(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(含答案解析)(2)

一、选择题
1．已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足()10OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OAC 的面积之比为3，则λ=（ ） A ．
12
B ．
14
C ．
34
D ．
32
2．已知函数()sin (0)2f x x a a π⎛⎫
=>
⎪⎝⎭
，点A ，B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB 为钝角三角形，则a 的取值范围为（ ）
A ．10,(2,)2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭ B
．0,(1,)3⎛⋃+∞ ⎝⎭
C
．3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．(1,)+∞
3．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝1
3
BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
4．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且
AE EB =，2AD DC =，与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）
A ．1A
B CD ⋅=- B ．1233
BD BC BA =
+ C ．3OA OB OC ++=
D ．ED 在BC 方向上的投影为
7
6
5．已知向量()a 1,2=，()b x,2=-，且a b ⊥，则a b +等于（
）． A B
．5
C ．
D ．31
6．已知非零向量,OA a OB b == ，且BC OA ⊥，C 为垂足，若(0)OC a λλ=≠，则
λ等于( )
A ．
a b a b
⋅ B ．
2
a b a
⋅ C ．
2
a b b
⋅ D ．
a b a b
⋅
7．在ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，那么下列各式中正确的是（ ） A ．DB DC =
B ．2AD DE =
C ．2AB AC A
D += D ．AB AC BC -=
8．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )
A ．[0,222]+
B ．[0,2]
C ．22,222]-+
D ．[222,2]-
9．已知ABC 中，3AB AC ==，且||||AB AC AB AC +=-，点D ，E 是BC 边的两
个三等分点，则AD AE ⋅=（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
10．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b
⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅
B ．a c ⋅
C ．b c ⋅
D ．不能确定
11．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与
BOC 的面积的比值为（ ）
A ．6
B ．8
3
C ．
127
D ．4
12．设非零向量a 与b 的夹角是23π
，且a a b =+，则22a tb b
+的最小值为（ ）
A ．
3
B ．
3 C ．
12
D ．1
二、填空题
13．如图所示，已知AOB ，点C 是点B 关于点A 的对称点，2OD DB =，DC 和OA 交于点E ，若OE OA λ=，则实数λ的值为_______．
14．已知平面向量,,a b c 满足()()||2,||2||a c b c a b a b -⋅-=-==.则c 的最大值是________.
15．已知向量2a =，1b =，223a b -=，则向量a ，b 的夹角为_______. 16．设1e ，2e 是单位向量，且1e ，2e 的夹角为23
π
，若12a e e =+，122b e e =-，则a 在b 方向上的投影为___________．
17．已知正方形ABCD 的边长为4，若3BP PD =，则PA PB ⋅的值为_________________. 18．设向量a ，b ，c ，满足1a b ==，1
2
a b ⋅=-，a c -与b c -的夹角为60︒，则c 的最大值等于________
19．在梯形ABCD 中，AB //CD ，90DAB ∠=，2AB =，1CD AD ==，若点M
在线段BD 上，则AM CM ⋅的最小值为______________.
20．已知平面向量a ，b 满足1a =，2a b -与2b a -的夹角为120°，则2
b 的最大值是_______.
三、解答题
21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；
（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k .
22．如图，在OAB 中，P 为边AB 上的一点2BP PA =，6OA =，2OB =且OA 与
OB 的夹角为60︒.
（1）设OP xOA yOB =+，求x ，y 的值； （2）求OP AB ⋅的值.
23．在ABCD 中，2AB =，23AC =AB 与AD 的夹角为3
π． （Ⅰ）求AD ；
（Ⅱ）求AC 和BD 夹角的余弦值． 24．已知向量(1,2)a =-，||25b =. （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标； （2）若a 与b 的夹角为
23
π
，求()(2)a b a b -⋅+的值. 25．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，向量m (2cos
sin )2
C C =-，， n =(cos
2sin )2
C C ，，且m n ⊥． （1）求角C ；
（2）若22
2
12
a b c =+
，试求sin()A B -的值 26．如图，在直角△ABC 中，点D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点，点E 为AD 的中点，
3,6AB AC ==
（1）用,AB AC 表示AD 和EB ； （2）求向量EB 与EC 夹角的余弦值．
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，由平面向量的线性运算可得
OD OE λ=-，进而可得13
OAC AEC S S =△△，即可得解.
【详解】
分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，如图，
所以DE 是ABC 的中位线，
因为()10OA OB OC λλ+++=，所以()
OA OC OB OC λ+=-+， 所以OD OE λ=-，所以D 、E 、O 三点共线，
所以111
363
OAC OAB ABC AEC S S S S ===△△△△，
所以13OD ED =即12OD OE =-，所以12
λ-=-即12λ=.
故选：A. 【点睛】
本题考查了平面向量共线、线性运算及基本定理的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
2．B
解析：B 【分析】
首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是钝角三角形，利用向量夹角为钝角的条件，从而转化为向量的数量积0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，找出a 所满足的条件，最后求得结果. 【详解】 由题意得
24,(0,0),(,1),(3,1)
2T a O A a B a a
π
π
=
=-，因为OAB 为钝角三角形，所以
0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，
即2310a -<，或2220a -+<
，从而0a <或1a >． 故选：B. 【点睛】
该题考查的是有关利用钝角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，钝角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题.
3．C
解析：C 【分析】
根据向量的运算法则，求得12
AM AD AB =+，21
32MN AD AB =-+，再结合向量的数
量积的运算公式，即可求解. 【详解】
由题意，作出图形，如图所示：
由图及题意，根据向量的运算法则，可得1
2
AM AD DM AD AB =+=+
， 2132MN CN CM CB CD =-=-2121
3232
BC DC AD AB =-+=-+，
所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫
⋅=+
⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
21
936334
=-⨯+⨯=.
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
4．D
解析：D 【分析】
利用CE AB ⊥，判断出A 错误；由2AD DC =结合平面向量的基本定理，判断出选项B 错误；以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，写出各点坐标，计算出OA OB OC ++的值，判断出选项C 错误；利用投影的定义计算出D 正确． 【详解】
由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；
由平面向量线性运算得21
33
BD BC BA =
+，所以选项B 错误； 以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，
()0,0E ，1,0A ，()1,0B -，(3C ，13,33D ⎛ ⎝⎭
，
设()0,O y ，(3y ∈，()1,BO y =，123,3DO y ⎛=- ⎝⎭
， //BO DO ，所以，2313y y =-，解：3
2
y =
， 3
22
OA OB OC OE OE OE ++=+==
，所以选项C 错误； 1233ED ⎛= ⎝⎭
，(1,3BC =，
ED 在BC 方向上的投影为12
7326BC BC
ED +⋅==，
故选：D ． 【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量基本定理，考查投影的定义，考查平面向量的坐标表示，属于中档题．
5．B
解析：B 【分析】
由向量垂直可得0a b ⋅=，求得x ，及向量b 的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模. 【详解】
由a b ⊥，可得0a b ⋅=，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a b + ()5,0=，得
a b +=5，选B.
【点睛】
求向量的模的方法：一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=
+，二是利用性质
2
a a =，结合向量数量积求解. 6．B
解析：B 【解析】
试题分析：BC OA ⊥,即()
2
00BC OC OC OB OC OC OB OC ⊥⇒-⋅=⇒-⋅=，即
2
2
0a a b λλ-⋅=，2
0,a b a
λλ⋅≠∴=
．
考点：平面向量的数量积的应用.
7．C
解析：C 【解析】
依题意ABC 如图所示：
∵D 是BC 的中点
∴DB CD =，故A 错误 ∵E 是AD 的中点 ∴2AD ED =，故B 错误
∵AB AD DB =+，AC AD DC =+
∴2AB AC AD DB AD DC AD +=+++=，故C 正确
∴()AB AC AD DB AD DC DB DC CB -=+-+=-=，故D 错误 故选C
8．D
解析：D 【解析】
如图所示：OA a =，OB b =，OC c =，OD a b =+ ∵()()
0a c b c -⋅-≤，∴点C 在劣弧AB 上运动，
a b c +-表示C 、D 两点间的距离CD ．
CD 的最大值是BD ＝２，CD 最小值为OD 2222-=.
故选D
9．B
解析：B 【分析】
由||||AB AC AB AC +=-知，0AB AC ⋅=，根据平面向量的线性运算可推出
2133
AD AB AC =
+，12
33AE AB AC =+，故
21123333AD AE AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫
⋅=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，展开后代入数据进行运算即可.
【详解】
解：∵||||AB AC AB AC +=-，∴0AB AC ⋅=， ∵点D 是BC 边的三等分点， ∴11()33
AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-21
33AB AC =+.
同理可得，12
33
AE AB AC =
+， ∴()
22211
22(33
39)3AD AE AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⋅=+⋅+=+ ⎪
⎝⎭2(99)49=⨯+=. 故选：B. 【点睛】
本题考查平面向量数量积运算、模的运算、平面向量基本定理，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意基底的选择.
10．C
解析：C 【分析】
由0a b c ++=，可得2
222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】
解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，
||||||a b c <<，
∴222a b c <<
则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．
11．A
解析：A 【分析】
作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，由已知可得O 是'''A B C 的重心，由重心性质可得所求面积比． 【详解】
作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，如图，∵2730OA OB OC ++=，∴O 是
'''A B C 的重心，则''''''OA B OB C OC A S S S ==△△△，设''''''OA B OB C OC A S S S t ===△△△，
设,,OAB OAC y OBC S x S S z ===△△△， ∵2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，
∴''
1
''sin''
214
1
sin
2
OA B
OAB
OA OB A OB
S
S OA OB AOB
⋅∠
==
⋅∠
△
△
，即
1
14
x t
=，同理
1
6
y t
=，
1
21
z t
=，
1116
1462121
ABC
S x y z t t t t
=++=++=
△
，
∴
6
216
1
21
ABC
OBC
t
S
S t
==
△
△
．
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形面积的计算，考查向量的加法与数乘法则，体现了向量在解决平面图形问题中的优越性．
12．B
解析：B
【分析】
利用向量a与b的夹角是
2
3
π
，且a a b
=+，得出a b a b
==+，进而将
2
2
a tb
b
+
化成只含有t为自变量的二次函数形态，然后利用二次函数的特性来求出最值.
【详解】
对于a，b和a b
+的关系，根据平行四边形法则，如图
a BA CD
==，b BC
=，a b BD
+=,
2
3
ABC
π
∠=，
3
DCB
π
∴∠=，
a a
b =+，CD BD BC ∴==，
a b a b ∴==+，
2222222==222a tb a tb a tb b b b +++，
a b =， 22222222244cos 223=224a t a b t b a tb a tb b b b π++++=， 22222222244cos
4231244a t a b t b a t a
a t a t t
b a
π++-+==-+当且仅当1t =时，
22a tb b +的最小值为2
. 故选：B.
【点睛】 本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把
22a tb b +化成只含有t 为自变量的二
次函数形态，进而求最值. 二、填空题
13．【分析】设可得又因为即可求解【详解】如图所示：设由于所以由于点是点关于点的对称点则为中点所以得所以由于又因为得故答案为：【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法
解析：45
【分析】
设,OA a OB b ==，可得523
DC a b =-，()2EC a b λ=--，又因为//EC DC ，即可求解λ．
【详解】
如图所示：
设,OA a OB b ==，由于2OD DB =，所以23
OD b =， 由于点C 是点B 关于点A 的对称点，则A 为BC 中点， 所以()
12OA OB OC =+，得2OC a b =- 所以523
DC OC OD a b =-=-
由于()2EC OC OE a b λ=-=-- ，又因为//EC DC 21523
λ-= 得45λ= ． 故答案为：
45
【点睛】
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 14．【分析】设根据得到取中点为D 又由中点坐标得到再由得到的范围然后由求解【详解】设如图所示：因为所以取中点为D 因为所以解得所以所以点C 是以D 为圆心半径为的圆上运动又因为所以当AOB 共线时取等号所以所以【 解析：33
【分析】
设,,OA a OB b OC c ===，根据||2,||2||a b a b -==，得到||2,||2||AB OA OB ==，取AB 中点为D ，又()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，由中点坐标得到232CB CA CD ⎛⎫+== ⎪⎝⎭2OA OB AB -≤=，得到2
||2OA OB OD ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
范围，然后由||||||||3c OC OD DC OD =≤+≤+.
