古典概型

古典概型
导学目标： 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
自主梳理
1．古典概型
一般地，一次试验有下面两个特征
(1)有限性．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)等可能性．每个基本事件的发生都是等可能的，称这样的概率模型为古典概型．
2．古典概型的概率公式
如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是________；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝________.
自我检测
1．(2018·滨州模拟)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x ＋y＝5下方的概率为________．
2．(2018·临沂高新区期末)一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是________．
3．(2018·辽宁)三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．
4．有100张卡片(编号从1号到100号)，从中任取1张，取到卡号是7的倍数的概率为________．
5．(2018·大理模拟)在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(用分数表示).
探究点一写出基本事件
例1有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于3”；
(3)事件“出现点数相等”．
变式迁移1 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球．问：
(1)共有多少个基本事件？
(2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？
探究点二古典概型的概率计算
例2班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．
(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；
(2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率．
变式迁移2 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．
探究点三古典概型的综合问题
例3(2009·山东)汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求
至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
变式迁移3 为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．
(1)求该总体的平均数；
(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
分类讨论思想
例 (14分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i ，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况； (2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．
多角度审题 本题属于求较复杂事件的概率，关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，联想掷骰子试验，把红桃2、红桃3、红桃4和方片4分别用数字2,3,4,4′表示，抽象出基本事件，把复杂事
件用基本事件表示，找出总体I 包含的基本事件总数n 及事件A 包含的基本事件个数m ，用公式P(A)＝m
n
求解．
【答题模板】
解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同情况．[6分]
(2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为2
3
.[10
分]
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，故甲胜
的概率P 1＝512，同理乙胜的概率P 2＝5
12
.因为P 1＝P 2，所以此游戏公平．[14分]
【突破思维障碍】
(1)对一些较为简单、基本事件个数不是太大的概率问题，计数时只需要用枚举法即可计算一些随机事件所
含的基本事件数及事件发生的概率，但应特别注意：计算时要严防遗漏，绝不重复．
(2)取球模型是古典概型计算中的一个典型问题，好多实际问题都可以归结到取球模型上去，特别是产品的抽样检验，解题时要分清“有放回”与“无放回”，“有序”与“无序”等条件的影响．【易错点剖析】
1．题目中“红桃4”与“方片4”属两个不同的基本事件，应用不同的数字或字母标注．
2．注意“抽出的牌不放回”对基本事件数目的影响．
1．基本事件的特点主要有两条：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和．2．古典概型的基本特征是：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．
3．计算古典概型的基本步骤有：①判断试验结果是否为等可能事件；②求出试验包括的基本事件的个数n，
以及所求事件A包含的基本事件的个数m；③代入公式P(A)＝m
n
，求概率值．
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．(2018·金华模拟)同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率为________．
2．(2018·宁波十校联考)将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为________．
3．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________(结果用数值表示)．
4．(2018·西南名校联考)连续掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率为________．
5．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________．
6．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到
男教师的概率为9
20
，则参加联欢会的教师共有________人．
7．(2018·上海十四校联考)在集合{x|x＝nπ
6
，n＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方
程cos x＝1
2
的概率为________．
8．(2009·江苏)现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．
二、解答题(共42分)
9．(14分)(2018·北京朝阳一模)袋子中装有编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．
(1)写出所有不同的结果；
(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；
(3)求至少摸出1个黑球的概率．
10．(14分)(2018·天津滨海新区五校联考)某商场举行抽奖活动，从装有编号0,1,2,3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率．
11．(14分)2018·广州二模)已知实数a ，b∈{－2，－1,1,2}． (1)求直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率；
(2)求直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2
＝1有公共点的概率．
学案58 古典概型
答案
自主梳理
2．1n m n
自我检测
1．16 2．12125 3．13
4．0.14
解析 卡号是7的倍数有：7,14,21， (98)
共有m ＝98－7
7＋1＝14，总共n ＝100.
∴P＝m
n ＝0.14.
5．45
解析 ∵A、C 、E 在直线y ＝x 上，B 、C 、D 在直线y ＝－x ＋2上，任取三点列举知有10种取法，共线有2种取法．
∴取三点能构成三角形的概率为10－210＝4
5
.
课堂活动区
例1 解题导引 计算古典概型所含基本事件总数的方法：
(1)树形图；(2)列表法；(3)另外，还可以用坐标系中的点来表示基本事件． 解 (1)这个试验的基本事件为 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：
(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件： (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
变式迁移1 解 (1)分别记白球为1,2,3号，黑球为A ，B 号，从中摸出2只球，有如下基本事件：
(1,2)，(1,3)，(1，A)，(1，B)，(2,3)，(2，A)，(2，B)，(3，A)，(3，B)，(A ，B)，因此，共有10个基本事件．
(2)上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到两只白球(记为事件A)，即(1,2)，
(1,3)，(2,3)，故P(A)＝3
10
.
