2021年河南省六市高三第一次联考数学(理科)答案

φ
{
代入 x2+y2-2x-2 3y=0 得:
t2-2(3-1)
s
i
n
φ·t-2 3=0,
设点 A ,
B 所对应的参数分别为t1 和t2,
则t1+t2=2(3-1)
s
i
n
t1·t2=-2 3,
φ,
→
→
2
2
则|PA -PB|=|
t1-t2|= (
t1+t2)
-4
t1t2 = 4(3-1)
s
i
n2φ+8 3 ,
× = ,
2 4 8
4
1
4
1 3 1 1 5
× + × = ,
2 4 2 2 8
5
5
8
6
1
8
1
5
1 39
E(
Z) 13
+5× +6× = ,它与成本价之比为
= , … 11 分
4
8
8 8
5+2+2 24
21 13
∵ < ,
40 24
∴ 从性价比角度考虑,方案乙更实惠 .……………………………………… 12 分
x)≥ (
x-2)
-3(
x-2)成立。 ……………………… 6 分
f(
3
当 x>3 时,设 h(
x)=f(
x)-g(
x)=ex-1-2
l
nx- (
x-2)
+4x-6,
2
2
则h
'(
x)=ex-1- -3(
x-2)
+4,
x
2
设 p(
x)=h
'(
x),
'(
x)=ex-1+ 2 -6(
x-2),
p
x
4
设q(
f(
f
x
2
易知 f
'(
x)=ex-1- +1 在(
0,+∞ )上单调递增,且 f
'(
1)=0,………… 3 分
x
令f
'(
x)<0,解得 0<x<1,则 f(
x)的单调递减区间为(
0,
1);
令f
'(
x)>0,解得 x>1,则 f(
x)的单调递增区间为(
1,+∞ ); ………… 4 分
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第 4 页 (共 6 页 )
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c
b2
3
解:(Ⅰ )
20.
e= = 1- 2 = ,∴a2=4
b2
a
2
a
又椭圆 C 过点(
0,
2),∴a2=4,
b2=1
y2
∴ 椭圆 C 的方程: +x2=1 ………………………………………………… 3 分
4
(Ⅱ )① 当矩形的一边与坐标轴平行时,易知 S=8,………………………… 4 分
17.
i
nC -s
i
nB =s
i
nA (
s
i
nCt
anA -c
o
s
C),
即 2)=s
i
nA (
s
i
nCt
anA -c
o
s
C),………………………… 2 分
s
i
n2A
∴ 2s
i
nC -s
i
nAc
o
s
C -cosAs
i
nC =s
i
nC
-s
i
nAc
o
s
C,
c
o
sA
s
i
n2A
∵s
i
nC ≠0,∴
+c
o
sA= 2, …………………………………………… 4 分
c
o
sA
即 1-c
o
s2A +c
o
s2A = 2c
o
sA ,
2
π
,又 0<A <π,∴A = .………………………………………… 6 分
2
4
2
2
2
(Ⅱ )由余弦定理可得:
a =b +c -2
b
ccosA =18+4-12=10,
,∴BG =
.…………………………… 2 分
2
2
∵BG2+GF2=FB2,∴FG ⊥BG .…………………………………………… 3 分
在 RtΔGBO 中,
OB = 3,
OG =
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又 FG ⊆ 面 FGB ,
∵ FG ⊥AC ,
FG ⊥GB ,
AC ∩BG =G ∴FG ⊥ 面 ABC .
2021 年河南省六市高三第一次联合调研检测
数学理科参考答案
一、选择题
1