【详解】
设,,OA a OB b OC c ===，
如图所示：
因为||2,||2||a b a b -==，
所以||2,||2||AB OA OB ==，
取AB 中点为D ，
因为()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，
所以22
22||||24AB CB CA CB CA CB CA =-=+-⋅=，
解得228CB CA +=， 所以22212322CB CA CD CB CA CB CA ⎛⎫+==++⋅= ⎪⎝⎭ 所以点C 是以D 3的圆上运动， 又因为2OA OB AB -≤=， 所以2OB ≤，当A ，O ，B 共线时，取等号， 所以2221||222OA OB OD OB OA OB OA ⎛⎫+==++⋅ ⎪⎝⎭， ()222112104322OB OA AB OB =+-=-≤， 所以||||||||333c OC OD DC OD =≤+≤+≤.
【点睛】
关键点点睛：平面向量的中点坐标公式的两次应用：一是2
2CB CA CD ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
||2,||2||AB OA OB ==求得定值，得到点C 是以D 为圆心的圆上，实现数形结合；二是||2OA OD ⎛= ⎝⎭2OA OB AB -≤=确定范围，然后由||||||c OC OD DC =≤+求解. 15．【分析】已知式平方后求得再由数量积的定义可得夹角【详解】由得∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查求向量的夹角解题关键是掌握向量的模与数量积的关系由模求得数量积后可得 解析：23
π 【分析】
已知式223a b -=平方后求得a b ⋅，再由数量积的定义可得夹角．
【详解】
由223a b -=得222(2)4444412a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅+=，∴1a b ⋅=-， ∴cos ,2cos ,1a b a b a b <>=<>=-，1cos ,2a b <>=-，∴2,3a b π<>=． 故答案为：
23
π． 【点睛】 本题考查求向量的夹角，解题关键是掌握向量的模与数量积的关系，由模求得数量积后可得． 16．【分析】根据平面向量数量积的定义求出与并计算出平面向量的模再利用公式即可求解【详解】由平面向量的数量积的定义可得即所以在方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义以及向量的
【分析】
根据平面向量数量积的定义求出12e e ⋅与a b ⋅，并计算出平面向量b 的模b ，再利用公式，即可求解.
【详解】
由平面向量的数量积的定义，可得1221211cos 11()322
e e e e π⋅=⋅=⨯⨯-=-， 222222111111()(2)22122
a b e e e e e e e e ⋅=+-=+⋅-=--=， 22221112221(2)4444()172
e e e e e e b =-=-⋅+=-⨯-+=，即7b =，
所以a 在b 方向上的投影为172147a b b
⋅==. 故答案为：
7. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的定义，以及向量的投影的应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的计算公式，以及向量的投影的计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 17．6【分析】建立平面直角坐标系求得点P 的坐标进而得到的坐标再利用数量积的坐标运算求解【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则设因为解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积 解析：6
【分析】
建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，进而得到,PA PB 的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.
【详解】
如图所示建立平面直角坐标系：
则()()()()04,00,40,44A B C D ，
，，，，设(),P x y ，()(),,4,4BP x y PD x y ==--， 因为3BP PD =，()()3434x x y y ⎧=⨯-⎪⎨=⨯-⎪⎩
，解得33x y =⎧⎨=⎩，所以()3,3P ， 所以()()3,1,3,3PA PB =-=--，
所以()()()33136PA PB ⋅=-⨯-+⨯-=，
故答案为：6.
【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．【分析】作向量根据已知条件可得出与的夹角为四点共圆再结合正余弦定理可得出结果【详解】解：如下图作向量与的夹角为即又与的夹角为即与夹角为四点共圆当为直径时最大在中由余弦定理得：的外接圆的直径为四点共圆
解析：2
【分析】
作向量OA a =，OB b =，OC c =，根据已知条件可得出a 与b 的夹角为120︒，A ，O ，B ，C 四点共圆，再结合正余弦定理可得出结果.
【详解】
解：如下图，作向量OA a =，OB b =，OC c =，
∴CA a c =-，CB b c =-，
1a b ==，1cos ,2
a b a b a b ⋅=⋅⋅=-， ∴a 与b 的夹角为120︒，即120AOB ∠=︒.
