八年级数学 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 2 两数和(差)的平方数学

思考(sīkǎo)
(a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
(-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2; (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2; (a-b)2=a2-b2不一定(yīdìng)相等.只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2.
由①-②，得 4xy=48，
∴xy=12.
解题(jiě tí)时常用结论：
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 12/10/2021
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
第十六页，共十九页。
4.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
例2 计算(jì suàn)： (1)(3x-2y)3; 解：（1）(3x-2y)2
=(3x)2-2•3x•2y+(2y)2 =9x2-12xy+4y2；
12/10/2021
(2)( 1 m 1)2. 2
（ 2 ） 解 法 1 (- 1 m 1)2
2
( 1 m )2 2 ( 1 m ) 1 12
(ab)2 [a(b)]2 a2 2a(b)(b)2
注意到a-b=a+(-b),也
可以利用(lìyòng)两数和 的平方公式来计算
a2 2abb2
这样就得到了两数差的平方公式： （a-b)2= a2-2ab+b2 .
两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.
12/10/2021
第八页，共十九页。
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =16m2 +8mn +n2；
12/10/2021
第十页，共十九页。
(2) (y- 1 )2. 2
解： (y-
1 )2= y2
1
-2•y•
2
2
1
+ ( )2
2
(a - b)2= a2 - 2 ab + b2
1
=y2 -y
+
. 4
12/10/2021
第十一页，共十九页。
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 12/10/2021
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
第十七页，共十九页。
12/10/2021
第十八页，共十九页。
内容(nèiróng)总结
12.3 乘法公式。1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释并能够灵活应用.（重点）。 m2+4m+4。4.公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.。+2•(4m) •n。-2•y•。= (100+2)2。=10000+400+4。
12/10/2021
第十五页，共十九页。
4.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 5.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①; ∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
2
2
1 m 2 m 1；
4
解 法 2 (- 1 m 1)2
2
= （ 1 - 1 m ）2 2
12 2 1 1 m ( 1 m )2 22
1 m 1 m2 4
第九页，共十九页。
例3 运用(yùnyòng)完全平方公式计算： (1)(4m+n)2；
解: (4m+n)2= (4m)2 +2•(4m) •n +n2
第五页，共十九页。
试一试
观察(guānchá)下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
(a+b)2 =
a2
+
2ab
+ b2ab
b2
ab
ab
b2
a
b
a+b
12/10/2021 (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
第六页，共十九页。
典例精析
例1 计算(jì suàn)： (1)(2x+3y)2; 解：（1）(2x+3y)2
简记为：
“首平方，尾平方，积的2倍 . 放中间”.
也就是说，两个数和的平方，等于(děngyú)这两数的平方和加上它们的积
的2倍.这个公式叫做两数和的平方公式.
u 公式特征：
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍； 4.公12/式10/2中021的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.
12/10/2021
第二页，共十九页。
导入新课
情境
(qíng入jìn一g)引块边长为a米的正方形实验田，因需要(xūyào)将其边长增加 b 米 .形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实 验田的总面积, 并进行比较.
直接求：总面积=（a+b)(a+b)
b 间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
一个整体，再按照完全平方公式进行计算. 12/10/2021
第十四页，共十九页。
3.运用完全平方(píngfāng)公式计算:
(1) (6a+5b)2； =36a2+60ab+25b2； (3) (2m-1)2 ；
=4m2-4m+1；
(2) (4x-3y)2 ； =16x2-24xy+9y2；
(4)(-2m-1)2 . =4m2+4m+1.
1.先选择公式; 2.准确代入公式; 3.化简.
12/10/2021
第十三页，共十九页。
2. 运用乘法公式(gōngshì)计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
解: (1) 原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)] = x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9.
=36a2+60ab+25b2。=4m2+4m+1.。解题时常用(chánɡ yònɡ)结论：
No
Image
12/10/2021
第十九页，共十九页。
m2+4m+4. p2-2p+1 .
（4） （m-2)2=(m-2)(m-2)=
m2-4m+4.
根据上面(shàng miɑn)的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？
（a+b)2= a2+2ab+b2 .
12/10/2021
第四页，共十九页。
知识要点
完全平方 (píngfāng)公式
（a+b）2= a2+2ab+b2
第12章 整式 的乘除 (zhěnɡ shì)
12.3 乘法 公式 (chéngfǎ)
2.两数和（差）的平方
导入新课
12/10/2021
讲授新课
当堂练习
第一页，共十九页。
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式(gōngshì)的推导过程、结构特点、几何解释并能够灵 活应用.（重点） 2.理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式.（难点）
你发现了什么？
（a+b)2=a2+2ab+b2
a
12/10/2021
a
b
第三页，共十九页。
讲授新课
完全平方公式
计算(jì suàn)下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)=
p2+2p+1.
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= （3） （p-1)2=(p-1)(p-1)=
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 5.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①; ∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
由①-②，得 4xy=48
∴xy=12.
解题(jiě tí)时常用结论：
(2) (a+b+c)2 原式 = [(a+b)+c]2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
解题小结：第(1)题选用平方差公式(gōngshì)进行计算，需要分组.分组方法是 “符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第(2)题要把其中两项看成
(2)(2a b )2. 2
=(2x)2+2•2x•3y+(3y)2
=4x2+12xy+9y2；
12/10/2021
（ 2 ）( 2 a b ) 2 2
(2a)2 2 2a b (b )2 22
4a2 2ab b2 . 4
第七页，共十九页。
试一试 推导两数差的平方(píngfāng)公式（a-b） 2
12/10/2021
第十二页，共十九页。
当堂练习
1.运用完全平方(píngfāng)公式计算：
(1) 1022；
解： 1022 = (100+2)2
(2) 992.
992 = (100 –1)2
=10000+400+4
=10000 -200+1
=10404.
=9801.
解题小结：利用(lìyòng)完全平方公式计算: