：4
9．(2011年广东)x ⎝⎛⎭
⎫x －2x 7的展开式中x 4的系数是________．(用数字作答) 解析：原问题等价于求⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中x 3的系数，(x －2x
)7的通项T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 7x
7－2r ， 令7－2r ＝3得r ＝2，∴x 3的系数为(－2)2C 27＝84，即x ⎝⎛⎭
⎫x －2x 7的展开式中x 4的系数为84. 答案：84
三、解答题
10．已知(x x ＋2
3x
)n 展开式的前3项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项、一
次项？如没有，请说明理由；如有，请求出来．
解析：∵T r ＋1＝C r n (x x )n －r ·(23x
)r ＝C r n 2r x 9n －11r 6
(r ＝0,1,2，…，n )， ∴由题意得C 0n 20＋C 1n ·22＋C 2n ·
22＝129， ∴1＋2n ＋2(n －1)n ＝129，∴n 2＝64，
∴n ＝8.故T r ＋1＝C r 82r x 72－11r 6
(r ＝0,1,2，…，8)． 若展开式存在常数项，则72－11r 6
＝0，
∴72－11r ＝0，∴r ＝7211
∉N ， ∴展开式中没有常数项．
若展开式存在一次项，则72－11r 6
＝1， ∴72－11r ＝6，∴r ＝6，
∴展开式中存在一次项，它是第7项，
T 7＝C 6826x ＝1 792x .
11．已知数列{a n }满足a n ＝n ·2n －
1(n ∈Z *)，是否存在等差数列{b n }，使a n ＝b 1C 1n ＋b 2C 2n ＋ b 3C 3n ＋…＋b n C n n 对一切正整数n 成立？并证明你的结论．
解析：假设存在等差数列{b n }使等式a n ＝b 1C 1n ＋b 2C 2n ＋b 3C 3n ＋…＋b n C n n 对一切正整数n 成
立．
当n ＝1时，得1＝b 1C 11，所以b 1＝1；
当n ＝2时，得4＝b 1C 12＋b 2C 22，所以b 2＝2；
当n ＝3时，得12＝b 1C 13＋b 2C 23＋b 3C 33，
所以b 3＝3，
…
所以可猜想等差数列{b n }的通项为b n ＝n .
证明：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n
＝n C 0n －1＋n C 1n －1＋n C 2n －1＋…＋n C n －1n －1
＝n ·2n －1.
12．已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992，
求⎝⎛⎭
⎫2x －1x 2n 的展开式中． (1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项．
解析：根据二项式系数的性质，列方程求解n .系数绝对值最大问题需要列不等式组求解． 由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，
∴2n ＝32，解得n ＝5.
(1)由二项式系数的性质知，⎝
⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大． 即T 6＝C 510·(2x )5·⎝⎛⎭
⎫－1x 5＝－8 064. (2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大．
∵T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ·⎝⎛⎭
⎫－1x r ＝(－1)r C r 10·
210－r ·x 10－2r ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ C r 10·210－r ≥C r －110·211－r ，C r 10·
210－r ≥C r ＋110·29－r ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧
11－r ≥2r ，2(r ＋1)≥10－r ，解得83≤r ≤113. ∵r ∈Z ，∴r ＝3，
故系数的绝对值最大的项是第4项，T 4＝－C 310·
27·x 4＝－15 360x 4.。