∴120AOB ∠=︒.
又a c -与b c -的夹角为60︒，即CA 与CB 夹角为60︒，
∴A ，O ，B ，C 四点共圆. ∴当OC 为直径时c 最大，
在AOB 中，由余弦定理得：
2222cos1203AB OA OB OA OB =+-⋅︒=， ∴3AB =.
∴AOB 的外接圆的直径为2sin120AB =︒
. ∴A ，O ，B ，C 四点共圆的圆的直径为2.
∴c 的最大值为2.
故答案为：2.
【点睛】
本题主要考查向量在几何图形中的应用，考查正余弦定理，考查数形结合的能力，分析问题能力，属于中档题.
19．【分析】根据建立平面直角坐标系设得到再求得的坐标利用数量积的坐标
运算求解【详解】建立如图所示平面直角坐标系：因为所以设所以所以所以所以当时的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算 解析：920-
【分析】
根据AB //CD ，90DAB ∠=，2AB =，1CD AD ==，建立平面直角坐标系，设,01λλ=≤≤BM BD ，得到()22,λλ-M ，再求得,AM CM 的坐标，利用数量积的坐标运算求解.
【详解】
建立如图所示平面直角坐标系：
因为AB //CD ，90DAB ∠=，2AB =，1CD AD ==，
所以()2,0B ，()0,1D ，()1,1C ，设,01BM BD λλ=≤≤，
所以()()2,2,1λ-=-x y
所以()22,λλ-M ，
所以()()22,,12,1λλλλ---==AM CM ，
所以()()22,12,1λλλλ⋅=-⋅--AM CM ，
227957251020λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝
⎭， 当710λ=时，AM CM ⋅的最小值为920
-. 故答案为：920-
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 20．【分析】设设则有联立四个方程令整理得到从方程有根判别式大于等于零求得结果【详解】设由题意可知则由与夹角为所以①且②③④因为联立
①②③④令即整理得将其看作关于的方程若方程有解则有整理得解得因为所以的最
【分析】
设设2a b c =-，2b d a =-，则有cos120c d c d ⋅=︒，
22(2)(2)522c d a b b a a b a b ⋅=-⋅-=⋅--，2222(2)44c a b a a b b =-=-⋅+，2222(2)44d b a b a b a =-=-⋅+，联立四个方程，令21,m b n a b =+=⋅，整理得到2228204330n mn m m -+-+=，从方程有根，判别式大于等于零求得结果.
【详解】
设2a b c =-，2b d a =-，
由题意可知，则由c 与d 夹角为120︒，
所以cos120c d c d ⋅=︒，①
且22(2)(2)522c d a b b a a b a b ⋅=-⋅-=⋅--，② 2222(2)44c a b a a b b =-=-⋅+，③ 2222(2)44d b a b a b a =-=-⋅+，④
因为11,cos1202a =︒=-
， 联立①②③④，2222244104444b a b a a b b b a b a +-⋅=
-⋅+⋅-⋅+， 令21,m b n a b =+=⋅，
即410m n -=
2222168010044316161212129m mn n m mn m mn n n m n -+=---+++--， 整理得2228204330n mn m m -+-+=，
将其看作关于n 的方程，若方程有解，则有22
(20)428(433)0m m m ∆=-⨯⨯-+≥，
整理得2770m m -+≤，解得
7722m +≤≤
因为21m b =+，所以2b 1-=，
. 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题思路如下：
（1）根据向量数量积的定义式求得两向量的数量积；
（2）根据向量数量积运算法则求得其结果；
（3）利用向量的平方与向量模的平方相等，得到等量关系式；
（4）联立，从方程有根，判别式大于等于零，得到不等关系式，求得结果.
三、解答题
21．（1）6；（2）58,99m n =
=；（3）1118k =-. 【分析】
（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；
（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；
（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.
【详解】
解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-= ∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=； （2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，
a m
b n
c =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，
故4322
n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==； （3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，
(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，
()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，
解得1118
k =-
. 【点睛】
结论点睛：
若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.
22．（1）23
x =
，13y =；（2）623-. 【分析】
（1）由向量的加减运算，可得()
2233=+=+
=+-OP OB BP OB BA OB OA OB ，进而可得答案. （2）用OAOB ，表示OP AB ⋅，利用向量数量积公式，即可求得结果.