5 CABDB 6

10 CCADA 11

12 DB
二、填空题
2 145
13.
29
三、解答题
14.
-7
ìï1
(
n=1)
ïï3
15.
an = í
ï 4
(
n≥2)
ï 2
n -1
î4
16.2
解:(Ⅰ )由正弦定理,原式可化为 2s
若采用方案乙,两个二等品的使用寿命之和Y(单位:月),
∴E (
X )=5×
Y 的可能取值为 4,
5,
6,
P(
Y =4)=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
× = ,P (
Y =5)=2× × = ,
P(
Y =6)= × = ,
2 2 4
2 2 2
2 2 4
则Y 的分布列为:
4
Y
5
1
4
P
6
1
2
1
4
……………………………………………………………………………………… 9 分
n,则
→
m ·BE =0
{
解得:
m =(
1,- 3,-
1
), …………………………………………………… 9 分
2
→
n·BA =0
1
,解得:
n= (
1,- 3, ), ……………………………………… 10 分
→
2
n·BF =0
{
m ·n 15
c
o
s<
m,
n>=
= ,
|m||n| 17
15
∴ 二面角 E -AB -F 的余弦值为 .……………………………………… 12 分
→
→
当s
i
n
|PA -PB|的最大值为 4. ………………………………… 10 分
φ=1 时,
证明:(Ⅰ )将a+b+c=2 平方得:
23.
a2+b2+c2+2
ab+2
ab+2
ac=4, … 1 分
由基本不等式知:
a2+b2≥2
ab,
b2+c2≥2
b
c,
a2+c2≥2
ac,
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22.
o
s(
θ- ),
3
则ρ2=2
θ+2 3ρs
i
n
θ,
ρcos
由极坐标与直角坐标的转化公式得圆 C 的直角坐标方程是:
x2+y2=2x+2 3y,
即 x2+y2-2x-2 3y=0.…………………………………………………… 5 分
(Ⅱ )将直线l 的参数方程
x=1+tcos
φ( 为参数),
t
i
n
y=1+ts
o
sB = ,∴AD =
.…………… 12 分
9
3
(Ⅰ )证明:由顶点 F 在 AC 上 投 影 为 点 G ,可 知,
取 AC 的 中 点 为
18.
FG ⊥AC .
O ,连结 OB ,
GB .
在 RtΔFGC 中,
FG = 3,
CF =
21
3
,∴CG = .…………………………… 1 分
2
2
1
13
17
19.解:(Ⅰ )由题意知机器运行时间不少于 3 个月,共有三种可能: ……… 1 分
C2
2
4
第一,取到 2 个一等品,对应概率为 2 = ,
C6 5
第二,取到 1 个一等品,
1 个二等品,且二 等 品 的 使 用 寿 命 为 3 个 月,对 应 概 率 为
C1
c1
1 4
4
2
= ,
2 ×
2 15
∴c
o
sA =
∴a= 10, …………………………………………………………………… 8 分
a
10
,
∵ 点 D 在边 BC 上,且 CD =2DB ,∴BD = =
3
3
a2+c2-b2
10
, …………………………………………… 10 分
又c
o
sB =
=2
ac
10
58
58
∴AD2=AB2+BD2-2AB ·BD ·c
z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示:
A(
0,-1,
0),
B (3,
0,
0),
F(
0,-
→
1,3),
BA = (- 3,-1,
0),
→
BE = (-
1
3
,3),
E ( ,2
2
3
1
→
,-1,3),
BF = (- 3,- ,3)……………………………… 8 分
2
2
→
m ·BA =0
,
设平面 ABE ,
ABF 的法向量分别为 m ,
x)=p
'(
x),则q
'(
x)=ex-1- 3 -6, ………………………………… 8 分
x
易知q
'(
x)在(
3,+∞ )上单调递增,
4
∴q
'(
x)>q
'(
3)=e2- -6>0,则q(
x)在(
3,+∞ )上单调递增,
27
从而 p
'(
x)>p
'(
3)=e2+
2
-6>0,则 h
'(
x)在(
3,+∞ )上单调递增,
4x2+y2=4
整理可得k2+4=m2,
联立
{
设矩形与直线 y=kx+m 对应的一条边长为d1,则 d1=
|2m|
1+k2
,
1
|2
n|
, … 8分
同理可得 2 +4=n2,设矩形相邻的另一条边长为 d2,则 d2=
k
1
1+ 2
k
所以矩形的面积 S=d1·d2=
=4·
|2m|
1+k
2
·
|2
n|
4|mnk|
三式相加得:
a2+b2+c2≥ab+b
c+ac,……………………………………… 3 分
2
2
2
则 4=a +b +c +2
ab+2
b
c+2
ac≥3
ab+3
b
c+3
ac,
ab+b
c+ac≤
4
2
,当且仅当a=b=c= 时等号成立 ……………………… 5 分
3
3
2-a b+c 2 b
c
2-b a+c 2 a
则 X 的可能取值为 5,
6,
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P(
X =6)=
1 1 1
× = ,
2 2 4
P(
X =5)=1-P (
X =6)=
则 X 的分布列为:
3
,
4
5
X
6
3
4
P
1
4
3
1 21
E(
X ) 21
+6× = ,它与成本价之比为
= , …………… 7 分
4
4 4
5+5 40
C6
C2
1 1
2
第三,取到 2 个 二 等 品,且 二 者 使 用 寿 命 均 为 3 个 月,对 应 概 率 为: 2 × ×
C6 2 2
1
= ,
60
∴ 机器可运行时间不少于 3 个月的概率 P =
2 4 1 41
+ + = .…………… 5 分
5 15 60 60
(Ⅱ )若采用甲方案,则机器正常运行的时间为 X (单位:月),
∴ 面 FGB ⊥ 面 ABC . ………………………………………………………… 5 分
(Ⅱ )解:∵O 是 AC 的 中 点,∴OB ⊥AC ,由 (Ⅰ )知
OB⊥FG
以 OB 所 在 直 线 为
∴OB ⊥ 面 AFC ,且 FG ⊥ 面 ABC .
x 轴,OC 所在直线为y 轴,过 点 O 作 平 面 ABC 的 垂 线 为
c 2-c b+a 2 ba
(Ⅱ )由
,同理
,
,
=
≥
=
≥
=
≥
b
b
b
c
c
c
a
a
a
…………………………………………………………………………………… 7 分
2-a 2-b 2-c 2 b
c 2 ac 2 ba
·
·
·
·
则
≥
=8,
b
c
a
b
c
a
2-a 2-b 2-c
2
·
·
…………… 10 分
即
≥8,当且仅当a=b=c= 时等号成立 .
9
1
>0,则 h(
x)在(
3,+∞ )上单调递增,
3
3
于是 h(
x)>h(
3)=e2+5-2
l
n3>0,故当 x>3 时,
x)≥ (
x-2)
-3(
x-2);
f(
3
…………………………………………… 12 分
综上,
x)≥ (
x-2)-3(
x-2).
f(
所以 h
'(