例2 解题导引 古典概型的概率计算公式是P(A)＝m
n
.由此可知，利用列举法算出所有基本事件的个数n
以及事件A 包含的基本事件数m 是解题关键．必要时可以采用画树状图或列表法辅助列举基本事件．
解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．
由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，因此这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．
用A 1表示事件“连续抽取2人一男一女”，A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且A 1∪A2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得
P(A 1∪A 2)＝P(A 1)＋P(A 2) ＝1220＋220＝7
10
＝0.7， 即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7. (2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的
用A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A 的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同
一个人表演的概率P(A)＝5
25
＝0.2.
共有点或6点的
概率为P ＝2036＝5
9
.
方法二 利用对立事件求概率．“至少有一个5点或6点”的对立事件是“没有5点或6点”，如上表，
“没有5点或6点”包含16个基本事件，没有5点或6点的概率为P ＝1636＝4
9
.∴至少有一个5点或6点的概率
为1－49＝59
.
例3 解题导引 本题主要考查抽样的方法及古典概型概率的求法，考查用概率知识解决实际问题的能力． 解 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，
由题意得50n ＝10
100＋300
，所以n ＝2 000.
则z ＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，
由题意得4001 000＝a
5
，即a ＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车．用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件有：
(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10个．事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7个．
故P(E)＝710，即所求概率为7
10
.
(3)样本平均数x ＝1
8
×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8
个基本事件，事件D 包括的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝68＝3
4
，即所求概率
为34
. 变式迁移3 解 (1)总体平均数为1
6
×(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5.
(2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本结果．
事件A 包括的基本结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共有7个基本结果．
所以所求的概率为P(A)＝7
15
.
课后练习区
1．38
解析 共23
＝8(种)情况，符合要求的有(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)3种．
∴P＝38.
2．1936
解析 2
由此可见，使方程有实根的基本事件个数为1＋2＋4＋6＋6＝19，于是方程有实根的概率为P ＝19
36
.
3.310
解析 在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字有10种可能的结果：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，其中两个数字都是奇数包含3个结果：
{1,3}，{1,5}，{3,5}，故所求的概率为3
10
.
4．512
解析 由题意知，(m ，n)·(－1,1)＝－m ＋n<0，
∴m>n.
基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．
∴P＝1536＝512.
5．310
解析 由袋中随机取出2个小球的基本事件总数为10，取出小球标注数字之和为3的事件为1,2.取出小球标注数字之和为6的事件为1,5或2,4.
∴取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为
P ＝1＋210＝310.
6．120
解析 设男教师有n 人，则女教师有(n ＋12)人． 由已知从这些教师中选一人，选到男教师的概率
P ＝n 2n ＋12＝920
，得n ＝54，
故参加联欢会的教师共有120人．
7．15
解析 cos π3＝cos 5π3＝1
2
，共2个．
x 总体共有10个，所以概率为210＝1
5
.
8．0.2
解析 从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿共有10种抽取方法，而抽取的两根竹竿长度恰好相差0.3 m 的
情况是2.5和2.8,2.6和2.9两种，∴概率P ＝2
10
＝0.2.
9．解 (1)ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de.(5分)
(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，
共6个基本事件．所以P(A)＝6
10
＝0.6.
所以恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6. (10分)
(3)记“至少摸出1个黑球”为事件B ，则事件B 包含的基本事件为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共7个基本事件，
所以P(B)＝7
10
＝0.7.
所以至少摸出1个黑球的概率为0.7.(14分) 10．解 设“中三等奖”的事件为A ，“中奖”的事件为B ，从四个小球中有放回的取两个共有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)16种不同的方法．(4分)
(1)两个小球号码相加之和等于3的取法有4种： (0,3)、(1,2)、(2,1)、(3,0)．
故P(A)＝416＝1
4
.(10分)
(2)由(1)知，两个小球号码相加之和等于3的取法有4种．
两个小球号码相加之和等于4的取法有3种：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(12分) 两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)，
P(B)＝416＋316＋216＝9
16
.(14分)
11．解 由于实数对(a ，b)的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共16种．(5分)
设“直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限”为事件A ，“直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2
＝1有公共点”为事件B.
(1)若直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限，则必须满足⎩⎪⎨
⎪
⎧
a≥0，b≥0，
即满足条件的实数对(a ，b)有(1,1)，(1,2)，
(2,1)，(2,2)，共4种．∴P(A)＝
416＝1
4
. 故直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率为1
4
.(9分)
(2)若直线y ＝ax ＋b 与圆x 2
＋y 2
＝1有公共点，则必须满足
|b|
a 2
＋1
≤1，即b 2≤a 2
＋1.(11分)
若a ＝－2，则b ＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a ，b)有4种不同取值； 若a ＝－1，则b ＝－1,1符合要求，此时实数对(a ，b)有2种不同取值；
若a ＝1，则b ＝－1,1符合要求，此时实数对(a ，b)有2种不同取值，若a ＝2，则b ＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a ，b)有4种不同取值．
∴满足条件的实数对(a ，b)共有12种不同取值．
∴P(B)＝1216＝34.故直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2
＝1有公共点的概率为34
.(14分)。