【详解】
（1）因为2BP PA =，所以23
BP BA =. ()
22213333OP OB BP OB BA OB OA OB OA OB =+=+=+-=+. 又OP xOA xOB =-，
又因为OA 、OB 不共线，所以，23
x =，13y = （2）结合（1）可得： ()
2133OP AB OA OB OB OA ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭. 2222113333
=⋅-+-⋅OA OB OA OB OA OB 22121333
=⋅-+OA OB OA OB ， 因为6OA =，2OB =，且OA 与OB 的夹角为60︒. 所以22112162626232333OP AB ⋅=
⨯⨯⨯-⨯+⨯=-. 【点睛】
本题考查了向量的加减运算、平面向量基本定理、向量的数量积运算等基本数学知识，考查了运算求解能力和转化的数学思想，属于基础题目.
23．（Ⅰ）2AD =；（Ⅱ）0.
【分析】
（Ⅰ）设AB a =，AD b =，利用平面向量加法的平行四边形法则可得AC a b =+，由23AC =b 的方程，即可解得AD b =；
（Ⅱ）计算得出0AC BD ⋅=，可得出AC BD ⊥，进而可得出结果.
【详解】
（Ⅰ）设AB a =，AD b =，则AC a b =+，BD AD AB b a =-=-．
向量AB 与AD 的夹角为3π，cos 3
a b a b b π∴⋅=⋅=. ()22222242AC a b a b a a b b b b ∴=+=+=+⋅+=++=
整理得2280b b +-=， 0b ≥，解得2b =，即2AD =；
（Ⅱ）()()220AC BD a b b a b a ⋅=+⋅-=-=，则AC BD ⊥，
因此，AC 和BD 夹角的余弦值为0.
【点睛】
本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，同时也考查了平面向量夹角余弦值的计算，考查计算能力，属于中等题．
24．（1）(2,4)-；（2）5-.
【分析】
（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标；
（2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算．
【详解】
（1）由题知(,2)b λλ=-，2||(|b λλ=
+==2λ=-， 故(2,4)b =-；
（2）21(a =+=
∴
222221()(2)22||||cos
105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭
.
【点睛】 本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．
25．（1）60C =︒；（2. 【分析】
（1）利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式以及二倍角公式，求得cos C 的值，可得C 的值．
（2）利用两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理化简，可得结果．
【详解】
（1）由题意知，0m n =，即222cos 2sin 02
C C -=，21cos 2(1cos )0C C +--=， 22cos cos 10C C +-=，即cos 1C =-，或1cos 2
C =， 因为0C π<<，所以60C =︒．
（2）2222221122
a b c a b c =+⇒-=，
222222
sin()sin cos sin cos 2222a a c b b b c a A B A B B A R ac R bc +-+--=-=- ()
222231.4442a b c c sinC cR cR R -=====． 【点睛】
本题主要考查两个向量数量积公式，两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
26．（1）2133AD AB AC =
+，2136EB AB AC =-，（2）7130- 【分析】
（1）利用平面向量基本定理和向量的加减法法则进行求解即可
（2）如图，以AC ，AB 所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，然后表示出向量EB 与EC 的坐标，再利用向量夹角的坐标公式求解
【详解】
解：（1）因为D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点， 所以1111()3333
BD BC AC AB AC AB =
=-=-， 所以2133AD AB BD AB AC =+=+， 因为E 为AD 的中点，
所以11211122333
6AE AD AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭， 所以2136
EB AB AE AB AC =-=-, （2）1536
EC AC AE AB AC =-=-+, 如图，以AC ，AB 所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则(0,3),(6,0)B C ,
所以21(1,2)36EB AB AC =-=-，15(5,1)36
EC AB AC =-+=- ，
所以(1)52(1)7EB EC ⋅=-⨯+⨯-=-，
222(1)25,5EB EC =-+==+= 设向量EB 与EC 夹角为θ，则
cos 1305EB EC
EB EC θ⋅===-⋅ 【点睛】
此题考查平面向量基本定理的应用，考查向量夹角公式的应用，考查计算能力，属于中档题。